一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
4 ^5 g0 n) q) d/ h6 d0 L9 |! t  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
& O  s& T8 B/ e. I: s# j  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
. c" C' x0 q8 i3 `! ~  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
8 ^( e# X5 y- K- V" p  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
" O( X% K  w9 g! P9 j/ ~' ]1 Q  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
* S6 e0 z: o% c4 |8 k  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
2 G: v& x) X* N6 {1 _6 p0 e  P* x   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
/ ?/ G. X" H- C; ?& g6 m& O8 E) ^: `6 }  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
+ C) y" u+ W$ K$ G" A  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
; E6 j1 ]1 V" d3 X. ^: \ 下面给出其中一个算法：
/ R. D- R" n0 m. |0 x3 o& Z" k6 [  1    输入a,n  
+ D6 x  b& Z( y6 R! X  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
" |4 f4 N! B' W% f) f( Q  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
8 J; V% o" L) T, Z2 U$ E  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
1 C. o+ E+ H/ K5 q; t  9  goto 3

0 K7 D  l4 d" i3 J, {- r