隐式差分法来解热传导方程

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这段代码使用了隐式差分法来解热传导方程，并与精确解进行比较。以下是对代码的解释：
. l2 c" ]3 D8 Z3 G0 ]: D
4 t# I8 [4 m+ y0 v* ~6 H& W! e; R1.初始化：

   a = 0;
   b = 1;
& }$ P1 Y) f6 b' }8 @2 T7 y5 K* j   m = 10; % 空间划分
6 D) j3 e8 e1 y4 G! Y; o" u   T = 0.5; % 最终时间
! M. Y: `, f( ^   N = 50; % 时间划分
5 q- Q) j9 s& x* w   af = 1; % 松弛因子
2 n3 L. s8 [9 U3 L  f! I   f = inline('sin(pi*x)', 'x'); % 初始条件
   h = (b - a) / m;
/ T( Q; v) ~3 @$ z   k = T / N;
   lmd = af^2 * k / h^2;
   x = linspace(a, b, m+1);
   x = x(2:m);
' `; c1 s! f5 |0 v$ t# r   i = 1:m-1;
! n, _" s6 R% Q  V; G   u = f(i.*h); % 初始时刻的温度分布

在这一部分，初始化了问题的各个参数，包括空间划分 m、最终时间 T、时间步长 k、松弛因子 af 等。

# J& C- R0 r) ?0 S0 P2.隐式差分法求解：

$ Q& Z6 v* I7 W3 x% d) i3 x   for j = 1:N
; Q7 S8 K2 @3 b       t = j * k;
       u = trisys(-lmd * ones(m-2,1), 1 + 2*lmd * ones(m-1,1), -lmd * ones(m-2,1), u);
   end

0 u5 u6 l7 U" ?3 w: R# `7 |; z这一部分使用了隐式差分法，通过求解三对角线系统 trisys 来更新温度分布 u。隐式方法具有稳定性，适用于热传导等偏微分方程问题。
! x9 v# k+ v) K. |; P) G6 s
3.计算精确解和误差：
) ^. [$ u+ f$ q5 _; r" B
) ^. a1 W- _6 G) t" ]   true = exp(-pi^2 * T) .* sin(pi * x);
   error = abs(u - true);
8 X2 M- T) M; R. x1 ^0 X1 W   re = [x', u', true', error'];
4 u1 z, g+ K; a- s" _
9 z2 _* |' _! E3 h8 E& M在最后，计算了精确解 true，并计算了数值解与精确解之间的误差。

% ^: c- l5 V& G$ W4.输出结果：
  m# R0 y' o5 E) H0 D- L' c
   re

最后，输出结果包括空间点 x、数值解 u、精确解 true 以及它们之间的误差。
这段代码主要用于演示隐式差分法在热传导方程问题中的应用，并通过输出结果进行验证。
, I8 ?8 J; L3 A. `
( h. g  t9 _) v+ @6 U/ I4 o( X
6 v2 Q5 Q7 L# D) B6 G