二维波动方程的差分解法

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这段 MATLAB 代码实现了二维波动方程的差分解法，用于数值求解。主要使用了显式差分方法。以下是代码的主要解释：
: H9 N+ E: |+ t7 o4 Y! Pclose all;
1 L% t9 G: b/ T; a8 N3 Zclear all;
6 r5 T6 e# b- {- X* G. D+ ~a = 0; b = 2; c = 0; d = 1;
% {7 g3 W9 s% ^, b& C4 Zn = 6; m = 5; TOL = 1e-10;
ITMAX = 100;
# j* k6 K1 x7 v0 Kf = inline('x*exp(y)', 'x', 'y');
ga = inline('0', 'x', 'y'); gb = inline('2*exp(y)', 'x', 'y');
: r# ~0 W/ J6 o) N5 w/ `" `) wgc = inline('x', 'x', 'y'); gd = inline('exp(1)*x', 'x', 'y');
h = (b - a) / n;
. ]2 Y* _: ]0 P; Mk = (d - c) / m;
" \. ]! O6 E( C' sx = linspace(a, b, n + 1);
% A0 A4 c# m7 {0 ?x = x(2:n);
  b: \5 v5 u6 G' Zy = linspace(c, d, m + 1);
y = y(2:m);
0 t) @- X- i- @- V, u" d/ vu = zeros(n - 1, m - 1);
" Y/ B8 q% _1 E) X1 D! R( q& o& glmd = h^2 / k^2;
% @) r. s  t. H# A1 zmu = 2 * (1 + lmd);

for k = 1:ITMAX
    z = (-h^2 * f(x(1), y(m - 1)) + ga(a, y(m - 1)) + lmd * gd(x(1), d) + ...
% J/ z8 i! F, i  u        lmd * u(1, m - 2) + u(2, m - 1)) / mu;
2 B1 E# Z$ V# Y1 `    u(1, m - 1) = z;
1 a2 e% |4 A( Y% D, K* t" q9 A/ S& T
    for i = 2:n - 2
5 X# I$ r# ~. q1 g: G        z = (-h^2 * f(x(i), y(m - 1)) + lmd * gd(x(i), d) + u(i - 1, m - 1) + ...
            u(i + 1, m - 1) + lmd * u(i, m - 2)) / mu;
- ]0 ]' u: j9 |+ D5 h        u(i, m - 1) = z;
4 |' O& ?9 r8 @" a    end

5 f7 O* w. g) j6 b    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(m - 1)) + gb(b, y(m - 1)) + ...
        lmd * gd(x(n - 1), d) + u(n - 2, m - 1) + lmd * u(n - 1, m - 2)) / mu;
/ S5 ~. @! k% C( T# @& I/ g. O    u(n - 1, m - 1) = z;

    for j = m - 2:-1:2
        z = (-h^2 * f(x(1), y(j)) + ga(a, y(j)) + lmd * u(1, j + 1) + ...
            lmd * u(1, j - 1) + u(2, j)) / mu;
* M4 w& _9 U; k( m1 L% @        u(1, j) = z;

        for i = 2:n - 2
5 Z% h" P0 s2 _, p' F) `5 Y+ K            z = (-h^2 * f(x(i), y(j)) + u(i - 1, j) + lmd * u(i, j + 1) + ...
                u(i + 1, j) + lmd * u(i, j - 1)) / mu;
            u(i, j) = z;
# [9 q9 y6 h, }# Q. X7 [) X        end

        z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(j)) + gb(b, y(j)) + u(n - 2, j) + ...
+ O' e1 W9 X/ h+ P5 J            lmd * u(n - 1, j + 1) + lmd * u(n - 1, j - 1)) / mu;
        u(n - 1, j) = z;
1 v- y  D% L& _$ ?% w4 D# [    end

2 P4 U- C/ E0 f7 `! N  T    z = (-h^2 * f(x(1), y(1)) + ga(a, y(1)) + lmd * gc(x(1), c) + ...
$ ~! O4 @* c/ }9 o$ ?& k        lmd * u(1, 2) + u(2, 1)) / mu;
7 C& g9 j3 O1 L; y) Z7 ]    u(1, 1) = z;
/ z" n+ ^1 Y, L! @# M& D  ^% N! h$ @& _
    for i = 2:n - 2
  ~) a0 |0 K' G' h/ Y% H, @* o        z = (-h^2 * f(x(i), y(1)) + lmd * gc(x(i), c) + ...
/ ^5 L7 S( k! O4 H% L8 u            u(i - 1, 1) + lmd * u(i, 2) + u(i + 1, 1)) / mu;
) f8 n! G3 o6 Y4 z) e, c        u(i, 1) = z;
    end

    z = (-h^2 * f(x(n - 1), y(1)) + gb(b, y(1)) + lmd * gc(x(n - 1), c) + ...
8 {4 H  o, E0 J1 F& ]        u(n - 2, 1) + lmd * u(n - 1, 2)) / mu;
    u(n - 1, 1) = z;

    x';
) K8 c$ f2 G4 H8 [1 r0 S    y';
) U, @$ p5 w+ E: ^. c! l    u';
  S$ S1 z; |) ^6 N7 Y8 V. C+ vend

& V. ^$ c+ _0 e8 j! u% W* m该代码通过显式差分方法逐步更新二维波动方程的数值解，直到达到最大迭代次数或误差小于指定的阈值。在每次迭代中，通过更新矩阵 u 中的元素来逼近方程的解。

0 F2 a! ?. P* }1 p0 I) O0 I5 J( o
3 V1 H0 `, v3 k  d