matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
以下是代码的一些关键部分的解释：
' g# t" ]2 s8 g+ g
3 B# L2 {& {6 Z6 |( V' f1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
: I7 g/ I$ p1 X; M. b7 f# m2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
5 i  G, C* t- ?7 g1 B; G7 A3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
" C$ P7 P6 e# t. W1 _10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];\" ~- ]4 D8 Z$ M# ?$ O
   
2. b=[2,-1,-1,2]';
   : N7 f& G: F1 B2 l! R% b# ^( ~5 B+ o
3. n=length(b);2 g\" h7 Y# ~+ g6 ]$ ~
   
4. w=10;* y8 k% \: F- ^2 G1 ]- r2 j- X
   
5. D=diag(diag(A));
   ) F% @) u3 r8 p: y  A; {4 R
6. CL=-triu(A,1);
   9 N1 X/ B) f# f- I0 _
7. CLZ=CL';. q, x- G' C# {( Q; \- p
   
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));$ t: |2 E3 e' R4 i$ V: W3 ~# t% ~
   
9. M=L*L';& Y/ N% G9 t5 O3 j
   
10. C=inv(D)*CL;
    6 e4 c: E- \. ~) l# [* n
11. u=[2,3,4,5]';4 {; [8 n  E- \# _
    
12. g=inv(L)*b;! n4 P# u) R! U6 j
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
    ( g! }$ D; M' j( {
14. v=L'*u;
    # U, ^- }% g9 o2 P
15. rw=g-B*v;/ n; s6 y) }* g6 z3 O6 `: O
    
16. r=L*rw;
    ! `/ F: a% L1 C$ z; {9 L! b
17. p=inv(M)*r;. y/ k/ Q# x# o6 ^  ?, N; ~3 B2 [
    
18. z=p;
      Z0 L9 `* T+ y) n- W$ H' T0 G
19. q=A*p;
    . V* k  {! t6 k
20. for i=1:50
    ; x/ F; c4 r4 h; r9 x
21.     af=r'*z/(p'*q);9 M. T6 P6 U% R/ l4 u
    
22.     u=u+af*p
    & Y1 q8 W0 v' M) d
23.     r1=r-af*q;
    $ @% a/ k% {7 Q  s/ v- l
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);
    ! e' D0 w  B/ r1 B6 a
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;
    6 e/ f% c! u! ?7 |' |9 Y8 F9 c/ ]$ n
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    2 I7 b! g/ H) b4 h& o! o7 D
27.     p=z1+bt*p;
    * c* ~' t& m! E$ c7 d& F; B
28.     q=A*p;
    \" b8 l  M1 A& D. r: y0 }
29. end, l\" S% E. B1 ?( ^8 X! F
    
30.   % Boundary condition.
    2 f- z7 {! l, z/ r3 x1 s0 z5 M+ X
31. % zw(:,1) = 0;
    + |: m$ B\" `/ `# @( E
32.   %zw(:,n) = 0;4 \; {! I\" @' Q1 a. F9 J3 d
    
33.   %z(:,1) = 0;
    : ?* Z% y9 Z' J6 }
34.   %z(:,n) = 0;
    6 O% J9 ~$ M5 `
35.   %for i=2:10
    ) [* N# b\" [  i+ j2 I1 z
36.    %   for j=2:107 O8 U: X( m: W! H: u+ T
    
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

。
4 H: V2 o. a* M$ v
; x9 Y; v; J% [) n4 h7 U9 p
+ D- w; R! V: o