二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)

3 p& D) O/ a9 T' U1 D; X 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
- T$ V, o$ t% c* l    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

* j# B# J( Z# {" [  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

& Y- e6 Q3 N7 V% k  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
4 _- J% k4 T9 Z0 H1 _9 }" J0 P5 U   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
# t7 B- g7 c; ^4 c! }  U1 Y3 q   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
0 T# N( p9 |5 N  E- ]9 i0 A
  .
  .
   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
4 c7 V, p5 M0 o% i  {# }( |0 R    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
+ _. ]2 S2 E7 j. S6 Y      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
0 V" @' O5 i) s- G; A8 U( v6 W      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)
+ _; i7 i* V3 ~7 L( G
% W+ T) Z2 o% G2 T+ Q( H6 Y" y 二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
1 ^2 Q$ \. _+ b# g& X   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
7 D1 a2 J1 O! c( @% a     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
8 [& b7 s. L. ], q6 X% E7 o/ W     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
% q4 M5 x0 l4 F6 p0 `) P. d     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
7 p5 K# o! j- x( B. \
( k5 Y% Q9 f* V; B   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
" R7 c; {! @$ a- f% g  D' E: i      a^2 ≡ b (mod n)  =>
7 V1 i' x- ?5 x# l- I: n% w% W     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
2 N. e! z' ]/ O( h     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
& q% D) c  h) z) A
1 a+ |5 _+ B& t4 u   2、分解方法的另一个解释
    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

7 l/ h& E( ^3 t' g" V% T1 p+ A! Z   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
4 `# B( y( e, J2 V5 x( n) X; q2 Y    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

. B& [4 T, Y. }7 Z 三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
$ K7 i$ {0 t/ c% r, l1 V7 ?
, c1 H$ L0 l( [. N   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
: ]3 ^2 x, W/ M' `  L    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
! u% s& v$ \% R# ~% R2 ]+ q% O8 t) H
    按m/j , (3-1)式变成:
: r( x+ K/ }3 Q: Z9 [0 A  F- E    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
7 T4 h' e5 Q9 f+ Z; D9 U; d' }   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
1 Y! q' v, F9 b# L: m2 j$ E   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
- }3 r6 P! ?- t   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.
/ ~" B/ ~1 d+ y6 E
   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
! a3 t) U% ?, l3 c1 `1 V  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.

- |" R8 z" p/ B$ M" z0 d