一个乘法逆元的计算方法

songls

以下给出一个求乘法逆元的方法，主要是使用除数的积来求逆，供大家参考，如有不足，欢迎大家批评指正。
/ Z: n  [( }. V设 (a,n)=1  (ri,n)=1  (qi,n)=1  1≤i≤m
  a*r1≡q1 (mod n)
7 H' M5 b; a4 H2 ?+ E: S  q1*r2≡q2 (mod n)
  q2*r3≡q3 (mod n)
   .
   .
) R8 }7 Y3 O* V# b- I6 E  .
  qm-1*rm≡qm (mod n)
上述等式相乘，得：
  a*(r1*r2*...*rm-1)*(q1*q2*...*qm)≡r1*r2*...*rm-1*rm (mod n) =>
  a*(q1*q2*...*qm)≡rm (mod n)
/ C, e+ U, j5 o5 i& i+ f  如果对qi(1≤i≤m)进行如下的限定:
   a>|q1|>|q2|>...>|qi|>...>|qm-1|>|qm|
   则 qm=±1
0 Q1 [- m: ~) C4 t; K# N  即 a与q1*q2*...*qm互逆
  例 求28在299的逆
$ k/ q. \& D% H4 P6 Q- b     28*11≡9 （mod 299）
. _& ]  W$ c4 s     9*33≡-2  （mod 299）
     -2*-150≡1 (mod 299)
# D7 a  q$ H/ w  逆为:    11*33*-150≡-32 (mod 299)
. W& w) ~' f3 g# }4 ]     28*-22≡-1 (mod 299)
  但该方法有个最大的问题，当(qi,n)>1时，该方法将无法继续往下计算逆。
下面给出其中一个算法：
# N4 ^; w. Y! Y/ g' c+ Z, O  1    输入a,n  
( l  d; P/ @* z  2   resulte = 1   ; 保存逆的结果
  ?/ K. N2 B- d; V  3   r=n/a+1      ; 保证 r*a>n
  V$ G5 t& K3 S% P# y7 T" J, Y  4  q=r*a-n       ; 得到余数，该余数小于a
9 U( ^& F( ?" O% q: D4 H) x5 P  \  5  resulte=(resulte*r)%n   
  6  if q=1  then  print(逆为: resulte) return  resulte
  7  if q=0 or q=a then  print(存在因子: a)  return a ;
( h# ~1 `0 C7 O2 K  8  a=q
( z: Y4 \: y9 S4 z4 a9 K  9  goto 3
* _' C$ y7 d* a7 Z+ D% t" m
! M" r% }' q6 P9 O