全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
1 _& g8 P* t0 u. h2 t  N  }) Q这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。


5 J  O+ i0 K1 D/ g0 |' m1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。

/ @$ T1 f: _% v/ h! |) e. K
1.2 等价无穷小
5 G0 T$ Q; W! i

/ @+ D) y8 V9 G1.3 Taylor公式
  }, Y5 x3 D% t+ W  A$ L熟记公式~

2 L' T" q% g2 z+ h2 W6 P/ Z
1.4 两个重要极限
# }4 l+ v* P0 O4 F4 B" K1 I有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

8 v2 @0 O$ p5 F
: y6 L9 j- p5 V, I6 T/ U& Y1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
5 R, R' T9 s  a% V- F- n
4 Z- S5 h  J% _5 f3 u
1.6 微分中值定理
3 y3 ]% ]7 o! x- B! r0 Q8 |$ s遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
: }' t& r  v! h' P* s/ E2 f$ ]6 Y
( U0 j3 o1 o0 {, N2 Q1 c" T遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

% A+ h  W1 L( H! C6 k1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
4 x( e# v6 P$ D3 T有这个思想就行。


1.8 利用积分
看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
* V- t7 G, Z4 E5 P7 x
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
# g/ K, ]* ]0 x2 s


5 X! r4 n3 v" f( h& |+ s' k) p, w/ F
0 n/ Z! j  v: {/ t2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

% j  H; ]3 ~' p! S, ?! l
2.2 隐函数求导 对数求导
8 R8 L: P4 E. V7 l- c当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


( ^) N1 B/ G/ E( D& n& [2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。


2 R$ o" t9 N8 Z* l2 M: t* C2.4 高阶函数
Leibniz公式


常见高阶导数
, j; n( s! w& D$ y% c3 K
  w- B! `. t/ N7 b


3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

/ f1 x0 j- f) F' ~% n# I8 a; W( M( k

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

( D2 E* W8 ~! o9 j
+ j, m* k0 u% d* L. h3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  / D9 R9 s$ S) e0 F- M

  D; @# O: r4 }( b0 e) h0 M4 {

8 |& n& X' J: s: v



$ i8 W2 w5 s/ Z; Z/ V, G4 q8 P

7 v8 y, x/ @. R% e



( J6 {5 v- f9 o8 ~