定步长四阶经典公式 解决数值积分

2744557306

"定步长四阶经典公式"通常指的是数值积分中的四阶Runge-Kutta方法。这是一种常用的数值解常微分方程（ODE）的方法，其主要思想是通过逐步逼近来估计微分方程的解。
: Z' o% t2 t2 C8 Y5 e定步长四阶经典公式是Runge-Kutta方法的一种，其中最常见的是经典的四阶Runge-Kutta方法。对于一个一阶常微分方程
# {( Q3 e0 X' G/ x7 s8 @! t[\frac{dy}{dt} = f(t, y)]
' I; q# a) B) }/ K" l5 \这个方法的迭代公式如下：
" w& |$ |0 C4 l5 d# \! W; h/ r[k1 = h \cdot f(tn, yn)]
[k2 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k1}{2})]
" `4 l$ h# G( W5 t7 O$ c' U[k3 = h \cdot f(tn + \frac{h}{2}, yn + \frac{k2}{2})]
/ F# |: C7 i( G( o2 d+ W: c2 ~5 a[k4 = h \cdot f(tn + h, yn + k_3)]
[y{n+1} = yn + \frac{1}{6}(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)]
. X; m/ {% A" W: J7 f其中，(tn) 是当前时间步，(yn) 是当前的解，(h) 是步长，(f(t, y)) 是微分方程右侧的函数。
这个方法的精度相对较高，因为它使用了函数 (f(t, y)) 在一个步长内的多个点上的信息。四阶Runge-Kutta方法在许多情况下被广泛应用，因为它相对简单且相对高效。

1. %四阶经典公式,微分方程为f.m& o\" V% v3 O1 x\" Y2 C0 G: J
   
2. 
   % G) x6 E5 {% \' j
3. if exist('f.m')==0                                           %在星号处输入文件名(把星号改为文件名)) y. S* a7 J' M3 i9 r# J
   
4.    disp('没有为方程创建名为f.m的函数文件,请参照下例建立它');\" X( D4 |) k, W( d( Y\" ^% F
   
5.    disp('function z=f(x,y)');
   4 U7 k7 n- b! I\" Y' x* \( {
6.    disp('z=y-2*x/y;');7 v7 Z) T. n/ f% k1 T; u) y% r
   
7.    disp('并将该文件保存在work文件夹下');9 k( o6 {) t. g, F3 S7 p1 q8 r
   
8. end
   3 |- z5 B6 \3 M8 f4 h# i& [\" u
9. 4 o+ @+ f5 y$ r  Y1 b9 i
   
10. X1=input('请输入求解区间的左端点X1=');
    5 W! q9 X4 i+ N' ~, ~\" Y9 V5 z
11. Y1=input('请输入微分方程的初始条件Y1=（X=X1时Y的值）');
    8 B( O! G. l: l: s5 n
12. Xn=input('请输入求解区间的右端点Xn=');( c4 H: z3 U! W1 L\" @\" t% k\" B
    
13. h=input('请输入求解步长h=');
    ; F% f0 l. c% \1 M; \9 X0 d! a+ M
14. ( L# X- @' s& L
    
15. X=X1;
    1 M7 s5 _! `, D- c& J9 R! p% @
16. Y=Y1;                                                        %运算初始点
    % |) g1 U$ X9 e4 ^
17. n=0;                                                         %节点序号变量置零4 P+ N# V7 u; P; n
    
18. 
    & p9 `* J3 q, A! M# J
19. while X<=Xn-h3 d+ h6 a+ ?\" m7 o: L
    
20.     K1=f(X,Y);
      z% B) C! ~' d) D+ o* v1 [
21.     K2=f(X+h/2,Y+K1*h/2);
    ! f: o5 |% Y* q6 ?! i# i) v% M- m
22.     K3=f(X+h/2,Y+K2*h/2);
    . M8 A* ^  D; G) C& p8 }5 L0 w2 i
23.     K4=f(X+h,Y+K3*h);# {( i' l) Z4 O( P
    
24.     X=X+h;$ i& C% z2 q\" w; ]
    
25.     Y=Y+h*(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;                               %四阶标准的龙格-库塔公式0 t0 F: e( C& n
    
26.     n=n+1;                                                   %节点序号加1( `) \8 t' ^! m) K: g' J
    
27. 
    $ N) n! y* Z- S\" `, n
28.     fprintf('第%d个点的计算结果为X=%10.8f,Y=%10.8f\n',n,X,Y);
    % f; T2 G$ f+ S4 q
29.     plot(X,Y,'o')2 F2 p9 o3 t& z\" Z  K5 Z
    
30.     hold on
    5 |& X3 Y# N' ]
31. end

复制代码

1. function z=f(x,y)6 Q& \4 j2 Q% ^
   
2. z=y-2*x/y;

复制代码