定步长四阶经典公式 解决数值积分

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"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
! z+ r3 e+ F9 w1 h[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
这个方法的迭代公式如下：
[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
5 C, P) P; x% J) ?( W& U8 y[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m
   ' Q+ B8 `+ F( r7 R1 b0 n' \+ N
2. . O1 |- s\" ^8 @; T8 j- K# f0 p
   
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)3 i: h: y! c8 T: S& h3 N9 n
   
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');$ {7 Y1 Y0 F1 I& m# a! q
   
5.    disp('function z=f(x,y)');
   ! m4 d' ?( d9 M, _
6.    disp('z=y-2*x/y;');/ ?: I2 H  ~/ ^' K. ~
   
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');
   \" E/ _- R: P; h( N  L5 f! ^2 M
8. end 8 h; |+ {, h! i5 u+ A( A4 ^
   
9. ' `. J' z9 H2 D+ {
   
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');. p, u6 c- c) w  Z1 \$ z, {
    
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');
    + k4 _% ^5 G/ O4 f6 ~/ O\" U
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');: {  _- P0 Y, m* L
    
13. h=input('请输入求解步长h=');0 w* `: x& b4 j- ^* `
    
14. ' C+ b\" b2 P2 J2 W% I  D. w% H
    
15. X=X1;  Y  L8 y  T0 |4 O$ e+ T
    
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点7 ^+ q  j+ E9 ^3 d6 m\" \+ _: G7 ~8 }
    
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零
    ( x4 B' `3 A* v+ S# `
18. + h1 j. s) L* f8 ?3 |  @9 L6 R4 |
    
19. while X<=Xn-h
    1 R! N9 e7 I5 Z. u\" U
20.     K1=f(X,Y);
    8 d0 L* ^5 I; v7 I1 y% Y& L- |
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);. `; ?& B# v8 f9 ^3 b0 T$ k. k
    
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
    # ?6 W% t0 y( h+ ~( P
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);1 B  X7 A) r7 L2 ?4 [. ~
    
24.     X=X+h;
    ! c1 v, M9 e( S2 [
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式
    1 C1 B3 p! K( N8 T3 v
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1
    3 i  ~) i5 {3 t9 _/ t5 [* X9 J) }
27. 4 z& H8 E4 v5 r$ M. K
    
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);- ?' B' e, W. w
    
29.     plot(X,Y,'o')
    2 _- Q, M1 K) e7 h8 t: l) l! s3 o
30.     hold on
    ! B0 R% K/ L: L/ l0 e. E4 T
31. end

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1. function z=f(x,y)7 {5 G1 Y$ V0 [\" J' t2 ?) X
   
2. z=y-2*x/y;

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