文本embedding的算法大汇总/ ^- M4 b& k/ |1 k
文本embedding的算法大汇总 / A! L* P5 @& s7 x文章目录# I$ S y* P1 e. o9 a
文本embedding的算法大汇总 . A3 P9 F( [( W3 `* l8 a9 i2 g5 f一、潜在语义分析(Latent Semantic Analysis)3 O6 G( a. E+ N, g* W P8 i
1. 简单介绍- a, Y5 B4 c- _+ ?
2. 基本原理 6 g+ i( }, U% y2.1 词-文档矩阵(Occurences Matrix)7 O0 F$ F X/ f/ y7 `
2.2 SVD 分解 , X) M" L/ V1 x7 i- w+ f X$ L; d! ^, @2.3 流程# \/ [( g/ v4 C" n) V, a5 P7 s
3. 模型评价 2 A& l+ V1 A! L3.1 具体应用( I) i. F R+ I8 \
3.2 优点/ Z3 a8 l: G5 Z. Q, U
3.3 缺点 $ h1 [$ v* W. N3 r3 X- E/ T二、神经网络语言模型 4 G [4 [, J- T+ u6 B+ T1. 简单介绍" w, A4 K' a& e0 [* z8 Y
2. 基本原理9 H+ ?" w, E+ ^- q8 w- c. f
3. 算法流程! p" g9 h2 e9 d7 Z s: n# A/ s
三、词向量模型 Word2Vec+ W: U9 d3 D' m# o6 |% T5 d
1. 简单介绍7 F, U+ W, K) P% \
2. CBOW 模型 [$ u' ^9 k! r2 [5 h) |8 X8 {2.1 总体算法流程' d$ B8 \9 P0 ~- b
3. Skip-Gram 模型. b0 c! m7 }. u1 v3 P0 Q
3.1 总体算法流程% G( \. D* A, q1 _# u
4. 模型的优化方法 ; |: W: l' s \. i/ x" m4.1 Hierarchical softmax! E) z x: B! t% g9 F5 Z+ h1 T: s# u {: q
4.1.1 模型参数的梯度计算: D* n3 m) w( @" m( E. ^, H. V/ |7 L, ^
4.1.2 基于分层 softmax 的 CBOW 模型 3 z" f% N0 }3 T2 h% G" _4.1.3 基于分层 softmax 的 Skip-Gram 模型 l$ h; X i: o6 p4.2 Negative Sampling" e' U( Z+ U: y/ }! C- A
4.2.1 负采样的方法 / V# G0 Q1 w3 {4.2.2 模型参数的梯度计算: U3 K0 @ i+ D, c# a8 I% Y
4.2.3 基于负采样的 CBOW 模型 / ~; S6 k9 ?5 T) `4.2.4 基于负采样的 Skip-Gram 模型% a2 o9 g5 v2 t- } H
四、GloVe 3 X) G0 n; Y0 y6 U+ o1 ~3 g1. 简单介绍 * L2 j6 z5 D* E$ }, q# x2. 基本原理- @4 P8 |6 P4 E6 M$ g, f" _
2.1 共现矩阵 5 [ H' \% T4 {' P4 r' N2 _, ~( r3. 公式推导 ) R" v7 m2 o1 ]五、ELMo : R8 s- F8 ~( q6 ~! }& @2 c1. 简单介绍4 ?" b) s" a4 b* H* I9 [
2. 基本原理5 `5 a" j+ s" |- ^# c8 f( q7 H
2.1 具体步骤# F8 E4 u; v2 f' t3 N7 W
3. 模型评价" Q# w1 R6 I3 O& G3 d" V
3.1 优点8 i* l' D. |! h- N' _+ A
3.2 缺点 * c# I: a/ [ G/ c) {六、GPT2 J5 T% e, V& j. r
1. 简单介绍7 c/ _/ G+ P" I* O1 ~
2. 模型结构和基本原理 L4 \" X J$ {" L6 [2.1 无监督预训练 4 T& Y' r7 r3 ~8 Q- {2.2 有监督微调 3 J9 w7 b4 |. k) Z9 k3 o5 m2.3 下游任务的改造: 9 y0 S9 q5 W. X9 k3. 模型评价; R" }& V2 y i
3.1 优点1 j0 a& R. G' ?! q% i
3.2 缺点 & b; S& ?& _( N0 D p1 I七、Bert& T' b( T V( R0 l2 k
1. 简单介绍 3 X1 U$ G; e2 ~( w3 v9 V: u2. 基本原理 ) d F& v- p. `8 D+ E& t9 V2.1 Masked Language Model 3 X' |$ s8 V5 Y( B4 h2.2 Next Sentence Representation(NSP)' N, {& A% a# M8 g7 r) j4 N! E
2.3 下游任务的改造4 m) q8 P+ R5 J @- ]! F
3. 模型评价6 V( q5 m) G5 P8 D" X& I
3.1 优点- Y, V. _4 `) [, t; [6 @" N
3.2 缺点 3 B" T4 D! C2 ]八、GPT 2.0' o q1 Z1 B- s% n1 p( V' }' ]
1. 训练数据集) e( n7 \9 j+ ^8 z# F% f9 c
2. 输入表示 3 r: [9 z. f- n; e: C' W Y. T: e3. 模型的改进 ! o5 ?" L$ l; i5 C) y参考资料* N7 F" V, _4 L) R r2 E% {
3. 模型的改进 ! ?: P# V8 ] X6 s% v/ a! ~参考资料7 x6 N/ S9 e: b- B
一、潜在语义分析(Latent Semantic Analysis) : c( c1 ^. i. P1. 简单介绍! E. y4 @ Q9 c) ^. u1 @: S' y- _
LSA 是 1988 年 S.T.Dumais 等人提出的一种新的信息检索代数模型,是用于知识获取和展示的计算理论和方法,和传统向量空间模型(vector space model)一样使用向量来表示词(terms)和文档(documents),并通过向量间的关系(如cos)来判断词及文档间的关系。不同的是,LSA 把高维的向量空间模型(VSM)表示中的文档映射到低维的潜在语义空间中,并用这种潜在的语义结构来表示词和文本,达到消除词之间的相关性和简化文本向量实现降维的目的。 5 i2 f2 k- g4 U6 q0 S! e3 x7 A4 B. u
原文地址:http://en.wikipedia.org/wiki/Latent_semantic_analysis 2 {5 b! R5 f- u) G X9 v8 ^* W+ S8 A+ e; K4 ]9 e7 \
2. 基本原理 , T% u0 X- t; Q" {$ N通过对大量的文本集进行统计分析,从中提取出词语的上下文使用含义。技术上通过 SVD 分解等处理,消除了同义词、多义词的影响,提高了后续处理的精度。+ U6 }% c# G; L6 W8 L$ A
3 w2 [9 m/ y' e# h2.1 词-文档矩阵(Occurences Matrix) ( V5 f8 ^7 l3 ^. G* s0 MLSA 使用词-文档矩阵来描述一个词语是否在一篇文档中。矩阵的行表示词,列表示文档,每一个元素可为该词在文档中的词频或者该词语的 tf-idf(term frequency–inverse document frequency),矩阵的每一行代表该词语的向量表示,每一列代表该文档的向量表示。! q8 \( t1 V0 z/ C- L9 a6 W' K
" z( U2 u- p u; @
2.2 SVD 分解 ! r3 m: D C5 V% a- G" I; {) `假设 X 为m*n的矩阵,SVD 就是将 X 分解成 3 个矩阵的乘积:5 U# Z3 u# J6 _% T+ O0 G3 Z
(1.1) X m , n = U m , k ∗ Σ k , k ∗ V n , k T X_{m,n} = U_{m,k}*\Sigma_{k,k}*V^T_{n,k} \tag{1.1} 3 E' t6 y$ _" w* y5 T- H9 KX , @% c3 B2 N* `9 r) x9 C, Um,n 4 N% t ^8 `+ s3 b4 j " _9 ]+ j3 P b5 B( b6 @; a8 ^
=U # O& Y/ Q& ^% \) |" W* N. F1 v4 Sm,k+ ^$ O, I7 n. ^( P! i) U! `
1 h. @, d1 v. W8 d3 Y2 Q! w: E$ b* X ∗Σ : C( c; ?2 R. f3 S2 i8 i
k,k) w% {9 p% z) K; ~- j
8 g1 V( u$ Z/ Q7 q6 j1 e- U; D
∗V 1 D7 X- ^8 D1 X Zn,k + ~( G, P/ g9 Y" r2 ST % m5 x+ K( S8 C$ ?- U- S 3 n- Y5 U9 x8 n4 K
(1.1)! D* {3 x s! j9 d
1 S; C7 p# n7 ^4 c* r不妨设 t i T t^T_i t 7 n8 h, n9 B6 L2 K. E6 d
i3 Q# B' r1 s k3 i8 k( s
T 0 n/ R L5 `. j+ w9 j3 o 2 B5 v# C5 v4 C( c 为每第 i i i 个词的向量, d j d_j d & h+ t/ L# G; Z* p9 z
j 7 Y ^6 W4 {# g) w" k ' o$ y' o4 w" g7 W 为第 j j j 个文本的向量分解可看成如下的样子:$ W: {+ o, n: Y
. C1 L( t) [; w: V' B其中 σ 1 , . . . , σ l \sigma_1, ... , \sigma_l σ 4 o3 P7 t6 Z/ y k
1 % D2 W" l; P: i' c/ f9 E* i ! z% @5 @" A! z( _$ O# J7 K
,...,σ 2 }* ^" i! o7 @' p
l 2 F7 b/ [. J; t! W$ V4 V+ l* H ) S6 {' Y$ P, e( o3 O
被称作奇异值,而 μ 1 , . . . , μ l \mu_1, ... , \mu_l μ / |( U, T( @9 ?( s" S" ~" F% }
1 ; N9 ^7 } N7 y u & x# v) F4 U7 t8 L ,...,μ 2 P2 A( S& v1 ^: S; ?9 bl 0 \( j. @- Z7 n) V1 S 2 t4 O$ N& `: T) z
和 ν 1 , . . . , ν l \nu_1, ... ,\nu_l ν & x7 Q' {2 [4 k8 Z, w5 z6 h6 o1 5 i) \# M x: \, a$ D( A" r3 K% E + i" O8 B+ d6 ?, Y" g5 m- u ,...,ν 1 Y3 K5 {& V, q/ M
l 0 p4 d4 e3 U+ e& I5 E 5 D8 ~1 i& L: b; h/ \7 {! X) w4 p
则叫做左奇异向量和右奇异向量,可以看出原始矩阵中的 t i t_i t : @4 {) F" n0 B2 ]
i 5 a9 z3 G/ y) S( v* b3 L0 a) U" |! W 8 Z- h! E. j7 z. X0 U
只与 U U U 矩阵的第 i i i 行 t ^ i \hat t_i & g0 J0 f+ \! S% y+ Q5 t) ^3 jt # Y8 Z, [+ A- {2 X: Y/ t) z, g^ 5 S3 F6 p+ J b0 w- r" T. F) J4 {) y+ j& j7 ^0 [
i, I$ Z, g. G1 B# D$ F* C( S
) Z6 f8 v$ P: W
有关, d j d_j d * R- [ _5 k' n, e( z# [1 Xj9 S0 ~3 k, r& t" E% m
; B& E& i* V7 a) X: M( G
只与 V V V 矩阵的第 j j j 列 d ^ j \hat d_j 8 W) u" e. O6 }: Ld3 p" X3 {- h& V4 o9 T
^ 0 n' x. w0 F7 D. w 4 c" ^& I8 u7 ], ^. I0 X8 dj " C6 _2 k2 {8 ~. `! s# b * m# V6 W. J2 I* v* [
有关,且都由矩阵的所有奇异值所决定。 7 {$ ]/ V; x9 J- _' F1 H O, p, Q/ i4 @
我们可选取k个最大的奇异值,和它们对应的 U U U 和 V V V 中的向量相乘,则能得到一个 X X X 矩阵的k阶近似,这样就将词向量和文档向量映射到了语义空间,这也是一个从高维空间到低维空间的变换。 5 A8 H' s( M0 Y2 S, |5 q, ? . a( q6 R2 u U& d1 X. M" w/ T# w% _2.3 流程4 M G5 o; r, K; D* C& y
统计分析文档和词的集合,构建词-文档矩阵 A。 4 H% Z; ^$ B3 F: _+ A { ! I1 S3 u. n$ b y对矩阵A做奇异值分解。 0 l7 y) y3 T6 Z7 M* d1 {0 g& F) S' a+ |" z4 b
对 SVD 分解后得到的矩阵降维。 & x; \ l% r: a9 I1 w' ?" f; E+ M( e2 z x. K! }8 B& {
使用降维后的矩阵构建潜在的语义空间。 7 u7 q# K) n. B# l0 ?1 E& o, p/ f- R8 Q+ o( q/ q
3. 模型评价 7 {) _8 |7 O' R3.1 具体应用 0 n- S* c$ G- F) y比较向量 d ^ i \hat d_i : o) C- ~" d4 J, `2 b7 sd ' D% C* t2 S3 `" z5 M) T^ ! D9 R2 j1 u" Z& Q0 ~* v ~2 z: J3 x% W/ I2 R0 i: V% g8 V0 u
i ) g6 N% X) J2 t/ T2 D+ A' p' O- e ' Z m( i8 x# C; X% g 和 d ^ j \hat d_j 6 i1 ^9 c4 f& d4 l* E
d / q2 P1 b/ Q2 U. {$ p- B/ k^ ! [$ ?. H1 h0 O, ~# L5 ]/ _ L( ?5 U& U, X1 S
j , Q# t% I8 m/ c, l M) L - ?! f- o( T3 c0 | 可以判断文档 i i i 和文档 j j j 的相似度,可用于文档聚类和文档分类。1 V% J( V7 _( W) m( k6 I8 a
, D4 V* Z. J3 h/ f1 h* C
在翻译好的文档上进行训练,可以发现不同语言的相似文档,可用于跨语言检索。* }, U8 Q, O7 ~
! J0 f& Y9 I, i+ I; q
比较向量 t ^ i \hat t_i 1 m+ G' m9 @3 l5 g- ^t! [4 U u) N: a5 u3 u7 N
^ " r% _* [) p/ @9 i- Z6 f! _( m( R. k8 y6 v* d/ E/ e6 v @
i3 B0 I( K9 I5 X$ d8 t9 E& U, x5 q
; L& s! B' B: \' k1 M& p7 t0 N
与 t ^ j \hat t_j # u' E" J6 E/ P4 `2 N" U k Z
t$ Q' D* C5 z7 r! R/ N* q9 u
^ ! i6 [' S5 B8 b8 B: K6 z0 b# R( w7 q, a6 _3 b
j b4 o% ]. I9 E * X9 `8 ?7 K! Y8 |/ ~9 x 可以判断词 i i i 和词 j j j 的相似度,可用于同义词、歧义词检测。 ( y- u5 g, Z* v m# E3 `! m/ b/ j6 L$ k& \) l
通过查询映射到语义空间,可进行信息检索。给定一个查询字符串,可计算其在语义空间内和已有文档的相关性。 + Q( N( O p W0 T0 f; J对原始文档,将文档向量映射到语义空间, d ^ j = Σ k − 1 U k T d j \hat d_j = \Sigma^{-1}_k U^T_k d_j 7 q7 U5 ^6 o/ A- T: u3 E1 E- ad * r' m% A* M' O$ l+ r1 @9 y+ _^" {7 w9 }( Y/ l% a5 y
% A2 Y* P3 ~( F) ~0 Z- K
j( w6 D; \, F8 L* U1 Z
4 h4 T0 R$ j/ Q1 }( b =Σ 2 ~& w0 o. f- `/ X0 Q! V% A- g, lk # i- f9 `& X2 w3 t% j: j# {7 u. I−1 % R1 T q4 F, @3 j# F2 F 0 a) q% ^ j% E; G U 8 r5 n1 y7 G4 L/ K7 u4 v
k* {' M$ S& l- }$ S* B9 W) V
T . A/ Q- V& q5 U; J . Y7 n. H0 p! ], G% R( R; ?# _ ^
d / V8 g; b3 ~: \' V7 q9 C8 Ej. m3 k* p @9 U+ T4 ^
6 o. ^* M( \. N# \$ M
,对查询字符串,得到其对应词的向量后,根据公式 q ^ = Σ k − 1 U k T q \hat q = \Sigma^{-1}_k U^T_k q ) ~$ W' ~2 T9 K+ x% l) F. c
q# T+ V7 m* w( U3 E) h4 i7 S3 z
^ : l \+ |' E8 ], A1 ] 4 _3 Z2 ^! }% A- Y" h+ E =Σ ; v7 u# F! E5 Z( [k5 y. F* o, Q" S8 ]$ N8 i, z
−1 5 Z* F5 j' N6 I% ~6 |" m # ?0 t, ?- d; B+ o7 C$ r" g U 6 }5 w% `0 {' T p/ gk & @4 @5 \) l; K8 H9 w) I5 nT ; ^5 o4 g5 m2 {8 k. R+ K4 ?9 U/ X5 \ 2 C+ i; e0 d0 S
q 将其映射到语义空间,再与文档向量进行比较。 4 |% p( g9 y% n& Q4 @8 p ; c! I0 }$ Y, U2 T/ s从语义的角度发现词语的相关性,可用于选择题回答模型(multi choice questions answering model)7 n3 K) ]4 }# ^3 z
, d4 X1 f2 q, P' F- W9 ~; n4 f
3.2 优点 ! w. a$ ?8 I- t. M" ?8 j4 l低维语义空间可以刻画同义词,同义词会对应着相同或相似的主题。 - e9 i! d J0 r0 N' O降维可以除去部分噪声的影响,增加特征的鲁棒性。! ~6 z+ A* ?" Y$ ^ o4 K
充分利用了冗余的数据。 5 y; f* }. u2 {无监督/完全自动化。 6 }' u& R6 k5 V& b与语言无关。- i) R8 o7 Y2 j$ G5 S0 w% w
3.3 缺点 0 E" i/ `4 t) t1 V4 W新生成的矩阵难以解释。, D- T2 P: q8 y! @' B
LSA 可以处理向量空间模型无法解决的一义多词(synonymy)问题,但不能解决一词多(polysemy)问题。因为 LSA 将每一个词映射为潜在语义空间中的一个点,也就是说一个词的多个意思在空间中对于的是同一个点,并没有被区分。 % t: j2 t, W6 X. OLSA 的概率模型假设文档和词的分布是服从联合正态分布的,但从观测数据来看是服从泊松分布的。因此 LSA 算法的一个改进 PLSA 使用了多项分布,其效果要好于 LSA。 ' d- s% B$ y, dLSA 具有 Bag-of-words model 的缺点,即在一篇文档或者一个句子中忽略词语的先后顺序。' C; j! T* _) h
SVD 的计算复杂度很高,并且当有新的文档到来时,需重新训练更新模型。 ' o H4 G3 P, b7 m: T二、神经网络语言模型1 a" V4 A7 @% C0 Z3 o" i
1. 简单介绍 & U, x% P$ p. d2 ^5 v5 S8 m用神经网络来训练语言模型的思想最早由百度 IDL (深度学习研究院)的徐伟提出,NNLM(Nerual Network Language Model)是这方面的一个经典模型,具体内容可参考 Bengio 2003年发表在 JMLR上的论文。原文地址:http://jmlr.org/papers/volume3/bengio03a/bengio03a.pdf: `; u2 j: E+ O: n
7 A3 Z& C* T( ?相对于传统的语言模型,NNLM 模型使用了低维紧凑的词向量对上文进行表示,这解决了词袋模型带来的数据稀疏、语义鸿沟等问题。显然 NNLM 是一种更好的 n 元语言模型,另一方面在相似的上下文语境中,NNLM 模型可以预测出相似的目标词,而传统模型无法做到这一点。# U1 g+ `, Y! Z/ Z* g/ ^. a
/ G' _) z/ p6 d" } I) X
NNLM 模型直接通过一个神经网络结构对 n 元条件概率进行评估,其基本结构如下: - u- T$ f* R8 d$ T9 _3 m. c& ]4 A6 z, B0 m4 h7 Q) M9 M
; s+ f* n0 ?5 y+ L: J9 F# h9 f5 V3 r5 a2. 基本原理+ |* N. U' L- _+ s
NNLM 的概率函数是: " b' x) k" j1 D7 F6 W# b& F) M(2.1) f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = p ( w t ∣ w 1 t − 1 ) f(w_t,w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=p(w_t|w^{t-1}_1) \tag{2.1}; l$ \: l0 y [: i
f(w 8 g0 {, B: w9 \
t+ q- I R1 ]; a$ T
4 @6 X4 S+ K" o ,w + j: ?2 s! @% kt−1( `! X+ Y7 }3 m6 L- F: K7 f0 S- T4 D
- v& ^2 q" f# U; @
,...,w / ~$ X' p3 \/ H0 A* `t−n+2 * D: V8 V O0 L4 ?: | 1 N1 B k8 D; }+ x- ?. B
,w & O% k) n- F0 a. n% P' c4 K
t−n+19 Y: C/ Z3 G: \3 ]" K* P6 U
8 y& d# _/ |& ] M3 P5 Q3 ]( ? )=p(w 2 Y5 X# n l9 Q! e9 \t/ {% t/ z8 v" n! \* e, V/ R/ x. o
2 }; P. H' K; w# ]
∣w " N, f. l. @* _+ |
1- b5 e6 p6 f$ b0 o% C- _
t−1& n! [, a0 ^, l: {
$ Y5 x) o. _) _8 q1 G1 U4 Q )(2.1) . @4 a4 K2 H& }4 g+ S. } ; E ?6 ~& B; r+ C/ g% n+ G8 {给定一段序列时,由其前面的 n-1个词预测第 n 个词的概率。其中 w t w_t w 4 K5 C' x5 R* c7 E% w/ |4 D( T1 k' jt( x3 l& x6 U# y Y% D# p
" e$ u/ A, B ~: x. E 表示第 t 个词, w 1 t − 1 w_1^{t-1} w 7 H6 J0 v, n; T9 M! f: `
1) }/ v8 L1 v4 q. d, o S* ]
t−12 {, |* D$ c" D5 d- d
; m) m! ]6 ]% K! Z8 W 表示从第一个词到第 t 个词组成的序列,且模型满足: 1 }; j. L1 M% S8 P/ g(2.2) { f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) > 0 ∑ i = 1 V f ( w i , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = 10 H. r$ |7 k$ M# {( b" ~' j; V* c
{f(wt,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)∑Vi=1f(wi,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)=1gt;0' X; b6 U6 [7 {2 O
{f(wt,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)gt;0∑i=1Vf(wi,wt−1,...,wt−n+2,wt−n+1)=1 7 E! r0 F* t+ \) j, m8 i3 a\tag{2.2} ' j, C7 a4 W& C( p0 o{ % t/ B1 g$ K+ n( Xf(w 6 u2 |/ ]+ j9 j* l' L, \3 ?5 {6 s
t 9 S+ B# x1 L3 C: D% A) p% Q/ M + i: g$ H+ J; O! Q3 W& J
,w 4 A1 m, [+ a. ~
t−1- _% u7 U& C4 j
5 t! q: Z. C* w& Y: W
,...,w , F9 J* M# \; E! Ft−n+2 & M7 s; V7 q+ `1 | o, r; J' S) d2 B3 v& R( W
,w # J) J; } J- [1 Nt−n+1 8 t$ C4 J* k0 j/ j0 G, A ' w- \4 ?! t' N" U# h @2 G
)>0 ' ]7 Z# P7 L9 q∑ ( ~% X2 v) i+ A9 y3 C. Z0 W3 U
i=1 R- v' z, J- _* ZV0 ?0 J6 X8 F( U; k) ]
& X7 q/ N6 Y- }+ U
f(w 3 \; ^! ^ b# `8 \: qi + m$ P' [) m9 |0 d* d& t . D- R. [' u( {9 {4 u; ^+ r- e ,w ( x) x' J) u- o8 @/ |
t−1& O9 G/ Y0 w4 \# m
( h- ?- c; }( r8 B3 O ,...,w * A! ?0 t ], t& _1 A
t−n+2' V. Z# f) n5 ^& @9 S, u
' ~3 B( E- c# s+ ^0 g ,w % _$ x) l" r) X6 v- g# S5 a
t−n+1% v7 Z4 | t$ R7 p) T1 L/ p
$ J) n, y# z5 K( E8 t# U )=14 x) [! x& @$ S/ ]. `
i+ Z2 {' L7 B9 u, a2 A7 \
(2.2)' [, W: F4 `; E
/ ~. z7 k/ j4 _
其中 V 为词汇表的大小,即需要满足通过网络预测的每个词的概率都大于0,且所有词的概率之和为1* G" k- B8 f$ S
/ @ ?- u5 K, ^! Y9 j3 D9 P
3. 算法流程 / r8 {2 W# x. e输入:一系列长度为 n 的文本序列训练集,词向量的维度 M,学习率 η \eta η 4 n" M) b& U; @# b % T. O! B3 M" U2 d F; W& ~$ a% v输出:每一个词的词向量 x w x_w x " h; e) k2 p# _, @* s) n; i3 l
w) E( s8 d* C. O) S. O8 U
# Y- |# E6 l/ ` J6 c& _
5 X2 f4 h* N& f n$ x1 t. Y5 y & I2 x( H; \5 h' M# Q) Y( D第一步对训练集进行分词得到词汇表,每一个单词对应一个索引 i i i0 O: ~; u' T$ C- \+ ]# S
U% ]5 t# N4 T第二步随机初始化所有模型参数和映射矩阵 C ∈ R V ∗ N C\in R^{V*N} C∈R 6 x- F. v% l qV∗N D3 t0 T! q# |* ^, d! s
8 ~+ D% r2 q; z' w5 |2 O; Z. C7 d
6 y6 B: {1 u2 a4 H% s第三步特征映射,通过映射矩阵 C ∈ R V ∗ M C\in R^{V*M} C∈R 7 `- e6 R, k0 @0 g [1 Z+ [
V∗M 1 Q* B9 M9 c5 a! V! o2 T 将每一个词映射成一个特征向量, C ( w i ) ∈ R M C(w_i)\in R^M C(w + Y7 a+ \5 b$ E4 m+ F
i m0 _! h! X9 a& k
5 Q1 @- N6 ^& n6 P )∈R % ]# i/ X' S# c$ x8 H* _% t( VM9 Z) m( x" v" W6 a+ y
表示第 i i i 个词的词向量,然后将得到的词向量拼接成一个 ( n − 1 ) M (n-1)M (n−1)M 维的向量(这里我们定义为 h h h): ( C ( w t − n + 1 ) , . . . , C ( w t − 1 ) ) : = h (C(w_{t-n+1}),...,C(w_{t-1})):=h (C(w / Z1 d6 @" O" }
t−n+1 2 r; ^; s5 j/ w: w 1 f2 p K+ a3 z, X, T5 Q4 r- S
),...,C(w - w# _( T2 E& v7 L% a4 W5 a2 a
t−19 z+ S& c& M1 g8 N* N% Z
( b9 u5 O: o4 Y1 a" W, m1 s )):=h6 s- N" I# |% }% y& Q+ Q
0 M( G& Q' B. J2 |1 n/ @
第四步计算条件分布概率:通过一个函数 g g g 将输入的词向量序列 h h h 转化成一个概率分布 y ∈ R V y\in R^V y∈R i5 J& ?# U3 o& k+ {# t
V, ?" e6 X" o C. i
,其中第 i i i 个元素表示预测的词是第 i i i 个词的概率 % s& g( m/ }3 s% C0 `2 j(2.3) f ( w i , w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = g ( w i , h ) f(w_i,w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=g(w_i,h) \tag{2.3}2 c$ j9 Y$ R, c Q
f(w 4 Y- h$ }- ~* G' E5 S+ f3 {i& X! D3 c3 \! Z% @* J; B
/ `: ` d8 ~3 g
,w : O, C( S* [& P) R, e0 j0 S3 `( ft−1 ; I+ [. e6 f; p! g4 x& d% V 3 ?* F" }$ g; G& ~
,...,w ; V' X; K* n9 y5 v3 W& jt−n+2. J+ h( L9 _0 M! _9 o. L9 w7 e4 J
, v" }) R8 s+ P( U4 F0 r ,w / d$ j( K7 G l/ I% Q7 A
t−n+1 $ E/ {$ j( F& L - Z/ t2 A! P* |8 `( f# H
)=g(w # ~$ ~6 s, h0 ? v$ q, M. g
i [. X0 C- ~; a- C* r6 S, T ' c" a' m2 x9 Z7 f$ @& O ,h)(2.3)% ^! J3 a b+ _ W" o4 k, @2 v
9 _4 a9 U+ ]0 Y1 w1 ~第五步定义神经网络输出层输出:5 Y5 S2 I+ S& j% u; T% s
(2.4) p ( w t ∣ w t − 1 , . . . , w t − n + 2 , w t − n + 1 ) = e x p ( y w t ) ∑ i V e x p ( y w i ) p(w_t|w_{t-1},...,w_{t-n+2},w_{t-n+1})=\frac{exp(y_{w_t})}{\sum^V_iexp(y_{w_i})} \tag{2.4} & G+ j2 S! ?2 T }7 Hp(w 0 _- u5 {% S/ T2 B! [% ^0 q
t5 X! E2 n8 I, D& y# ^
* W( }# z, b5 [; ? ∣w ( Q2 ]$ g, a; [& o$ F' I% s+ q
t−1 4 B) z+ d' X# G5 O3 q6 e1 } ) m ?& J' P: K" M7 y& q
,...,w 0 B: Q# D, [% g/ @' t
t−n+2' P) }9 r6 b0 B& y
! q% H2 c- f @8 Y ,w 0 ?* g2 Y: _0 }1 W$ {% \1 F
t−n+1$ b1 E8 R( q) a' m
4 E% M( |, c2 p! {# J0 X: j# B! F )= ! `2 b8 Y+ Q" n/ g/ v. Q- P∑ % r0 x+ x% [8 b6 Y7 K3 r( ai2 g& o( G9 P. z' u
V* o6 l# A4 A! w& x
% [2 L1 p6 B9 ^0 S j1 o exp(y 6 O3 u0 J% ]( I/ g& e1 o" D9 g7 k
w - n4 n9 q4 d. ci ! \- C% `2 b* {9 T1 {# e 0 J7 f0 Z. J4 `$ W* E$ B6 O
4 \7 C& N3 b4 p# z
7 N8 C( x0 ?" }9 r: c
) + L" E) N- D/ l/ Wexp(y 7 I. ~1 Y, K& w, A h& }- nw - K, `, |( v' t% D% w
t. y" T8 |# }: N. o4 ~
9 Z) @- ?/ F. l- V! L/ b2 H- Z) A
0 X2 `5 J3 o/ p" I/ c. _, O' S
)% _' [% `% R3 @" G* J, j
2 ]7 F1 @' N6 l2 V (2.4) $ a( G$ \- g, Z8 G9 R5 `2 T! L% p, a& n. J+ {9 C' J$ b* i6 N
其中 y = b + W + U t a n h ( d + H x ) y=b+W+Utanh(d+Hx) y=b+W+Utanh(d+Hx),模型的参数 θ = ( b , d , W , U , H , C ) , x = h \theta=(b,d,W,U,H,C),x=h θ=(b,d,W,U,H,C),x=h 是神经网络的输入。 W ∈ R V ∗ ( n − 1 ) M , H ∈ R Q ∗ ( n − 1 ) M , U ∈ R V ∗ Q W\in R^{V*(n-1)M},H\in R^{Q*(n-1)M},U\in R^{V*Q} W∈R 6 i' v7 m( l. P$ {, A- CV∗(n−1)M 5 k g& c+ N. C6 D; Q, w( ^$ L ,H∈R 4 D+ K+ I# @) A7 \8 \( s' _5 H
Q∗(n−1)M / w% _) K: ~' c ,U∈R $ T1 \9 {/ Z/ W- x% D9 Q% p
V∗Q2 Y& k. y9 d" l
,其中 W W W 是可选参数, H H H 是输入层到隐藏层的权重矩阵, U U U 是隐藏层到输出层的权重矩阵, d , b d,b d,b 是偏置。 ( t; k/ f) p& e( i6 |$ v ; N' o- S7 L$ V, L( Q- y, Z2 v" Y3 V, v第六步定义似然函数并更新参数:2 k+ z! P) l6 Y5 `- c
(2.5) L = 1 T ∑ t l o g f ( w t , w t − 1 , . . . , w t − n + 1 ; θ ) + R ( θ ) L=\frac 1T\sum_tlogf(w_t,w_{t-1},...,w_{t-n+1};\theta)+R(\theta) \tag{2.5}0 @! i- E/ K1 K F( D, p
L= & _( \. a4 h3 A- k3 Y r) ]" M8 PT ( z/ i1 R& d# m4 x1 8 [4 i; _9 j( f ' S2 [' R% v& k7 C% q' B5 H& N$ Y' e, m2 C
t & W% j: e# G; ]' E: I% x" s+ C9 m∑; H- f% V {" k" m6 p+ ]
# C/ y& A, o: E3 r: o; B logf(w " }" j, |) P4 B% S) Tt4 Z+ ?. w+ G0 M: J8 I
4 s0 Y- \ h% F3 E
,w ' \; L* M5 f3 St−1& C6 B" F; V( j1 k Z7 U. s
3 N+ c4 N9 A5 B ,...,w D5 [2 S: Q t: m2 Xt−n+1. y K$ ~( R1 j9 g% Q/ D! R
' w- K, I. l+ G. }9 U: @7 W
;θ)+R(θ)(2.5)4 Q6 B# P% C/ P/ r7 E9 \
6 V7 `, {" ~$ ?
(2.6) θ ← θ + η ∂ l o g p ( w t ∣ w t − 1 , . . . , w t − n + 1 ) ∂ θ \theta \leftarrow\theta + \eta\frac{\partial logp(w_t|w_{t-1},...,w_{t-n+1})}{\partial \theta} \tag{2.6}$ _% W# w0 L# R4 O- I0 Q& \% Z* w+ S
θ←θ+η % j2 p* [+ h* m" @
∂θ2 W) C2 ^5 ^/ v+ U* Z; U
∂logp(w + ~" X6 j. ?6 b2 Wt$ S2 x; A m. \5 Y+ W1 w7 D
& ? @8 Z! w* z" v7 l ∣w 1 P9 h/ {0 L9 G h- q7 y
t−1 ' V/ `3 Y* T& N* @1 g% n! d* k4 @ . g- {1 I3 n% N# e ,...,w # V+ S+ l/ Q8 M, Kt−n+15 i8 B1 s% [! P3 B2 w1 A
9 h& ^+ _& \+ V) J4 z0 f0 I& D ) : _+ K( e* Y/ C* Q& |" p; M' x ! r8 ~! L' x0 ~8 { f (2.6)* F& V; E2 c4 ^* a
* ]0 k, ~% b3 z
其中 R ( θ ) R(\theta) R(θ) 是正则项 ; f: \5 X7 A, s' y ( p: L. o) e2 E三、词向量模型 Word2Vec% @7 o; z! G& H) P
1. 简单介绍 ' @0 y3 u: |3 r2 y2 k# Wword2vec 模型其实就是一个简单的神经网络,输入层是One-Hot Vector,中间隐藏层没有激活函数,输出层维度和输入层维度一样,用 softmax 回归。这个模型的产物是隐藏层训练好的参数,对应着每一个词的词向量表示。它本质上是一种单词聚类的方法,是实现单词语义推测、句子情感分析等目的一种手段。但是它的 context 窗口很小,没有使用全局的 cooccur,所以实际上对 cooccur 的利用很少。! k. C% j/ J3 Y8 h
1 _/ W f. P S- V
模型根据输入和输出的定义可分为 CBOW(Continuous Bag-of-Words)与 Skip-Gram 两种模型。CBOW 的输入是某个词的上下文词的词向量,输出是该词的词向量。Skip-Gram 则是与 CBOW 相反,输入是一个词的词向量,输出是该词对应的上下文词的词向量。CBOW 在只适合在少量数据集中训练,而 Skip-Gram 在大型的语料集中表现更好。$ b' Q, a1 C" l: d
$ o" r9 D# Y7 T& i# v! E
) H% i8 z3 _" h2. CBOW 模型 ) D/ n8 o* [6 d* a( X2 d6 P2 Q7 H- X( C, U+ _, q7 D
% ?) T9 x6 L6 a. S% b4 _
输入层是由上下文的词的 One-hot 编码 { x 1 , . . . , x C } \{x_1, ... , x_C\} {x # Z- Z3 v; t2 K0 b% V8 Z1$ E9 z" K6 c7 |' a8 Y: K. m
! Q6 F; ^( U- E1 L% y
,...,x % Q& F! |4 I9 X- uC 8 _& s1 S+ ?7 z, r2 A5 g 4 J o0 Z! S6 _2 c' ?# E8 B } 组成,其中窗口大小为C,词汇表大小为V,隐藏层是N维的向量,输出是 One-hot 编码的输出单词 y y y,输入的 One-hot 向量通过一个 V × N 维的权重矩阵 W W W 连接到隐藏层,再通过一个 N × V 的矩阵 W T W^T W 6 U2 k2 p' y; i$ [
T: G$ ~6 H6 K# N0 J, l% W
连接到输出层。3 P7 V" ~2 I) N) E j$ r
1 H9 k H+ M- J6 B+ Q
2.1 总体算法流程 0 ]- v9 Y* G8 T7 m: S$ k$ f输入:语料训练样本,词向量的维度大小 N N N,CBOW 的上下文窗口大小 C C C ,步长 η \eta η 6 v& _5 r+ j6 K+ Y7 _9 ]7 W0 V3 C9 c6 ^7 W9 v# w6 |
输出:所有词的输入词向量 v v v 和输出词向量 v ′ v' v " l0 ~& W- i& A
′ % ]- H* Q# }( u+ I ,即权重矩阵 W W W 和 W ′ W' W " H4 r4 d4 h5 ?' y M5 d3 ]
′; u) k3 K0 _. L" h9 j- B
4 a& z$ ~! }$ _" d/ ~( z- p5 l% @: g2 _: |: p/ H6 K
第一步随机初始化模型参数 W W W 和 W ′ W' W " J$ B* X8 ~ {) Y- j" P
′4 M3 R2 k1 c% A- }5 d; ^3 R
. F( P% e: B/ e4 c, B5 w ( R l- `1 ~% O1 I# y/ j( h# v* @6 U第二步计算隐藏层 h h h 的输出:6 m" u! j/ |; h9 i& |4 a/ @
(3.2.1) h = 1 C W T ⋅ ( ∑ i = 1 C x i ) = 1 C ( v w 1 + v w 2 + . . . + v w C ) T h = \frac 1C W^T⋅(\sum^C_{i=1}x_i)=\frac 1C(v_{w_1}+v_{w_2}+...+v_{w_C})^T \tag{3.2.1} 8 o4 X1 S) S3 b- B# \h= 0 c, s& _; o# G' g/ |C, G. t) [) ]; W) [
11 l) f9 ~' j) |. T& E
- t& ?) c; e1 j0 l: ] W : \- n. Z4 R+ v
T : ^" n6 }9 A7 E7 J ⋅( " w L- E' H: D0 n: Z1 {
i=1 : }* m- S/ l/ X* h# `- k* a" W- ~5 A∑& q# Q7 o# R8 }- V# p
C l: I! l. c' M0 S- V# |
) o' u' u3 }; p5 C2 n2 S L x 3 E& t0 m6 [7 p: i" x1 Hi1 b" _) O0 s2 M$ @# @. k) j1 w
/ N \8 [8 j5 P+ |3 |* j# j3 {
)= 5 p% {/ }1 Z8 e- ]) cC 1 z- K- q( c4 c# q p6 h4 L1 # q: @2 r2 i+ B4 U$ T6 O, x ( e/ b) l9 S7 `: Q8 N6 f
(v 9 |7 M; d+ e7 Q, _2 J. ]4 ]w " B; J- A" p1 I% c+ T
11 r a/ i$ c" y( U
6 U& _+ A2 @& `' J0 w2 [) u; {# g6 Y+ B2 d
$ k, g8 n, ^6 _9 T. g# R
+v $ U/ p V3 \ ~( ~& H
w : d6 Y( I, O+ l) Y% X! c- H% C2 # }% ]7 `9 Z/ G ?7 }2 v * }. v! J0 @8 Y* E q
* b! B( n; V. G( ^
& x- x. h/ P1 p4 a/ f: F6 B +...+v & Z0 l$ S( ]9 }2 a5 I6 C
w 3 u+ U8 ^1 t# S3 w. f$ }( k
C / D! W2 z7 }% L" i 7 m( R+ z4 Y3 ^, R9 B
/ p* f; T% l, o6 W' e . P1 |3 }# ~1 U; |, ^. ^& G
) ( _7 @; D% t1 e
T+ q+ K, [: h, V* F% q9 P. w/ V
(3.2.1) + Y$ J5 M7 A8 C6 M . ?( c6 @$ P: [- u2 D第三步计算输出层的输入: ; ?+ h( A' `! c, j9 e" A ( Q) P% Y0 f+ F& P# o1 o4 x- L(3.2.2) u = h ⋅ W ′ u=h\cdot W' \tag{3.2.2}9 h( |$ ?( x( h
u=h⋅W 6 j# w2 U; r, P$ m. [" n3 n6 R5 e′ * ]) G; O( ]9 k& D (3.2.2) M( ^8 T- I; T+ e! n% w' g# X7 o' i& y) f0 P3 f* U1 j# T
第四步计算输出层的输出: 9 i' X2 r/ }! \1 Z2 n, h(3.2.3) y c , j = p ( w y , j ∣ w 1 , . . . , w c ) = e x p ( u j ) ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) y_{c,j} = p(w_{y,j}|w_1,...,w_c) = \frac {exp(u_j)}{\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'})} \tag{3.2.3} " p1 P; n" q4 `- v: py 1 z+ h# Z$ Y5 r$ X2 M+ L) R7 [8 `c,j & p( ~( ^4 q( ~8 ^# A ' t- R" `6 X! y6 C; R7 _
=p(w 5 m3 r4 M9 C/ G) W/ Q6 zy,j 5 q" T& o2 n: @ 5 j" G0 o; g# m7 ^- J
∣w 1 C: [4 `; d) q$ R0 S1 6 d. X. _0 w8 |* i7 w + }( \( s0 N& A- N- T2 F3 `$ C ,...,w & }6 b' U4 r4 Q' E: xc; V) t6 z/ h* s# A% F3 R' O
& i: N8 Z& I1 D- u( F9 ]0 L. Z
)= 5 u( a( f! m6 M5 d# q+ a5 d4 v8 Y∑ % f+ W0 |1 W' [+ e2 G7 \5 v
j / h# {& \8 z B# ?6 K; I' m6 S) [′ 2 T. v/ v+ S( P3 }' V4 S: Z =1 $ m+ t$ }9 `* t9 r; ZV( R" g9 B) C9 m# R6 [- s. q9 o
; ?% v; `8 s& K exp(u / D+ s- s$ p3 y0 \# j; r+ |
j - L1 X) K2 \6 `8 t1 i6 g% s′ 8 f0 h; N6 D( s1 I+ b- ~2 [- U! H0 R3 X* R7 ~# }2 X
7 v1 l7 Z4 L8 x' q
)' Z5 l! I+ t! X6 e3 O L
exp(u - [& x2 k" E0 Lj: Z3 \0 v0 I$ A% M5 s6 ~* L' l
# l E; s/ @ `1 v' c0 O )/ ]3 Z- B. s& g9 l& h: W
, L- y {, k! q1 t
(3.2.3), U& ?2 V5 ]% ^# R& k8 v# `
. Z3 G0 p- E ~! I s4 R
其中 u j u_j u % Y8 t S1 e+ L* Gj ! q+ l5 z2 Q& |( l1 A0 N2 [ * Q' t$ f4 {) G: V- Z 是输出 u u u 的第 j j j 个数,即对应的第 j j j 个词的概率。 7 Y2 v- `+ H h! t 4 w4 b9 j, o& g: H: ~第五步定义损失函数,即为给定上下文的输出单词的条件概率,取对数形式:7 g& l0 ^. W9 n& e6 d, t& o$ }! G c
(3.2.4) L o s s = − l o g p ( w O ∣ w I ) = − u j o + l o g ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) Loss = -logp(w_O|w_I) = -u_{j_o} + log\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'}) \tag{3.2.4} ! K7 M6 n$ ?: ]) `Loss=−logp(w 2 J# \& B& T" Q1 G7 v" Y1 w2 e. a
O7 g6 p" P0 B8 J$ P! L) f- x( Q8 I
2 I6 y Y* U, p( W$ L8 C
∣w 4 a0 c$ F5 k3 W! M7 B YI / r# ?( H# x8 c4 _1 }4 f 2 b- {/ \" l3 B! m6 Q )=−u + T7 Q+ V2 j! ?6 J7 ^j 4 @, U# |; ~! l) L" }2 e
o ; C2 ~4 {# V, ^- d2 I ) }1 O, |2 C7 r' m3 p$ A. `5 N( J
; u& a4 W {/ p/ J! T" Y! B 5 p9 c2 X7 c j& B; U- d- m h+ w
+log 5 ?% }: i5 f$ q
j - p" O+ A( J$ g9 M5 x8 A# `- u0 D
′ 2 O! X) i# b1 l" Z$ k =18 I6 p- H3 Q, }: U
∑ ( C: B+ n( B. a/ i2 WV % p: x7 G0 i5 K & p( Z& q" n3 u7 u$ m exp(u 4 F8 ~' s' l7 W, } r( ]& I2 B# u
j 4 J6 S2 a' i+ s; V! R# m′* z& P, ^7 }2 T i6 }& x
2 H6 K) v) x$ ?4 i
! b9 q) T( W& v2 ]: b* |- ] )(3.2.4) 9 Z& t, a. K: B" o! s% b" @" C P- B6 y7 U: O) N# N" Y; R+ O其中 j o j_o j e. d2 Q! \8 k' h to; p% h( T" ?# y, m( `# u& U( |
0 `9 Z- L) M! S( G* S# T
是真实输出的词的索引值,我们的目标是最小化 L o s s Loss Loss 。 * O7 `! e* l ? & l2 ]( R8 l+ y第六步对上述 L o s s Loss Loss 求偏导并更新输出层权重矩阵 $W’ 与隐藏层权重矩阵 $ W W W 直到梯度收敛:5 b+ x) ]6 m/ K2 ]; g; {* r
(3.2.5) ∂ l o s s ∂ u j = y c , j − t j : = e j \frac {\partial loss}{\partial u_j}=y_{c,j} - t_j:=e_j \tag{3.2.5}# S5 p: A8 C0 d2 O- e& h$ t# T
∂u ' L! ]8 P( ~! Kj; B2 Q+ E/ {- B# x
9 F1 ]4 J1 I: a ?' G0 m6 f' c. U/ {; A. B& n) h
∂loss % c3 T- \# R1 c4 C L3 z) n 4 O5 M7 y* m, @! K2 a0 r& c
=y 8 M# q% g3 h2 _
c,j & d% Z5 A7 U* v0 h! n* k ; z9 A P' G# F* {9 [2 O+ s' Y −t & c6 I% | B! E+ i; s
j# A ?9 ^9 M/ j& x/ y+ ~, H
. f4 o5 A/ E6 A- @0 j6 Z4 O! Q :=e 4 s) p" ?7 E: H' s
j! `3 i8 }5 l/ T8 |% @
" Z: C7 q3 L9 E- e+ s: g: R (3.2.5) 1 A4 e; n0 Q5 R1 e/ B, j: ?2 J ! k$ I, K2 x* H9 O其中 t j t_j t 6 q9 y4 q5 a2 c! M) ~j $ y4 @" U4 G) |6 A! s, p; r( x ! v, d6 }+ K9 i' v* p9 Z
当 j = j o j=j_o j=j 0 P, M$ R7 G& i7 p0 J+ H5 l( X1 ao % i R6 u: Z# y) a : C; Q" }0 X; C# h4 ]+ W* @. G
时等于1,其他情况为0 。然后可求出输出层权重的梯度:; d9 G) a- \* u) R! m6 \# x
(3.2.6) ∂ l o s s ∂ W i j ′ = ∂ l o s s ∂ u j ⋅ ∂ u j ∂ W i j ′ = e j ⋅ h i \frac {\partial loss}{\partial W'_{ij}}=\frac {\partial loss}{\partial u_j}\cdot\frac {\partial u_j}{\partial W'_{ij}}=e_j\cdot h_i \tag{3.2.6} ' p+ p0 F2 k+ U8 g- u1 ^( y∂W & o3 h% A0 G& d0 p( r! T ^ij- y. G3 [3 a6 C; q, N2 W+ z' R
′ ( g$ a {* ?' Y2 g: B% _2 N% l& k - K4 T/ R9 k8 a( y+ w- ^* k7 v
: a' B3 m/ l* A3 h8 V _, r4 H0 m∂loss9 x6 B; x1 [4 `9 L4 M5 ~; S% H
% b2 v- |$ w' k$ _ = * b: U# G) p( x' h, d∂u / y5 Y% w( ^4 pj 6 R2 J0 n# j# c8 M' C' w ( N. h. u' m1 B$ q0 H
: \: J7 a# ~* l8 [8 G3 l; C
∂loss ( C. A1 Y+ v* J4 R5 Q) O' j( C2 U6 A s0 M B1 v$ u: w% f0 b Z% ^
⋅ 9 Z, f$ H8 X' x% W7 s
∂W . {7 o0 F+ y: S2 h* f
ij: s0 ]2 L" t$ t1 d
′& K$ i1 _$ Q2 x# t2 \" ]
7 M. v% L0 `8 X
3 ~$ n* p( A( M9 z4 ~5 Q( m
∂u / Y; P' D9 ?! ~6 ~3 i+ w
j + q. ^& J. L1 b: m. X" H 3 n! x2 n4 }4 L3 J1 Q: q # A/ w1 B; E2 V! `' {* K 1 e8 f& I' v m2 m( h/ p =e ) Q- _" L& G0 ~7 r. `, {6 N! P9 Rj * c4 g) V! n6 \0 _6 N7 }4 K * L6 t' b1 w) I" v
⋅h 4 b; w# ]) ? a" x' Xi 8 S; r: S$ H r- O, z ! h/ t! h4 Q% w+ @
(3.2.6)' [8 S% T# A7 x6 ]' C- g
/ c! l# O5 w$ Z$ v# M r则输出层权重更新规则如下: - M- T! _4 u* Z; I(3.2.7) W i j ′ ( n e w ) = W i j ′ ( o l d ) − η ⋅ e j ⋅ h i W'^{(new)}_{ij}=W'^{(old)}_{ij}-\eta\cdot e_j\cdot h_i \tag{3.2.7}" a, |, S/ m+ K
W 2 O* a, O% y) n& E7 Q; @8 ?& _
ij) u" m7 p9 E. l' p9 ?
′(new) ) k4 n: u- g. G/ S( t' X $ `6 r( o* s8 {5 }9 ] =W % ]/ ^& a+ T& d# t, U* |, {
ij2 d8 k: G. m5 q1 v+ y
′(old) & ^" t F$ f% M% ?( O * C/ M9 U) u8 z9 J4 u- K% x −η⋅e 0 r; S' v& w* aj ! _8 P6 E0 v0 h4 t4 [. Z4 i4 c : g h5 x6 A$ u( Y' F2 H( ^/ v ⋅h 5 g$ v$ z6 X1 ?5 G- di $ n' ~% S6 S+ a- [ u$ A K; @% |1 c0 E (3.2.7) 6 y- y3 N1 V+ }6 C* q: t# C* d' I+ @5 H( W2 G9 K D
或者: : v3 r/ J. F R2 s7 V7 f(3.2.8) v w j ′ ( n e w ) = v w j ′ ( o l d ) − η ⋅ e j ⋅ h f o r j = 1 , 2 , . . . , V v'^{(new)}_{w_j}=v'^{(old)}_{w_j}-\eta\cdot e_j\cdot h\qquad for\ j=1,2,...,V \tag{3.2.8} 5 p4 [9 g: A' |. C$ X2 p! pv 3 r( w. ^0 X" \* e( I jw 6 Z/ m8 @$ U; I2 `2 J& Y L
j: `2 R3 A& L1 y- g: @, g' N4 Y
( n! z4 |4 u: ?: y0 T
4 _3 Y" h1 ?$ C2 v% L; Z: w7 J: K* {1 L
′(new)8 d( r8 k' y: s8 X
+ g7 Z F' I3 O6 P =v : U* y; U( k }9 j
w * ^0 o& `/ }$ e& _
j 0 c" T6 ` m; B* F" r , C [ W; W% q% `3 L( S
. m( E. ]/ b0 C8 ]+ ~: W- x
′(old) l. ?7 X& b( ^ % V; K9 G$ l4 ]0 R+ S4 o/ d
−η⋅e & B7 h- ~% g2 M& u3 l, ~" R0 B- Fj$ I" j' t% x+ r) x' n2 P
8 }0 ?# D6 L4 k! g
⋅hfor j=1,2,...,V(3.2.8)& O" C2 F! Q. ^) B
; A: v, y' s4 w& D" p) m; V* C
学习率 η > 0 , e j = y c , j − t j , h j \eta>0,e_j=y_{c,j}-t_j,h_j η>0,e 5 u5 g' D3 w* ?# N: q& I1 ~/ J9 [j 3 A6 N$ v" z4 ^* c3 A7 d c' h6 N + Y0 ]% q3 M% \' Z4 l3 J
=y , Y- \/ J( s2 P* X7 Tc,j . G3 n* k9 T7 O- d9 m/ C/ ~* E) x # I! V" @- B# _$ t0 D9 {+ ~
−t 4 C% Y* f6 N0 M+ j# Q" D) h7 Y
j 4 w$ p, @8 |' W$ q) | | Y/ Q9 `" C. r& K2 Y1 E ,h % w; y% D6 \# j
j D L# x8 U1 w5 |, E. C
+ L1 {" d" g. ^( }9 s$ d3 @
是隐藏层的第 j j j 个单元, v w j T v^T_{w_j} v 0 p3 r0 |+ W$ X* Q; d
w " r+ {$ m9 ^+ X' h3 @j / e/ z" P7 X4 \. z $ @' ^( y6 E- h; c4 _' k" [
6 k( ~+ R$ ^) j& Y2 y
T 0 D5 j3 M8 o# v' k. h; ^ ) |- M6 s3 \. T9 @1 J; Z; P! M7 S3 a
是单词 w j w_j w 6 ~4 _/ e# k6 E! Z
j) D; N- h, F4 u: z# e7 c6 }- f
0 s9 G3 a @3 P5 L: E; }4 ~' q
的输出向量 ' f2 q$ L' X8 T' M, g, D& R! J/ G
同理 W W W 的梯度: 4 ^* { T3 a X$ r f(3.2.9) ∂ l o s s ∂ h i = ∑ j = 1 V ∂ l o s s ∂ u j ⋅ ∂ u j ∂ h i = ∑ j = 1 V e j ⋅ W i j ′ : = E H i \frac {\partial loss}{\partial h_i}=\sum^V_{j=1}\frac {\partial loss}{\partial u_j}\cdot\frac {\partial u_j}{\partial h_i}=\sum^V_{j=1}e_j\cdot W'_{ij}:=EH_i \tag{3.2.9} 3 E# K! x& }; U5 A4 ?: S. t∂h * v& ~8 b, j5 R3 P
i2 | y4 A' Q: l/ m7 s- |9 G' ~3 q8 p
6 o/ O' y- q. G* u, t/ D ( }! H1 ~6 J d$ `- y2 S+ X C∂loss - Q; @! x" }4 u! m- g7 \7 P! H x; z9 z) [. T4 @+ e = 5 S% u; a0 q* A& V4 [) [j=1+ |: I0 Y" G0 z6 s' s1 W
∑( M& b) F6 j: L, ^! e' `& q
V5 y2 {3 P ^! X6 O: K2 B+ [8 y( \- u( H
7 q% i3 ~4 ?: I: h. @. u ! ?0 j" E4 n( R# h) g# S1 Q∂u ! ~* {! x# w( y; ?1 N1 {
j 7 t4 ?' P; b2 b) f; s' n5 j. H 1 D1 M* ?) ^# z# ?% U3 w; r
O* R2 a6 ^% Q
∂loss 5 V: L( ?8 p( y+ O ! o8 P& \5 ~4 a+ [% j" |
⋅ ' |# Z& u/ _* v, k
∂h $ s$ Z* X$ \1 G7 e1 i* n( D
i 4 R0 \& M2 C) O6 [5 R & t0 t* j$ W2 n, z8 z
0 c% a# g+ A; R∂u - x' T* }4 z+ ]8 Kj $ ]" G# O/ u; ~/ L 3 V" @6 ~7 r- w$ ~7 G% ~ 6 W4 n& V" K) C, h. j 6 K8 \/ a% Z" D) z
= & l2 F+ c+ j4 y9 d: Y
j=10 Y$ x. z: Q2 n3 G% p5 j
∑9 |) d- p Q& Z7 N) B
V ) h& h8 o x0 y& `0 X8 \- C/ F6 v . y. n9 E' V6 c* ?" ?" S2 N* L1 i
e % G) D5 y. G6 i7 x7 g" r1 z
j( V% Y" i& D) W$ R" B& {
8 l: y4 o% E1 l+ r ⋅W # q8 p9 e: A' \/ _+ d: {ij ) k# B2 m- U* w5 D( J: ^% r# j′ ( ?- H" T4 p+ x/ F- [" c+ V5 X * p3 a# @; N- ?
:=EH % g1 O1 u$ c1 P/ bi 0 X) j* F4 ?( n; {1 W$ T & ?. r1 i+ {+ U$ S/ q
(3.2.9) 1 [% t2 R! ^0 r " m- J, {; g. n! C% }8 T" b7 Z又因为 1 E' R2 f5 b' ](3.2.10) h i = 1 C ∑ c = 1 C v w c i = 1 C ∑ c = 1 C ∑ k = 1 V x w c k ⋅ W k i h_i = \frac 1C\sum^C_{c=1}v_{w_c}^i=\frac 1C\sum^C_{c=1}\sum^V_{k=1}x_{w_c}^k\cdot W_{ki} \tag{3.2.10}7 s: ] }; Y. f
h ( |9 T* P4 w+ A4 ?2 t( r( @+ I7 Vi " n% E! x2 {( ]) B) l% t 6 L/ j' h: t7 f+ J5 f = / P. b& D. X. j# |2 l& x- r. AC . E: Q- j) r- ]7 D" m1 2 E: S4 A6 Z5 U, u: K # _4 y' u3 {# y2 _7 w! f
% W5 w7 T4 Q8 U+ d) _c=1# W$ [% z" K- Y! l7 f3 b* U) z# L
∑ 3 }! v+ N R1 U, x( y' }7 c2 bC $ s& _8 B; K: E3 q. u 7 Z9 `6 b4 T, X$ X v " R& F, k' _! B% u6 D M
w + G$ o* ~9 E& K# u3 `
c 8 h2 f, p- X Q7 K( N$ A 1 h0 j* |8 F% r3 \5 e 1 m1 M' v& e6 `7 Q" ~ p% M- Q6 b4 r qi7 A+ h% }6 F3 \& P7 Z; b& V' k/ Q
; Q3 ]- O# v+ o
= ) ? Q1 m3 u" O9 Q
C& m8 L% M, c( d# L
1' ^, J& [% K/ K! O; F
- A n2 n- }- M& t# G) s
8 N" R5 F+ w: ^2 {7 M+ h$ `$ hc=1. W! _# j+ }* }5 R4 g/ }8 m! G0 _& Z
∑ ; m9 |4 J$ l' I& L8 f- D" ?C , I' N0 L- V5 d6 O + t! n& [) ~; T( r) @. G
o3 c J- o$ q9 u
k=1 8 s* R$ ^* O% h% f# W$ X- w# _( S∑ + p1 W! R( R% l9 d. @! L* ?V ; F% \/ H' E) F O i & J6 `3 J8 `3 ~) T& b. M x \* {3 ~ z& Y" S* ow # k* F' c3 r/ i/ Lc8 p6 T6 x9 s4 o; v
' Y* Z" ?& w2 f1 V7 S : y. l- ^) B, I, wk / {4 X5 [6 q+ B5 E ? 5 T' l H8 o* s3 G. T% b" [5 w9 w0 c
⋅W ' g, S$ h2 [" C
ki ( H5 V O% O# Z; U& [, I + R8 b1 C1 M# \4 I5 L- n
(3.2.10) 7 }* X' z8 T1 V$ \5 a: P6 p$ D9 S6 \- I
(3.2.11) ∂ l o s s ∂ W k i = ∂ l o s s ∂ h i ∂ h i ∂ W k i = E H i ⋅ 1 C ∑ c = 1 C x w c k \frac {\partial loss}{\partial W_{ki}}=\frac {\partial loss}{\partial h_i}\frac {\partial h_i}{\partial W_{ki}}=EH_i\cdot \frac 1C\sum^C_{c=1}x^k_{w_c} \tag{3.2.11}, C/ [9 s- L2 @- D; D9 s- R' R9 @6 ]
∂W " [ y) U8 d# b- [' {) {2 h8 n8 D2 O
ki9 o* d' x3 u' e" ]4 E E
( ^) c1 P' J ~$ g; \0 Y - n3 \# O- w! n∂loss " i0 I1 S6 V, B. W0 U |6 I ! o+ n# m4 s3 y = : K2 x# {# d! f3 o* s9 p& w: b∂h 4 e& M3 I0 A2 |1 E/ Y F
i # S' l; I, U5 i* s. {0 h ' H; m4 R5 k: g 7 A$ H# z) W3 @# N$ R( d∂loss 0 C7 z: i( Y- q& V4 h+ W3 J 8 e+ ^ v$ m0 ]0 U, `- b$ E7 ]' o0 F2 I% e* [2 y; y3 E+ [
∂W 2 I1 @- e2 _3 P; L/ m4 E7 `0 dki ! i; D, F9 h [8 I1 P 9 Z9 }# y; [9 N- y. b& ^& ~/ b. x # M, j2 G( T! `4 V0 F∂h # l. F. l2 J9 V+ ]! F9 ci 6 [* H- m: a& R. }2 J' @! j, C - L, g# A. O$ H5 b. b$ c" u. O2 V! m
" W! d2 |1 ]$ @$ p6 O# C
=EH ! ~7 ?; w3 F7 i& v; ei - E6 ]* v2 F9 l9 w8 R9 C/ s& Y - h3 F* `& q* x) o1 M ⋅ 6 @7 e( K- p' C. ~" m" _6 g
C( ]9 Z1 H* h( y; @" d' U* W$ r
1+ f; G' G$ r" y O6 {
9 X, S& n% G" N7 X' P3 C# |' s: ?! P9 h' v+ b
c=1 % m( r% i. Q O$ p∑ ! |" M. d! ?% c1 X6 s5 F. c: kC0 F2 u7 y! q% t# l
, y4 K* m9 b* @ \ x + z. q/ x; u# O# O) }w ; L, {* S; ~, W4 T: S6 y7 K2 \
c8 c0 p* r5 }4 V9 h1 B) M
3 |! W9 A; _4 k
' I" t( J; B9 T8 ~k( y8 G# c5 J1 L+ O1 ^
! b, x- `# [4 H: H/ N+ a$ D
(3.2.11) R7 g: d6 b a! o9 _: \
. _& a: V/ m! O( _0 a& T5 \
其中 x w c k x^k_{w_c} x " V5 [% V0 Y7 R; Uw ' \3 J) Z2 k# K! B+ R* T8 L
c! ^ [9 K4 g6 f
; ]# O* }# |; ]6 a6 H5 [( [+ x! |2 G( P
k # N& H: g1 U7 M: u) N ( M* K8 R6 ], G8 y$ _6 U
指的是第c个单词的One-hot向量的第 k k k 个元素的值,所以2 x* H3 e) d1 s/ o
(3.2.12) ∂ l o s s ∂ W = ∂ l o s s ∂ h ⋅ ∂ h ∂ W = 1 C x w c ⋅ E H T \frac {\partial loss}{\partial W}=\frac {\partial loss}{\partial h}\cdot\frac {\partial h}{\partial W}=\frac 1Cx_{w_c}\cdot EH^T \tag{3.2.12} : |) M7 Q5 w9 K" @5 n* B) @∂W 4 Q& `+ B* Q( H3 g9 g- | {& t2 c8 D∂loss+ ]* g4 E' q% U. z' J( k
. I9 ]7 h0 J3 u/ M
= 8 u, {8 H: e) M, V6 k3 s
∂h ( l) z3 V- o) n+ X, ^+ H3 O∂loss ! M: I, @" I; n8 G! b0 Z7 @ % d2 u' a9 K. l; q4 `' C ⋅ 5 D7 y5 B" y1 x, B4 T9 h∂W 1 _: Y/ O" e/ g$ b. ^" E, \. \∂h 8 G. e* l3 `2 `2 [ d8 K7 g5 d# a9 a4 b
= & d( \% j- x, `5 @
C & P. L' R" T- c7 M1 0 I& i- B4 K2 ?- }1 W! t ! ]8 y' L# t! e5 C
x 0 E7 x n. B$ q7 M, hw : X0 [ N/ P6 P. r+ Y# S) @
c / L' k) i! B. G3 A! n6 n 7 }) `0 F! f1 X4 d) [# a% R
1 N W$ ^0 M9 l' c: k
9 y6 E' j, O6 U5 N- { q
⋅EH # e/ H& [2 j1 K5 n5 y2 r, r
T6 w' J$ z' S# D, _) C( j2 k Y
(3.2.12) / i2 a, `' S& J( q+ b1 s+ f+ A# z. p( K6 U/ k% n- \
这里我们得到的是一个 V ∗ N V*N V∗N 维度的矩阵,又因为对每个 x w c x_{w_c} x & L& K3 J7 m) [' k9 V% [w 4 ~; n. M2 m- i$ R( ?c ; k, F+ M' T" f7 g$ c$ h2 D % Z) ] S+ v* K, {7 K$ w$ k Z$ p+ i2 z- A5 Z% W
& y: X7 N* o" |1 B- g9 T ,都为只有一个元素值为1、其他都为0的One-hot编码,故 ∂ l o s s / ∂ W {\partial loss}/{\partial W} ∂loss/∂W 矩阵中只有 w c w_c w ; W) u6 I& t/ F6 ]! ?8 Y
c: T! j. w2 e5 K4 J5 E' \
7 s; z* ~7 }9 f5 k9 H5 g
单词的索引行不为0,行值为 1 C E H \frac 1CEH % ^9 R8 n, ^. E: t! I* |1 g% vC ! |; z4 g" l; u' j5 J. X% |1 x18 M$ h7 F3 s! q1 ^$ P
& V( X9 H8 S4 e9 m" z) f- y
EH,所以 W W W 的更新公式为: . V" o0 w J: U& m' g(3.2.13) v w I , c ( n e w ) = v w I , c ( o l d ) − 1 C ⋅ η ⋅ E H T v^{(new)}_{w_{I,c}}=v^{(old)}_{w_{I,c}}-\frac 1C\cdot\eta\cdot EH^T \tag{3.2.13}8 y5 A' O7 P& y" J( L0 A0 e
v / }# \, p% O) X" ]
w " Y6 o# T" t4 N; y4 [1 zI,c 3 u: l- J0 [( ~/ }2 [( m" ~& E8 X9 n + W& H2 F7 n8 O* g1 q/ E7 f4 [ 9 Z( V( M5 M% _7 K2 X/ z(new) ' D" _! _# ~8 @. b- D0 N) v& C# K; u 7 c# h: j+ w' i( I$ E6 U$ p
=v ) r4 h: B( {* W, Rw 8 m9 M# [) @" R& Q) L. c K
I,c& c1 L" d# s& X+ K
' I6 y( C# @! _; q4 `- H @; ~- k0 ^1 ]1 ?7 h" ^: @
(old)6 B0 i" f8 X% O# L4 s e! T! S$ a
: L) Z6 B" ]9 @: S0 H6 p5 Y0 f
− 9 h! Y4 f4 K8 F2 I
C : a, r, {* u$ @' A( o. V. R/ J1) s" H, X/ e9 }! D* @8 l
( N& ?- q8 ]% e ⋅η⋅EH & r {7 Q4 `2 Y" z; ~2 F( [
T ( H" K/ P1 z9 k/ v (3.2.13) 4 o2 j+ ~2 D3 \! | , a- z# I/ n$ }$ O: r其中 v w I , c ( n e w ) v^{(new)}_{w_{I,c}} v $ V/ {! \7 y5 zw ' u6 v" R ], L* zI,c8 v9 A! w3 K9 Z
; S' S% n$ i$ j: I5 E7 ]$ |7 P( [1 o2 q' R: ^
(new) 0 ]$ N6 n% z( X3 y( p , w8 C0 Q/ b0 X5 T& R" T \
是上下文中第c个单词的输入向量(隐藏层权重的对应单词的行向量)' d$ L8 o# y4 H6 f; E/ i
) u2 _" P/ j" {6 ?1 W o$ z3. Skip-Gram 模型 ' _) u- e V% r* O 6 x- t& m% V d- q- f5 p3 m2 L Y. G* w4 }% P; z
Skip-Gram模型是由Mikolov等人提出的。上图展示了Skip-Gram模型的过程,该模型可以看作CBOW模型的逆过程。( B/ M8 @! S& E9 a1 `8 J
1 ?0 v- N2 @8 r
3.1 总体算法流程 " G) \9 i1 @. R3 c输入:语料训练样本,词向量的维度大小 N N N,需要预测的上下文窗口大小 C C C ,步长 η \eta η0 r5 X) { X/ q2 {
9 p& b) |% g; \' y" V- e' K
输出:所有词的输入词向量 v v v 和输出词向量 v ′ v' v $ c! b% U* P1 [& ]' s2 _% ?( e′. F+ }( ?- x3 G# \
,即权重矩阵 W W W 和 W ′ W' W 2 J' J7 C6 Q a) a
′ 1 P- X+ D& D4 Y) K0 c - t% A5 o6 Q- z/ ^- C; }5 ]# a# H" ?6 N" y# x
第一步随机初始化模型参数 W W W 和 W ′ W' W , L; ~* i6 O% P# |) [ P′# [/ G: Z, R1 @9 [$ \
+ v* L8 _) t* y8 o4 r8 A' L p) p! v0 [$ X8 Y1 K# E7 O
第二步计算隐藏层 h h h 输出:% R A6 n# @2 |: r
(3.3.1) h = W ( k , ⋅ ) : = v w I h=W_{(k,\cdot)}:=v_{w_I} \tag{3.3.1}) r7 o& K, u7 a
h=W & v% ^5 V2 o/ ?4 s0 n) u" D
(k,⋅) ; G, I. d: C+ v1 p& B) q 6 J! g1 |2 K5 e! C( @! \) U :=v 8 [# X* J, r" T5 o8 \( X1 W
w . V; J8 z7 T( k
I % s5 i5 a' f/ M! ]! p 7 y$ O# T, k& e0 _3 T
8 N( T j# ?- u3 `0 w8 ]
4 \6 i' k& _: u( M9 i1 b6 p
(3.3.1)) [. Q! p5 V }+ {9 g' p
7 \) U! L/ B2 ]- P+ h' x: c1 I2 T' C* y第三步计算输出层的输入: S. t% ~0 M0 ?& C! r% V( J
(3.3.2) u = h ⋅ W ′ u = h\cdot W' \tag{3.3.2}' J: o3 |: r3 U' \( U# R
u=h⋅W ' l- g" @$ ]& Q, x8 A# ^& Z′ ( v. ~: ~8 } |5 d8 t. X4 `4 x (3.3.2)4 i/ ?- o+ P( ~, Y) h2 ^# y4 P
v3 c: Q& E$ h/ n( { v4 ~第四步计算输出层的输出:2 e+ u( M4 X5 H" r. e, R5 g' ]
(3.3.3) y c , j = p ( w c , j = w O , c ∣ w I ) = e x p ( u c , j ) ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) y_{c,j}=p(w_{c,j}=w_{O,c}|w_I)=\frac {exp(u_{c,j})}{\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'})} \tag{3.3.3}4 F5 ?$ C! C# W3 |, ?
y $ G7 @; T8 h9 N/ [ Q
c,j + G8 e- s+ k1 ^6 K $ z+ y; p4 f6 Z3 R0 \
=p(w 6 j6 b% J7 B9 Z$ H" }c,j 2 P3 } p3 V* L$ a8 V0 M ; @ r0 g2 E. b# a* h* ` =w ! ^ Q* j* l! `2 `4 gO,c) Q4 e6 l. ^# C& n; L
" |( o X3 _$ L
∣w . @ p$ K- X: f! ]I # [$ ?# D, O6 o* Y6 f) t/ S } 4 o5 y! I3 M, ~- L6 C& c; B4 O: `
)= & {8 V) P& V) u1 M7 z∑ 7 A$ H7 Q+ w9 Zj $ k: _: m. Z2 y
′ % A$ T! V( Z1 y8 k' U =1 " X2 H& w8 L# w' l0 O1 BV; [# p& e0 P5 D$ y% e4 q
% w! x) B: ^6 W& S: v" r exp(u 9 W9 D( v* I5 d8 Fj 6 Y. N/ d- h" k( {) A% [′ 9 w$ ^9 N% @6 N' \9 k R. g8 b9 B6 u5 {7 W 9 Q! k! I9 a' R- V8 f 6 d- b3 \7 D3 [' k" u, b1 l
) 8 ]- C" [: t' P) K8 v9 xexp(u " p$ {& s: z, G8 P4 N2 P8 `0 N2 Yc,j / }4 ?2 ~1 S: i) }7 _) J # h) _) {3 x4 d, ^8 r+ [; w: Q/ T
) $ Z; {2 K! q# k+ f& Z* W( `) j, W8 J z8 A& E' q3 m
(3.3.3). a) d) F& z& [3 ]% b
! F2 V& W& @* H: F+ \
这里 w c , j w_{c,j} w 7 I3 ` k; r4 ^ K2 g+ |# ^
c,j $ G$ F6 `" v2 J1 X; t- {( d 9 o5 C" J( m# V* R6 ]
是第 c c c 个输出, w O , c w_{O,c} w + k0 `, d1 u& }2 ?* j
O,c 8 x! t- H1 A, ^* G: ^( V 2 u% v/ d; k1 i+ Q6 l) v/ v* N
是中心词对应的目标单词中的第 c c c 个单词, w I w_I w ) ]+ \; y6 G/ _ }I $ n- ^( H( x ?; N( ]2 y6 W0 ~ 3 c5 M0 _! y# a, V 是中心词(即输入词), y c , j y_{c,j} y ! X2 P' T. \, R4 i- W4 w, D
c,j " K! D+ R* d, `7 | # F( K+ a% I8 u* Y' k: R 是第 c c c 个输出向量的第 j j j 个单元的输出值, u c , j u_{c,j} u 3 M1 H% K2 w5 ^1 M) hc,j1 z: t) t* r4 A
9 J3 a; n1 F8 l1 c W) Z% r6 }. f7 q
是第 c c c 个输出向量上的第 j j j 个单元的输入。且有: 7 V( x4 o; V+ ] M) c. p6 L n(3.3.4) u c , j = u j = v w j ′ T ⋅ h u_{c,j}=u_j=v'^T_{w_j}\cdot h\tag{3.3.4}$ @& u* H5 X" G. B& m" \3 T+ f
u ) B6 [0 G, Y* }8 M' Y9 kc,j ! r: S1 K, h7 C/ ^3 c9 d% e p : `2 E5 B( C! l3 a
=u # ~4 A) r! |: ]5 s
j : l1 Q" ?5 \- e8 ]; _2 f+ ~# f ( b# `" d* h" N- v =v - v4 S5 P! S! E8 K; t. g; }7 @w % O) V ?6 }. f" x# fj 4 t$ @0 S* R& B7 y 5 F" a H1 m* \ r
3 T2 A$ f: g2 P" k% N
′T 3 J4 B- k. E A) T7 ` / o1 V+ v1 W. g/ j* g" S
⋅h(3.3.4) $ d4 ~7 Z5 Q- M) q0 N; U% E- a, o$ _$ g$ U
v w j ′ T v'^T_{w_j} v % n0 d# z; e: N% ?1 `' n. J5 P" F6 J
w 6 B4 B- f; T3 @2 @) B% R
j 6 J' A- I/ X9 Q5 t j. S ' F" P& I7 c0 ^) H- O7 U! v4 x+ I0 Y/ n! K7 d$ n* `
′T 7 k ?* I2 ?( y* i; R; k$ T ; _8 C$ J h4 c+ D$ h5 I- W 是词汇表第 j j j 个单词的输出向量( W ′ W' W 4 J' V: v3 c$ O3 [" P _8 l
′* p" X* b* X) o/ D5 e0 @
的第 j j j 列) l; M" d! J) i& J2 ~$ t; d. F3 Y: F6 z, Z7 l# H# Z# R& Y' p
第五步定义损失函数: . Q" M4 v7 }! @8 R% ?(3.3.5) L o s s = − ∑ c = 1 C u j c ∗ + C ⋅ l o g ∑ j ′ = 1 V e x p ( u j ′ ) Loss=-\sum^C_{c=1}u_{j^*_c}+C\cdot log\sum^V_{j'=1}exp(u_{j'})\tag{3.3.5}! |# ^5 N- D& a0 Q
Loss=− . m: V0 h, A# E5 k0 v! e& c* m
c=1* w S7 m8 i, q% h2 @/ T7 W3 F
∑ 8 ]3 d8 R4 v& d6 ~9 ?) XC G) O6 x; Q. P ^
9 W% {& K: {* k% U* h u $ {/ S* L- o3 _; K- gj % D( j8 B0 K9 n* ^+ @
c 3 `! Q- \& K# x∗. G' ^4 @+ c2 c& A; @( k
3 `* o2 g6 O% A' Q- W / V( A; T) o$ D2 N3 ^ - N4 K" t2 |) N3 H+ L
+C⋅log ( D: u% Z: k z# qj % {6 q$ d: c. S1 A′& [1 K) N6 v- o& m
=1 2 _% O I) {9 M7 e# O5 B+ N+ O∑ , n+ b4 m- f$ v+ F. R/ Y/ h1 s9 nV $ }# W; \6 @. K2 J9 K& z0 e' u; N . r3 F7 V% @6 P8 k5 f8 E exp(u 0 u: n7 l0 L. z, L" `7 C/ u
j 0 d1 {) l7 i# S( z7 t) l/ ^
′ # k3 U1 W6 P j $ L M7 U5 ]" T0 l& w 8 d# s/ ^0 J. s )(3.3.5) , B% L. e1 r* M" r8 r5 f+ G, N6 U8 F* K 2 U7 F! R7 @- w, V9 h$ c% I9 ]8 K; q其中 j c ∗ j^*_c j ! Q5 h$ @3 C8 o
c ! D2 a4 o3 y! H0 \( y∗4 G& I2 d7 M$ B# Q$ ?
; @2 C2 {2 y; V5 R: k 表示第 c c c 个真实输出单词的索引值9 R* R; A6 f. [" ~6 z
: G8 c" ]/ R- A第六步对上述 L o s s Loss Loss 求偏导并更新输出层权重矩阵 $W’ 与隐藏层权重矩阵 $ W W W 直到梯度收敛:1 [( x6 f* r. y2 V7 y
(3.3.6) ∂ l o s s ∂ u c , j = y c , j − t c , j : = e c , j \frac {\partial loss}{\partial u_{c,j}}=y_{c,j}-t_{c,j}:=e_{c,j}\tag{3.3.6} 4 w' t# ^' j+ N$ h7 O! F/ a2 _. D7 Q* T∂u * B! j7 \# h5 A @: h0 ?4 s
c,j) S5 ?+ m! B$ t/ L/ F& z
7 h7 }5 |# e& @0 S; `% g
9 ^, B+ \+ l( a# V5 B2 ?∂loss) k1 e9 L8 e# a0 s' G+ U
5 r9 j) @& e& ]. ~- u8 v+ L
=y 1 W1 s3 h0 O$ g' Ec,j! z0 l' a( M4 X
# w) r+ P: h: H1 q −t ! X6 Q' ]" } U& ^8 P, W5 oc,j1 S% [+ z3 k; Y+ x
0 }. s8 A* t% C9 ]* ]
:=e \2 n+ I( B7 o* u0 Yc,j 8 z7 h1 _2 V4 n" T- |4 B5 G q, x( z3 A6 D/ j+ R! t (3.3.6) * y! p' _1 e* Q1 U& H7 T, q7 p 6 E# B8 q" J+ w4 O$ m5 T" P我们可定义一个 V 维的向量 E I = { E I 1 , . . . , E I V } EI = \{EI_1,...,EI_V\} EI={EI : ?- R8 R! V( \; a$ N q1$ U8 E9 h) B; K, v/ w7 g* z7 h
9 X- \3 @' I. {+ t' e ,...,EI * o, |+ q2 V- P' G! Q: B
V " a* U; l) r* J) X& u% s# Y/ I: r6 r8 m6 f 9 [6 b+ X0 V7 K& u } ,该向量是 C 个预测单词的误差总和:9 P0 U" a3 S3 i7 I* G M) Q
(3.3.7) E I j = ∑ c = 1 C e c , j EI_j=\sum^C_{c=1}e_{c,j}\tag{3.3.7} ! ?4 U) H1 b' C4 J* L# p6 @EI # h% ?0 Y f4 Z/ xj ) a; |; @: q2 z; K, w * U3 P/ e5 R8 U: j& v9 F. v, [
= 8 M/ r f; H" U8 R( o+ A- F% V; ec=1+ J3 {( B9 b+ V! _. a; m
∑! a6 O! [1 v4 d- w
C6 F9 }6 E9 o9 X. u0 \+ ~; d
- G E. w$ u5 I0 X0 e e $ H( Y2 F+ ?7 R( B' _* O- v' p9 C
c,j 6 L* n/ [3 Q0 q; l8 x ]( x0 @' _! O
(3.3.7) 1 N+ Q+ }4 X- {! {( t6 ? $ R1 _; l/ O4 x2 e* j$ A, c7 r(3.3.8) ∂ l o s s ∂ W i j ′ = ∑ c = 1 C ∂ l o s s ∂ u c , j ⋅ ∂ u c , j ∂ W i j ′ = E I j ⋅ h i \frac {\partial loss}{\partial W'_{ij}}=\sum^C_{c=1}\frac {\partial loss}{\partial u_{c,j}}\cdot\frac {\partial u_{c,j}}{\partial W'_{ij}}=EI_j\cdot h_i\tag{3.3.8} . n- V; }9 A0 N; k8 f' b5 u∂W 2 }2 w3 f. k. G9 \1 E% o
ij9 t2 j n4 n+ J( D3 B) \; o
′( b6 h/ b' H6 U( c. W6 n; |2 s+ {/ n
3 f) G8 \0 s; F7 ^, K% f ( B/ a$ U% i/ O% C∂loss1 I* P0 Z' t/ O2 H) E3 b7 J
, }# v' f9 n+ y |1 ^ = ) M1 i/ g) ]; d% ]/ I9 U! X, t3 n
c=12 v% I- H! i9 b# G+ M2 k
∑0 ^3 \4 D8 @3 R4 T; L1 M- D
C! u9 T( X9 S1 U7 k; F3 L; e
3 Z/ j3 }4 \, e ( p( j Y) X) {: E6 x6 j; ^2 \∂u 3 g: X% n0 |. m( `7 uc,j # h+ W- B. [9 X! x % p/ F* k: t4 P# n+ p9 V# S x/ d
" Q+ k8 e% j: c. t" h∂loss4 q4 m) s: Q9 ^; j% q
8 k7 [* X: b1 V! N* J
⋅ , h7 \' l" Q# x3 U7 S7 p- A) w
∂W $ E5 `% _4 `1 F, ?! i# @6 V! iij 0 Z, S3 l u" O4 T3 G′ + g* y2 ^: r. S/ g" Z * L" p, E! j0 [- d5 T+ ?, {
0 g. M4 Y9 E: ~2 ]
∂u ( J t3 l4 l8 t2 q$ @8 R. _) Fc,j % C0 c [1 e3 v. g" Y, M' D 1 e V# D6 U& _: z n3 E8 G. K4 s2 n# [1 t4 E% t
( z6 e5 v3 C# l. Q7 D =EI 4 @7 T# S! k! a2 j& w: l" ` s. W, ]$ Nj O" f) l% R1 T4 l& s* p) B& m" S
! m# q- S$ t! z- J6 | ⋅h 4 `5 Z2 K J- }/ r% i
i. m2 C6 n% X0 K J$ L; U( t
2 Q5 Y" f, a, ~0 W, B7 A9 G (3.3.8) 1 e$ v9 L5 b, g8 W/ @1 e! r' g5 z1 E" x
输出层权重矩阵 W ′ W' W 0 @! L) ]5 c2 n. y′ " @4 V& }" h5 c. q0 e 的更新公式: 8 p; ?) V7 h1 A( G8 y$ Q3 \(3.3.9) W i j ′ ( n e w ) = W i j ′ ( o l d ) − η ⋅ E I j ⋅ h i W'^{(new)}_{ij}=W'^{(old)}_{ij}-\eta\cdot EI_j\cdot h_i\tag{3.3.9}/ s' L5 S$ l8 ]; |
W , `3 ^& d3 K1 g" a; ~0 v& `! Qij- ]# b! l9 r, ?# A/ e! ], p; [
′(new) - s+ O6 W) s0 \* W2 S ' m' Y0 h* B2 `: n0 B
=W - {) ?% w+ f/ Y8 C: ^ij ' N+ W' K- f9 A; g T′(old)4 R+ O+ [& o# ^% L3 T4 r
/ H' ~$ c* O" G. b& b −η⋅EI 5 [$ L# `$ x' S8 s: l4 X
j ( N& K5 P3 [" s/ _+ L 7 i0 e' L5 S U9 y! }( [! b0 d
⋅h / M3 s$ a/ w- x8 Qi0 `, c( o0 I1 Z% b! h- `
7 e9 J! L, v3 @/ H (3.3.9)* A2 {- M( t4 `9 V+ d5 `
6 e; l7 V9 ~+ d7 P- p, H
或者 / z: r! l3 B# `: m* e' A(3.3.10) v w j ′ ( n e w ) = v w j ′ ( o l d ) − η ⋅ E I j ⋅ h v'^{(new)}_{w_j}=v'^{(old)}_{w_j}-\eta\cdot EI_j\cdot h\tag{3.3.10} # o& V+ Q. z* A. V3 r# {v * ^' J" S. k: R6 M( vw 6 c5 g) K6 }5 I; `' U" r/ n0 X7 K
j) P _, `7 [2 T2 ]
; v( V& A. M. {/ i' F; Q
( z1 l5 L: Q4 I- N8 k7 w′(new) 9 l' z* x! P( H+ V- y4 Y ! E& |3 l: d0 y" |2 m3 q$ w =v ; U6 V& U4 S8 s/ l1 R3 G6 H6 D0 G. hw ( P' x+ c7 T) Hj0 P& g' j; ]; _1 w
8 [) K0 \/ r2 q" |% y! H' b4 ]) D; e; q8 d; w8 S
′(old)( @! s& D7 }, m( M i
% u2 N. |& a0 ]. q" [ −η⋅EI & r( u ~! W) f9 ij$ a4 | i1 z$ w# P3 f1 y$ Q5 u3 h/ X
9 d% Q6 D1 S c6 A7 d; i
⋅h(3.3.10) % E* Z1 b% Y, j) A$ B2 H/ q2 Y5 Y8 q, h! c$ `$ y: d
隐藏层权重矩阵 W W W 的更新公式:! g$ J# \9 k9 b7 i( @; p0 I
(3.3.11) v w I ( n e w ) = v w I ( o l d ) − η ⋅ E H T v^{(new)}_{w_I}=v^{(old)}_{w_I}-\eta\cdot EH^T\tag{3.3.11}% l; ^2 X; Z( W# M5 j0 y" ?
v / B7 \+ X# S; b, @% lw 3 i. D! O: ?1 n% h: H. _1 `1 ^
I 5 a2 k; _1 x2 } 9 C+ a s( \' _; x6 u% K! p9 L* s- E' k! R& j, E
(new)0 K4 a# g, a* V3 G, Q2 l6 C
6 h" k4 y' z" h" l& v! @2 v
=v ! a0 r9 U2 ?6 e/ S4 h+ v- f9 _w % p8 p% ?; I3 L0 u8 S& m
I ' ~ G% I2 ?! ]: U4 X $ ~" v7 b1 V) t; V$ n& y4 Q% R$ ~8 U+ l# D$ \, L
(old) " o$ o. m# `; o% Q7 [ 1 z1 w' q' ^" S8 n; }0 C
−η⋅EH 6 f& V! Q: [) ~! l z) h2 [* ~
T 8 S( h% N# F& f: {6 ]. ^3 Q (3.3.11) " {6 S6 u1 @6 B* x2 A5 u* C8 } o9 @( S6 X, W& x! {7 F
其中 E H EH EH 是一个N维向量 % j7 Z, b% h' X' g& _( l6 @1 m9 B(3.3.12) E H i = ∑ j = 1 V E I j ⋅ W i j ′ EH_i=\sum^V_{j=1}EI_j\cdot W'_{ij}\tag{3.3.12} + e7 l. o2 Y. c; R9 w# vEH & \ }/ U) x; s' f
i 0 R2 e. r) ?% K: A3 `4 C" K2 p ; q: Y" p+ h# X3 m" V; z( p$ | = ! ?" B: M4 Q m8 j4 P, z. F1 G6 h, j
j=1 7 G. r$ g/ \# c! B∑ 9 c) m' Y; h( o9 \- p: I5 ^7 }V ; Y% S( M0 c+ t4 P # K7 d* h- \, i( `) z
EI " @6 G) G+ q6 O, O6 C/ _* o
j$ d. {( B+ ^% d" H
; T+ f6 ~9 B0 s% d n- A4 O y ⋅W - C+ C1 r- g2 M3 m+ |
ij + s" ]2 [" t! x& m′& P/ \1 W. K$ {( s) r# v
2 {& I& H9 A% h( F% G3 k (3.3.12)! h" i% q+ h# I0 g
' b/ p0 \! h( y! y3 a4. 模型的优化方法 - r! s+ Y! x; x4 L" x3 P4 G* s对上述模型,每个单词都存在两类向量的表达,即输入向量 v w v_w v " L7 v! }0 c/ Vw 5 T( Q6 c4 G# a: B * {1 V: n! I2 V6 f2 L
(输入层到隐藏层的权重矩阵 W W W),输出向量 v w ′ v'_w v ) n* o# x) e/ ]" p n5 E" O% n) F" kw 1 b5 b8 i! m8 z' Y# m3 t′ 5 q- J. J; n; B- i5 {7 g* [: b+ m 6 F1 L# y: F$ i( f (隐藏层到输出层的权重矩阵 W ′ W' W / r9 O- W" ~! n: Y' u' u
′* H0 P% B) x% w( {4 o. o) f! O8 u3 e) l
)。学习得到输入向量比较简单,但是学习输出向量是很困难的,需要遍历词汇表中的每个单词。若词汇表非常巨大,那么计算是非常庞大的。1 |2 S, ~% g& [' e6 b
' v8 K T3 R1 d" O; p为了解决计算量太大的问题,我们有两种改进的优化方法:分层 softmax(Hierarchical softmax)和负采样(negative sampling)。8 H9 }/ Q4 K K
6 z4 \' o! _" ?5 e1 c2 r1 O4.1 Hierarchical softmax 1 w& T1 H# @, L为了避免计算词汇表所有词的 softmax 概率,分层 softmax 采用霍夫曼树(huffman)来代替隐藏层到输出 softmax 层的映射。即将上述的输出层权重矩阵 W ′ W' W ' a# w- L, Y3 f! z′ 2 A1 R* Q4 L0 h7 E% C) ~) l$ h 替换成 霍夫曼树的隐节点的权重 θ \theta θ 。 ; \+ Q7 V9 A9 l4 v+ o5 f/ s, {: @; a* u
由于霍夫曼树是二叉树,故计算量由之前的 V 变成 l o g 2 V log_2V log & E9 j& y3 w+ e$ h
2* d& Q; |) I; {' ?: B' F# ]
. N5 l4 a. A1 ~9 P1 N V,而且我们仍然有差不多同样的模型参数(原始模型:V 个单词的输出向量,分层 softmax:V - 1 个隐节点的输出向量)。且依据每个单词的词频作为权重构建的霍夫曼树,高频词的路径更短,更容易被找到。 & f& R' h2 v% M5 b% @2 {; ~5 P6 d# b5 z3 h; P1 [* P3 ?
5 P. z, L/ m- k2 J, L( W , h. {- l3 D* {这里树的所有内部节点就类似之前的神经网络隐藏层的神经元。根节点的词向量对应我们投影后的词向量,而所有叶子节点就类似之前 softmax 输出层的神经元,叶子节点的个数就是词汇表的大小。这里从隐藏层到输出层的 softmax 映射不是一下就完成的,是沿着霍夫曼树一步一步完成的。每一个隐节点都是一个二分类的逻辑回归问题,往左子树走为负类(霍夫曼编码为1),右边则为正类(编码为0),激活函数用 sigmoid 函数即: ) _- n/ c0 v+ r2 U6 o(3.4.1) P ( + ) = σ ( x w T θ ) = 1 1 + e x p ( − x w T θ ) P(+)=\sigma(x^T_w\theta)=\frac 1{1+exp(-x^T_w\theta)}\tag{3.4.1}( O1 G/ w( ?8 I+ D2 Y$ {
P(+)=σ(x 6 m$ v5 N8 |6 a" G, u
w1 i5 C& }% G0 K! l( k( C
T3 C& ^- m* p% d9 }0 E) _
" F, j- G3 @% V4 U* I
θ)= . C! L7 k+ ]1 E! T) A
1+exp(−x 6 M; x6 l7 L0 A7 l: o9 dw # A$ ^ `' ?- q h2 Z0 @T3 F4 X% K$ x5 P# M" G' R- k: r
& _; j& ?/ r7 H7 t# F" H+ u8 N θ) 5 ~ g& |: d( h( d! a18 I( P1 ~- Y" I
2 Z' v8 L0 n! T/ @ (3.4.1)$ y3 r( K f. g5 r1 M+ l
& D+ |. m7 e. ]2 L3 ^ i. H
其中 x w x_w x s { D; P C9 G! lw # i, R5 n6 E+ p : E' E+ Y7 j2 R8 P 是当前内部节点的词向量, θ \theta θ 是我们需要训练得到的模型参数 " b' A& l$ }* D4 ?( n+ t* N , K- R& n0 `7 x: X' x! N4.1.1 模型参数的梯度计算 4 K" z4 ^; ?- v/ i, r分层 softmax 没有单词的输出向量,而是 V - 1 个隐节点都有一个输出向量 v n ( w , j ) ′ v'_{n(w,j)} v 2 K2 l+ D3 r7 h* Dn(w,j)3 B' X* u) }$ Q% g! i* x7 @6 U
′: Q* N4 Y: e/ V$ X. }! p" d5 {# ^
$ [$ `0 @+ h) \! X" R+ z% Z& p; A
。首先定义经过霍夫曼树某一个节点 j j j 的逻辑回归概率:$ g! {0 H2 R( A: y" X6 [
(3.4.2) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = { σ ( x w T θ j − 1 w ) d j w = 0 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) d j w = 1 P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1})= ' Q m7 H% y3 V{σ(xTwθwj−1)1−σ(xTwθwj−1)amp;dwj=0amp;dwj=1 4 p4 A8 ^) D+ c' \# T' d{σ(xwTθj−1w)amp;djw=01−σ(xwTθj−1w)amp;djw=1/ d! o4 e1 F5 b+ b4 A- f0 B8 l
\tag{3.4.2}& U; V: d: }! l3 A3 N) Y
P(d ; I, Y2 }$ o; m' _, w0 K. Jj & ?& N0 X6 C3 L5 O' ~w8 J% M1 A& i8 A5 N# N0 F
}% c2 K5 T! ]. R' C
∣x 9 }) J, n$ @, K" a/ {$ tw6 {) |# L4 x3 f- i6 ^
" R5 M2 ^+ ?1 \; \$ q: u# F+ D ,θ 9 ~+ H% G3 V: X# N& A4 Sj−15 f4 s4 l" P/ @; i' [% O8 A
w $ @# \# a0 X1 Q7 p: S & U; l7 G& c/ e! x9 k1 }
)={ + q9 g8 c! A1 J3 s) `. uσ(x 6 P: n: ]9 z5 Y3 Xw 1 x# v0 V" \6 r0 `- k9 m$ fT ( I3 @ V7 K, T3 ? 6 ~* }! L0 u1 U& x& @- g4 r
θ * ]" n. J7 t! l9 g- K3 K3 Yj−1 % W: l; U* x$ ]5 Pw8 ?$ |, N' A7 `/ p
) M7 D2 q+ x* L/ W) t9 X, G ) : n+ k9 b# ~! k" v9 ]1−σ(x . H& Z) j& N; l# ]3 s. zw/ ~, _$ k& I7 X
T! h& e& M( e. M3 B$ k8 Y! ]$ D
7 s8 t2 b/ F7 [
θ ; ^% ^; p( R4 K4 ]4 T3 w: Sj−1" a' I. f5 I) V( F& C
w * `- {+ \1 T0 H' n" |3 M8 y+ w4 t 1 {' G" R2 T& t& ~. \& i ) $ B, E) B5 p/ w3 z* q ; `: x6 L P6 F7 W% o1 L% z. q 3 e; y2 a; `2 Q4 C! t9 ld % q9 K* R$ F. [- }. [* q9 Q7 Ej ( ^$ t+ Y( I2 z! I( E1 ?w% o1 A: q5 g5 R5 t Q8 I5 ~
' ~* _ I' v* U# O+ A* q* A =0 2 J: q* j3 `" }d + V) r8 z: ~- J: dj ( j4 E, I* A' G" ]3 v3 q u2 j* Nw- d/ N \, X& ]1 l
& l4 f8 N, X( O+ M% T, v k6 p =1 0 Q; n, D9 f! o. h& F9 i : k+ ~: m: w U& { Z
(3.4.2) ) i: S3 L3 g: ^1 K- c0 v " o2 ^3 z+ t, H2 k9 P7 |" a5 r' I. Z那么一个单词作为输出词的最大似然为:3 G$ K( S/ a8 [* w4 o2 d# Y9 w
(3.4.3) p ( w = w O ) = ∏ j = 2 L ( w ) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = ∏ j = 2 L ( w ) [ σ ( x w T θ j − 1 w ) ] 1 − d j w [ 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) ] d j w p(w=w_O)=\prod^{L(w)}_{j=2}P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1}) =\prod^{L(w)}_{j=2}[\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]^{1-d_j^w}[1-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]^{d_j^w}\tag{3.4.3}: X2 u! N- u" ], G* P# e0 r7 x0 |8 |9 x
p(w=w 3 |" @1 M4 \2 }0 \ g; PO) ?( R- b* f$ c
" q$ r( t: v0 w! x2 M7 u0 U
)= 9 {$ o/ C; m6 u0 Q6 ~' I: }
j=2 9 C) F: G5 g2 ^8 a$ ?+ i2 J2 r2 W∏ ' _, G ~/ ?3 c$ c. Q2 C. {6 \L(w) 3 m) Z' Z5 O" ~: r& G# }# Q5 h% a2 t : f% _0 @* e- m! K6 G7 g P(d 8 l, Z% H0 j& g- j9 a; E
j 3 `5 e, c5 ?- \: {, yw 4 P" x9 r% P2 F3 s8 R4 ^: H6 ~ $ t8 g8 f2 x( _( e" P- R; l, u! e9 p3 f2 G ∣x ) I$ h: w6 Q4 K
w& V) y/ K; Z! d+ K4 f) X
" Q+ M9 B9 ]/ e& B ,θ ! s6 u: u R4 m* P8 L" d
j−1 - p& M; W4 E1 a5 Z& @' s; W0 `; jw : o# Y& J, W9 A2 j7 @7 k 3 Y& q: i5 @. h: \3 U
)= $ _( |: W& q. M6 U' W5 ?
j=2 ) f6 A2 m8 B: `4 ?" ?& O# m∏ ' V$ y8 M) n1 t3 C. I6 a3 l- mL(w) , @" P S3 V; G. m$ `8 k. h 8 Z9 m% J' Q& f7 b, ~4 O
[σ(x 6 Z3 O/ I! a$ E) r2 f, i
w . g: _5 n" M4 e a. M& n1 @% bT ; g( J# F5 D6 w6 Z. V" r & i% i. x9 V( N. w) c1 k
θ : n* [% M& F2 e' H, D
j−1 ; \/ P# W8 b, F5 a* iw , a( }: i l0 X4 M8 E: J3 f ; n' l* O9 y7 I
)] " ~- Y0 T, N0 ?9 ^# s$ y9 N! D
1−d & ?2 d9 e2 _9 t! Q, w+ K! U
j# A0 Q5 t! ]3 G. m
w7 W4 a& M1 D- X
' ~) p2 C O" X B2 y0 }% ~
. L" j5 N4 g7 m9 l [1−σ(x . m, ]% |# g" z4 hw- A0 _* c$ X! s( g8 x* V
T- ` v& E, p8 y5 x7 ^% v6 a3 Q
% K% a/ g0 [5 s5 r, s θ ! O& _) z% P7 Y) Z& t7 y2 }+ D( @% N
j−13 @0 a9 ^4 G/ |
w + o6 @( P# t" D# b+ \3 s 9 G* Y# l* r1 a! h3 `
)] . I; A8 @' Q e% D2 H4 J7 {
d " M( E+ U' `" i/ ~8 vj+ D/ {( {2 t2 U- ^2 g4 d
w 4 U$ c7 U9 l8 E: e0 J $ I: i" h7 ?) E# u# A " ?& |3 d+ j6 ^" \& G# i0 e (3.4.3) 7 |2 Y2 ~' D. E: }" ^ , { R% |, A2 \* r5 y. y取对数: ) I; ]6 s4 Q1 L6 {3 h(3.4.4) L = l o g ∏ j = 2 L ( w ) P ( d j w ∣ x w , θ j − 1 w ) = ∑ j = 2 L ( w ) ( ( 1 − d j w ) l o g [ σ ( x w T θ j − 1 w ) ] + d j w l o g [ 1 − σ ( x w T θ j − 1 w ) ] ) L=log\prod^{L(w)}_{j=2}P(d^w_j|x_w,\theta^w_{j-1}) =\sum^{L(w)}_{j=2}((1-d_j^w)log[\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})]+d_j^wlog[1-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1})])\tag{3.4.4}) u+ t# A9 \' d% y+ |+ n" K/ g
L=log E3 ~2 i# C7 [3 i+ S6 kj=2 7 p- F, I: T8 ~+ W0 S* n! F& [! K& z∏ " M+ Y- s& D+ N8 PL(w)7 [' c/ h, S/ j% x( ~
9 b% c6 m ~4 l Y; \, M P(d % z0 k4 x5 e3 S
j2 m- _8 T+ ?- T- q+ Z; `7 L
w ) g0 m' I% o8 j# h; Q9 A 1 J* D' j# M: t8 U" z- X, B
∣x ' S) E7 [. u" ~1 u9 R/ C; R+ B) X
w ' Y7 b8 J4 T1 E+ R3 k & F% g( e4 A! Y/ ]* T/ ~0 a! x$ t ,θ 6 s: F5 k- `. W& \1 uj−1 1 g+ D' f- x+ |. h, Z. x: uw 8 v/ a* U6 x$ B. F' q+ k3 ~9 P 2 [# g% ~2 b* \4 {% }+ N( P/ L* k )= " k, @6 x# s6 _9 N% R* T
j=2 # ~/ T: D. }! I1 d5 b! K+ C∑ # t* k- Z! _5 v0 k2 A/ qL(w)# S$ |. Q! O, h' m
$ x) A8 l9 V3 Q7 {' V
((1−d + a: N+ M" d# Q( c3 K
j$ e3 J/ {- T* J8 s/ y2 a
w ; y9 Z9 D1 u3 J 1 }3 k5 V: `9 ~+ j0 m {; p )log[σ(x % F. [- e, J5 }/ `) e& O
w + w4 }8 y& e: bT 5 e1 @0 ]- o! @8 l 4 W0 I: K8 E4 H' V
θ - S8 [" r: y. L0 uj−10 p/ l- c H/ J- T% k+ [$ d! g
w8 A4 V$ J$ ]8 V
& S( r% V5 N3 R( Q: ]& ^3 z# ]1 \ q Q
)]+d ) Y: P! I8 O, `5 T$ W' ]9 x& `
j " q5 V$ |2 ~1 V4 l% K4 Y& gw6 X! c i2 k, c! l! N, ], r
, q5 z1 ~. y) R, n: _
log[1−σ(x ) }2 Z) g- V! Q% h
w & u: G# X9 @/ r4 C0 yT5 y, o. Q' ~9 W8 ~$ e, v5 K
7 I7 s, E5 h O L1 ]* ], z θ ( i3 K; a8 `. K: c# U% j3 h
j−1: V+ E0 F7 C7 B4 |8 R
w 5 _8 g! q# s6 M 1 g. |5 y% O( ? )])(3.4.4)! c; q7 F: p: {! R, c' p; R1 ^0 R) ]
* v! @- V: \0 K. C0 W4 W4 w8 \
于是可对模型参数求偏导:2 v6 b; M) i9 A: o5 a+ i
(3.4.5) ∂ L ∂ θ j − 1 w = ( 1 − d j w − σ ( x w T θ j − 1 w ) ) x w \frac{\partial L}{\partial \theta^w_{j-1}}=(1-d_j^w-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1}))x_w\tag{3.4.5} 5 g; G- n8 o1 k) B7 P* s5 x4 s∂θ % l) r3 @. w; y9 V! m7 r
j−1 6 R5 A) E2 r L) }& Z! j+ f* ]w, Q% [1 q; v; {* e# [
; Z% d" H4 L& X. n- F& H& S; ~: t; X- E' W) i
∂L4 x* J! p9 I- p
; D) q2 {9 t0 Q& a
=(1−d ; J# z7 E7 b/ j6 |6 e# Rj3 i8 y5 A1 D: r. u3 r
w! r1 [8 T6 U" T
+ M3 D+ K. k d0 g
−σ(x ) @' a% ?' h3 H/ h+ ?. K
w$ ]; l9 m7 }; F* J r
T: Z- F4 ?; U+ C' Y2 x
) c; l: M9 A* ?$ Q* Z
θ 1 }' u8 {7 @% n7 u0 g- ?
j−1 5 h; K# u# q! i# ~. ]$ _# Zw , d1 L' R: |" X W" q 5 A: p4 G- K1 c ))x ^- C1 \5 G. U5 [9 t/ ]
w6 ^9 \! \+ t" x+ G$ X
7 U/ X3 W0 f5 {! @$ P
(3.4.5) : |) p# G! Z; i Z; y) d- X5 f0 S# Y. K$ ]
同理9 j" x! P& r, G' h+ R M/ m; R- e+ ?) m8 N
(3.4.6) ∂ L ∂ x w = ( 1 − d j w − σ ( x w T θ j − 1 w ) ) θ j − 1 w \frac{\partial L}{\partial x_w}=(1-d_j^w-\sigma(x^T_w\theta^w_{j-1}))\theta^w_{j-1}\tag{3.4.6} 2 R9 M2 ?; E9 _! N: f. L∂x % R" h+ v+ v2 R# v+ V
w \- }& X' j5 U/ Q: O 7 w# q' z0 g$ k- k0 K Q9 }0 ^ 4 s' v' b2 A4 k' e* E+ X∂L; W. N! ]1 R6 h! H# A! ^8 ?
. d1 r) ^; C, K; J8 c
=(1−d ; G5 v% J, L& Z0 F" ]j 7 }$ H9 q7 `3 _8 U |w6 l4 I* a" R* F9 p8 [" w2 I
5 }( z4 h7 M3 H) U: l. e
−σ(x 1 I; L. a7 u" X8 \2 t& }3 Qw 7 d! M+ O* U7 |3 _6 aT & P4 y q' |& \/ z# v, P$ B1 b* n ( Y! t7 g4 a- @, N# [$ A θ . _# ^" [7 v6 H+ m+ c" o( [* Fj−1 R2 a) T2 j5 T$ c; jw ' G) C- H! i/ k# m( Q- g + {5 b" D: J8 h9 Y) u& A& O ))θ 9 @! ?. J7 L% ~$ v% l6 `, ?; i/ mj−16 b( ? [8 p% M
w) [& ?) v2 q' N6 s& D
7 R! x+ U0 I6 S) J5 `8 _
(3.4.6) ; q1 a4 J6 K$ K( H7 m3 t+ j N& V. _9 Q6 \3 T7 L; X. ~
4.1.2 基于分层 softmax 的 CBOW 模型9 G+ y) f5 J7 o/ B( Z4 Z
假设我们取得上下文的窗口大小为 2 c 2c 2c ,即训练样本中的每一个词都以其前面和后面 c c c 个词作为输入,该词本身作为样本输出。6 l( P4 z7 o+ X& `/ E" z9 V3 y" v
! ~9 U2 l- n0 b! p0 z& I; \8 t5 s" s
算法流程如下: ; n$ Q2 w: c* x* W' Q9 i$ b% J6 |; O' r 4 l- _) F6 o! I* P2 h5 d输入:基于 CBOW 的语料训练样本,词向量维度的大小 N N N,CBOW 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η) b* G! k- F0 t% P1 S, i9 P4 r
/ W& t$ ^& Z8 Z+ V" ^: b- ?
输出:huffman 树的所有内部节点模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x / B Z0 G& u( l$ z' R, ]$ H& u9 z7 T$ B
第一步基于语料库构建霍夫曼树树, z- n( t+ N* z8 D& F# g
5 A/ V7 d2 \; S" m* O
第二步随机初始化模型参数 θ \theta θ 和所有词的词向量 x x x C& B6 \/ u1 d( E ) }7 q: [- o5 O0 B3 k第三步计算梯度并对每个训练集中的样本 ( c o n t e x t ( w ) , w ) (context(w),w) (context(w),w)作如下处理: . I7 D2 ^$ l" s9 s2 R+ X8 G 2 L) F }$ g# m: W7 q: r1 @令 e = 0 e=0 e=0,计算 3 E6 F' {! s6 Y$ E( K ]! z/ wKaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 50: …\tag{3.4.7} 其中 $̲x_i$ 为上下文第 $i$ … ; ~: K) c [ S2 a- J, u 7 j0 z I+ i- A( R I' J% n+ n其中 x i x_i x " s' D" N/ ? o! Y+ C: A
i ) C9 \; B; G: k& z- b4 ]" } \. v) n: H9 X6 L7 C 为上下文第 i i i 个词的输入词向量 ( `. e9 k) L; o ] ' \# b6 `6 K* Jf o r j = 2 t o L ( w ) for\ j=2\ to\ L(w) for j=2 to L(w) 计算:* Y0 N# `2 K2 p2 b! z/ N
f = σ ( x w T ) θ j − 1 w g = ( 1 − d j w − f ) η e = e + g θ j − 1 w θ j − 1 w = θ j − 1 w + g x w f=\sigma(x^T_w)\theta^w_{j-1} \\ g=(1-d^w_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^w_{j-1} \\ \theta^w_{j-1}=\theta^w_{j-1}+gx_w: A; p G5 X' ~+ X3 R; z0 z
f=σ(x $ Z- N) e! W. j2 V+ Aw 1 o6 H" E; Z9 U" wT& y& v, d5 B1 g% O+ W6 K2 w4 j; k
) y O6 @" G2 N: w2 O )θ 9 D$ C+ P1 b+ r, F
j−1 4 L9 ]6 j8 v$ Q7 N+ y& z& M/ Hw % u2 j& J* ?9 |3 \ ; @. M7 _, S! W2 ~8 C5 ^. C' ? . h& H! M& o' G/ p/ A0 P( kg=(1−d $ W' R" N: T8 M. {. ?1 M0 Cj 9 `3 \- h% x- u9 n4 hw - g# Y, R0 \ d5 o! H V4 j2 ^ 4 M! E8 N5 q# f7 T −f)η ! c$ J) }5 |: f& i9 D) ae=e+gθ ! S2 ?0 A1 ^( [ I, Y
j−1 + G g$ a3 W c! l# zw; v! n+ p( J* y; J- k; z
, h5 K: g T, q+ u; O6 w4 `+ U( Z0 P; w. b4 d+ m$ {
θ 2 n. J$ O& F& b
j−1$ d9 e, ^' O1 q
w; g, j1 P; ?0 i9 d4 ~
" T# S8 {4 s3 [2 j2 P6 J =θ 1 D W* g- ~3 e. F2 g/ M2 t6 u
j−1# Q1 I! J' s0 i* f
w 1 z) D$ Y* b; E2 L) \/ N/ v- \: F 4 p6 c8 A: h2 h! [$ v
+gx / k$ X8 W/ Z/ _3 o+ ]
w ; L. B) d7 F1 K% X! n, n 5 `, f. _) F" a9 y8 U& M3 W1 u ?% y8 i8 D! J3 E
% C# X1 H4 o7 h对于 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的每一个词向量 x i x_i x 6 X! [, w x# G) r! Q% v6 h, Ki: T# K _% ]5 O" V9 d
' A6 E7 A: z2 R' O* a 进行更新直到梯度收敛:9 S9 Z( K) u9 m0 `1 r# ?
x i = x i + e x_i = x_i+e ; `2 F) \2 F6 fx ' ~; |; P+ D. F9 _' Y0 y
i. W% P4 r0 _& t, T. j; J3 C8 e$ [
% m/ q1 H! P$ v+ l
=x 1 y0 l0 R2 w: w7 o9 fi . @2 I% Q, p# F l+ ?# s3 A, [- Z * X5 I2 [! Q k: G4 A% C2 P +e . l. D$ S8 r8 U& o6 n" a* _ / t: Z3 D- m0 y9 S+ H( n4.1.3 基于分层 softmax 的 Skip-Gram 模型 ! C/ p/ {0 j, H7 F+ ?& u# W. o2 E对于 Skip-Gram 模型来说,输入只有一个词 w w w,输出为 2 c 2c 2c 个词向量 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w),我们期望 P ( x i ∣ x w ) , i = 1 , 2 , . . . , 2 c P(x_i|x_w),i=1,2,...,2c P(x $ V8 s0 P7 w. m# i' Y- Y1 _; a3 ei ! a) U$ ^- _. F1 c * Z% f5 K7 j% B ∣x % O, ^, ?* R3 `$ A# R9 o% f. \, Yw 4 e' v( I9 t" s% w9 J6 Z 2 K6 E. k W8 I# P, C, M
),i=1,2,...,2c 最大。 5 H- H; c: u9 _: q* t5 z2 i0 G( _1 D- I: O$ c
我们在期望 P ( x i ∣ x w ) , i = 1 , 2 , . . . 2 c P(x_i|x_w),i=1,2,...2c P(x ; x5 ~" n# q/ ?& j' r
i, B) d" K- J* u
1 K# A! ^9 h; v c, }* Q- [+ w1 c ∣x 0 v% Q$ L) [1 ~( |& ew, G8 c5 B1 z# R
L6 }8 ~1 E+ G7 ` S ),i=1,2,...2c 最大时,也就是期望 P ( x w ∣ x i ) , i = 1 , 2 , . . . , 2 c P(x_w|x_i),i=1,2,...,2c P(x 7 P) ~& r/ g9 F O: Q7 kw " }; t2 T! X. K7 t [ # q( s9 i6 T" w, Q4 f) u8 g ∣x , D5 j4 f3 |0 V) Q
i N, f- D7 A. U$ l! k3 m/ ` 6 b, C4 r' b2 m ),i=1,2,...,2c 最大,在训练时,word2vec 使用了后者,因为这样可以在一次迭代时不是只更新 x w x_w x 5 m o' w) R3 A- k" Hw, d! b& \" W1 T z
' E) A6 o5 K: p: J( n$ `4 m1 Q4 _ 一个词的词向量,而是 x i , i = 1 , 2 , . . . , 2 c x_i,i=1,2,...,2c x , }# e% Y; E( l9 z$ u: R2 L' b
i 8 c7 j1 ^, v: X- h" O ' D1 \7 ~7 `- O: l8 @
,i=1,2,...,2c 共 2 c 2c 2c 个词的词向量,可以使得整体的迭代更加均衡。所以 Skip-Gram 模型不像 CBOW 模型对输入进行更新,而是对 2 c 2c 2c 个输出进行更新。 2 S3 L1 s& e- K1 |9 e6 [( G2 A+ D3 a5 }& F
这里相当于把每一个原本的输出词向量作为输入,原本的输入词向量作为输出,类似上下文大小为1的 CBOW 模型,依次更新每一个输出的词向量。 1 I; C9 I7 I+ L. E1 C( c7 L) p 8 g) m) C2 S* x% y' w算法流程如下:1 a' c7 ~; L1 f6 D; g6 |8 q
3 ^, f$ k# f# W( y* v# w" T
输入:基于 Skip-Gram 的语料训练样本词向量维度的大小 N N N,Skip-Gram 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η. u+ @& x& n; L$ Z5 a
C- E# r; r7 u1 l( T3 ]: e# U. E1 Y输出:huffman 树的所有内部节点模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x # m2 b( E) a# y3 S- Y2 x/ a6 E* k; x! ] ?, `
第一步基于语料库构建霍夫曼树9 l' ^5 H. d0 G4 p* J" P7 `
7 @+ c+ e; i8 F, ]- K) n5 e; M" ^7 s
第二步随机初始化模型参数 θ \theta θ 和所有词的词向量 x x x) l& E' a0 }) a1 O5 l1 H
7 Y" m" W H; ^: p! _8 i9 p7 Z# H
第三步对每一个样本 ( w , c o n t e x t ( w ) ) (w,context(w)) (w,context(w)) 做如下处理:9 e, _9 W2 p. j+ B6 G2 n
0 N7 ~- q: @8 M; A% m& U
$ for\ i=1\ to\ 2c$:6 w u( k/ p, t/ x t* }5 g
/ f) D F$ R" X" X6 r- @令 e = 0 , f o r j = 2 t o L ( w ) e=0,for\ j=2\ to\ L(w) e=0,for j=2 to L(w),计算:' H G$ m3 w$ g7 S! J
f = σ ( x i T θ j − 1 w ) g = ( 1 − d j w − f ) η e = e + g θ j − 1 w θ j − 1 w = θ j − 1 w + g x i f=\sigma(x^T_i\theta^w_{j-1}) \\ g=(1-d^w_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^w_{j-1} \\ \theta^w_{j-1}=\theta^w_{j-1}+gx_i; |3 e# c3 M0 j6 z, L( @, ^! o
f=σ(x 8 p- Z L+ C/ }i4 `* t+ u3 I& S* M7 y: ~- C; { x
T 1 V! p6 Q# I6 j. W) T * w0 V7 y) c" O, D; K θ / `8 e5 A7 z: i8 S/ I& n: v3 sj−1 : _9 H3 Z+ w5 g( \" vw 4 ?6 q2 Z+ u7 R" U) Z7 e $ n5 X* h2 u, ]7 y/ O& Q1 D% w
); G0 m/ g; y3 y) H0 \7 t) `# y
g=(1−d 1 k6 _8 o% @2 w2 hj1 p5 u, x$ ?9 p
w# Z. ~8 w1 @" Z) g
' b! `3 ^* p6 V, C3 x
−f)η + D% x4 C9 s- Ze=e+gθ 5 e- S& e$ h7 {+ A3 L) S1 w
j−1' f2 w$ A e$ T4 k% k; T1 D
w0 E8 x) L: d' u. J N
7 c9 D. w: v% T Q# r f' K( o
/ {! `' A2 Q7 R
θ : s k1 P+ w7 O: P+ i& }
j−1 5 B( M1 ]# V" q+ E" Dw % K- X* m& h" U " M6 C: Y q) Y% K: {
=θ h4 a" m- w3 t; {' Ij−12 f- W: V m& r$ F/ {
w4 m c& r% |' T5 v- Y3 a: n
1 F$ q1 o9 a6 a +gx 6 D; U x0 Q5 x0 h9 S* u
i 4 h7 O ]. m/ l' T7 y : ^/ Z, n/ _' {; d' l& d: k , _$ n' p' B+ O4 t% Z( _ w 1 p3 s/ {- E" J9 c7 c1 p+ i更新每个该词的词向量: 9 A$ p# ?8 p: w, z1 e8 s2 Wx i = x i + e x_i=x_i+e) {4 e& I! `- S* E0 S* | K
x , P* s) t1 o3 E( W4 w' z# s
i ; I7 |) b; ^ a$ y5 { % L# t8 _+ m- T J; D
=x , `! Y- @, a/ @' e# r/ r1 K5 y2 [i ) S+ N, X/ L# A" n2 ?% m ' x- {, y5 q4 M, Y5 o5 | +e J" F9 B& H( D: _4 g" t3 H1 w/ n7 G7 E
若梯度收敛则结束,否则回到步骤1继续迭代: |: H' g+ o; S2 j3 `
# O7 p k7 @$ K- K2 O& [这里与上面 CBOW 模型的区别在于,上面 CBOW 其实也是由 2 c 2c 2c 个上下文词向量来走到 Huffman 树的叶子节点,但是他的根节点为 2 c 2c 2c 个词向量的求和均值,并且更新的也是 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的 2 c 2c 2c 个词向量。而 Skip-Gram 每次单一的输入 2 c 2c 2c 个词向量中的一个,最后更新的也是这个输入的词向量和Huffman内部节点的参数。 . A O; I. y" E$ K$ {8 {+ M 4 |2 t' O7 S: ~! G$ ^1 k& I) N4.2 Negative Sampling + y J, h9 D* T- {9 R; l/ p% a, N/ j( J相比于分层 softmax ,负采样没有用到霍夫曼树,而是通过采样得到 neg 个负例加上一个真实的正例,进行二元逻辑回归,得到负采样对应每个词 w i w_i w % [- ]. A4 ?& x5 Mi @* {% E+ F# W( s1 [9 Z. Y , K/ Q( m: F1 M: p# Q+ e7 l6 S 对应的模型参数 θ i \theta_i θ : c7 |7 S& W6 t; C2 s
i A1 h. D$ n& l/ L
6 r! E W/ n' @! |" o( ]. h7 }' ^! d) x ,以及每个词的词向量。负采样每次让一个训练样本仅仅更新一小部分的权重参数,从而降低梯度下降过程中的计算量。 9 ?% ]3 b) g) B% H. X6 g 3 j9 D5 [: }* b# g: Y4.2.1 负采样的方法7 H! a' g! n" k5 M
若词汇表大小为 V,我们先将长度为1的线段分成 V 份,每一份对应一个词,且词频越高对应线段长度越长,词 w w w 的长度:* x9 s# s/ B3 J9 X0 t# u; x* G
l e n ( w ) = c o u n t ( w ) ∑ u ∈ v o c a b c o u n t ( u ) len(w)=\frac{count(w)}{\sum_{u\in vocab}count(u)}: i) h* s5 M% t: V
len(w)= 0 `( @ b! B( D- S$ S" \∑ $ z. O+ E' P t
u∈vocab9 a& B0 P/ M' i# A/ i% Q! f9 ?. Z9 v# b
( I) m/ S: h y: p' f6 C+ P1 `. m
count(u)' x/ R; u9 B; |
count(w)4 B* Z* A# d7 E" k2 C! x7 i
$ w* ]! r _: S# C
6 N- K* H, \# W7 a
V9 }* u1 N7 T8 R% O2 @$ S
在word2vec中长度计算如下:: Y) W: [- |' ?$ O
l e n ( w ) = c o u n t ( w ) 3 / 4 ∑ u ∈ v o c a b c o u n t ( u ) 3 / 4 len(w)=\frac{count(w)^{3/4}}{\sum_{u\in vocab}count(u)^{3/4}}2 L6 _& B. u* T5 r2 c
len(w)= + c6 g" n5 `3 i9 U0 b0 e8 @∑ 0 Y) K6 P. o5 n. B0 W, G9 Ju∈vocab 2 S; F& b& R) m/ U5 q; O6 Y ! }) `8 J, y# \7 I; N count(u) 4 z. e9 ~' T. N/ Y. G
3/4 + O6 e4 A6 V% @0 R) f : W/ p1 m8 s7 ~0 J4 p! ecount(w) 2 a* v2 i8 p7 t- `0 \3/4 , X; x% |! v. }9 `7 P6 C4 ] $ }0 {: X7 u! S/ ` 8 ^: l. z' x" {* N$ m K
; N" b- F* @" w( c$ } $ @+ a: A, K: x% A7 { g采样前,我们将线段均匀划分成 M(默认为 1 0 8 10^8 10 9 o( u# Y& Q, A* p; S9 `
8 ( l" v) g6 d6 x- t: _; k )份,且 M >> V,这样每个划分点 m i , i = 0 , 1 , 2 , . . . , M m_i,i=0,1,2,...,M m / t$ {# ]& @6 L5 Bi / g; g: `$ s. ]7 A6 {/ ?$ u) Z2 q ! u2 v) e3 a( b. h ,i=0,1,2,...,M 都对会落在某一个词的线段上,我们只需要从这 M+1 个点上采样出 neg 个位置就行,其对应的词就是我们需要的负例,且注意不要采到正例。 6 D4 f" v5 h: Q9 G! M3 i ; Q2 P0 B$ |8 a/ W- V9 F! @# ~4.2.2 模型参数的梯度计算$ ~% O9 W7 e" v4 ]
假设通过负采样,我们得到 n e g neg neg 个负例 ( c o n t e x t ( w ) , w i ) , i = 1 , 2 , . . . , n e g (context(w),w_i),i=1,2,...,neg (context(w),w % i* V6 ?& E S4 J% Bi $ \% D. D& W' n' Y 0 z$ V0 `: M' o0 g. [0 j
),i=1,2,...,neg,并假设正例词为 w 0 w_0 w ; r( q/ P( T$ m5 W/ `0 A1 m0 u, S. {2 g
7 L7 [2 r8 v# R 6 ]5 w6 c8 j% O' r: L9 d' e4 U2 D; e
那么我们正例和负例期望满足: 0 U! v4 ~2 B9 n- D+ T( d& ^" aP ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = σ ( x w 0 T θ w i ) , y i = 1 , i = 0 P ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) , y i = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n e g P(context(w_0),w_i)=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}),\quad y_i=1,i=0 \\ P(context(w_0),w_i)=1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}),\quad y_i=0,i=1,2,...,neg) v2 u' K5 E) ~. o8 }; T5 a' E
P(context(w - G) l3 H% f" O- T s) ?- f; B
0 $ N# W. ^) ~$ X \ 4 c! B4 c2 n9 F( \4 h ),w . o L" f* r8 b: ~4 V, di * [$ O, R% b7 o) b( S. d & {" C' z Y9 c) Y
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=0,i=1,2,...,neg; R! F$ T( e- x
T4 ?( A! F, H/ N
最大似然为: $ b1 v4 T: d1 G1 _; O3 {P ( w = w 0 ) = ∏ i = 0 n e g P ( c o n t e x t ( w 0 ) , w i ) = ∏ i = 0 n e g [ σ ( x w 0 T θ w i ) ] y i [ 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ] 1 − y i P(w=w_0)=\prod^{neg}_{i=0}P(context(w_0),w_i) =\prod^{neg}_{i=0}[\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})]^{y_i}[1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})]^{1-y_i} ' `9 {4 |8 L, p# z: fP(w=w 4 \9 O6 l* ]4 ^# h! U0 ! r9 @# i7 l H- M7 Y5 b ) R3 w( V" ?5 E )= 3 l0 ~& I0 [0 e, G: h L# q& `
i=00 Z0 v' y0 t ^% C$ @, o
∏4 E# |! q( @7 l @7 y% C2 P- l
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8 I7 `1 a6 h* |0 X7 w6 ^ P(context(w $ u; M: d4 R( y8 D: [2 Q02 o; N" j4 f# x" l0 r9 m% B$ v
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∏ % d. e( p! a/ {4 u7 D: Nneg 2 `3 C0 [2 J8 M+ C, _) K " ?( E8 ?. p! \
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i ) C+ u5 T; S4 N- R m 7 _+ h* P# T# r/ @ F" O: o T8 j( ^" @! L+ m5 v [1−σ(x + o: b) f4 ^* e s4 i s Mw 1 z9 C' c; ~7 l# Y0 F4 `: F8 _! K+ X; w" ~& I& n4 k
6 m# Y$ U3 P) O5 L# s; P- \* | . Y3 K2 Z8 l" _7 {0 ZT 0 M" D2 p* g8 g t ) _6 ?2 T8 [+ a- ` θ ! T# B8 ^2 }# ?+ F0 `$ kw " L( j6 h. l3 w/ }5 R) y' j2 Xi9 w6 r1 G- c2 W4 M
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, H/ m/ Y' f, ^& l* T4 l- ^, o5 f1 ]
& x$ z; h5 z. J4 v4 p
0 q. v( L# V) b: |7 o
取对数 8 q, Z' C, f; p5 q$ `# lL = ∑ i = 0 n e g y i l o g ( σ ( x w 0 T θ w i ) ) + ( 1 − y i ) l o g ( 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ) L=\sum^{neg}_{i=0}y_ilog(\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))+(1-y_i)log(1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))5 x! \% }/ i b$ L6 H6 m# l
L= 9 ?' I) E, Y" S
i=0 y& |5 h% [4 z4 e3 V# ~
∑/ G* \) q) v$ n% h& n3 n8 t
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y ' M# T4 s$ s! w5 G1 h
i . a: P5 Y6 j2 Z9 v* Y5 h ( V# O, L/ B T; ? x, q$ U# `# `
log(σ(x " G/ z. z/ k) z& q/ d5 ~, P
w 3 c1 ?, @+ a" z- t. x. S9 S6 x0 ; m) |! u4 F0 N5 N 6 V: k) i' X) h. r4 m
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i + H# F0 d, b9 X" _ : I8 _+ U( ]- C% E
)log(1−σ(x 6 j. \ P* d7 b3 k& {w 7 o% r" T# e$ E$ L/ s. a* O! Q0) h6 b2 @) [2 Q
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2 e% j4 v# [3 l: r7 ?, R θ ) }7 \) H8 G2 ]" E7 O$ S0 R# Sw 9 s1 K: C: c5 Y& ^
i % _% O" M/ p ~0 N $ ^$ X$ i. d) f1 J L7 {/ D% E3 t2 U* z4 G$ C/ o, {/ C
)) 4 z2 D0 i! \( U, P! P- P `! ^1 T1 ^& b0 A
首先计算 θ w i \theta^{w_i} θ $ P" b$ j0 s" \7 F9 Z9 h3 nw . T4 J$ X W2 J- q9 g; Ji 7 _6 Y9 h3 y6 R( Y% `, p$ W! D . _* n3 z8 M1 V" P5 I0 W% m6 g " t" X. k( T. X1 s# D0 F4 }( t 的梯度: J) u9 b, ^: y5 Q2 x5 d∂ L ∂ θ w i = y i ( 1 − σ ( x w 0 T θ w i ) ) x w 0 − ( 1 − y i ) σ ( x w 0 T θ w i ) x w 0 = ( y i − σ ( x w 0 T θ w i ) ) x w 0 \frac{\partial L}{\partial \theta^{w_i}}=y_i(1-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))x_{w_0}-(1-y_i)\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i})x_{w_0} =(y_i-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))x_{w_0} , W- u5 G( }# ]6 \5 e5 i∂θ % j1 J8 o, d9 I, m
w t* S( C# `: N4 a. x8 f, Q, P* fi0 S* s$ k+ y/ H" }+ [% h6 o
6 R. D5 e) E0 r2 H0 V5 f% g3 T- ^: a. K
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=y + c) B7 ?) g+ Q4 x; j
i 2 D$ Z+ m, G' Y- T3 V' F 8 Z) p$ V4 h, D8 Z* u0 P" k
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w / h3 @* A- \5 i+ W s0 1 I; i, N- k5 C( o4 l$ h $ t( S7 F7 A4 \0 x7 N" c1 b$ H ]- q0 N( G0 R, j$ ~
T 4 F4 ?0 i& s& P1 A 3 ]0 J7 c6 c3 t
θ ! m/ r7 U9 `' f- Q
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s. ~2 n& p" k; I4 W
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w ( ]& Y* J; G* u
0 7 Q' H: U2 i( C' M' v2 ^ ! z9 o# X8 F' |. q7 ^ i7 A! U
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9 J4 O6 }! D/ u# b E2 U
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0 1 I# l9 T4 P! X' K8 e$ l4 m / I5 R' x k1 L9 {8 G7 [9 T0 u' w6 e' J1 y; \$ H; E
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8 S9 { f' `/ z6 O Z2 t7 j5 ]
θ y4 k Z; r. W: n$ @
w 7 B& T( X) S: l- o$ C! K% S" h0 mi) e: ]! F, {3 Y( m4 o
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+ n2 d% V9 ]; l! y! L9 u# E' |) P8 C0 a% `
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i & d2 `1 a' Z# Z' |. W: L# e% A# E 1 O" Y8 c' ^: y! ?: | } −σ(x ' `2 e; N- P" G- `3 t1 f8 Sw ( p6 z# a2 L2 K- P
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3 s) K! c) N; L& U# _/ P- x7 B6 k θ 7 k+ f# U! Y6 H% E5 U
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6 b& }) t4 J' d/ n* d/ w7 A! r' w2 d/ j* x' r
/ H ?6 u. d7 P. I同理可得 x w 0 x_{w_0} x * [1 q" F3 o) L# e; Q% W: P( g
w 8 z) \ A( h* H; Q
0! r9 g1 ]8 X# I) M
' {* m' Y5 c+ ~0 z3 J
2 L8 ]# N2 ~8 p5 {% J e3 ?6 C
. s1 c8 U! e2 x) |% s2 l8 w% F5 _
的梯度:) R# h! i2 C$ H0 X! z( B
∂ L ∂ θ w 0 = ∑ i = 0 n e g ( y i − σ ( x w 0 T θ w i ) ) θ w 0 \frac{\partial L}{\partial \theta^{w_0}}= \sum^{neg}_{i=0}(y_i-\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}))\theta^{w_0} / W. A& q {! J- b: C! g∂θ ! k% y. ^! r, G' _! v y
w + m2 V$ `6 D% O, N3 ~1 }
0# r; j& i2 C# v: \
! T- i0 c# ?8 z4 S
1 B- d5 f$ S* @8 s5 |
) K2 U A0 K3 \6 j: g) \+ H9 d
∂L1 T n: [, {' n: j/ a0 v/ q
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= O7 p! n: n; b' ]5 {( |, _& |
i=0 3 v7 o+ [" X; n3 F∑ 4 z4 n: e$ F7 bneg / m& E1 ]& g3 G1 E % F! p& B1 x7 ^* a; Q, O2 G' M5 \' B
(y 7 V- `4 C. L& ~+ n! y. j( \i' J( A$ g* ^) c; O
7 o5 M# X& R- H# N$ B- L4 f* i −σ(x - z% G3 T0 S, L; O7 \8 _4 ew 3 b; I0 Y2 `/ \' F( f1 c
09 y3 F2 C$ v& W; W/ I E' i- V0 Q
6 P) `4 J1 w7 [8 Q" I
6 n9 M+ z/ p: Z1 e# h
T, G0 G) t. B' w8 ]& M7 }
1 d- p% E( N: i θ / r( i2 r- r$ _9 w/ `" s
w % v% q; c$ F% fi ' Y% i9 b/ O# }+ Z " O! K3 ?' }# A9 A2 c" X1 ~- U" ~* `9 R/ F9 B& }# ?- \
))θ : V7 N* O( `' o
w : ~3 z1 |& \* x% u7 ~% Z0 J% S0 ( h: C+ a* E$ b* v$ D ) s' ?- ^# _, y+ I+ s4 s! Q ; [: W) J: T7 S- J# l+ b" J , b$ a& z, `5 o% ~. |" G- V; A5 F( V$ W9 l4 ]3 m1 p3 w
4.2.3 基于负采样的 CBOW 模型0 ^4 P' |0 t* X1 \
假设我们取得上下文的窗口大小为 2 c 2c 2c ,即训练样本中的每一个词都以其前面和后面 c c c 个词作为输入,该词本身作为样本输出。+ w/ B4 N9 D1 h, k7 f3 A
9 H* |; m- I, v8 B6 E8 O9 N9 t算法流程如下: 5 t6 p3 q p, y( ^& X7 u5 R7 g- q3 L ~# Q9 |4 q
输入:语料训练样本,词向量维度的大小 N N N,CBOW 的上下文窗口大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η,以及负采样的个数 $neg $ 9 x0 F" d$ p4 G4 X & P% ~2 b# I9 F1 ` M/ s$ `输出:词汇表每个词对应的模型参数 θ \theta θ 和所有的词向量 x x x. e2 J/ U6 z# ~5 A8 d
; ~( i* y! u) q" H第一步随机初始化所有的模型参数 θ w \theta^w θ 5 Y( F$ z G* T& Q2 F
w5 P* ~2 P% V+ W7 g6 ? q) G
,所有的词向量 x w x_w x 6 F @. q8 e; [/ M$ y1 P
w& T4 Q' ?- V3 P# s
- y! f7 x+ R; F+ ~# V
: C! r7 h. h2 R& n0 r- v/ z' B, s6 v c3 H0 u! _
第二步对每个训练样本 c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 ) context(w_0),w_0) context(w . f% Q# A3 X9 O2 k9 z* ]
0" r: J8 M# T) ]/ F: n8 o {
4 F3 y5 C1 {) t2 }) }
),w 1 F" W+ [3 Z: `
08 A+ \2 V) m' H/ | d
& Y4 U) o$ m0 m3 C p3 R$ f
),进行负采样,得到 n e g neg neg 个负例词 $w_i,i=1, 2,…,neg $ [. u4 V# x1 P- \& P
6 F% H9 J7 ~7 O* Z
第三步进行梯度上升迭代过程,对训练语料中的每一个样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 , w 1 , . . . , w n e g ) (context(w_0),w_0,w_1,...,w_{neg}) (context(w 5 b) ~) J. ~6 n: `# J8 d
0 2 \4 @& ^7 \5 g2 E3 ]) Z & h- c& s6 X. t; i
),w 8 A& r; K% @+ V" ]" s& f
00 d+ C+ K' v$ D' u1 L4 C
0 l, E! u& L6 B
,w 8 m4 R8 T+ u/ y p' v B' \
1" j" G) L9 j0 f& B8 Y' f$ x
# H8 K) c6 D4 B; \ ,...,w % d% T3 m: h c$ h7 Y( e2 cneg % O8 ~3 }& g% ~7 v( X, f5 k + h% n9 N& }# S0 B/ C )做如下处理: 8 Z0 g& o5 }1 S8 r K4 ]5 i" I 9 k3 I ^3 f7 L; x令 e = 0 e=0 e=0,计算隐含层输出: $ H- Q- T, N, q; g8 gx w 0 = 1 2 c ∑ i = 1 2 c x i x_{w_0}=\frac 1{2c}\sum ^{2c}_{i=1}x_i" E& i; U1 Y! D$ l9 @/ C: K
x ( Q7 z' I8 s- B+ t: [5 G% m! mw " v0 i' D" t0 C# ?7 Q3 [0# i7 p* i) A% t4 Q7 F5 C
; W! H2 B' M# D. U0 q1 [! X4 z/ m
i: { E# w/ _ D1 F# J 5 T' j3 R) H3 q$ j! O = 3 W) V# d3 Z6 Z9 Q: V& K" F3 w9 i2c 6 E7 `: [( i; m9 g2 ]" {1 4 E: P% H7 f D; `+ O; ]0 j / [- o! `0 m. I; Z 7 Z( T" J5 i3 r" D' w# `! si=18 Z* I) `" f" O9 G
∑ ( G5 K+ |7 s( t4 @+ ?+ p4 O+ E2c4 B0 d9 B' J# z) E+ z0 v$ M+ e
5 {# Y+ {! ?4 b" k# A( I
x ) q0 k7 d2 f( y4 e. w( ~. z9 b, Di " [! M7 d4 x2 w" N/ M6 x 7 d$ W" d' z& M$ k; g8 T 9 K) B5 x1 \& T m# h : w ^/ [9 q E1 A: N. D3 y, Hf o r i = 0 t o n e g for\ i=0\ to\ neg for i=0 to neg,计算: ; V ^5 {) Y: @7 A+ [1 xf = σ ( x w 0 T θ w i ) g = ( y i − f ) η e = e + g θ w i θ w i = θ w i + g x w 0 f=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_i}) \\ g=(y_i-f)\eta \\ e = e+g\theta^{w_i} \\ \theta^{w_i}=\theta^{w_i}+gx_{w_0}! p/ h1 Z v0 F7 r
f=σ(x 6 i" W) Q5 {8 b3 E$ F* [3 g4 ^w 6 j5 x+ A9 I; N8 @0 p
02 ]* d9 u. h. \8 e5 p$ c! [
9 q9 s! A0 v0 D- n
7 G* K, H8 C( t- r! Y3 B, ]
T1 k% o, G" J8 Q% n# e! a
3 \# ]1 [! p& b$ z& t% c/ I θ ; f, v9 o5 _2 t' h, N% Y
w t7 Q% L. J" U& j1 H% [) `, z0 i
i / s: r: ]1 S% z( N% A$ y1 W - X! o$ b% |* y/ M# {' l
2 O* g! |$ J7 g$ J- u9 k. Z8 x+ a" z/ V9 D )2 p& d, D* f7 A9 Y. {; V
g=(y $ C3 j! x3 [$ I2 N
i 3 o9 Q+ \9 h7 u" x7 ]$ a + U, n1 b. ~/ w! R6 ~; S' X& F
−f)η+ ?0 S* _, |, ]' z$ u( V7 m
e=e+gθ / F3 N) `! C5 r! ~3 S! E( L
w , `+ Q( ~8 b/ T/ Ri * ?& }, E9 B1 p* s + _4 r1 \5 x, ]) d7 H6 ^1 O
# F. ~: [1 [, a& {2 _5 j
9 y% g/ R; k& C7 u9 m; K +gx $ b+ L! u% t8 I- V- X7 yw - p" p! w% @5 D09 f3 }% E+ {) N3 J: I6 S h Y
3 V! Y6 A5 Y% H# k
2 d# \' H+ i. n2 V2 D' Z9 t% a
3 t8 L; [; ]) L. L4 o6 H. y
: t8 [/ ^# v$ r
+ ^) P4 t8 v. m# u) S8 {根据梯度对 c o n t e x t ( w ) context(w) context(w) 中的每一个词向量 x k x_k x . i% r. [; d" X' s1 B
k 3 U d% z7 d: P5 \1 J" z; f 6 M# w, a) q- D v+ b$ W
(2c 个)进行更新:) f7 h% r, ?( g1 }* ]9 }7 z
x k = x k + e x_k = x_k+e $ P4 A: l+ v7 P; O, G1 ~x T( B* k$ q$ s5 k6 dk 5 x$ l( X9 z, @& [" M& _ & E. i, a6 g" K% l. p9 n =x $ `% Y- P5 f% o- \ B+ ]' ?- Vk 9 s8 P4 ?+ {$ m: @5 D6 r4 X 4 J+ B7 |( ?* q& p +e $ i- s3 y8 M# r2 H& \' K ' V( Q. C7 v% C3 h( T若梯度收敛,结束迭代,否则回到第三步进行迭代更新 + U6 m+ h) c0 s: j& Y: Z7 x* [! Q9 b$ p+ j$ j8 I
4.2.4 基于负采样的 Skip-Gram 模型 7 M) ]2 k F6 \4 b5 N! |* `与基于层级 softmax 的 Skip-Gram 模型一样,这里也是对 2 c 2c 2c 个输出词向量进行迭代更新。 4 T; i; V- p# j b( p; h; y. F' z% c" V8 v8 p8 D6 }) y
算法流程如下:# N- U, z# Q1 ~2 U3 K+ i- V
4 { `% _# b/ l2 q
输入:基于 Skip-Gram 的语料训练样本,词向量的维度大小 N,Skip-Gram 的上下文大小 2 c 2c 2c,步长 η \eta η,负采样的个数 n e g neg neg 。7 ]" B' ~9 f& K. ?$ G+ L& Y* ?
3 D1 w9 v4 f; L/ U& T1 c
输出:词汇表每个词对应的模型参数 θ w \theta^w θ % A( W# F! Y$ _
w6 T$ f' s8 u* d8 ?- d6 {$ `5 }
,所有词向量 x w x_w x 0 G4 F7 ]* c0 Z: Dw % j( ^) e+ @9 h+ r# ^ , H# K: B6 e. ^% M9 i% p: d( o% h
$ E( A! n0 [7 k
第一步随机初始化所有的模型参数 θ \theta θ 和词向量 x x x 9 h1 w8 i6 e& j+ b) L$ A2 g% ^7 |* m: I
第二步对每个训练样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 ) (context(w_0),w_0) (context(w % C9 c2 I- m k( [ V0 [& r
0, v/ |! U H" b9 h. q( C
8 Y8 a+ |1 D, B ),w 1 c6 ~' m4 \1 Y* [' C0 z5 V0' h' k; M/ L4 D& L/ t3 {
: E) X. r! w# v. v2 Z; e
) 采样出 n e g neg neg 个负例词 w i , i = 1 , 2 , . . . , n e g w_i,i=1,2,...,neg w ' R- ]5 w. m- F7 J4 ?, h' m0 N' q9 g% gi7 Y% m# U: o% F) [, g. v
0 E" S* d" E& a. S ,i=1,2,...,neg1 d' o n% j+ `% c- O0 a) ]$ B$ f/ i
. t, A/ _) K9 G6 k- }
第三步进行梯度上升,并更新参数,对每个样本 ( c o n t e x t ( w 0 ) , w 0 , w 1 , . . . , w n e g ) (context(w_0),w_0,w_1,...,w_{neg}) (context(w 3 @( ]8 W0 W4 @1 ~# I0 / H0 v; Y M. ~ U3 W% `5 V8 e5 } ! X( e' U6 K( o8 c
),w ' o0 }3 G% `) W! q, C+ L% J* h5 w+ c; r0 1 J; d7 P% }8 B1 K* m! ^: A0 g8 M ! o% y- _: ~9 I- t6 j5 @ ,w ) F( i H! p8 Z& C! f$ C
1 ! M! |( }+ H% a- X9 @/ w : X* W" b( r0 R' g' \! A7 a4 N/ w" @ ,...,w * p: Z: D5 |* t7 _3 \
neg # x, E7 r: C* Q ) ?7 ?7 p) ]6 G& b! J
) 做如下处理: 6 d- k6 {2 _) }( x" w2 C3 p; h# B9 v* i
f o r i = 1 t o 2 c : for\ i=1\ to\ 2c: for i=1 to 2c:3 y0 i. m5 U6 L1 x( l- j
3 d# M* O' z- X' [6 d# q. R令 e = 0 , f o r j = 0 t o n e g e=0,for\ j=0\ to\ neg e=0,for j=0 to neg,计算: : D, H! i1 {* @! p' i# Y8 zf = σ ( x w 0 T θ w j ) g = ( y j − f ) η e = e + g θ w j θ w j = θ w j + g x w 0 i f=\sigma(x^T_{w_0}\theta^{w_j}) \\ g=(y_j-f)\eta \\ e=e+g\theta^{w_j} \\ \theta^{w_j}=\theta^{w_j}+gx_{w_{0i}} \\" ~: N! h" b/ L$ R, G1 @8 ^4 }
f=σ(x ' ]7 a* D& B1 n0 t1 [2 [7 X9 yw ' [0 r& S& T! O1 b6 K3 v1 P* ], u
0 - K4 M+ D6 n c3 q9 a7 H8 H 2 F# s' b1 V, ]3 y3 X# ?) j; _
, b w! w5 S) c9 c8 `) s) }T3 U) x) Y( N: R; ]
) g, O$ S$ I8 X- C- K θ ! ~6 b0 |4 I% @5 g* g% i* gw . E9 P) j" s* P% Hj$ n# Q, o$ ^, D- v6 u. w
5 f1 O+ e8 U: y9 i
; \6 T' ^1 M: ]8 R其中 w i T w_i^T w 8 v8 @* x# ~- c2 j3 d
i, u$ W+ y) }+ ^# l' M! F
T M( k9 Z4 `9 x2 L' j
8 x0 }( k& e4 w% S
和 w  ̄ j \overline w_j s- ]. V3 [: @# l1 a
w, j L$ S# m6 ^- c5 Q% K
, Z1 T4 F. T3 C( z/ n/ V% Zj - B: k5 g d& _/ X ; }7 _/ _8 ~0 k0 C; q0 p4 U
是我们最终要求解的词向量, b i b_i b 0 [; j, _" ^4 C: ?7 _
i, t2 ^. |( L o
8 }( e/ Z }( R9 H* s 和 b  ̄ j \overline b_j 3 p% K3 o/ C9 g& F ub9 A1 r: O& P) ?3 r; O$ }( e* N
; X. Y5 {2 ~; ~1 N
j3 j0 j) n) V' W" @% R, A" v
( C9 ~6 N$ M( x/ ]6 K 分别是两个词向量的偏置 ; b' N! v, D% H5 A* w- D! D: w 9 J' _$ x) _0 d* w; H构造损失函数: s/ D6 l. g4 o& e( n(4.2) L o s s = ∑ i , j = 1 V f ( X i j ) ( w i T w  ̄ j + b i + b  ̄ j − l o g ( X i j ) ) 2 Loss=\sum^V_{i,j=1}f(X_{ij})(w^T_i\overline w_j+b_i+\overline b_j-log(X_{ij}))^2\tag{4.2}' M J: v3 n' p V, @
Loss= 8 L- G' I0 r$ V% X2 w6 p( T2 H. x+ E7 z
i,j=1 , B! P, r* L/ \9 n T9 R∑- b' i5 H2 V9 d- _0 [
V / b8 e S B( K% O1 ] 0 A) D0 l6 L: [( i: v f(X - v: V. O& \$ b3 x, {8 j9 ? J. yij5 Q1 l' x- A0 X: v
6 ?0 w- W5 P+ }0 J/ ?& y9 W4 u3 k4 j1 F )(w % B2 ^. i1 j Q" S, g+ A$ x+ ?i. }) m7 W1 E+ _/ p5 r: n
T ) ]9 _0 \" N) Y: F/ M# T" d) a ! [3 X8 e, v! R. K+ \, \/ o. O: y j. i5 O; s/ Fw ' y4 ^1 o0 P2 {- X & o( [4 D' F$ m0 U. h9 Fj5 V6 O8 A) G+ e
7 J+ V: S% k/ R# x$ W4 y. R +b - j+ ~+ u$ c5 ^' a* H) J
i 5 [( a. D2 A5 a$ Z & O4 s0 V, U+ \+ r- J3 A + 5 u# B) x4 I5 y8 ]% n" X
b2 b5 S8 L- t2 s5 J2 P- J9 T! p
" F8 u* F7 X7 Z这实际上是一个加了一个权重函数 f ( X i j ) f(X_{ij}) f(X ! K3 s2 s5 b' \, G
ij ) a9 `( v1 v' T. r- ^1 S+ Z+ P 0 B: u$ {* K" p ) 的均方误差,而且我们希望: . s* M T* ~# g$ C" ^+ H3 M1 [) e9 m6 X$ W% g6 L/ }
一起出现次数多的单词的权重要大于那些很少一起出现的单词,所以 f f f 是非递减函数 8 K/ a6 R7 g9 J# m5 o4 E而且这个权重不能过大,到一定程度后不再增加% o# N1 J9 K3 W0 \$ N% p; I
如果两个单词没有一起出现过,即 X i j = 0 X_{ij}=0 X , l, j3 K) h, R. d( U7 Hij p9 u; E/ O3 J
2 h, g' s! _5 `$ H8 M. E
=0,那么它们不应该参与到 Loss 的计算中去,所以 f f f 要满足 f ( 0 ) = 0 f(0)=0 f(0)=0) m' P9 Y! V3 _0 D/ Y4 d' z
作者使用的是如下函数:5 T' X/ g7 b# _, r2 D9 {8 K
(4.3) f ( x ) = { ( x / x m a x ) α i f x < x m a x 1 o t h e r w i s f(x)= + Y0 J9 K% x2 g: ?3 l7 l. p9 ?{(x/xmax)α1amp;if xamp;otherwislt;xmax # ]$ C; d. c: x* |! p{(x/xmax)αamp;if xlt;xmax1amp;otherwis & j& M( i8 @' u\tag{4.3}, H, B% z3 Q; Q% o+ ?6 L! e
f(x)={ % ]) {& v$ v' u8 d0 j
(x/x 9 y: K) Q1 @; } q9 ?8 Z( j, lmax2 j, h, J/ }: M# i1 T
' P8 q% y. s5 A1 F v5 `
) / _. o* g' F# \9 h' h2 ]* o- ~4 Gα 7 a7 z; }/ |" X! E' f, e0 Z, n s) L
1, L: J; W! R. h( J s4 d( N+ `
( c1 O2 s$ C; s1 V4 l v# |& x" g/ u7 L0 T
if x<x 1 n" \4 s- O7 U3 k# I$ u0 V6 |+ Q
max ( ~0 P( h" H5 O: u 6 t; b+ }3 C6 I7 ` `7 B* Y2 K/ U1 }
otherwis+ v) @: Q! o9 A5 F
0 [( |! b, Q+ Q$ ` (4.3)( x% X4 |- z( i! k
5 A; \/ Y5 B( F; Y1 O, ?其中 α = 0.75 , x m a x = 100 \alpha=0.75,x_{max}=100 α=0.75,x ; Z) C" _" G7 J7 N% {) l5 @max* H4 q; f% C- a6 c
r& q# J8 }4 n7 r9 J5 z =100 2 k& s$ F7 f' [( u7 G- C' O! B+ R 8 s! ], j3 X3 w5 b8 W9 [% H根据 Loss 计算梯度并更新参数 5 f/ y7 j! \, d" K4 B4 R' s / m# h3 ?6 t) I0 [4 r0 {- o6 c2.1 共现矩阵. J! {# }1 j' W+ y) o
共现矩阵中的每一个元素 X i j X_{ij} X d2 ?. m1 n5 t. S; R( C
ij$ Y: @7 T8 U5 c
: y2 j$ u' k/ m( M" y
代表的是以单词 i i i 为中心词时,单词 j j j 在特定大小的上下文窗口内共同出现的次数。一般来说次数最小单位是1,但是 GloVe 根据两个单词在上下文窗口的距离 d d d,增加了一个衰减函数 d e c a y = 1 / d decay=1/d decay=1/d,也就是距离越远的两个单词所占总计数的权重越小 4 y* G0 K% }# x, q, Q+ }' `+ H5 \3 m# E6 |7 h
3. 公式推导/ f% e: b/ M* X+ q- a
我们先定义一些变量: 0 e. G- m6 s9 T ' E) z9 p0 U! _! tX i j X_{ij} X - l4 r! I* Z! }4 e( B* x
ij 2 M1 J: M) F5 i; O" g" g+ X & d! w: C( w8 C 表示单词 j j j 出现在单词 i i i 的上下文中的次数/ v. }1 B: R- A! r2 w% J. B& d
X i = ∑ k X i k X_i=\sum^kX_{ik} X 6 d' |, A7 n4 k6 Ai ( J ^- A9 A. y* G( P( P1 y / z- N6 o; N! W7 a$ A" D$ b" b7 U
=∑ $ S# X1 I8 p2 v5 B" q2 tk ! Q/ y9 G1 E) q1 J X 4 q. |9 l; l3 ?( i+ iik8 I7 d; a& I2 v
8 H$ p( l. C% |% I' h 表示单词 i i i 的上下文中所有单词出现的总次数% o% y# U- Y7 G- U. v. a
P i j = P ( j ∣ i ) = X i j / X i P_{ij}=P(j|i)=X_{ij}/X_i P 5 z& h" w% R( ]2 q7 B9 J6 H
ij - g- c7 L& y$ F/ [ * c1 @+ M# j0 U% i
=P(j∣i)=X 7 {# z" a( ^& D. p
ij& S5 E1 g4 K" z
5 s. t( l* Y) T* Y2 a9 M2 q- f /X 9 h% B5 E- r8 |8 ?
i 9 B$ o5 L2 l) ?' R5 e- j# J( p7 i $ a3 Z: V8 ]9 C 表示单词 j j j 出现在单词 i i i 的上下文中的概率+ ] S- a9 R0 ~1 k7 E# f" g
核心思想是,对任意的词 i i i 和词 j j j,以及第三个词 k k k,如果词 k k k 与词 i i i 比词 k k k 与词 j j j 有更深的关联,我们就有: $ p5 Y8 v: u: c: y; D(4.4) P i k > P j k P_{ik}>_{jk}\tag{4.4} ' @" `/ |3 F j3 s6 m5 r# W; uP 4 f6 H5 O5 }) \2 A
ik/ q r. K9 |1 o) ?! i" a
) E. O2 d6 V. [# X > . Y P- \- J7 B) j) |' o v
jk. g7 I4 h. a/ U* |" P: D9 k$ ]
$ i! v4 W7 V7 ^" w2 j (4.4) . ~% V: Z) }/ i S 1 M* h+ D* ^% T! h8 S- {且它们的比值很大,同理若词 j j j 比词 k k k 与词 i i i 有更深的关联,那么它们的比值越小,若它们都很相关或者都不相关,则比值接近于1 。5 S* n" X- O2 K& ~9 m
- l `4 }9 W9 ~' w由上可以构造出如下函数:9 X' r. o; \* P3 M0 z
(4.5) F ( w i , w j , w  ̄ k ) = P i k P j k F(w_i,w_j,\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.5}' ?/ S3 h# }0 A7 v/ D: A* r0 h
F(w ' @7 @9 v7 ~# V0 {3 q
i ( R1 G, n8 e2 W3 e2 \7 F4 {9 K9 E " Q9 d. s( y0 U1 n) Z; z
,w w; c: t4 `3 Lj 7 H; p3 r- D( m ) T1 b K0 k( [6 p2 K6 O; H0 U* u , b! ^2 B( ]% W& Uw . y4 \; d: `! L- ~/ r7 w 4 _4 n% I2 W# G* O. a( u% sk ! s) a0 O) A! @) B # }. K& G$ H* y
)= / w: q! q, p7 O
P - f- r8 C" A% m# ^* zjk + s% e* H% p, R9 j, E 8 i7 F/ ` J) ~) Z
' U8 v; ^ @/ k4 O g, pP & i0 X2 e- R4 ~$ `# w! [$ C
ik9 m- L- i: R5 ?% d+ t! ?2 \2 g
9 t! q3 g% k( p) G+ P " M/ w. S( m& ^) Y* ^, l ' H7 y F2 _# B$ }: q
(4.5)) P% c& y) V" Z9 Z! G/ V
2 U5 b' [3 c0 Z- p其中 w i w_i w + i4 @) j. F$ Q4 ci % p7 S' r9 \) I( ? & t! O5 q( {+ z/ A
和 w j w_j w $ k1 t) h7 ~- x0 j2 S5 V$ r" ]) u( q$ t
j; w5 Z2 g1 E2 M' `& \
7 [: H( C& Z5 a: `
是我们要比较的两个词向量, w  ̄ k \overline w_k ) c+ H8 [6 x; ~3 [
w2 M, b) D5 {- B$ r; m" e) C
6 G) @ v, j7 Q- b. N! K6 |6 y* U
k3 ~ A. z x T0 `6 F: u, T
8 f5 r/ N C7 {: C- F f
是其他的词向量,函数 F F F 的参数和具体形式未定$ R/ v7 A) u2 U" M
% i( r$ o; E0 d# f/ k* V又因为向量空间是线性的,我们可以用作差的方式衡量两个向量的差异,于是 ( 3.2 ) (3.2) (3.2)式可以变换成如下形式: 7 G6 s+ @- ~, F* k8 M$ O# b& R(4.6) F ( ( w i − w j ) , w  ̄ k ) = P i k P j k F((w_i-w_j),\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.6}2 L4 o1 A+ p& @; H4 M0 A
F((w . E5 S% b& o5 M$ O) O3 S$ g, m8 |
i, X6 j: Z' A* |: F Q9 ~& E
G" r# I. C- b- p& n$ m* S& W7 J
−w 7 Y+ G6 r' K1 ~- y7 e% { n
j; c7 Z* @4 x8 m1 \3 f3 u* c. ^
# \7 j% u d, }2 Y
), & u) f. R, h8 m" `
w1 L% p* D7 \: s8 y* U
0 j( m2 N9 D, C8 zk9 ~7 q) m2 ~; n5 c
; X( J% ?! S" z )= # ]4 |+ G7 w" @4 mP 6 v2 h# T& K: S+ b# t
jk4 g5 t8 P9 z4 f, T$ @- D
9 c; X; Q% `) z$ t- \& d) I' k# C3 }0 o& J" M- C: G+ V. r1 {* N
P ; _# W! o1 @& `' S3 Jik 9 P; F. }0 g' ?1 E: \! [+ L & \. `0 {5 J; B# _; X6 D* U% J( a% g$ F7 }' r
# d* A3 V! D6 @9 U: p) P9 }. s
(4.6) N: {( C5 u* ^' h8 ~( d. d9 @3 E+ E6 |
对上式可以发现右侧是个数量,左侧参数都是向量,于是可以对左侧两个向量做一个内积: % D+ e4 V- f+ o(4.7) F ( ( w i − w j ) T w  ̄ k ) = P i k P j k F((w_i-w_j)^T\overline w_k)=\frac{P_{ik}}{P_{jk}} \tag{4.7} 7 O& `4 ~: z% cF((w 2 f$ f( C+ P$ ?" [& Vi' J& F! ]; x) @; Y
0 O3 ?8 [% ?9 c" c9 D- m7 E0 w
−w " {1 U/ F; [' S O& X3 c# [! p9 T2 ~
j0 e3 ^7 `. O0 m
# s9 r8 B; _7 _1 ?% D9 Y
) ! N" d* C0 e$ W$ `T/ U$ \/ p4 l+ w/ d. z! d7 N
6 S9 K# ^1 X$ Z/ I; l+ ~9 @" Jw2 F* Y9 a/ O. g0 } n' C" k7 A
2 [9 Z; P3 o6 }5 ~" Dk ! J3 u+ ^- n% c6 b: p4 { $ }3 l" G% W' T1 S+ |0 k )= + v9 f0 _3 g5 k
P 5 d$ j/ P, Y, y% r
jk# m C8 i2 u' a* d: C' L" _' f; ]
4 S3 u/ v" R+ D # z) F! e/ s- r. w$ P3 w7 L- f: tP 0 F9 D9 i; a; T Z$ W! Zik: p5 r( |1 ~) J
, z! f% R( v) {9 D- Y, `
1 w9 [1 ]9 a6 C : _- q( v0 f, a! p* A, W+ a
(4.7)# ~: c7 H$ Y- H
% @" X9 M( R, ^7 ~* G" ~" F1 X
回到问题本身,我们要是基于 cooccur 进行计算的,实际上在一次共现中词 w i , w j w_i,w_j w . W( u' e7 B( a0 Gi # n; v: Y* n) \* I 6 w5 O* _) d* ?
,w - R( `5 ?; J. Fj : O" C H1 |; p6 x& m - g! b8 `+ `0 B* g8 ]" c& L0 Y 是同等地位的,我们需要 F ( w i , w j ) = = F ( w j , w i ) F(w_i,w_j)==F(w_j,w_i) F(w * O9 \! ^! D7 S. K* u! F8 zi, z. r3 ^+ y, l, O9 M9 F% R8 M
, u2 }- K; A( V5 i, q ,w ! C8 w. M' _9 P; z& V& |) Nj1 G; E, }, n4 e2 h
" B6 P" P; O% w. s' \' l; F
)==F(w : z4 `5 n2 Z2 S* pj& j, R& f' K% h+ q1 v
+ }7 Y0 e( [- L, S4 V3 L) s
,w ' W6 d$ f/ u/ |) x% r( J8 Ai ' G J- ]6 k! w 8 Y% ?' `0 ~: u! m ),而现在的公式是不满足的,故而我们需要给 F F F 一个约束(套一层指数运算),将差的形式变成商的形式,使得 F F F 是一个同态变换:% }9 |/ x [* H6 u, |
(4.8) F ( ( w i − w j ) T w  ̄ k ) = F ( w i T w  ̄ k ) F ( w j T w  ̄ k ) F((w_i-w_j)^T\overline w_k)=\frac{F(w^T_i\overline w_k)}{F(w^T_j\overline w_k)} \tag{4.8} " d7 ^" i6 k$ J& A9 |; vF((w 2 N# \0 q, c' o& @& M& h, Pi ( z6 u8 A1 j/ U + s _) b$ t9 J6 U1 z4 R5 W
−w 6 k* Y3 ~7 M R& R
j , y( x3 N0 J1 V ( T- ?* G4 p3 D" p2 Y3 f
) 1 p! Z* b2 E2 T7 |/ k- o6 H) O4 d
T $ @/ s$ r, ~- x$ C* q; @0 f, |5 _. g
w1 J9 [6 ^ ^& E; d
( e$ J H+ Z7 W9 t% A/ H
k 4 a6 J+ S8 h+ d * m! F* D0 T3 x u )= / p! n. r- t# b5 N9 X) tF(w * C7 y. F- L* `# P; R% W- P2 Qj) S' t3 ?$ y4 K2 B2 `
T7 i1 a6 y" j; u$ E
" M5 E1 e! y$ h/ l5 f# v$ g6 |3 {# T- t, N1 G4 b8 [; M$ r- l
w : w9 ~2 S, }" ~) v: q9 W$ G2 ~9 m! F7 z- c8 ^4 y1 T
k( g& j- g9 [/ F0 o. `
+ N6 B( l0 M3 P' V/ e8 [! Y0 o ) + w8 j! T: p& \/ z' _' }" O# a( YF(w 3 `: b* V7 d. T5 o0 r! _$ ^ `/ Ji 6 _. n# g. w! h$ X: t; y; ET, u/ x, C; j" _* y9 u
$ p+ Q) [4 n# a/ y1 g C
* N! ?" |4 G1 q3 Q& }
w0 O, L% C9 [6 J; M: a; I% H
2 W2 X" D/ h! Y- R1 x: w5 `5 |( j' ?
k; k* l$ E+ p( d M! W
8 T7 P9 @7 G; ?
)$ Y- }7 ~# d8 w$ N. g6 v
" [) r% p$ C4 b6 e, v% w3 Z
(4.8)2 U6 ]- W8 K! G7 \: E' m
, r5 r- Z, t) q. ]0 f5 W% X3 S" i这样,由 ( 3.4 ) (3.4) (3.4)和 ( 3.5 ) (3.5) (3.5)式,可得: ' ~" _! ~: _1 c- w6 @& _(4.9) F ( w i T ) = P i k = X i k X i F(w_i^T)=P_{ik}=\frac{X_{ik}}{X_i} \tag{4.9} ( [4 c( h! i% s" uF(w ) c, W5 R8 O! H7 [
i6 m- ?6 p0 e5 G: n: H/ n
T6 j7 g* i2 r* }! q+ g; ~5 [
2 @: C; H g# m7 R$ y% p! _3 `3 N3 H
)=P * T" i) E2 ~$ B) S: d6 e* A8 sik + v j0 Y# V8 E# i4 U! ?: f % s7 c) e3 j$ q0 n
= 1 z3 n0 E9 p/ H2 XX 2 n* u7 h# k0 i! z6 m
i9 G% z Z5 y' J, T' L
1 q3 Q# w4 o3 @. u9 F1 N6 t+ P* l3 a
X " \8 B( b' L1 b% i8 ]4 q! z$ L: Kik' O5 ]& }- x: a
. t& r7 B0 }) o, z9 o# H& A! ^ $ F+ w! N; ]5 l ! ^- F4 O/ ]9 y0 c* _3 S8 e- H
(4.9) 2 m M9 \7 M/ }+ X" D6 ~ 0 p. S- D v' p8 H然后我们令 F = e x p F=exp F=exp,两边取对数于是有:8 a0 b1 v, B4 O& e
(4.10) w i T w  ̄ k = l o g ( P i k ) = l o g ( X i k ) − l o g ( X i ) w^T_i\overline w_k=log(P_{ik})=log(X_{ik})-log(X_i) \tag{4.10} + D% |; w# r- [5 o8 z2 x& e2 }w $ l; D! P6 @9 `. W
i 0 l. f# c$ h* m0 } e: ZT . S, z) l& G& R! r/ o/ o* [ % d4 {* x+ W& y: F/ J( C5 q
' B) J% q6 }5 w. L% N2 @w% w3 w; R' h m$ b. K
8 \4 p1 b l! k: C$ Z& B
k " Q/ q- w. j3 L/ x 3 T" v2 Q9 o1 C) {, T. a! N
=log(P , ?7 w: [' B+ V. M9 E8 H- ]+ Hik6 `9 ^6 v& w/ ?- G- ^0 A
$ \( H2 ^" @( G$ x' a% J )=log(X ) H% C# \9 S) eik # Z) D" R0 `2 O3 }; w4 i + ~( s/ l8 D( o" G/ z )−log(X 5 x/ z5 K; n" `0 S$ v
i ( T5 n/ B- G4 ~ x & h1 A0 o$ A) i/ v0 S1 W
)(4.10) % U% u" r1 i/ R5 u3 x# V) J # l! q! F, Z, I' t& J但是公式还是没有满足对称性(当交换词 w i w_i w + X$ B8 }' C1 F" l
i 3 R, A; N1 b8 O ! S3 R J3 f3 E9 @ 和词 w  ̄ k \overline w_k , c2 ~: r% n, Pw ! A( f1 K8 t9 D4 }* @) }* Y. Y! M' S3 d1 }, D% E4 ~
k2 U8 U* P% ?1 |! S5 I C. O9 w1 A
: V [2 B3 `6 ^) G$ s3 y
时公式不一致),且 l o g ( X i ) log(X_i) log(X 2 T" b& w' ?2 u0 M; V: n8 r/ t% \i * {/ ~1 O" Z2 W. \$ W 9 O9 N) F8 B, z: M ) 只与 i i i 有关,我们将其吸纳进 w i w_i w + ?/ e- m# z Ei % D( Y* G4 ~( f: k" ] 4 K. d ~% _% c1 g0 Z3 ?8 A" q1 ] 的偏置 b i b_i b `, `2 g5 m v- P$ K" H' z) P3 E* ii . z( i- A7 N% R4 |1 o4 L$ r 9 Y5 o) L0 d6 r4 @/ e) Y4 {
,同时我们可以针对 w  ̄ k \overline w_k 8 L \+ a8 F! O" N2 d# e( u
w* q: u; Y0 r8 ~% K9 T+ `- d
H+ X2 x7 x+ J4 dk+ X! f5 Q$ C' M" `8 }* v
4 a7 B% q: r$ M" P8 ]+ |
加一个偏置 b k b_k b : \, |+ W4 y9 v8 \
k / p+ X5 ?+ t _" ^, N4 A $ `% O7 \7 ?; y+ ^8 k# }& b: j! L# { :. S1 x9 y% x; M2 m9 Q: b
(4.11) w i T w  ̄ k + b i + b k = l o g ( X i k ) w^T_i\overline w_k+b_i+b_k=log(X_{ik})\tag{4.11}2 |0 r3 C9 R. k5 r- t
w ; S: W+ i" h$ {# Y4 E I; B' U0 J: [i6 c( |7 F H9 H& s* V
T# @$ ^& f9 a. x3 u; N& F1 L- w" {
" _+ v5 c- S; T( e! j4 D ' e1 A0 ]. w7 f! v( D* `, O( x' _4 Gw1 P( y- { W* O4 C o' p
) ~* y. ?1 ]1 {* t6 i/ W5 zk8 f) P- N2 y1 ?( \
/ [! G7 X6 u% ]' P +b ( p9 W& {$ J& X" U7 n
i- N/ z4 r6 s; A; P& Q4 c
/ w) Y- F- e% c# i7 R +b 8 U6 |3 E8 S' L4 o* Nk( v2 W: R2 Z6 M5 d% p* i2 a6 i! g% P
6 |# L% B# V' u% I1 C =log(X # R9 \+ _# T; t
ik 4 f: q* P$ q2 ?6 |& }* c& R" @ 9 \+ t* Y, B ]- a+ k5 H# p
)(4.11)5 s( d: n: F" T3 B# ~$ Z1 u2 E
* I1 i! y0 a' Z- W五、ELMo7 p' C/ o5 j h$ U
1. 简单介绍/ n! m9 k2 q# ~" b2 H5 V- b( w, j
ELMo 是一种新型的语境化的词嵌入(contextualized word-embeddings)模型,可对词进行复杂特征(如句法和语义)和词在语言语境中的变化进行建模(即对多义词进行建模),根据单词在句子的上下文中表示的不同含义,给它们不同的表征。打破了之前 word2vec 一个词对应一个词向量的 embedding 方式。 5 _5 }4 H* a, W6 [# ^" o8 o: P" m$ d2 D( X$ c3 c! i- z
ELMo的主要做法是先训练一个完整的语言模型,再用这个语言模型去处理需要训练的文本,生成相应的词向量,它使用针对特定任务的双向 LSTM 来创建嵌入。同时它用到了 finetuning 的技巧,在预训练好的模型上,我们只需让其在我们自己的训练数据上进行微调就能使用。 / ]3 k1 ~2 i0 d" g4 ]+ ^$ s/ R , }2 R5 g. J4 A& _2. 基本原理5 A! n7 L2 A( J- } ?
ELMo 最重要的就是训练的语言模型,模型结构如下:: q+ c4 M$ W! ~. P6 l# ^4 s
" d* |) A5 V4 I# D5 M2 ^; g
, i. q* D; D6 E2 i3 G, i: x
0 {- C+ H# B* ]/ `
它使用的是一个双向的 LSTM 语言模型,目标函数就是取这两个方向的语言模型的最大似然。 0 p# g. a8 D6 { O, W- e" V6 t1 t* ^- ?1 ]
前向 LSTM: 1 s# t! a }; {3 B( v0 yp ( t 1 , t 2 , . . . , t N ) = ∏ k = 1 N p ( t k ∣ t 1 , t 2 , . . . , t k − 1 ) p(t_1,t_2,...,t_N)=\prod^N_{k=1}p(t_k|t_1,t_2,...,t_{k-1}) # _3 a! T1 l, l1 a9 q+ hp(t 0 w4 B! x4 \( k( Z$ u( t
1 3 l2 l) s3 S. y/ {& q 0 w }1 N0 R9 H8 {) j3 c& `
,t " X$ g- g9 H6 g6 r
2 ( R4 t/ E W1 t4 m& V9 E 4 M# k' f3 c8 d8 ^
,...,t 6 |* \! z( U) v" Z/ L
N4 _. h' L! O% c1 L Q
8 Q6 O# d0 {; ^ N& S
)= + K' i7 w% w5 ^* c6 g0 Z6 T
k=19 h8 b2 T- q) _9 e! l* K2 ^; X N5 f$ F
∏ / |4 s z) Q# W" xN 8 e* r3 M1 q+ p% q! i: ~ K# V' E 8 @" W* s5 @* Q7 f: {2 F' d
p(t 3 Q* r; z4 L$ V
k 6 V- D6 J9 |* T- k0 Q 9 w- k5 ^/ ?6 _% B7 V z
∣t ( G& J7 w: \7 e3 p: j/ I
1* R& m+ m" n- U0 M& h
d. d! m: ]% Y8 }& f) ^, S' R1 g
,t 2 Y, t ^8 O# a0 a+ Q8 Q8 N" @* ~24 G0 N) E4 F4 L* P
) X# r# X. l2 ~ ,...,t # M$ j: K( m( G. \4 z) z+ n& q
k−1' s; a6 c1 ^$ g! E/ O( \7 ~
0 L1 m/ s6 u; M1 S. r8 l$ u; u6 j
) 3 K8 i4 z p: d' {* J! O4 a4 N9 ~: @, ]$ Y% ?: }
反向 LSTM: ; D; k3 @) O3 v- W6 Y: mp ( t 1 , t 2 , . . . , t N ) = ∏ k = 1 N p ( t k ∣ t k + 1 , t k + 2 , . . . , t N ) p(t_1,t_2,...,t_N)=\prod^N_{k=1}p(t_k|t_{k+1},t_{k+2},...,t_N) . T% z3 O) P' \& [- Y/ |/ Y$ a8 G: Rp(t 3 `5 n3 q2 f I1 " t3 Q! S" w" @5 {8 P; I 9 V$ J" p8 g! v2 H ,t ^7 z7 b( w% _2 x9 r0 z8 ]7 P5 R! z
21 w% z, C1 w& W4 A r" Z- ]
: R0 r* _* R( I1 F$ [
,...,t + _1 X1 |, \4 @4 J+ Y. n( AN 1 k1 J O, Y4 h+ \ $ E9 [/ _1 h0 P; R3 D, m )= ; D- T, J$ {$ @$ G$ J7 h' D4 Ak=1 + E3 {6 _, i# a∏: U3 x f" K, F
N / z+ i+ o4 O/ `5 N ' j; s }% | L: E# J p(t 6 g* X, _9 c' @0 Z% f/ \9 M) {+ s
k" `1 H. o5 U0 K$ |7 q: t( L) F* s
5 P2 J* {4 k9 `* \& A2 G ∣t ; Z8 N4 D' n7 J5 A+ vk+1 . K) t, g. }% O8 A3 P7 ~7 l ; h5 f) Q4 e# T2 o& \% q! F4 \' W ,t / d2 f' k4 q; L3 ]) Z8 j( N
k+22 U0 Z# F# n( D, D
2 c" e1 \/ A/ d. x& S1 \
,...,t 9 B; X h f$ p5 ?$ KN 3 _0 M! ?2 o: x1 y P; d + ]$ E6 @0 i4 P% G1 j y1 d/ M9 E
) 1 A7 S( x/ Q# m* a f$ \% K' R $ }: F9 y/ D4 I6 Q最大似然函数: 6 p( }) s4 I- H+ Q+ ?# E9 E) e∑ k = 1 N ( l o g p ( t k ∣ t 1 , t 2 , . . . , t k − 1 ) + l o g p ( t k ∣ t k + 1 , t k + 2 , . . . , t N ) ) \sum^N_{k=1}(logp(t_k|t_1,t_2,...,t_{k-1})+logp(t_k|t_{k+1},t_{k+2},...,t_N)) & s, ^8 Q- m6 a X- G0 c4 F$ n" Ck=1 , z: s: d: N7 c: X. g% k8 L∑; Q j, }; f! v
N% Z( d$ {; F$ A% V! I
( t/ I$ R6 r; q; } (logp(t 6 Q, T! ]6 T" u0 D( Z/ d" uk3 @2 Y$ U. }: g4 T) y! m0 E- M
# Z$ n3 i& P6 `* H# g0 E7 F, Z/ \ ∣t . n2 q, U, P+ l& x; I
1 % c. B6 c- p6 S9 S2 A7 Y ( o$ B; X, B+ z8 h, F l# M6 x2 N ,t ; h/ W) A6 x) f& r' w, w. U8 N2 ' |# {& P6 ]5 }( C9 w + w9 [) q& N- N ,...,t 3 z! g/ Y. l0 ]+ T8 C/ Mk−1 4 P2 H* k, O9 T 3 k" p$ [# j5 ?/ V )+logp(t % g* o, k* u+ Q$ ~
k $ q! t1 `0 |* f + S5 Y0 l% F8 p1 F/ R$ C/ j ∣t 5 p/ B) L& v( d1 L4 s
k+1 7 \; q3 @- x' v, [ | 7 P& U4 N4 ]# R5 P2 ?7 G
,t ?: X8 y( l8 A! h
k+25 S% g3 k; d; {' u( J0 O
9 Q# q: K) G; R- o8 e. m5 P ,...,t + T- C3 i" r4 r" a: Z
N4 B6 t% A4 c& j4 v9 P
3 K3 M2 s. [0 H+ C. S
))6 ]" o5 f! H; Y1 V) g1 l' ?: m
3 I5 x* k/ J0 ^
其中 ( t 1 , t 2 , . . . , t N ) (t_1,t_2,...,t_N) (t ; b# k( m \! e# G. j7 J- ^
1 + q" D2 C- `9 Q: K( y8 f 5 t3 v0 s! \1 r" p L3 p; j ,t 6 Q! |* i& Q' P) z/ L/ f1 _5 b3 y9 L
2- H; Y4 d& c% l& }! H
! Y1 q8 ?8 o' r. R: m ,...,t 2 r! n' X& Q ]- n% T- B
N0 V: O% s: }. X% f$ @
: N# w1 F; l, L/ a) ^! P$ T9 N
) 是一系列的 tokens,对每一个 tokens,一个 L 层的双向 LSTM 要计算出 L+1 个表征(词向量),我们可以取最后的一个表征作为我们需要的词向量,也可以综合所有的表征做加权求和得到最终结果。7 D2 k5 J( J/ g: U
4 r" n0 F v6 v0 P$ S, z& K
2.1 具体步骤( o$ ], q L( F# P# T
对于一个 supervise NLP 任务,可以分为三步: $ H2 q9 {6 M7 A. h4 G' Q' [/ l7 s8 E2 S- O! D! z! C
产生预训练好的双向语言模型,模型由两层的双向 LSTM 组成,之间可由残差连接; G$ j! n- J( R& E3 R( M; f
在任务语料上 finetuning(无监督训练)进一步得到语言模型: i+ a- w& I; u6 e# b
利用 ELMo 的 word embedding 进行上层任务的训练 7 ^) I. ?3 s" U4 z3. 模型评价 8 ^1 R7 c% R" G3.1 优点 C& i. r. E6 b6 p0 }. X
ELMo 训练词向量是基于上下文变化而改变的,所以在一词多意方面 ELMo 的效果一定比 word2vec 要好。/ Y4 L; ?( F. m+ ~
2 ]5 {9 L9 u% E% f! h- V) r" n) i
ELMo 利用了双向的 LSTM 模型,能看到更长的上下文信息,更加准确代表一个词的意思。 6 ^( Q+ D3 ?, g* T' ^, l1 j* Y# x$ G2 T' N: m9 ~
ELMo 还有一个优势,就是它建立语言模型的时候,可以运用非任务的超大语料库去学习,一旦学习好了,可以平行的运用到相似问题上。7 c9 t% R; M% N$ c, e& M' F- |
+ F# o) ~% k5 J( r! f9 G6 T+ p
3.2 缺点 0 g$ ^5 k. z* s3 f" bELMo 对双向 LSTM 模型的输出只是采取的简单的拼接,并不能很好地融合双向的语义信息。 ) Y T q. x8 n/ |" z+ a双向 LSTM 模型对语义的提取不如 Transformer。* ^2 \- z; [! R( x4 |# `3 |
六、GPT 8 Y! _1 d3 h. i/ G% K1. 简单介绍& k* _0 u3 j+ J) `; b' [# m8 ~% z
GPT 是一种半监督的处理语言理解任务的模型,使用非监督的预训练和监督方式的微调。模型的目标是学习一个通用的表示,经过很小的调整就能在大量任务上进行应用,而且这个模型不需要目标任务和非标注的数据集在同一个领域,模型分为两个阶段: . L# ]$ c( k1 u$ T+ m8 T) U" x: z5 k# @9 O; F1 u
用语言模型预训练好一个深度模型 % w% Z% {0 D# E5 D使用相应的有标签的数据将这个模型的参数调整到目标任务 ; P9 }9 n$ t6 c3 y; W* _8 C" Q2. 模型结构和基本原理 1 M. Z: l* M5 _, U ( |, i* @0 ^3 F, F+ j8 O7 N8 F3 t4 \9 r' h6 V, I/ Q
2.1 无监督预训练2 ^3 ?2 y: Z+ x7 p' B
预训练过程是对非监督文本 ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) (x_1,x_2,...,x_m) (x ' Y# p( o" w" W2 t: ~* N1$ x8 c3 T4 W% ^2 X
4 Y, i- n2 e |3 b ,x ! F$ @9 L" F7 p! E$ i2 u" c
2 8 q# U6 @ e- |9 J5 O% k/ u a ( F5 O7 v- {5 Z- f. o
,...,x ) Q5 X0 x7 x/ a! _; h4 Hm 0 B- V% a s+ w# n% n 5 n6 G% J8 Q' `+ A0 y$ U( ~
) 的处理,我们的目标是用语言模型去最大化语言模型的极大似然: . [ K# J6 Y" D4 u. \% M% W(6.1) L 1 ( X ) = ∑ i l o g P ( x i ∣ x i − k , . . . , x i − 1 ; Θ ) L_1(X)=\sum_ilogP(x_i|x_{i-k},...,x_{i-1};\Theta)\tag{6.1} * m9 K) X8 Y1 a) {3 R; w8 p. v3 BL % {& X* C% G! U
1: T6 j- W, r( K, ^
! r8 b9 P; u5 G- o
(X)= ' Z; Q9 ~* v: C0 C( Y: Ri $ J6 |7 `7 {3 ^ l% L. M9 E∑: x( D9 P9 _7 D8 Q* i
' q4 [+ d4 \: X2 y. E1 b' f logP(x " m! N! ]+ K( Yi$ M. Z9 u( [* B6 Y! ?4 o. P
) ]+ \ z8 D# w. ^5 g3 F* f& l
∣x 8 P7 F3 `% t$ T7 _$ [i−k" U- f. _& N* H1 [* a+ X# M, E3 Z @
% V& `" n2 z& y' S ,...,x $ k& Q' b( x4 w1 Di−1 G" k4 K6 h; t/ m/ T5 n 1 o$ s$ x- W' Z. \) N A( l3 C! F) O ;Θ)(6.1) " f: |1 r5 z k 4 N, O; R% ?6 \其中 k k k 是文本窗口的大小(即预测需要的上文的长度) 9 A8 Y q& \% e - P! f" Q* [, A0 G. k6 H5 l& f0 T+ hGPT 用的是多层 Transformer 的 Decoder 模型,这个模型应用了多头自注意力机制。模型的输入是词向量加位置向量:3 s9 D8 F, ^+ C4 X
(6.2) h 0 = U W e + W p h_0=UW_e+W_p\tag{6.2}) a: O1 U5 M* B" P' Y1 U
h $ b' v4 @9 e/ c4 Z0 ; P6 K* `9 t3 `' g 1 T9 @5 s% l u5 |
=UW 7 z) `. E5 k8 P5 k' N; x3 p
e 0 ?2 c6 Z# M% [/ x ) p, b, i: f) Z +W ! A1 x% ]0 t0 t7 p4 g$ Y s' `+ V
p6 v2 m4 m, P/ m" T, D v6 L% {3 d1 T
) B1 l6 E6 f; R
(6.2) * _# ]9 s5 o* g8 W$ ?! R/ X u 9 x9 @" u* I+ |& i7 F2 g其中 U = ( u k , . . . , u 1 ) U=(u_k,...,u_1) U=(u : f5 X: }& ^) G+ jk6 Y+ O& c( h; w/ \! j4 U
' T2 ?6 X) @* f
,...,u ' l( A7 \3 F) d$ \2 o9 c0 ~$ |8 t
1 ' K$ i+ P! O+ y9 p1 Y+ a |) Z; k 2 u7 N) l7 M( c# {, y ) 是 tokens 的文本向量(One-hot), W e W_e W . d( }! j- D1 N# E
e . s# j+ m0 L2 b4 ^+ E 7 q9 e* k" k d* S: q* p! o/ a 是词嵌入矩阵, W p W_p W 0 i. a/ L1 T K( \$ D. ^$ z) Ap% z5 g: R; f' D: B0 s7 n
6 \6 y3 Y a% `& O% a 是嵌入矩阵的位置编码。 C1 X/ U2 u7 q9 N
0 x' n) F+ P$ F4 c& y. a再经过12层的 Transformer 模块:3 ^. c; n5 T3 v; H
(6.3) h l = t r a n s f o r m e r _ b l o c k ( h l − 1 ) f o r ∀ i ∈ [ 1 , n ] h_l=transformer\_block(h_{l-1})\ for\ \forall i\in [1,n]\tag{6.3} ) \% `) L; o8 a) q9 T6 _h / o1 j6 _" B% P s9 [9 @
l/ m6 {$ [7 c" C: N+ h/ N u! C
2 b0 V& B7 G( O/ f' [8 s) z =transformer_block(h 9 A. L0 ?! I( V& f# zl−18 k/ U. w% ^! d: o' c
7 f* R" a9 }( z! B- h6 k ) for ∀i∈[1,n](6.3)7 M! s3 I4 b5 l' {+ s0 |% ]
% q( F, D+ i( Y) [其中 n n n 是网络的层数, h l h_l h ( w Y* U7 l' J1 J
l3 \% V; T4 M1 V: k8 q+ S' r
. r, w; A0 _% r. g
是隐藏层第 l l l 层的输出。 # K, x8 ^* |# s! ~3 W* G6 ?' I' s* Q2 Z
最后通过一个全连接加 softmax 预测第 k 个词: 6 j1 ?; ]. s9 S' |; h0 O2 I0 A(6.4) P ( u ) = s o f t m a x ( h n W e T ) P(u)=softmax(h_nW_e^T)\tag{6.4}6 V0 r$ B8 I, o2 N* \/ l
P(u)=softmax(h - F @1 b6 ]/ F& sn2 {' ]( g/ ?7 z' \) f$ |9 c
( U+ F6 w# ^( s! y* f
W 2 ]2 ]2 |( G) I" X! P, n
e % \( f7 j; R! O; e# ~4 _' b# p+ {T: d( C1 l' l. @7 q7 B% H8 f
; C9 n0 z b6 n' J6 _; _; U/ F$ U0 F )(6.4)) V% G# a5 }" n! R9 o8 [& t6 ?
~! a; u3 T* Q: s$ Y. ^
2.2 有监督微调' N% \/ b/ z' F3 g' U a7 k
在使用 ( 6.1 ) (6.1) (6.1)中的目标对模型进行预训练后,我们再利用有监督目标任务对这些模型参数进行微调。假设一个带标签的数据集 C → ( x 1 , x 2 , . . . , x m , y ) ∈ C C\rightarrow(x^1,x^2,...,x^m,y)\in C C→(x * B# ]6 w% b/ X$ ]0 g! ^) _- y1% R! R. ^; f( U; U' X
,x 5 J$ h* I! K" ]& {8 I& b, b2. e9 k+ ~" h2 K" C
,...,x 6 N ^. v2 \1 ~8 _m0 u) {; N' B" k, O. v2 L" ~
,y)∈C,输入 ( x 1 , x 2 , . . . , x m ) (x^1,x^2,...,x^m) (x 1 R, `2 r, e. H5 H4 k1 1 D0 z6 r w8 y$ n! V ,x " q; o% `9 u5 M2 a; Q3 F. \; ]' T1 L+ M1 q27 _8 ^& n# Z! c. h0 W: C
,...,x 1 _3 _1 y' u# im. J8 O( M3 V& a( _; q/ P: n
) 经过我们预训练的模型得到最后的输出向量 h l m h^m_l h # B' _' ^& ?( h! d
l ! K8 h$ t0 f5 z0 z1 S% K- B' ym 9 \; K! w9 O5 f. x0 r + ?8 t/ P5 P0 `% W1 `- _ ,然后通过一个附加的线性层和 softmax 预测标签:/ F8 q# d' v8 L+ N* V
(6.5) P ( y ∣ x 1 , x 2 , . . . , x m ) = s o f t m a x ( h l m W y ) P(y|x^1,x^2,...,x^m)=softmax(h^m_lW_y)\tag{6.5} 4 O( M6 L. E3 \$ O6 l' |P(y∣x ! `0 l* M- V* `6 f, Z& Q# u# g1 0 v: ^7 U& | j" R' J0 F+ ^3 F Q0 c ,x * [0 F& l+ H% V; `* V5 z% ]
2 I/ i" X# p' n2 q, ]" t# l
,...,x 7 T; v* @& x/ o: |m/ f3 [) [) l5 |5 B5 }0 Q
)=softmax(h * k( c) a1 L( ^4 Y u4 `
l . u' q. Y8 s# Zm8 m' X) F; v+ P4 C" u7 A# u9 ]
8 W# p P6 L$ \& z' d W % X, }" Z1 U$ W! v& ?y 8 J$ e K/ H# B% s % Z7 A) j S* I )(6.5)+ V0 @6 r/ P5 {! f
/ F& v+ _8 {8 S$ A; b8 a) q2 U最大似然函数:" ~% ^' T5 ]) S# I
(6.6) L 2 = ∑ x , y l o g P ( y ∣ x 1 , x 2 . . . , x m ) L_2=\sum_{x,y}logP(y|x^1,x^2...,x^m)\tag{6.6}' ?4 [0 G, z3 j. S; S
L 1 D) q& M) ]% ?/ K& f; O6 e2 o% g
2$ [0 J! {; p! E, k4 g
. ~$ j; P; m9 j4 n7 f2 h- Q3 N = 4 o2 }/ l# f# T, Q6 u" gx,y , ~! }+ f! O6 d; M" v2 _5 k! i. j4 `∑" W, Y% ]; x9 C N: l2 |
% T9 K% X# P( Y( W. N logP(y∣x # A' x% S3 F0 n3 e9 S) [
1 0 g4 B5 `$ c3 `' F6 |- X- F ,x ; Q( Z) o- h- U) w2 $ N: |. k- x4 X0 T. v ...,x # l: J1 E6 B7 y* o% m( K
m! H5 z2 g. c* S% ?
)(6.6) $ Y; A! i0 n" C& D( _' k) R % ]' ^3 h5 ~* G3 S' T5 B4 n! Q! b另外,我们增加了语言模型辅助微调,提高了模型的泛化和收敛速度,最后的损失函数为: ' e0 _0 `7 m* h1 L(6.7) L 3 ( C ) = L 2 ( C ) + λ ∗ L 1 ( C ) L_3(C)=L_2(C)+\lambda *L_1(C)\tag{6.7} . h, q2 D2 {; }3 P# RL : [+ w$ H' N# _% l, i3 , U9 P4 s- z, c" d9 m 0 o: P6 ]) h# Q. l' K1 [3 x (C)=L 6 Q% T1 A% B2 F) B3 K! \9 z/ I29 J! `* f( X) ^' o( }) \+ O
. u- |2 T/ ~, @8 P3 Z9 d (C)+λ∗L 4 ^& E1 n `! q) c
1 - p4 O" m) j' E4 Q# r( O 1 T! Q/ P0 v- ^% J/ Q+ V: V (C)(6.7) 0 ?. O2 D8 n! D i7 p# G' X5 b. }2 u7 V0 c5 C9 c1 V5 U7 ~7 z( W
2.3 下游任务的改造:' I- M% c* X1 M [