一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
5 E4 \7 R) o& f# H2 _. _  \* L  _  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
/ V( w; K% W0 h1 {' }& D, M; m   .
   .
  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
7 F, |- K% q2 E$ `  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
; Y" f0 V( O1 _2 _& {% [  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
6 B: U& _4 o- F4 {& X   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
& n& u( d3 u+ d. r' [1 V/ a  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
     28*11≡9 （mod 299）
     9*33≡-2  （mod 299）
+ W( t0 f" M! H+ J( E6 o2 Q3 Y; w3 p     -2*-150≡1 (mod 299)
3 v" `1 |, Q8 b0 E( S  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
' P/ e5 C1 }/ Q2 [6 d" r7 ?     28*-22≡-1 (mod 299)
. x- n5 V: V. s$ E4 K# V+ G. n# C  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
  1    输入a,n  
  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
2 ]+ A# I8 X7 r  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
, n3 ]7 s' A4 j1 D5 T  5  resulte=(resulte*r)%n   
: _; a  f9 ~, B# [) x  M  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
  8  a=q
  9  goto 3
! m0 |) Z2 K9 F0 W; E
& g5 y: N+ X0 f1 K7 O( X: ?