Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
( ]6 ^( x  n6 I" f以下是Kruskal算法的简要概述：
4 z& Z, m3 q4 g/ p+ `7 }* n: O9 D
2 N& v  |; u) q/ z# ^% Q# N1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
) _* K6 Q; C8 V3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
: x3 k; J8 }- \! e0 b+ b5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。
8 N2 A+ o2 f( G7 K) a
以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   * A0 D- D; g, y+ _% N
2. 1 R) L7 o$ t5 W; E* H$ g\" r
   
3.     def __init__(self, vertices):
   5 H. ?: o5 W* ^. y0 X. R) a
4. 9 n- P: p& w! C5 g1 ~/ A, i
   
5.         self.V = vertices
   - v# `! p3 x+ [\" V1 h$ ^
6. / |8 \) {6 z4 X* R( E
   
7.         self.graph = []
   & d, S' H\" S* p7 _9 a
8. 
   1 [/ h, y3 D9 {3 F- i
9. 1 u( w/ w5 d# x5 \7 T
   
10. 8 H/ ~  E- k% t6 T, z0 m8 R
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):# O. B0 K5 s+ \% _+ O6 k) h
    
12. 
    ' V7 E% g. `6 D6 F7 x# \
13.         self.graph.append([u, v, w])+ `7 Q8 x5 H. O- A* }3 g
    
14. * ^1 s# a% L, g8 j8 C4 o
    
15. # F$ C6 j( `: s7 }8 ?, `9 P; Z\" k5 Z9 o
    
16. 
    8 v9 u. K! M5 h# @2 y' y5 T
17.     def find(self, parent, i):
    ) }. z8 h1 A' ]) C
18. 
    3 ?: B, G9 [$ g/ W& Y1 q1 B+ c3 X
19.         if parent[i] == i:. _1 B# c& }9 L3 x; {& d  w0 e8 ]
    
20. / L8 j3 c) a* N2 r
    
21.             return i# P& a( Z9 N6 G3 u
    
22. % t$ r1 d( D  Q3 Q
    
23.         return self.find(parent, parent[i])
    7 U4 \7 V4 {& R) P6 z
24. 
    % z8 x; C5 N. |. ?; E: K# U
25. ) g. _) ~' i1 X' b
    
26. 5 t9 |4 ^. ?: o
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    ! ?9 f\" Q7 i2 {+ ]( ~\" ~/ r
28. - W2 ~! {; R$ R3 \
    
29.         x_root = self.find(parent, x)* O2 W$ d: e0 E! I, R# H; x' q
    
30. 
      t* K3 B3 U) K, I% w8 q  A& ]$ I
31.         y_root = self.find(parent, y)
    ; s% B  d, f6 B  M\" Y5 Y/ R
32. 
    3 _5 u+ [: F; J1 u
33. 
      U) I( C! z/ K\" D) v
34. 1 g# Y. S4 B; [. r+ d, r( @
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:* f3 @, l+ k: z3 l7 x5 J
    
36. 
    5 m1 C9 x! B% Y1 b
37.             parent[x_root] = y_root
    6 T! [0 G/ D5 m, r1 V  q& d/ @
38. 6 g0 B2 ?/ j# E- l. h
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    ) O' E4 r* b3 T$ V) i3 v2 d
40. 4 z8 d' ~\" V( l- p2 q9 a! r
    
41.             parent[y_root] = x_root6 k\" C0 E' z/ a. S5 r8 G7 W$ ~
    
42. 4 p! _& t# f) t! R  ^1 G; }
    
43.         else:
    ) }5 n( `\" F0 o' }3 p7 M) @5 b
44. 1 U9 i0 p/ d2 {/ k) M3 D
    
45.             parent[y_root] = x_root  _! B9 P: p- ^  [+ G
    
46. 0 ~5 j, y7 j. ^2 l
    
47.             rank[x_root] += 1& c2 P3 j& y, a\" d# R4 A
    
48. 
    * T0 g3 P  l2 A, p# O\" N+ s
49. . o9 r! j: n- h) U% R: w
    
50. 
    1 a3 A- k( t* l/ N6 K
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    : p% q6 A& L* l# }$ |6 S2 V
52. 
    1 V% W' Z2 A, Q. Y/ W\" ?
53.         result = []
    6 s# l2 Z, L# \, g4 o
54. 
    / _( l( o1 o& K
55.         i, e = 0, 0& r! w3 P) x; F% A
    
56. 
    # ?; r/ t\" b: h1 d- f1 j6 V
57. 
    . Y  B+ M. S8 {; X  z$ {/ m
58. ! J: J* d# h* C0 G
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])8 x: T6 L7 ^5 \4 G
    
60. 
    + L, J% H# Q( I# k# c) @
61.         parent = []* ]4 y3 ^9 ~  D$ R4 r
    
62. 
    \" C7 p: h: u\" e\" Y$ Z, r
63.         rank = []1 M/ i+ K  A4 p0 j: A/ _
    
64. 5 e/ F9 ]# ^1 u+ P' m, r3 U5 X
    
65. ; o2 A0 r% W2 M: L4 m2 Y* t& h% R
    
66. 
    + W. g: J4 X9 f5 {0 Z4 V4 B
67.         for node in range(self.V):
    4 p5 W& d6 U2 \$ M
68. 1 u7 ?* \\" v5 f8 c\" q
    
69.             parent.append(node)
    6 l( E+ y. `# Y: N  I
70. 0 R( i  |4 U' J% W! ?6 r
    
71.             rank.append(0)- ~! N% E5 Q\" N1 {3 N
    
72. 
    \" t- q2 K' r9 I6 t\" i# N) ~( j2 e
73. 4 L1 D' u5 v/ m
    
74. 8 j; `. _, E/ y
    
75.         while e < self.V - 1:# A! Q  `\" S- x0 x. c0 H8 ?; z: b
    
76. 
    ) Q% k' o+ _6 D& x
77.             u, v, w = self.graph[i], y1 G\" P4 Q% w\" u; h
    
78. : O5 {7 C3 K1 \/ O1 m4 a3 _
    
79.             i += 1
    % f0 C! {: b( I# Y) r. @/ V- {
80. 6 A2 K% z\" [; t; B  f: w- |# x
    
81.             x = self.find(parent, u)
    4 E+ R% s. a6 P. k: D3 H0 S7 [
82. ! e9 t/ E\" `# F5 J5 v
    
83.             y = self.find(parent, v), t4 Z- e: T4 _8 m4 s1 V, J& J
    
84. 
    - R  h3 w2 P$ T( o
85. , r. P  K\" R! u% Y2 K
    
86. % v5 u9 \# R8 L9 v' Z, N2 c3 F
    
87.             if x != y:
    ) Y5 @; K6 W+ `0 t2 E0 a\" I
88. * z5 [% `! S6 u, p: Q
    
89.                 e += 12 i* M0 [9 z& x; n' j, O
    
90. 9 q$ T# u; k9 C- S$ ]
    
91.                 result.append([u, v, w])
    , A) h' n2 M( s1 {) P
92. 
    # |1 g\" I: O' S3 g
93.                 self.union(parent, rank, x, y)( |# G6 O% k- ?5 }. K  |: c2 s2 U; b
    
94. 
    6 ]6 {, I0 }\" O- D& ]
95. 
    / @5 ~2 Q* ?0 G/ w% a  y0 ]: D
96. 
    1 M0 C1 J: D# Q3 |- P/ v/ S4 j
97.         return result0 T1 `' b- N\" h( w, Z* ~
    
98. 
    , o+ `$ s1 |/ c' F) U0 `
99. 2 Q  ^3 n2 V\" a# Q  ?0 y
    
100. 
     0 p, F\" p8 r% R2 [3 s' r0 N
101. g = Graph(4), K( f+ ]: q% F- f5 y2 I* _
     
102. 8 v% C* |4 @7 G* ]( N6 ^
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     # b\" x$ s  H. W4 n: D! \( P2 ]
104. $ m  n& z\" ]2 V/ ]9 s
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     ' X& a& K- Z3 d\" N  g) Z& \
106. 
     - P& [0 O& R. W+ Z! H$ L\" F
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     2 k! M\" F% j  `3 k3 z
108. * C) J% Z8 k) ~1 g4 B6 K
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)1 q0 }! z5 _5 y6 ^1 b  X; e8 K. q
     
110. ( Z$ c1 d( F8 a3 y4 ?
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)4 P' r; Z\" X. s9 C+ t  C. m
     
112. 
     ' K4 J, U; F7 z$ f( t, ]% ^
113. 7 n1 |4 Y8 [% P5 w% Q
     
114. - x' }+ T) f/ N4 w+ b2 X. O$ R
     
115. print("最小生成树的边:")# y  c% C, c8 o
     
116. 
     - j0 w# g1 ]2 M6 L' y9 b4 C6 c* v
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
. F: x3 H8 ]% J  o+ E; D0 k
  B' s0 e& C$ p: T9 l
9 @3 v- H! D% p' b  ~4 c' C( g0 ~