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二维波动方程的差分解法

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发表于 2023-12-31 18:06 |只看该作者 |倒序浏览
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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法,用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释:/ T9 V) l4 S8 ]& U3 R
close all;* w7 d) S: \; H$ V* r
clear all;: u# f& v6 X/ s/ X, N. E
a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
7 B* ?" e# W. |" u. z* R9 Fn = 6; m = 5; TOL = 1e-10;& X  q& N" y3 L$ p2 J
ITMAX = 100;; Z7 S# D, i4 I& S6 f
f = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');2 K$ ^  `4 B9 ]8 ]7 q
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
7 ^% T* L8 i" p! S' Ngc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
3 r% g' y, A, a. a+ `! I4 L; kh = (b - a) / n;
# w' _) q4 Y9 {" @2 ck = (d - c) / m;
' v8 [. E1 h, f) \1 m0 Ex = linspace(a, b, n + 1);6 i2 G5 I5 }+ N2 [% T6 j
x = x(2:n);
$ ^$ H! Y1 X2 v$ b$ z. Q; w, `y = linspace(c, d, m + 1);3 f5 q3 y# S& q5 D* K
y = y(2:m);+ G4 }& W7 u0 ~1 U( ^0 c0 y% B# q3 O
u = zeros(n - 1, m - 1);
; _+ E. Q! E  r: G3 `( `$ G7 f# \lmd = h^2 / k^2;
8 k7 p( ~) A' q* Fmu = 2 * (1 + lmd);
" H8 a; u: E0 _$ S" a( d* V7 }& @3 p
for k = 1:ITMAX
7 x* w; ~; g8 G( b1 z, T    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
0 ]7 i9 m! V. m, E, u        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
& \" w7 j4 ~+ \: g    u(1, m - 1) = z;
$ G' P' l1 P2 o& I: _% ~) L' \
% p0 `5 q# S$ r: ]    for i = 2:n - 2
& |- s3 z+ S6 X0 n; Z6 Z        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
1 a% H# g3 t9 R' k* V3 U            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
- B6 b, a/ A3 C/ q% X        u(i, m - 1) = z;
) @8 {5 i6 N* v    end" L) {( z2 e: O3 J$ l2 D' C
1 W& d0 c; {0 }$ ?7 t5 U
    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
% t9 A! l/ A* Q9 P) m& S        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
8 m  h, Q; f" c6 W' H* q5 ~    u(n - 1, m - 1) = z;  |: ^1 M: \  n% Y6 a& Q, k7 p/ l7 p
' z& Y3 u3 q' q; s4 \% r
    for j = m - 2:-1:2
- G' W$ Y5 _9 v: l& ]  P( x$ y        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...: I$ w; K2 _8 A/ d) H+ l
            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;9 |. S0 e) ^8 H* b
        u(1, j) = z;" w/ D0 R" {' ?8 f; d
' A* |! G7 }; ^8 c- A6 q
        for i = 2:n - 2
7 b8 o4 I. E0 y/ z            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...' q6 v7 q2 i  M0 m$ B: e* x* ~* T
                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
( ]5 R! g, S+ Y8 L8 e# t' _            u(i, j) = z;
: q% q, Y7 Y5 N5 B3 K        end
% f! _$ ]5 h% B7 c% W
* i) F: U) R( a( {3 ^; w7 D        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
2 F# }/ r- N. x# b            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
. x- p7 N0 `% t4 b        u(n - 1, j) = z;
) q7 S9 h; P% S( _, g8 Z    end
  n. |0 x0 x2 N2 r- e& F- v- V6 ~: y
    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + .../ h4 y2 E; [% u
        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
4 X. ]  u, I/ b6 S4 l    u(1, 1) = z;  j- x$ k) I* I- S# q5 R' K
7 S4 f; y# J, u2 f4 z$ p
    for i = 2:n - 2
; Z" @7 j/ `' |  M1 O        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
7 F* H) _: j% l* }/ Y/ V5 h. {. g            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
6 s1 f! V$ {; p. S, v; k' S4 j3 h        u(i, 1) = z;% L% J$ ~. |9 q$ u8 [1 S* q
    end: V0 l5 r$ L# R8 P- g7 }

0 H- A$ n/ _7 `8 o' w# m" [    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
# T3 `' s& {0 q: v. }% ~4 V% ?        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;6 }# J& U5 O8 e! T' ?% ]7 r
    u(n - 1, 1) = z;: d; c+ H+ ]/ @: o/ I/ [) r" p
$ z( G" d, g; v- f2 p
    x';
- L5 E& ?, A5 `8 O% ~$ W! ?. H    y';7 C, y5 ]* Z: g7 c1 l0 Q1 `3 o
    u';
. f5 b3 A. g- K5 n: E3 M$ g: rend/ G% w# ?, D+ n" x" r, `7 ~! b

8 n6 _! ^9 ~7 N2 n6 F该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解,直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中,通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。7 t: r' V2 o, e* N+ D
$ F, Z, g. S% J4 L7 B' k* ~

3 ?* y( A$ `# F3 ~
zan
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