线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
; }, L4 F9 |/ _1 X
9 n, x# U+ m! N& y+ i8 c  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
" @2 l5 k$ k( d, }3 J1 D" a
. ^& j  J) b+ G. P. [                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
2 E0 h4 y- K5 O& E" z  @+ ~5 |
例题：

2 q3 U# q5 u& [! n. a  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

+ u- g/ @, ]4 `; [4 ]解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：

$ c5 y6 L3 S8 g- h+ X. ^7 H
将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
7 m/ ?9 I2 ~: C/ ?: e: B" ~
1 V1 U4 Q+ K; Y* a4 {4 M然后将已知约束关系整理如下：

可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
( j4 k! L, }- VMatlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
$ a; y3 e  ?, }) c2 F  z# ^8 J. `* l    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
1 a& s! n4 o7 p% U6 S' o5 z    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
  q6 l' R; c9 B0 P' j    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
1 }5 ]. L, }% d[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
2 M$ J8 H4 M7 [0 H0 R$ ty=85


" O; o9 }+ `, y+ |: O) K) g
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