matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
5 d/ i5 e. ?" J3 |9 q以下是代码的一些关键部分的解释：

* X  W; V) X  t& N, Y7 G; e1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
3.(D)：(A) 的对角矩阵。
3 L& N5 _. T0 @. M4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
% I/ ]; q' l* I, P3 m& P2 p0 U7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
( c( [, F  \7 O: G: q2 M4 l6 v4 O11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   , c/ P7 f. R\" d! d6 |
2. b=[2,-1,-1,2]';, k4 W* R5 ^' a% K# }+ _5 b. U
   
3. n=length(b);0 `& A6 |) p8 l3 L+ d  f2 B
   
4. w=10;
   * X6 h\" H- v* u& P( [8 i! P- J( I
5. D=diag(diag(A));7 |( v! j- O+ g$ R1 a% o3 H& p! X
   
6. CL=-triu(A,1);
   4 ~3 l\" g, h1 h$ z
7. CLZ=CL';8 R\" J' C- O8 G/ y, Q- }* A
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));
   + m9 h8 c  Y7 }4 P
9. M=L*L';) r4 C) R% z9 t  d7 q: G6 m; {7 X3 D
   
10. C=inv(D)*CL;5 j; l) y% l( r: s
    
11. u=[2,3,4,5]';8 G! E) L9 p0 M. Q
    
12. g=inv(L)*b;8 `1 _: @1 j7 U- v+ D
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    + [' S, g8 s) f( Y( A7 d
14. v=L'*u;
    1 Z/ y' [# x( d% g* D; j4 b  g
15. rw=g-B*v;
      d\" z3 C, I- J! t5 o7 i
16. r=L*rw;! m+ `' e% {( O2 S/ ~
    
17. p=inv(M)*r;
    ( O: b% C; P\" c
18. z=p;; {  h4 d' B! O+ T) r3 Q0 ~
    
19. q=A*p;: `* k# o4 e6 A7 Y( N- W
    
20. for i=1:50
    0 N5 T1 q- g* h0 M0 d% l) H7 W
21.     af=r'*z/(p'*q);
    & \* X) W  O* ?7 [  H2 ?5 z* E$ K
22.     u=u+af*p
    1 M4 z+ b6 d: g3 _
23.     r1=r-af*q;
    & H! L( G- w' Q8 @
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);- y, K\" P* e. X3 z) e
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    * M& a/ E, w; y( c
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);( y, s- Q$ t# o* M! v5 f2 ^: c
    
27.     p=z1+bt*p;- A) w: l& V* g/ m& ]' }' ^
    
28.     q=A*p;
    - x( U  M5 ^4 F+ y\" e
29. end
    $ ]4 m. U) X- I, u! }
30.   % Boundary condition.. h) `* n, }! T+ B3 I/ v- j
    
31. % zw(:,1) = 0;
    ; H( g! u3 s& ~2 I
32.   %zw(:,n) = 0;
    & E: A9 U, n' V3 z, y  m
33.   %z(:,1) = 0;& ?7 X( G+ U5 C; g8 [$ O% z
    
34.   %z(:,n) = 0;
    6 c( W) J, m+ E5 k8 g. q' K. C
35.   %for i=2:10. [+ x! e. I& H) W6 X5 e; X\" H
    
36.    %   for j=2:10
    . b) c! p) y3 }9 h% u
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。

3 E% v% O. b' G) Z- D