数学建模方法——SPSS主成分分析法

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3 H" b% ]% {: ]. K5 ZⅠ.主成分分析：
, m/ }' D' J# w. o* z& C2 W5 f% ^主成分与原始变量之间的关系：
: ?  d/ M4 @- wPCA降维：
' Q3 M1 }# l% M; v. p0 DⅡ.SPSS主成分分析的步骤如下：
$ S9 W: h" T7 J. n; e( G8 mA.求指标对应的系数
1.方差图与成分矩阵：
1 g0 E0 Z  x/ C1 P& k1 K2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
2 |( N. U  t7 H6 d9 w3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
8 N* F9 j8 g5 S/ r" N4.采用excel的公式计算指标系数
+ s$ _  u2 Y9 v% I5.数据的归一化处理
' A8 c2 l8 a2 |& k! u+ Xa.操作如下：
b.得到归一化后的数据：
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：
B.附spss的免安装文件地址：
9 J( P6 g8 O9 |% h. DⅠ.主成分分析：
​ 主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。
& Z6 H$ F+ P' l5 o! q/ B
1 j* [# f% @2 m, r2 L. B主成分与原始变量之间的关系：
' o6 u% Y3 s  e7 J. ]/ b​ （1）主成分保留了原始变量绝大多数信息。
) p* f6 Y5 C, Z0 P, x
5 b$ G" [8 u; Y3 o6 q! |​ （2）主成分的个数大大少于原始变量的数目。
8 Y& S- @% F1 ^, B* G/ ^
​ （3）各个主成分之间互不相关。

​ （4）每个主成分都是原始变量的线性组合。

0 n$ q2 ^3 Q+ P7 pPCA降维：
2 q4 i" K5 E6 @4 v​ 假设我们所讨论的实际问题中，有p个指标，我们把这 p个指标看作p个随机变量，记为X1，X2，…，Xp，主 成分分析就是要把这p个指标的问题，转变为讨论p个 指标的线性组合的问题，而这些新的指标F1，F2，…， Fk(k≤p），按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息，并且相互独立。

​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是，寻求 原指标的线性组合Fi。

Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下：

2 k" D" k5 U1 G: J; n
# |2 [. m+ r9 M! i! f: k7 v
+ Q9 _* W1 @( q( `7 U) G3 e2 h

/ a9 X5 Q9 S# g
2 H1 b% H# V, D1 C


6 l' r+ K0 C6 M7 ^# _

$ l. {2 J! F6 {9 F6 e* m5 E6 l
" v+ g7 x/ V1 X4 [% _, L
5 b% ?  U  p% X1 f; @
* w( s5 v/ H8 P% O" X  {9 f
2 y$ y5 S  @2 I
- \; r* q4 a7 q: n: A* _


A.求指标对应的系数1.方差图与成分矩阵：
& u$ s4 n' N# a8 R8 |  t- x' m9 U; p

5 V% N: U4 H# p* c
  j! O9 r$ k6 \0 V! M% ]2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
F1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10

( y* u5 V1 h8 v* B$ T* S* L& QF2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10

  {3 D( V! `; Y% O(注：ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据，而不是原数据表格中的数值，目的在于统一不同的量纲。)

+ v+ T% _; j# }+ w; U4 _& \3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和
) s) a# G8 U& g. ~$ l* a5 U+ p/ sF=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2

/ k' K( P) r% c+ X& @9 [4.采用excel的公式计算指标系数
1 Z5 |  b1 J5 r7 s$ n. _将成分矩阵的数据列导入excel表格。
: K" {( k/ I8 p- f4 f
( S$ [3 _4 l+ l3 m
然后通过Excel命令：

​ =A1/sqrt(主成分的特征值)

得到结果：

/ b6 [0 N7 v/ P5 Z- P0 T
. [- ~4 T/ L1 g$ ]0 I) x
' i7 u0 ~* E4 f1 v5.数据的归一化处理a.操作如下：
9 {. @* M- v& p0 V6 U" M
% m# v- B) J* f0 P) L4 C
- d# t. u' I+ ~% L$ x2 \/ F
+ v% e) ?' [6 a; N( _- v9 G
/ L+ h/ G1 F* s* H" n( mb.得到归一化后的数据：
. [8 o5 b; A$ x" V
5 b5 Q% D" g) G( R$ m% @0 \" \
c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序：

​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。

F2同理可得；

​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。

( I" r: p% n; e- c( N* M  n
. t+ p2 c, c) l
1 h7 ~. X! G, @  ?! V* k" A+ a- j8 B