线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
+ ~+ g& a5 f1 H" n$ b* B: ]  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
5 E1 X2 F/ J$ T& v
  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为

                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

' X/ I7 y, l; f例题：

2 a& [) [$ ?8 }* I* J  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
8 S* o8 \5 o1 I$ y# V

/ y- C( Z% p# x4 ?1 ]# j+ J+ Q将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

然后将已知约束关系整理如下：

可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
( b+ K, Z' I, {1 Y; }f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
3 ~9 z0 N- n7 b; E: N6 }* o    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
1 B$ l! p: S/ {' E0 Z7 W    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
- E: a+ o" b, ~: F7 ~% |; @题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
9 b/ a+ A# f5 yy=85

$ ]% J% [8 v5 Y7 Z3 U( y7 K  I
! \' e3 d6 Y, `( D
0 ]. f4 W3 P4 K. [% T" ~