matlab 实现共轭梯度法

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这段代码是关于共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）的实现，用于解决线性代数系统 (Ax = b)。具体而言，它使用了预条件共轭梯度法（Preconditioned Conjugate Gradient, PCG）来求解具有对称正定系数矩阵 (A) 的线性方程组。
8 o1 m& w3 O5 Q2 ^: W以下是代码的一些关键部分的解释：

1.(A) 和 (b)：给定的线性系统的系数矩阵和右侧向量。
: @8 S% _6 r: j5 m5 A2.(w)：一个权重参数，用于调整共轭梯度法的收敛性。
7 {1 Z+ ?/ e( K+ z6 l3.(D)：(A) 的对角矩阵。
4.(CL) 和 (CLZ)：分别是 (A) 的严格下三角和严格上三角。
1 L9 |- K% k* a/ ~5.(L)：预条件矩阵，通过 (L = (D - w \cdot CL) \cdot D^{1/2} / \sqrt{w \cdot (2 - w)}) 计算得到。
2 r) }" A. M8 C$ y2 \( l6.(M)： (M = L \cdot L^T)，用于预条件化。
. o3 u- I7 P6 [8 E7.(C)： (C = D^{-1} \cdot CL)。
/ u" d* L+ V% F1 P' b8.(u)、(v)：初始的近似解和共轭梯度法中的辅助向量。
9.(rw)： (rw = g - B \cdot v)，其中 (B = L^{-1} \cdot A \cdot (L^{-1})^T)。
+ u( e+ p! c, F; _6 ]10.接下来是 PCG 的主要迭代过程，其中计算了共轭梯度法的一系列参数，如 (af)、(r1)、(zw)、(z1)、(bt)、(p)、(q) 等。
0 ?, c, R$ U6 l! R( {( j4 N11.最终，通过迭代过程得到近似解 (u)。

1. A=[5,-4,1,0;-4,6,-4,1;1,-4,6,-4;0,1,-4,5];
   0 ^8 {( p( N9 {% t, p
2. b=[2,-1,-1,2]';
   & x5 H$ b7 o/ E% I8 X% D8 R
3. n=length(b);9 U; e5 K; ^3 S  F
   
4. w=10;
   \" N  F; i* t8 I' |& F
5. D=diag(diag(A));0 `8 Y, W9 e3 G
   
6. CL=-triu(A,1);
   & [5 h4 [5 X' C. ?5 [
7. CLZ=CL';
   3 D0 l: J0 q, A+ o. ^
8. L=((D-w*CL)*D.^(1/2))/sqrt(w*(2-w));0 {6 O# M4 s2 d) x
   
9. M=L*L';
   ; Y! t3 V7 p, j. R. H/ {- c
10. C=inv(D)*CL;
    ! v- f) R1 Z3 @# t
11. u=[2,3,4,5]';# z* L* n; Z) B& m  j' n
    
12. g=inv(L)*b;) N6 z4 L% g$ B8 R: X- `( O
    
13. B=inv(L)*A*inv(L)';
      [3 a* T& W5 H4 ~9 K; _, P\" b
14. v=L'*u;! M; U: P0 c/ K$ z, E
    
15. rw=g-B*v;
    $ k7 J1 L4 _3 c9 I3 c
16. r=L*rw;
    ; F1 i2 K  _4 g! \0 {0 h5 x, o
17. p=inv(M)*r;* w# d6 @0 U7 ]5 c/ B0 O0 D! h3 n
    
18. z=p;
    6 j0 k! c\" u3 a& i1 R
19. q=A*p;0 v+ E3 q4 `2 f$ L3 O, E7 n, F
    
20. for i=1:50, g6 M$ M. p7 A7 U. d& d
    
21.     af=r'*z/(p'*q);0 G1 x$ Z, t, W; j9 x: U# G
    
22.     u=u+af*p( ?6 {3 Q6 S; m3 }
    
23.     r1=r-af*q;1 e2 ]4 @0 d; m
    
24.     zw=(eye(n)-w*C)*D.^(1/2)\(w*(w-2)*r1);1 E# @$ b5 B, @2 B4 J/ h9 o; j9 c  m
    
25.     z1=D.^(1/2)*(eye(n)-w*C')\zw;- Z) c% h9 m/ E# t% N0 I6 ~
    
26.     bt=r1'*z1/(r'*z);
    ) q4 I8 {; x; @6 W\" d
27.     p=z1+bt*p;
    / H3 i) y3 c/ ?5 V# j
28.     q=A*p;
    ' z/ {* J3 u0 G; G2 a5 U
29. end( t- b7 N  Z# f/ h0 g
    
30.   % Boundary condition.4 L& N2 d! n/ J' w. m3 \
    
31. % zw(:,1) = 0;* Y) q# \. B4 X% {& G4 }' ]
    
32.   %zw(:,n) = 0;
    ! s; C4 H5 n/ I; q
33.   %z(:,1) = 0;. v. U# U& O4 v4 p, F' _& m2 q6 C4 u
    
34.   %z(:,n) = 0;
    3 p- _\" ~0 M\" {) t5 N* k
35.   %for i=2:10; H% @7 x' J7 o$ v( k/ M2 s4 Q
    
36.    %   for j=2:10
    . r2 u, i4 L- s: s. Y% }
37.     %  zw(i,j)=w*(zw(i,j-1)+z(i-1,j))/4+w*(2-w)*

复制代码

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$ O8 X8 K- @6 v4 g$ |