二次剩余值的关联计算(上)

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        二次剩余值的关联计算(上)
0 r% K7 c1 D, Q5 K- ]2 G% d$ L
1 i5 U+ p% T% i. A( s0 E 一、 二次剩余中\frac{1}{2} 相关值的计算：
) l8 w$ h" B9 T) o: o( h# f- p# Q   对于完全平方公式：
   (1/2 -m)^2  = 1/4 -m+m^2 = 1/4 +m(m-1)   (m≥1)  (1-1)

    在n为奇数时, 上式的同余可以分为:
" n3 M3 a& _9 u3 @1 N7 U+ X2 Q    ① 当n=4k-1时，对(1-1)求同余得:
    (1/2-m)^2  ≡ (2k-m)^2 ≡ k+m(m-1) (mod n)    (1-2)
; h. s$ h2 D" G6 Z9 ^6 E) q    ② 当n=4k+1时, 对(1-1)求同余得:
* s4 D4 Z9 i2 ?& A+ R    (1/2 -m)^2  ≡ (2k+1-m)^2 ≡ -k+m(m-1) ≡ n-k+m(m-1) (mod n)    (1-3)

  j5 |# o2 X" R  为以后叙述方便，我们对 1/2-1  1/2-2  ...  1/2-m (m >=1)  这类数称为二次剩余的后序序列, 即1/2  减小的方向的数列.

  二次剩余后序序列的二次剩余值有个特点, 与k(k>0)值相关, 是k值与两个连续整数积的和，与k值同奇同偶。
  如n=299=4*75-1    k=75    2k=150 , 二次剩余后序序列为:
3 M: s$ B6 k6 D5 V7 A4 @   (150-1)^2 ≡ 75+1*(1-1) ≡ 75 +0 ≡ 75 (mod 299)  =>  149^2 ≡ 75 (mod 299)  
   (150-2)^2 ≡ 75+2*(2-1) ≡ 75 +2 ≡ 77 (mod 299)  =>  148^2 ≡ 77 (mod 299)  
   (150-3)^2 ≡ 75+3*(3-1) ≡ 75 +6 ≡ 81 (mod 299)  =>  147^2 ≡ 81 (mod 299)
; k6 \% Y4 L6 e9 R: r4 i! ]
  .
  .
8 X! t  c* y8 v2 u$ U   根据后序序列，可以得到一个分解整数的方法:
   设n为奇合数, 如果 c^2-k=m(m-1)  m>0  => (2k-m)^2 ≡ c^2 (mod n)  , 或者
    c^2-k=m(m-1) => 4c^2-4k+1=4m(m-1)+1 => (2c)^2 ≡ (2m-1)^2 (mod n)  
   上述等式，由费马分解即可得到n的因子, 不过效率较低.
    例1: n=299-4*75-1 ,  k=75
      根据后序序列，大于75且与75同奇同偶的完全平方：9^2-81
  s: C. h6 v3 K9 C4 I1 Y, \      81-75=6=2*3 为连续两个整数积，在后序序列上
3 h  N& ^$ z- b: S: y$ a, W      ∴ (150-3)^2≡81 (mod 299)  => 147^2≡81 (mod 299)
$ C2 @* e- M$ Q$ n& b" W      或者 (2*9)^2≡(2*2+1)^2 (mod 299) => 18^2≡5^2(mod 299)

二、连续两个整数积的分解方法
: t2 x" P6 u2 V6 `4 A) _5 `: D   1、分解方法介绍
   例2: n=299=4*75-1
      25^2 ≡ 27 (mod 299)   =>
     25^2 ≡ 25+2 (mod 299)  =>  
     25^2-25-2 ≡ 0 (mod 299) =>  
; b' [: s& A# i2 L8 c9 N     (25-2)(25+1) ≡ 0 (mod 299) =>
; ~; J/ C' D& L     23*26 ≡ 0 (mod 299)   
8 _* k4 a0 @/ U9 K6 H2 M9 R     (23,299)=23   (26,299)=13      299=13*23

   分解方法:  设n为奇合数,  a^2 ≡ b (mod n)  , 如果 b=a+i(i+1) (i ≥ 0 )  , 则可得到:
5 n' L0 m' ]8 @: J3 ]8 X8 }      a^2 ≡ b (mod n)  =>
     a^2-b-i(i+1) ≡ 0 (mod n)  =>
4 ]. ?! Q9 ~: l) o- P2 j     (a-(i+1))(a+i) ≡ 0 (mod n)
     (a-(i+1),n)>1   (a+i , n)>1    即可分解n

; e6 S3 f9 O# k   2、分解方法的另一个解释
1 C  O, m9 F' y. q# n5 T    设n为奇数, a^2 ≡ b(mod n),  如果m=a, 则由(1-1)公式得:
     (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +a^2-a (mod n)   =>
: O4 o2 U# H' z1 [/ R       (1/2 -a)^2  ≡ 1/4 +b-a (mod n)    (2-1)
; e: i* r1 t) X2 J- D5 E3 a     
     ① n=4k-1 , 2-1式得：
+ d/ B! T4 U1 n! W9 X  X     (2k-a)^2 ≡ k+b-a(mod n)     (2-2)
     ① n=4k+1 , 2-1式得：
     (2k+1-a)^2 ≡ n-k+b-a (mod n)   (2-3)

   从(2-1(式, 可知二次剩余的计算,  在[1,1/4]范围内, 计算出[1,n-1]的二次剩余值.
   在例2中, 按(2-2)式的计算, 可得:
( G* z- {! h4 Y    (150-25)^2 ≡ 75+27-25 (mod 299) =>  125^2 ≡ 77 (mod 299)  
    所以, a^2 ≡ b (mod n)  ，如果b=a+i(i+1) ,其相对1/2的剩余值在后序序列上.
# y: T$ f# m) N
3 f' J0 N6 O' `5 Y: \5 J 三、1/j (j >=3)的计算方法
' D, p* P. b4 m; \  上面的是计算 1/2， 即j=2, 如果j>2时,  有如下的1/j计算方法:
   (1/j ± ij)^2 = (ij)^2 ± 2i + (1/j)^2 (i >= 1 ) (j ≥3)   (3-1)

   而对于\frac{1}{j}相邻, 有两种计算,
6 ~9 V: T3 u& d, ~7 v    1)  1/j    1+1/j  2+1/j ... t+1/j    (t<j)  
    2) t-1/j ... 1-1/j  1/j  1+1/j ...  t+1/j   (t < j/2)  
, @2 H9 s7 w0 P, ?% ?    t+1/j= (1+tj)/j = m/j ,  m=1+tj
& {3 p& Q5 J) [# \
    按m/j , (3-1)式变成:
    (m/j± ij )^2 = (ij)^2 ± 2mi + (m/j )^2  (i≥ 1 ) (j ≥ 3)   (3-2)

   例3: n=299    \frac{1}{3} ≡ 100 (mod 299)   100^2 ≡ 133 (mod 299)  
   (100-3)^2 ≡ 3^2-2+133  (mod 299)    =>  97^2 ≡ 140  (mod 299)
: q  u1 v# N$ k8 F2 t   (100+3)^2 ≡ 3^2+2+133  (mod 299)    =>  103^2 ≡ 144  (mod 299)
$ A# T' U$ Y  j7 [   1+1/3=4/3 ≡ 1+100=101 (mod 299)     101^2 ≡ 35 (mod 299)
   (101-3)^2 ≡ 3^2-2*4+35  (mod 299)    =>  98^2 ≡ 36  (mod 299)
% j+ a; u1 O6 s) F' V# @  |   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*4+35  (mod 299)    =>  104^2 ≡ 52  (mod 299)
6 a! ]+ i2 f. v% J. r   1-1/3=-2/3 ≡ 1-100=-99 (mod 299)     99^2 ≡ 233 (mod 299)  
   (99-3)^2 ≡ 3^2-2*(-2)+233  (mod 299)    =>  96^2 ≡ 246  (mod 299)
# H7 T/ v! Z2 B" |$ Q8 v' o   (101+3)^2 ≡ 3^2+2*(-2)+233  (mod 299)    =>  102^2 ≡ 238  (mod 299)   
0 J9 ?* m2 w( ?   按2+1/3也能得到相同结果，这里不在验证.

+ n& v# D% ?* b8 Q# n* p; ^   当然如果j=2s, 即为偶数, 可以计算一半的值, (3-2)式得  :
0 V. @- @& h. f3 x2 g    (m/j ± i*s)^2=(is)^2±mi+(m/j)^2   (i ≥ 1)   (j ≥ 3)   (3-3)
* d  p, v: I& ^2 u$ i  更一般的公式: 当为 g/j    g <j/2  , (g, j)=1, 这里就不再给出.
( b1 I1 R9 x% g6 v) P