线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
  L6 t; H2 r1 {3 D5 p: `2 P  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？
% [7 J* r9 X! ~. X5 G
+ E1 R) g0 I  T  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为

4 u  E! w, D/ ~1 V5 g                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

$ S: E! h# m& B' s1 g例题：
" C8 t9 m# D3 G! L
* U; S% b1 n( G+ _$ k. P" q2 P  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
8 F% c! w6 i4 F8 E& r8 J
) r4 [% r- U( ?" ^0 {
" F0 K$ O4 r& H2 y7 a7 S$ d将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
3 s- q6 j8 N) g; V0 K
  I* _& Y- @0 @; P然后将已知约束关系整理如下：
7 v* k, ^% t% k# q8 D9 `
可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
Matlab 程序实现
clc;clear                                %清空数据防止干扰
f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
) l" q6 |) D2 f$ m7 W7 E7 {& c    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
# ]8 T! k; ?5 @0 w    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
+ @2 Y2 J1 n4 ]1 r% e# B    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
. Q4 I* M: K' i5 q: n' x( A- ~beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
. Y  @- |' j) [0 ^* |; s[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
题目答案：
+ }& I  T: B: z+ E8 C6 ?5 ~# P7 qx=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
y=85
& Q' U' E. k6 _  @; h* M


! _' a! S6 d3 k, G; p4 c