一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
5 D. A' P9 c2 z  j设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
+ D. |4 @' d+ c6 ?  a*r1≡q1 (mod n)
  q1*r2≡q2 (mod n)
/ F$ S+ J- T- ?: I3 h  q2*r3≡q3 (mod n)
) R. a, e  B3 C   .
   .
. y- l+ B% s7 g1 f: B. K  .
. J' I3 t% v$ {+ Q- [% }  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
. x6 @8 d7 B. k- s6 D9 U  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
( J- ^+ f7 e/ Z& J7 t# ]   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
6 Z3 m5 C# F% {  S6 F1 N" V- O5 K   则 qm=±1
  即 a与q1*q2*...*qm互逆
9 w5 r: I2 [( f3 x  例 求28在299的逆
% k  i* ?2 i$ T4 d: |+ p- q     28*11≡9 （mod 299）
8 c- @' y5 `. X     9*33≡-2  （mod 299）
/ u4 o( s- W5 y2 E) t  }     -2*-150≡1 (mod 299)
& `2 F1 ^! f8 Q. \! d  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
/ S( L5 c8 d; X2 E  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
: k) j" X5 b. H  [ 下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
# ]6 E$ c( x2 f9 ~0 o0 }  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  W6 f% ~2 E$ N$ j- x  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
* A7 ], W2 C% k6 ]( X2 y2 j6 y  5  resulte=(resulte*r)%n   
" S! ?% z* e) y) @- b5 L  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
( v1 i7 a# j+ O$ \. F  9  goto 3

8 y# D7 m) B  G& R! ]; G& b