二次剩余值的关联计算(上)

songls

        二次剩余值的关联计算(上)
! E# j) H9 [" k6 o( g% S
一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
' [0 C% |4 q& Y0 H7 S8 {4 J   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)
3 j$ {$ |7 k, w5 `! t0 `" A( t
8 I' d6 t/ \. F  z2 T    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
  x5 [3 O. J8 L7 C3 `3 L  Q    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)
) y0 F* q# K' f; J2 ~  f, Y" m
. I. C! s9 Z8 B4 e# R, P* s8 h9 d  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
8 p0 O) D' g- K8 S8 Q( r* g! P# B  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
6 n9 c$ ~* S6 D  d* x   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)

  .
  .
# {: A4 R# C& z: D$ U: [. S   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
! e3 ^- Y' G* k& K) G" U   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
( o$ S6 E% `. W+ q7 L( E( I; i      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
2 z5 B3 I2 }8 _# k9 j      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
8 s7 A% F2 z  y" z$ W7 K6 m      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

二、连续两个整数积的分解方法
   1、分解方法介绍
# D' C% R  N  k2 E# Y3 f& \# l4 O   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
1 |; e; i6 j7 |7 [     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
; r) b/ i: O$ y% b& E     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
$ E1 ?: D8 z6 _- z7 [* U* \) A     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23
5 |9 {! Z1 ^' ]3 q) ~' w
   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
      a^2 ≡ b (mod n)  =>
% p1 H, N, {" X, H     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
; ~8 ^3 }3 |# x5 G7 y     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n
6 U) p- X+ I* e7 Y0 [1 E
, e- j, a8 P- `8 n* q& L   2、分解方法的另一个解释
' p0 }: i; K% S5 z& F+ ]2 w    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
: z! o% y6 ~$ t. ]$ `     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
9 U: j- V* h+ Q       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
% {$ k- ]2 f- v% E9 p4 c     
) s5 ]% m, p6 `% ~" o" k8 @6 z     ① n=4k-1 , 2-1式得：
     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
0 G+ v1 t+ m9 o- b" @2 _3 ~     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.

三、1/j (j >=3)的计算方法
  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
3 k3 N( k9 w9 U* J! z4 S" H3 h   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)
+ j) u3 D& M' k* X; d4 l1 S% D. N* A
   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
7 i! T  h  P3 e% p# k( r    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
$ \+ A0 Q& }0 j9 s) s
    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
/ Z/ P& N$ S6 z& ?+ F- G7 q   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
& p" F* j( m& V5 ~7 s9 O   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
& U  t- w2 p) Z   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

" {; \" ]" V! H6 V( J. |! _. J   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.