全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


2 y/ Z5 j! k% m  g, I, U# o; c1. 求极限问题
1.1 洛必达
0 g& N& x2 T2 a  u没啥好说的。


1.2 等价无穷小
) ]4 a: U# d6 g" _+ W4 b: U, L

1.3 Taylor公式
熟记公式~

" |7 n1 v5 c/ v
) r' B( [2 X+ m- i# X9 E2 [1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
# b! T, f) b* N3 Z$ F  P" c  [& f' w

! K. T4 Q0 [. ~. C$ q/ s. v1.5 利用导数或微分定义
! @% ]' B. w( s' F, L+ l看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。

$ y; n: n4 t; G- A+ c2 R4 t
2 p. j1 \. o- I, H% J# d1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

% B  B9 i$ b: u2 c! b) Q1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
" ]& r6 m. J" R0 P7 T& ]有这个思想就行。
7 r& C# T: D- Y8 Z+ f
6 w' ^* v2 i9 u; q. g5 I" N
1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
5 @# v9 `, ^4 o0 K. {
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
7 b- t: M. S' g+ s' q, M4 m
& s- B1 p  A- F. _/ {* T  ^
$ |* G! |% L5 j+ f5 n

: r9 c5 d$ F) d  a9 n, [; h2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

! O. T2 l+ v1 L! w6 i& {
2.2 隐函数求导 对数求导
9 t+ f3 i6 f, M) d! p6 s( w当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
2 p2 }8 ^* u3 L5 }
( A; X: i6 Y+ Y) X4 z; f. S- o
2.3 参数方程确定的函数求导
3 H0 @5 D1 Z4 u$ v8 @理解过程。


/ I. f: ?, g* u- A3 ~2.4 高阶函数
/ R& @/ Z& M! f. QLeibniz公式
- ^" I0 H- \- ]; \
; {0 w% Z, H2 |% ~3 l& _
2 \% \% {9 H2 P3 T$ y: F常见高阶导数




3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

# \; `1 _5 L7 Y9 o

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

: ]) G) O/ s8 w( A4 x6 V
  ]' q) u& X0 `- N3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  $ q/ g' E: ~1 s9 |3 R. A4 r/ |

6 x6 l+ Q& z) U* D, Z+ i5 {

2 J- }9 g9 V  W9 |
! Y2 a0 z! q% i% s9 c+ e




5 b* c0 x$ A3 I6 q# I

# J9 M# v7 ?: E( r' P" Z
& z6 K- M" P6 J$ f+ N& Q
, v$ k) }9 D" f& Y7 e# Q6 V