matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
9 \5 m8 |' c" X7 L) b% E3 |  G7 {以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
) Y+ P7 G  K) L' d+ K. Z3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
& H1 w' |: n) v* A8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
& D8 z( ], L7 a7 h2 }# X9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
( U3 B( _8 p6 `6 r+ p' S10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
" C& i; P& o$ F3 a+ A11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   . `( U1 x7 B' V  {6 @! C0 ~
2. b=[2,-1,-1,2]';3 w! p# Q1 e! V6 m  K  q
   
3. n=length(b);$ v( j0 L/ K\" Q. l
   
4. w=10;! E9 E1 I. ]3 W
   
5. D=diag(diag(A));8 C; g: t4 t1 g6 n! H0 {, k- ]; W
   
6. CL=-triu(A,1);2 J8 x- K( f0 n5 V
   
7. CLZ=CL';% S  Y  I4 u; W5 P
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));; P/ V' |+ C; E1 w, v  C
   
9. M=L*L';
   \" b8 w+ L3 m9 _6 ]
10. C=inv(D)*CL;
    & f+ B0 I1 `3 b8 F) U. Z
11. u=[2,3,4,5]';\" \( b6 L$ }- G, ?- _# n
    
12. g=inv(L)*b;
    % L) C' H0 N0 k) f1 z4 j
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    : D0 a; [* R7 Y# D3 Y
14. v=L'*u;
    ; M# D/ _2 F$ P
15. rw=g-B*v;$ K; Z; F! L0 d. l
    
16. r=L*rw;
    ! }\" N  c% G% K/ u- W5 t; M. e
17. p=inv(M)*r;; U% d& Q* A- G% w1 L9 d
    
18. z=p;
    * ~1 i) c/ M+ b5 w: C) G/ N
19. q=A*p;
    , Q& o- x  g) R
20. for i=1:50
    3 v* L6 y7 K- K7 Q0 k! t& j, A
21.     af=r'*z/(p'*q);
    + E  e7 \7 R* e: I\" ?8 `$ C  u( }
22.     u=u+af*p
    0 m+ ]( \) C1 b. O2 C4 K0 u
23.     r1=r-af*q;2 p# I% L. ^9 H) J6 {' S
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    $ I\" \/ V! h. ~$ K
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;5 F& }1 J) t3 o% P. q\" A2 P
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);: k  f2 f; R0 }3 U8 h  Q$ k
    
27.     p=z1+bt*p;5 _* m# n' h2 ~( R
    
28.     q=A*p;! B9 z( Q# P\" t% c
    
29. end5 L: O. V# b6 K9 g
    
30.   % Boundary condition.
    % U) b9 ?& ?! ?' y3 ]7 d
31. % zw(:,1) = 0;
    * S* V- x$ B3 ]; I- j
32.   %zw(:,n) = 0;
    2 t- L! U0 L  s# o: b
33.   %z(:,1) = 0;
    ( Z\" c/ I3 W9 C# `7 H) X$ Z9 ?6 z\" H
34.   %z(:,n) = 0;
    3 b% X! k\" d9 i& p9 j
35.   %for i=2:10
    , w$ g  ?. q. y* l
36.    %   for j=2:10
    # d/ E$ M6 P5 ?, m9 A/ Q& Q& [
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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