一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
; W! I8 y' O  v  m6 d0 t设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
+ d" Z0 k# B2 p- s9 m. u( n8 Q  a*r1≡q1 (mod n)
; J; M. V! O: q) W, W/ l  q1*r2≡q2 (mod n)
" z6 V" S; J+ S8 ]) r6 s' J  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
  k) m. o* ]/ b, x3 j% z   .
  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
, Y  f* W% u* j% z0 K   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
2 T: o* j5 E0 B; X) p0 h8 v  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
" i* [. g. e" U4 \; \- X     9*33≡-2  （mod 299）
- ]7 L3 n/ Y7 I# M$ _     -2*-150≡1 (mod 299)
  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
7 T" |0 C* b% O0 d  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
# `4 {$ f4 p5 ~  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
5 Q3 b1 \8 E; ?! N% c" ?  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
" c2 N7 c$ b. |. W  9  goto 3
  {2 Q5 |' |' [" X) C4 Z