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线性规划——运输问题(产销平衡)

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    [LV.7]常住居民III

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    数学中国浅夏
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    1#
    发表于 2021-10-28 18:50 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    运输问题(产销平衡)
    - `; x- p& Z, L7 Y3 h; X. V" c  某商品有m 个产地、n 个销地,各产地的产量分别为a1,a2,…am ,各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ,问应该如何调 运才能使总运费最省?
    & H4 O; \" H. w* K+ v6 ~& y+ v. U: j( b" F
      解:引入变量 xij ,其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量,数学模型为' j8 h# ^7 g3 U; P1 v
    ) s5 Z* k7 M# F* ~
                                             
    7 ^7 n' N9 `7 t3 t) N3 S2 D          显然是一个线性规划问题,当然可以用单纯形法求解。

      对产销平衡的运输问题,由于有以下关系式存在:

    其约束条件的系数矩阵相当特殊,可用比较简单的计算方法,习惯上称为表上作业法(由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出,简称康—希表上作业法)7 N% Q& [6 P% H0 x! z" U

    , H4 Y7 K* G) x6 J% V7 Q) a例题:
    7 x  U) q8 r, ]/ L* Q! e. g
    ! X; ~" x1 X  i  ?* |* L  U. k" a  某公司有三个加工厂A1,A2.A3生产某产品,每日的产量分别为:7吨、4吨、9吨;该公司把这些产品分别运往四个销售点B1,B2、B3、B4,各销售点每日销量分别为:3吨、6吨、5吨、6吨;从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品,在满足各销售点的需要量的前提下,使总运费最少?* l; \7 X4 _4 l: h2 H( N! W) S5 F$ P

    8 k8 h; n& r2 e* y1 n解析: 典型的产销平衡问题,将已知数据做成表格如下:, P; r% ~9 T8 e2 \% Y) C6 R& j
    ; v8 M& n- {- Z; N& Q. P0 d

    ) }0 x9 V# c! O, J4 b# ~! r将所有数据列成表格会更加清晰,根据题意可以得到目标函数的表达式如下:* J! Z& d3 g* J1 g6 ~& T" k

    5 Y# [" X* [/ Y3 O然后将已知约束关系整理如下:) ~( R, k, m( p

    ' B1 o6 [8 w  @可见题目中并没有不等式约束关系,同时也没有约束上界ub。; s1 ^9 Y. D/ B
    Matlab 程序实现+ Q! U7 c; |7 k9 b9 K
    clc;clear                                %清空数据防止干扰: q) h0 i1 g3 K( ?
    f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量0 T4 ?# g" W6 w! e7 Z  i
    aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵  `" ?! a( U' P1 K! U( e4 U" v3 ]
        zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);# K) L# t- K1 N: ^8 {
        zeros(1,8),ones(1,4);* K. _& O; l* I9 T! o
        1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);3 I: R# d5 H3 Y! ?9 g
        0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);0 l# V: U( C7 O1 ], s' j  }  W
        zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;* a4 z  c! v) u/ Z  a7 i
        zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];& }0 |( V6 a, A) p. e5 X
    beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束8 I" H' d- X; A2 U# C
    [x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
    & u! }( U, @- R# v题目答案:
    + M# Y! h- y5 ]' F# v8 ix=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
    7 V$ s- h* U4 S% T5 A! ]y=85
    1 ^) L6 u' R5 Y1 N* f$ L( e/ Q. _6 J: c7 C& w' s( o' ^# I

    9 r, h; B# \/ q4 I6 N$ D7 L$ Z3 Q; c3 [( t0 g9 y
    zan
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