线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
4 `9 y0 `; f; p2 K8 D/ y; p* O  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

5 {# r: ]. k7 Y8 v  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
# ?2 [/ a( T" T" h5 r$ w
' k" O) S4 s: T& d4 e) C3 Q                                         
2 i" ?- G3 N- O+ \: v( ?# w4 u. t          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
" K4 d  ?! r6 @# k: ]& z% l( @
例题：
0 N$ n" y( l. }/ q$ [! Y
8 N7 p5 T, \* U4 N' L  o: E% ?  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

2 F- [- n# V. M4 r. S解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：

, a0 \' h' ]8 u8 P; Z+ ?
将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
1 d/ q$ W* y. J7 S( l3 S
然后将已知约束关系整理如下：
1 S, N  ~9 j" P) [, x+ h! z( L; f
5 I% M3 A) U4 X0 a) m可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
: l/ a& m& c# F* `7 Of=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
$ f. i1 e1 x; W1 A# yaeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
$ E- Y% B2 M  _6 J" }; p    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
1 w2 n  M# a3 K8 X* n1 ?2 G: O    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
( Y$ u9 A  O  R7 z  e[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
x=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
" A3 s2 F8 A0 _5 ?y=85
- `. w* [6 W; U& C. u% r* _

% E3 k* ^$ c! j& Q( {, U; P4 v
# s6 z3 @1 b' ]3 g/ j