全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
# C8 `! f$ `+ K: o
& _. O" b6 s  n4 @
1. 求极限问题
1 |2 [  _( S, V8 `0 t1.1 洛必达
2 N* s) I' A# U% F$ u+ \没啥好说的。
' Z" m$ V% e+ S+ O# T3 ^$ I
4 J% D. X5 I7 ?1 a" ^) w/ ]+ P0 x
1.2 等价无穷小
4 G! i9 p6 R, m2 m; S+ b. S
1 g1 M5 T5 k& {8 W6 \
1.3 Taylor公式
0 U9 j" n9 c# d4 K. E熟记公式~

1 g1 z4 Z) A) B
1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
# y" |" ~& e  N4 _

1.5 利用导数或微分定义
# N& m; Z" M% F+ G, |看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

: W2 P, h" Q8 C1 C8 Z
8 B9 h/ o* P3 `2 _* Q/ O; H1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

* Y1 k! i' J  i6 ?. L8 O遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

& X  P' y8 ]/ L  `4 y% W+ p1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
- j2 X& ~3 h2 u: R" U$ R
% F- @6 K. F# S/ f5 m! @2 ]% j) l: C. {
3 s( s8 r# V6 E# O/ I1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
0 j7 c  ^4 v" S
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
$ G/ m- S7 ~0 n
5 L9 o4 t0 F1 S4 q* x2 h+ l; d1 V
" O; X; n8 ~4 }/ R

2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
9 o7 E$ L2 A* w' e如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

. T4 |4 f. V5 |
, x5 \# `5 s. B; m, I4 W; R2.2 隐函数求导 对数求导
% W9 r* V2 ]' b/ E- p7 \4 b0 ]! l; D当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
# O' I8 V& S8 j0 }; `
0 ^% }/ m( ^: }7 Y1 c; n1 B& A+ S
: {$ W4 D. f3 J: ?& r; s2.3 参数方程确定的函数求导
! a) m: G% G; {6 @; A! l/ I% a理解过程。

; Z7 U, B! m7 h+ E# R
2.4 高阶函数
, i4 z! `- k2 s: e* aLeibniz公式
0 f$ k% _/ ]& A' \/ x7 ?+ y
! c' M- r7 B9 E: X" L7 C9 Z
! g- Z* G" c9 U" N, m0 {4 \0 @9 E8 ]常见高阶导数
! O2 D* a( P% r( ?9 x

: w+ R2 t( z) O  {7 ]- h: H
3 s" L' h( f' W8 N' I
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

+ A  z- u; T' t0 ]

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

. T. U  l7 C3 _, Q/ b" k. |. T" y4 a6 }
6 i2 H! t% y5 d) C0 J# l) I

: g- s* s( Z( a

% Z$ ^0 P6 @; i% g* Q. V4 r

' c4 l6 [3 V0 O


$ k. `" U! R) k5 j
% p% i4 |1 \' p  T/ H0 R
2 B; ~  B: p9 L0 E- n; y
- q: H4 `/ l' [- I