线性规划——运输问题（产销平衡）

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运输问题（产销平衡）
5 E$ m/ Z9 A8 t1 @4 I4 s0 B4 |: w. ^  某商品有m 个产地、n 个销地，各产地的产量分别为a1,a2,…am ，各销地的 需求量分别为b,…bn , , 1 L 。若该商品由i 产地运到 j 销地的单位运价为 cij ，问应该如何调 运才能使总运费最省？

  解：引入变量 xij ，其取值为由i 产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为
) w9 c) j2 k- _
                                         
          显然是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。

  对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在：

其约束条件的系数矩阵相当特殊，可用比较简单的计算方法，习惯上称为表上作业法（由 康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康—希表上作业法）

5 A/ g6 f& Z  D0 q- f9 @例题：
5 k3 ^" B8 y) h6 e3 T1 f$ R
9 j( M* t9 X4 n3 O! o+ ^) r4 f9 a  某公司有三个加工厂A1，A2.A3生产某产品，每日的产量分别为：7吨、4吨、9吨；该公司把这些产品分别运往四个销售点B1，B2、B3、B4，各销售点每日销量分别为：3吨、6吨、5吨、6吨；从各工厂到各销售点的单位产品运价如表4-1所示。问该公司应如何调运这些产品，在满足各销售点的需要量的前提下，使总运费最少？

解析： 典型的产销平衡问题，将已知数据做成表格如下：
2 g2 E5 ]$ s9 |9 y+ \
. T2 m1 b3 R% ^" O
' n( x8 t8 S0 N6 G) F( }- C将所有数据列成表格会更加清晰，根据题意可以得到目标函数的表达式如下：
" K  N/ m* @7 W8 P$ U5 |5 Y" v2 x
然后将已知约束关系整理如下：
% e  D! A! s5 |2 h! \/ w
可见题目中并没有不等式约束关系，同时也没有约束上界ub。
3 e1 p) g" b3 C9 j7 Y+ DMatlab 程序实现
; n: E1 ~, L: b: [  Yclc;clear                                %清空数据防止干扰
$ v* @8 ]* ^- E: }f=[3;11;3;10;1;9;2;8;7;4;10;5];        %价值向量
aeq=[ones(1,4),zeros(1,8);                %线性等式约束        构造矩阵
    zeros(1,4),ones(1,4),zeros(1,4);
    zeros(1,8),ones(1,4);
    1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3);
    0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2), 0,1,zeros(1,2);
, l7 K/ k9 r: ~    zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0, zeros(1,2),1,0;
; E( A* D- X: n- g8 Y    zeros(1,3),1,zeros(1,3),1,zeros(1,3),1];
beq=[7;4;9;3;6;5;6];                        %线性等式约束
7 m* u6 {  E' H) J6 C% t[x,y]=linprog(f,[],[],aeq,beq,zeros(12,1))        %求解
/ [/ X  s4 M3 \" @: L# R题目答案：
* T" i4 f- q: b7 R2 N+ ex=[0;0;5;2;3;0;0;1;0;6;0;3]
# c8 D! J5 _1 G+ R# P; Fy=85
6 ~$ K0 J. E4 m, v


- t( X  \  b4 S( P, ^6 }