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[代码资源] 定步长四阶经典公式 解决数值积分

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发表于 2023-12-23 16:43 |只看该作者 |倒序浏览
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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程(ODE)的方法,其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。* ]; [/ p2 L$ N, d$ S  ^) t
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种,其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
! z+ r3 e+ F9 w1 h[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]; m3 g0 ?, c6 c
这个方法的迭代公式如下:  Y7 Q  }+ O0 K) R/ c
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]# J# V/ D" u7 H6 k2 [
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]% H# }3 o9 E1 u& p& v) H8 ^
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
5 C, P) P; x% J) ?( W& U8 y[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]0 O" |9 `# P  Z9 d
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]& b" o) Y# @# S+ x6 V3 Y
其中,(tn) 是当前时间步,(yn) 是当前的解,(h) 是步长,(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。) y2 k  w5 C! e4 `7 J0 X
这个方法的精度相对较高,因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用,因为它相对简单且相对高效。
  1. %四阶经典公式,微分方程为f.m
    ' Q+ B8 `+ F( r7 R1 b0 n' \+ N
  2. . O1 |- s\" ^8 @; T8 j- K# f0 p
  3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)3 i: h: y! c8 T: S& h3 N9 n
  4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');$ {7 Y1 Y0 F1 I& m# a! q
  5.    disp('function z=f(x,y)');
    ! m4 d' ?( d9 M, _
  6.    disp('z=y-2*x/y;');/ ?: I2 H  ~/ ^' K. ~
  7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');
    \" E/ _- R: P; h( N  L5 f! ^2 M
  8. end 8 h; |+ {, h! i5 u+ A( A4 ^
  9. ' `. J' z9 H2 D+ {
  10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');. p, u6 c- c) w  Z1 \$ z, {
  11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=(X=X1时Y的值)');
    + k4 _% ^5 G/ O4 f6 ~/ O\" U
  12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');: {  _- P0 Y, m* L
  13. h=input('请输入求解步长h=');0 w* `: x& b4 j- ^* `
  14. ' C+ b\" b2 P2 J2 W% I  D. w% H
  15. X=X1;  Y  L8 y  T0 |4 O$ e+ T
  16. Y=Y1;                                                        %运算初始点7 ^+ q  j+ E9 ^3 d6 m\" \+ _: G7 ~8 }
  17. n=0;                                                         %节点序号变量置零
    ( x4 B' `3 A* v+ S# `
  18. + h1 j. s) L* f8 ?3 |  @9 L6 R4 |
  19. while X<=Xn-h
    1 R! N9 e7 I5 Z. u\" U
  20.     K1=f(X,Y);
    8 d0 L* ^5 I; v7 I1 y% Y& L- |
  21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);. `; ?& B# v8 f9 ^3 b0 T$ k. k
  22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
    # ?6 W% t0 y( h+ ~( P
  23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);1 B  X7 A) r7 L2 ?4 [. ~
  24.     X=X+h;
    ! c1 v, M9 e( S2 [
  25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式
    1 C1 B3 p! K( N8 T3 v
  26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1
    3 i  ~) i5 {3 t9 _/ t5 [* X9 J) }
  27. 4 z& H8 E4 v5 r$ M. K
  28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);- ?' B' e, W. w
  29.     plot(X,Y,'o')
    2 _- Q, M1 K) e7 h8 t: l) l! s3 o
  30.     hold on
    ! B0 R% K/ L: L/ l0 e. E4 T
  31. end
复制代码
  1. function z=f(x,y)7 {5 G1 Y$ V0 [\" J' t2 ?) X
  2. z=y-2*x/y;
复制代码
! e2 }4 l( r( D7 s

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