线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
5 `% J. A1 s, r+ e
  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
- S- z5 K/ v4 x5 t
' m% F8 \/ p- v5 i, D' b) v                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
! h+ X, a3 K/ d5 ~! s
例题：
6 i/ |! k4 x8 t- s3 `; ^# ~+ O
9 R. c3 d0 ]9 Y: a: k4 b% H9 j6 ?  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

* O) u( }) j+ I+ G% O( l" A解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：


, l. s2 x0 w+ y6 _8 s将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：

  ~* O' V  G$ A- ~5 [1 S然后将已知约束关系整理如下：
$ Z% R3 {$ d) q8 M4 `0 C
7 ^: A6 D  T: s! E可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
$ @  }+ S9 Z" K3 Yclc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
" _5 U1 n6 j* ?0 t    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
# V: y. y# W: k( Q    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
1 a" H# t! ]1 W. G  O. y5 w( }    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
  N6 ?% G( X! r! F9 r    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
0 d8 X8 J/ x/ K: `6 C8 }( ^" G% Nbeq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
) @& ?* p/ f4 t: I- z[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
- e* C% ~" w5 n; o题目答案：
! f  b/ |9 F- n5 rx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85
* I$ c5 X) k5 D5 k, Y- [' Y) {9 {
* `4 N& b. E  A0 {: `3 T