排队论概述

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解决的问题
排队论也称随机服务系统理论，排队论又叫随机服务系统理论或公用事业管理中的数学方法。它是研究各种各样的排队现象的。
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它所要解决的主要问题是:在排队现象中设法寻求能够达到服务标准的最少设备,使得在满足服务对象条件下，服务机构的花费最为经济,使服务系统效率最高。

排队现象 作为一种随机现象，所采用的主要工具是研究随机现象规律的概率论。它把所需研究的问题 形象地描述成顾客（如电话用户、发生故障的机床等）来到服务台前（如电话线路维修工人 等)要求接待，如果“服务台”已被其他顾客占用，那么就得排队等待;另一方面服务台”也 时而清闲，时而忙碌。排队论就是人们通过数学方法求出顾客等待时间、排队长度等的概率分布，以便作出决策。目前排队论在社会生活的各方面已有广泛而深入的应用，如在水库用水量的调度、存储 问题、生产流水线的安排、电力网的设计、铁路分车场的调度等方面都可运用排队论的基本理 论来进行计算，从而获得合理的解决办法。
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排队论的组成
排队论一般由输入过程、排队规则、服务过程三个部分组成

. r  _( S$ G/ k1 W* b: n排队论的特征
排队论的输入过程：
2 d- j) R" f# P; \; s4 H①　顾客的输入可以是有限的也可以是无限的
②　顾客的输入可以是单独的也可以是成批的
' m) s2 S* t9 `# e8 `  L! Z: m③　顾客的输入可以是相互独立的也可以是前后相关的
; K8 {$ i! m4 `5 ]% |  j0 B# D④　顾客的输入可以是平稳的，即输入的期望和方差是稳定的， 相反，也可以是非稳定的，即随时间的变化而改变

) }1 @3 t4 Y1 |排队论的排队规则：
a.损失制：所有服务台都有人，离开
+ m8 ]$ K; t! l! Y$ Kb.等待制：所有服务台都有人，进入队列等待
& b9 T, d% l  k$ z3 y0 Cc.混合制：所有服务台都有人，但是系统具有容量限制，达到最大容量之后需要离开
& G3 [8 ]  X5 g0 z3 G$ T% W8 `/ g
排队论的服务过程：
6 s& {$ x4 y) ?其中，服务台可以分为单服务台、多服务台，多服务台又分为多服务台串联和多服务台并联，串联服务台是所有服务台依次为同一位顾客服务，并行服务台是每一个服务台为不同的顾客服务，服务的规则如下：

. @+ [9 `" n! H1 A  a* {1)先到先服务FCFS
2)后到先服务LCFS
" Z& _' E% w& E3)优先服务
5 ]; j$ s* z9 D" _2 l4)随机服务

排队系统的运行指标
+ P* Q& H; o, _- B; H①　平均队长：系统中所有顾客（正在服务的和在队列中的）期望
②　平均排队长：系统中正在排队等待服务的人数的期望
1 G& _9 @  X7 N③　平均逗留时间：顾客在系统中逗留的时间（包含排队时间以及服务时间）的期望
) f5 r$ o9 H8 g; Y④　平均等待时间：顾客在队列中的等待时间的期望
: |; `' o  z& h; x- ]* k⑤　平均忙期：服务机构连续繁忙的时间（顾客到达服务机构开始到服务机构再次空闲为止）的数学期望
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排队系统的表示
排队系统的数学模型一般用六个大写字母表示，中间以“/”隔开，即：X/Y/Z/A/B/C，其中，X表示到达顾客流或者顾客到达时间间隔的分布，Y表示服务时间的分布，Z表示服务台的数量，A表示系统容量一般为，B表示输入顾客源的数量一般为，C表示服务规则，默认是FCFS。
其中，表示顾客到达时间间隔以及服务时间的分布的数学符号有：

1 v, r$ \6 v- {( B. ~3 p2 dM— 指数分布
% [  ?( X$ o" r0 `5 Q8 v% nD— 确定性分布
EK— k阶埃尔朗分布
$ R+ }7 w8 {" hG— 一般（general）服务时间的分布
GI—一般独立（General independent）的时间间隔的分布
/ a. Y- D+ S, f- V9 o例如：M/M/1表示输入过程和服务过程均服从指数分布、服务台数量为1的排队系统

# u/ ?& f6 F# S. P; \M/M/S模型：
# B* m$ W, g& p6 J2 A8 X7 ?设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有s个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。



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