线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

& i* y9 t8 I7 ~; b0 k9 d  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
7 C. k) |. g' n3 B
/ ^# T* \+ |3 W% V& w                                         
7 |$ k5 C& l2 i1 v' F. R; q7 H          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）
+ r1 y3 N/ F" h& _
: e: R" a% ]1 \7 I8 ?/ b例题：

9 H& k* P7 s) g) a* p  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

, I6 K0 T! H, u( B4 g2 h解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：


将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
# {' [5 h& M; V% ^! V
然后将已知约束关系整理如下：
. k# ?* a: f7 F- u! f* B7 e6 f
可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
7 y+ y) _# l7 k$ n* Qaeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
1 R; Q7 a0 J. R    zeros(1,8),ones(1,4);
7 X$ H! {0 |2 M    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
+ W/ m" }. O. R& j, m- u: f    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
) q0 L, x: }7 y) Pbeq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
3 n1 y5 X( f+ l[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
$ z* }) N# @8 R3 a% bx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
* c) f! s' T$ ^3 l) r- e: ~) k5 D' Ny=85