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数学建模方法——SPSS主成分分析法

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    [LV.7]常住居民III

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    数学中国浅夏
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    1#
    发表于 2021-10-13 18:00 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    文章目录1 p- j5 f* x, s  V2 w6 g7 E) I
    Ⅰ.主成分分析:
    0 W/ F8 G! F( v: \5 w主成分与原始变量之间的关系:
    5 Y! O; P6 u0 b. l/ ePCA降维:
    : K, ?+ f9 \. ~4 Q# FⅡ.SPSS主成分分析的步骤如下:' t" v- K' Y4 r9 x! X! _5 z
    A.求指标对应的系数! y! h; \  g3 B
    1.方差图与成分矩阵:
    + `/ \6 u/ Z0 Y0 e2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
    " e+ f7 p& p9 _0 B" L1 s3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和4 y4 @9 V  v7 ~1 x' F
    4.采用excel的公式计算指标系数' A9 p' ?1 G/ Y0 h
    5.数据的归一化处理
    * w8 s' v: D1 Na.操作如下:2 d, M4 [, D1 g; c* T+ r
    b.得到归一化后的数据:6 |7 h% L' [7 Q
    c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序:
      d/ i- s% p  @8 `& `5 O+ HB.附spss的免安装文件地址:1 F5 a" }( j4 e( |8 i( L5 ^
    Ⅰ.主成分分析:. k4 g# ^7 _  O5 `
    ​ 主成分分析(Principal Component Analysis,PCA), 将多个变量通过线性变换以选出较少个数重要变量的一种 多元统计分析方法。, q7 s) x, K3 Q( T& w# d

    # Z& ?8 ?6 C6 U$ f: |主成分与原始变量之间的关系:
    ! a% B" N; i5 W; L​ (1)主成分保留了原始变量绝大多数信息。
    . ^8 r, w1 t9 i) l
    3 l$ d2 W3 |5 z& f: v0 F​ (2)主成分的个数大大少于原始变量的数目。6 O2 X+ [: m3 T% R, \3 y9 h
    * J- b) g  l. Q
    ​ (3)各个主成分之间互不相关。* |' u# q3 `9 z/ B; b
    ( E# b, V+ v& J; o! ?1 V
    ​ (4)每个主成分都是原始变量的线性组合。4 }8 L  i1 B' L. X$ Z$ F7 B# ]) U

    % Z6 n3 w- {8 J6 s6 L9 Y( }PCA降维:" ~) l3 c% `% n$ d
    ​ 假设我们所讨论的实际问题中,有p个指标,我们把这 p个指标看作p个随机变量,记为X1,X2,…,Xp,主 成分分析就是要把这p个指标的问题,转变为讨论p个 指标的线性组合的问题,而这些新的指标F1,F2,…, Fk(k≤p),按照保留主要信息量的原则充分反映原指标 的信息,并且相互独立。2 R; F# c- g( O) [4 @9 i4 |  w7 g
    + L& h  ~; V, f! Q0 T, U5 Y4 G
    ​ 这种由讨论多个指标降为少数几个综合指标的过程在 数学上就叫做降维。主成分分析通常的做法是,寻求 原指标的线性组合Fi。
    . R9 A# \" m  @' i4 W- L9 I1 U4 p- }) I9 V" a$ N  @3 V
    Ⅱ.SPSS主成分分析的步骤如下:
    % a  ~# S1 d3 @5 Z% Q$ G4 E6 `0 i: `/ _- ?9 B
    6 s4 q/ A- o- C9 b" E$ F! j  f
    3 F6 p1 T! A$ f$ @4 e

    " F4 Z! W( I* D, x9 b
    ! U) x/ X( y9 k4 R6 ^
    - i7 f$ V7 @, W8 _( S# x) {7 t0 C! G" F
    4 V$ K/ W/ R/ v0 V  Z
    : h, z' ^* O' P# ^* {6 V1 }

    7 m' a  w! Z3 C/ F& k) g! X* _7 J$ Y, S
      U8 f4 d; Y  I

    / e9 {7 a- |: }  _4 }' j3 @6 R! _8 e' |5 P: E6 c
    9 ]3 T2 ^) C- h
    , K1 i3 g5 L4 c& w% U3 W
    6 [: ?5 P7 D$ ^4 a- ?
    - @) j5 r: Y' N" ?
    / ]: w7 P1 u" a: l
    A.求指标对应的系数1.方差图与成分矩阵:
    3 E' j, L! [- o3 D, T
    " n" M" m* }9 ~0 {  E
    7 v& x& d$ S1 i9 |: h; g) R
    8 l0 X9 \1 U; Z. `  n) Z- |2.指标系数=成分矩阵中的数据/sqrt(主成分相对应的特征值)
    3 U9 F1 t0 L. m: [3 {: s9 y6 c6 hF1=0.353ZX1 +0.042ZX2- 0.041ZX3 +0.364ZX4 +0.367ZX5 +0.366ZX6 +0.352ZX7 +0.364ZX8 +0.298ZX9+0.355ZX10% t% A4 _2 _! }) O* ^$ u

    0 w: o4 _0 k- w+ X1 ^2 QF2 =0.175ZX1 - 0.741ZX2+0.609ZX3 - 0.004ZX4 +0.063ZX5- 0.061ZX6 - 0.022ZX7 +0.158ZX8 0.046ZX9 -0.115ZX10
    ' U5 a5 Y& M; e0 D; z. f1 o+ l! d, p6 O; ?& h: E0 m) ]
    (注:ZX1,ZX2,…ZX10均为归一化之后处理的数据,而不是原数据表格中的数值,目的在于统一不同的量纲。)
    9 k0 g0 u' U5 U# V1 F& ^
    4 H  i8 h( h& t0 U1 n- B6 W3.主成分的对应的系数=特征值方差的占比/所有特征值方差占比的总和1 s. R  |* z8 A2 |
    F=(72.2/84.5) F1 +(12.3/84.5) F2
    : w( `4 x* |1 M5 d/ O
    1 i8 u; V; |' L. M. Y% K8 V% j% {4.采用excel的公式计算指标系数
    2 z6 b; u0 N' F* s7 |! R将成分矩阵的数据列导入excel表格。
    0 e9 _- P8 ~& g, S; S# O5 l" d, z, `* [! @% H$ X$ P

    * l# L" y8 K* k然后通过Excel命令:) @6 X& c9 e, Z! V8 X& A

    ​ =A1/sqrt(主成分的特征值)

    得到结果:


    , d  i; p. T& Q- i" V+ l3 V" P. Y4 O+ X+ ^. o5 N

    % H# j! c6 M. B; D5.数据的归一化处理a.操作如下:
    $ y& r) m8 R8 N. E1 I) _- |4 n- D9 f0 x- l$ a# ]  u
    * f; _. K5 p' X3 z

    3 Y5 a! O  J' p; j5 O" F" Y/ m6 z  g$ D# {$ O. n' J% w8 a# J
    b.得到归一化后的数据:8 {# J8 I/ s2 [  y. t+ S: {

    5 E: O0 I1 H$ L  Q& i+ h% M7 R( M
    c.然后将数据导入excel进行得分项的输出并排序:

    ​ 通过F1的计算公式得到F1标准下的测评得分。

    / K) V" [3 L5 X

    - g; P2 a. R4 S9 j# l9 P

    F2同理可得;

    ​ 最终根据F的计算式得到最终测评得分排序。


    # G0 A  E9 c; N8 \! {) V
    + M5 Z5 \1 p2 U4 r3 T4 A+ k7 y  Y1 F5 h* @% L+ _6 g- b
    - q" J3 b0 }6 _" ~% g
    , b4 X0 _! ~6 h8 ?' E
    zan
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