线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
! _4 _! y1 }- F; O' J$ l7 _( L
; K, S( [/ \% n. q) A6 I. E) L                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

例题：

  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

4 G, s/ j' q6 C8 I" f* W解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
+ b# g1 N8 x7 c: a3 ]* J
, }% i0 Q6 ~/ H# P& g
将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
/ ?& T& d: e5 {4 Q3 i+ V' P# N
然后将已知约束关系整理如下：
# e- F/ C: |) q3 C
可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
/ @+ z7 ]0 [, [# O/ s, x. wMatlab 程序实现
+ J* F, @! k. j3 G" P. r9 v/ o6 Zclc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
* x* H& h1 |2 K: ^( O2 Q! Kaeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
" k3 V' h- Q4 r0 Y, P$ y    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
7 R' Z! L7 L6 ~) H    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
' x' K9 k; L- }4 R    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
* N  @2 i% z8 s+ `' _# E( A[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
8 A/ x* B+ ~2 [. T* s0 G题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
$ g) [/ Z9 a2 S4 T. Ny=85