二维波动方程的差分解法

2744557306

这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
close all;
clear all;
/ ?+ I# K" j# {3 K3 @3 `3 D' I5 va = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
n = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
. A7 U% |- H/ }( b" E8 ?ITMAX = 100;
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
# U8 L& g+ D, F7 q" v& Xga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
gc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
h = (b - a) / n;
k = (d - c) / m;
x = linspace(a, b, n + 1);
x = x(2:n);
y = linspace(c, d, m + 1);
% A4 K7 l$ L: Q* hy = y(2:m);
u = zeros(n - 1, m - 1);
lmd = h^2 / k^2;
4 V1 m! a% H7 F, N1 ymu = 2 * (1 + lmd);
# j9 N1 K: P) v
for k = 1:ITMAX
    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
    u(1, m - 1) = z;

    for i = 2:n - 2
        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
9 p/ L- T7 o. Q% J) h- p. R        u(i, m - 1) = z;
    end

    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
    u(n - 1, m - 1) = z;

" \1 a+ r! Y5 ?/ R    for j = m - 2:-1:2
        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
        u(1, j) = z;
- k$ E+ f: `* Y/ q/ h
3 H/ r1 d- h/ U3 U7 q9 z        for i = 2:n - 2
3 u: I0 p2 r8 G2 l( B7 g: Z* C            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
7 s( E4 F* s# {9 L9 p3 P! n, ^                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
            u(i, j) = z;
        end

        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
) M4 u3 |6 O& t; K8 U# f3 Z9 `- ]        u(n - 1, j) = z;
% b  `5 X9 f- d    end
# y6 V9 o5 ^! ?* F8 g0 M
1 x$ M1 t/ Y. M% b0 m. T: Z    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
    u(1, 1) = z;

    for i = 2:n - 2
        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
+ ^+ K( a2 N  }- Q5 h5 a            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
3 S0 E# x& }$ O" ^4 L; e+ S        u(i, 1) = z;
: ?* l5 I/ M& N- k0 L- L8 y% W    end
# C# v% b5 z. ]6 p) S
7 f) y9 @! `' W  a+ y: K    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
/ n) M6 F* n& _( A  o        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
3 f2 U2 g8 A! r$ T/ Y    u(n - 1, 1) = z;

1 M7 M6 `) R2 G* ^0 _- k/ L) F6 `$ z* C    x';
$ ^* I! W% Y: y' h; g1 X    y';
    u';
& W& g4 p9 O" J  |0 Q* v! N# Hend
3 s% M" ~1 t  B" ~: V; U" y
$ k+ I* B2 `6 M, e该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。
$ p' z4 e( `4 B( A

$ T8 r% ?# Q* V: J