全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
5 B/ r9 R  V* Y3 v; o8 n( c; Q- A这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


" E- k3 G4 M5 y+ F( G( h1. 求极限问题
1 l1 d% f" k% `- W) j: b4 b0 K1.1 洛必达
没啥好说的。


2 W3 Q3 F) l" |' e1.2 等价无穷小

5 `4 p, k! t- p' v# Z$ V0 G
1.3 Taylor公式
熟记公式~

) d5 |2 @% T, }- W& I
1 d9 y, Y9 n9 c& o1.4 两个重要极限
$ }: f0 }: F; `有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
8 @; t- z, l3 F# ~) i7 ~7 X% ]
+ s3 e/ @* q5 X% x+ I3 q( m( ^
1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
* }2 Y) u% P. n

0 F8 q. M9 |; h" \3 f) D1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

0 A7 x% H& X, a1 N: f1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。


1.8 利用积分
- W- R9 W& b2 w7 n看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

0 W' [- {3 b3 Q! s0 I0 x8 ?把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：



# f, b6 ?1 A1 I( G4 k  l5 z
2. 导数的计算
% ?7 ~- R% u2 I1 i4 b2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
% s: {, K7 k* X如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


2.2 隐函数求导 对数求导
7 s2 @( u' q$ m/ J+ P( O. l当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

$ o+ V' }+ N* `) a
2.3 参数方程确定的函数求导
  \1 p" R6 z$ X) ?* N! N理解过程。
6 [) z* t& `* _$ P( N
( ^5 a! p8 b* F; O' a. h& e4 C0 i6 |
2.4 高阶函数
Leibniz公式

1 q6 c3 s% v4 i5 w5 x4 D0 p5 ]
常见高阶导数
: W$ v9 w7 c& X
. C* G6 s4 l& g
8 i" @) d: i5 K( D' X

% X7 f. e8 k! Z+ K7 w' P8 ]0 S6 Q3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
" Z1 U3 k$ p4 x; |" n! ^  l" v

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

* Y: C' L4 x1 f
3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

# @: i) a  J- N' i" @; a: ?

4 t/ \) [. b6 Y1 @$ u9 g






3 F; U  O0 V& F& N

! Y: ?4 k+ l, R

( J1 n4 o7 v% {! B+ [* V! F8 O1 m