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升级   18.95% TA的每日心情 | 郁闷 2023-12-11 09:00 |
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签到天数: 7 天 [LV.3]偶尔看看II
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以下给出一个求乘法逆元的方法,主要是使用除数的积来求逆,供大家参考,如有不足,欢迎大家批评指正。" p+ U/ k8 Q% k3 H
设 (a,n)=1 (ri,n)=1 (qi,n)=1 1≤i≤m. s2 f4 Q9 o/ A* P4 i
a*r1≡q1 (mod n), Q7 Z, `+ U0 }6 ?/ [" k7 R) a
q1*r2≡q2 (mod n)4 N, g0 ]3 l! Y
q2*r3≡q3 (mod n)1 O* T7 n8 R! e# t; }5 j# t
.1 O1 O3 ^1 ~) P' b4 i2 a* G- |
.0 ^2 f- B$ [7 ^$ L) M, I2 Z4 d8 i d
.
" q4 Y N1 n5 {6 A qm-1*rm≡qm (mod n)
' D# x; b3 J. k0 f, i$ S F 上述等式相乘,得:
) t$ S W i7 w! p# i9 E: A a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>9 m8 e$ g4 O% O' ~1 B! i
a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n) ; {% B, i( U z
如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
6 X: ^; t Q5 {+ \$ D, y6 e3 L" \4 U a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|/ t9 X# V0 S! r
则 qm=±1
5 n4 r" `# U& G9 d 即 a与q1*q2*...*qm互逆% ]0 q+ S1 i# [* T7 a
例 求28在299的逆
9 }7 ^* f# s( V" E' T" J' o) v 28*11≡9 (mod 299)
# c' a( M( q* X8 Y( D 9*33≡-2 (mod 299)8 C& e2 e* P6 B; t( I* Z" A# f* |$ x
-2*-150≡1 (mod 299)% l5 T. p M, e3 t0 A% t; k9 V
逆为: 11*33*-150≡-32 (mod 299)% w0 f! v. D: k+ x7 H. A0 r! m% r# p
28*-22≡-1 (mod 299)
& s; Q& `* W$ x 但该方法有个最大的问题,当(qi,n)>1时,该方法将无法继续往下计算逆。
* p* D0 ~' M' q2 @' { 下面给出其中一个算法:
5 K+ D. R) i5 \' t J 1 输入a,n
9 g; D5 T* \7 v/ h 2 resulte = 1 ; 保存逆的结果
& M& e1 g. f1 ~1 B, S7 _ 3 r=n/a+1 ; 保证 r*a>n8 \7 q7 `! r a3 _1 z4 d: U5 E: A
4 q=r*a-n ; 得到余数,该余数小于a
1 f" n- Q0 H* p g 5 resulte=(resulte*r)%n : H( R2 }, J% k3 J
6 if q=1 then print(逆为: resulte) return resulte! c v8 m( z! Y) C8 E A5 d: `
7 if q=0 or q=a then print(存在因子: a) return a ;4 y% N) K; B5 k, B6 z
8 a=q
0 q; E. r( e' d 9 goto 3
. P% Q a/ B$ l4 Z9 {8 g6 b* A6 M# I* N! R* Z
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zan
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