定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
& a7 k* R. D4 v0 f# `* x# K; {定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
& V- {$ K9 ], R- g# n* r* l3 U[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
1 d; Z1 L$ d$ b' y9 X' x8 M- g: w这个方法的迭代公式如下：
, D; d8 C/ @+ w1 _  M  ~7 B[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
  b1 V2 t& S7 b( t2 _# Y! ~8 Q[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
, ~. x) z7 x5 G/ P5 H; P/ l[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
; N; \- T6 _; L2 o; Y这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m( n3 @9 i* \  ]  M/ t
   
2. / o4 ^0 l: d! k, F# t; Y# E
   
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)
   % H+ O! _& u6 H* k) p& M- x1 b\" p
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');: O6 K7 n/ B% M& ]- Y
   
5.    disp('function z=f(x,y)');+ J2 X1 s# _* k% I5 E0 g7 h
   
6.    disp('z=y-2*x/y;');, s$ o! Q/ I9 O
   
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');
   / W1 h/ Q! }\" Q1 \5 K
8. end * ~: B8 F1 l7 f' C6 \0 \
   
9. # [1 Q& `* z0 X* d
   
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');5 s( ~; n7 ?# P  g# u  d/ Y
    
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');; o6 V8 x+ W% p$ t
    
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');
    1 W1 {0 q8 |) Z7 I9 J5 h
13. h=input('请输入求解步长h=');
    + S. n- ~4 {* E& l+ z+ Y
14. + a+ f. T. \* v; I& z
    
15. X=X1;
    $ e9 {& R& ^! G) l5 r& p
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    0 P- O6 u2 J( S1 k
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零
    3 Y+ {8 P& j0 D\" d: e
18. 
    4 _' }, C( _% D5 ]8 P8 b% u. v7 U\" D
19. while X<=Xn-h# v- a  U+ y; T: n; b+ X
    
20.     K1=f(X,Y);
    9 M# j( M' Z% U
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);: p6 G# Y! _7 `1 W& D& A9 P  r. G6 X  e
    
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
      S% V0 V6 i! y! H+ Q
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);0 `3 F4 T& M2 a3 s4 L
    
24.     X=X+h;8 \& h# ?5 ?; \
    
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式
    1 D2 f8 i) N3 [
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加13 s) i\" r8 |$ x$ X2 X0 O0 e
    
27. 
    - g/ W1 e: b; U9 z$ t
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);+ e, c6 q2 x; c
    
29.     plot(X,Y,'o')
    : A) |' O8 o' h  Q. y3 Z
30.     hold on) U* \0 J) E' Y2 l6 w) L\" Z7 [
    
31. end

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1. function z=f(x,y); k7 x7 r: J- z- x
   
2. z=y-2*x/y;

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