全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
( F% a; L$ ~# |
: Q6 Q6 ^+ x: b
1. 求极限问题
4 S, c5 N7 W- ]7 ^, R; W1.1 洛必达
没啥好说的。

3 V, ]0 k) [& |) I
# {0 B) ~3 }) e! a. L1.2 等价无穷小
: o+ c7 H! B; E* c0 C( y0 ]& z/ u

1.3 Taylor公式
. w$ F  M7 c! E: G  e熟记公式~
5 y: W/ `& g1 E/ ^  `! f6 F
$ O! p% ~  ?* s3 C8 Y# _5 E* {
1.4 两个重要极限
* l& ]+ J% B& U1 z* K& w有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


/ q" L- j0 h, M* X! X" J2 Z" j# S' |/ h1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
1 c" Q7 {: n' R1 H( }

1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

) B) ]+ r, M( h! V6 L% k  ^: \( V遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

6 H' t1 W: w  P. [8 K7 n  X1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。

+ E# E1 x6 \* K( z
1.8 利用积分
; ?8 D" G; ]9 r! R% [看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

8 R" E, A; q: e2 {" |) {把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：


1 w' t, `4 p" P8 V- g: K9 U
$ r7 B" E0 m/ c( f' U6 }
2. 导数的计算
2 d: |6 \2 e& l# u2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。


2.2 隐函数求导 对数求导
8 W7 Q7 t1 ]- [$ ?  P1 C7 k0 Y当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)

" G1 X! z1 a" r- Z9 I- X  w
2.3 参数方程确定的函数求导
' K# P8 ?  D: B& `7 F理解过程。


% }6 x7 w4 i  i4 ~! [, ?$ I! {2.4 高阶函数
Leibniz公式


常见高阶导数
! _. B' P3 F# R5 w
4 |$ t+ V- q$ i  [
# a& I+ C+ W" x7 y% q$ O

3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。
5 F! F0 k& Z. c) ?9 x$ ^0 ]+ T

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

1 s# X* A$ U$ J. x2 h. s3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  $ C& c& e! G2 m; s

5 V1 ~- }! \7 ^% [' x! H. b! @




, X/ j4 r% K% W% X( L+ E% o  a- o
( W& t  R. h5 e+ f" D
! T* s. o* r* K" _+ r/ M, S
9 M& a) T; X1 @6 U

% {: y+ s2 C* y8 B7 ~* W; C