线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
! e% V3 q$ n: {: D8 n2 B, C3 r  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

- K1 ~. {0 Q% v. y; U! e  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
% g6 G7 R8 e* ]. H
+ E8 }4 S) D* @" ^4 |                                         
5 {2 `0 W/ T6 {          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

例题：
  f" N7 B' ]9 @8 U, D& r7 x" v
  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

+ @3 ~' j- N" Z' V解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
3 z* Y/ W; V# X' p
1 a/ L# |* v: y
将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
% |; Z6 P( E' J9 b( V. u- X1 q4 X
3 u$ Z- ~& h, V# v4 s% L4 T然后将已知约束关系整理如下：

可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
( S1 H% _6 ^9 ^( nclc;clear                                %清空数据防止干扰
! K7 r8 Z9 s0 ?f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
% q  b% W& _3 O; {    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
5 G' C" `  H6 M0 u: U. g    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
+ {* ]2 d4 m) J# [5 d7 j5 w; Qbeq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85



. Y& y, z' Y5 j# e0 Q& ~; V* t7 R8 q