Kruskal算法生成最小生成树 实例

2744557306

Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
以下是Kruskal算法的简要概述：

! q" c% u1 u+ o- W0 `7 _1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
4 g6 |! y9 B. l) u4 C9 T5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

$ V; g; r! _4 h* \# D& l5 {3 [以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   0 @1 B8 W; T  v8 m/ P
2. 
   ! S) l( v7 V7 h
3.     def __init__(self, vertices):
   9 q& U3 H: r. i& x+ Q
4. 5 K* ?1 a  L% ~% r) C4 G
   
5.         self.V = vertices5 |) n4 R# l* |
   
6. 8 R2 ~' k; Q+ d  g4 |9 ~
   
7.         self.graph = []
   * e3 {: W( Y) w
8. 
   8 k6 f3 T0 F( F! |! f
9. 
   ; [1 X. G0 J% T6 B% n4 H. l
10. ) b- b5 E& n! Y% r: S% ]/ d8 z- l( S
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):
    6 @( M. a& u, m9 `9 O+ Q
12. 
    2 N$ O: _& G# |$ |% [) h
13.         self.graph.append([u, v, w])
    0 `9 {& c7 M7 Z( \; ]6 w
14. / r; ^2 `9 b9 w( D
    
15.   c% I, r: A1 o3 F) j0 \0 f
    
16. . d8 l$ l8 u2 ~8 m& i7 h\" w# f
    
17.     def find(self, parent, i):
    # A* T) i: H0 s+ B7 A, l
18. . Q& \% u# n) v
    
19.         if parent[i] == i:
    9 f& ~8 B, Y; G0 l9 ^: |# b* y
20. 
    ) X* v7 v7 v6 e
21.             return i  C* E0 c& V6 Q\" e# Q& x
    
22. . B. P. a# C2 J. `# F+ U
    
23.         return self.find(parent, parent[i])' W' ~7 g& k* k! e
    
24. 
    5 K$ \9 A* `4 q
25. & V0 `' \( x6 ~4 a# d  V
    
26. 
    4 N- q0 ]+ N' F' R8 f. c& C# F
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    \" e# |$ I% c. Z\" D4 U/ O6 V, ]; a% E
28. 
    7 k& t! u2 Z  v$ f, N
29.         x_root = self.find(parent, x)
    $ }/ \0 q2 p# b3 m
30. 
    0 j4 ]$ J9 Q- T) x4 H+ k; [
31.         y_root = self.find(parent, y)
    / s9 t) {7 U* V- N3 ?
32. 
    : G* O* z# D/ `* @3 k9 Y4 u
33. 4 |( o$ S: J( [0 M
    
34. 5 h% ?* J$ v% R# q# u; {
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    ; k* ?$ r4 o) V2 t. i- b, f) c) b
36. 
    / M; u( ]; U+ y- _: ?4 y+ Q
37.             parent[x_root] = y_root
    ; u0 h  b& q- q6 W
38. 
    . L( O. U- O6 V: B
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:, O7 `3 o1 V4 a3 p4 ~% \. h
    
40. 
    / O4 M+ D9 ]! p6 @! R# p. t* [
41.             parent[y_root] = x_root
    3 m, v& @, I9 g
42. 9 e( y6 _- e3 H7 _, D  H! n
    
43.         else:
    9 m$ S% n  S\" |
44. . j' A4 G: h% C+ f. ~* b5 a7 Y
    
45.             parent[y_root] = x_root+ N8 M+ f/ A9 b. d
    
46. \" z4 e9 }) m4 K+ S; o6 F( E
    
47.             rank[x_root] += 1
    4 g! K6 O7 m& A0 \3 r9 _: k% t
48. 6 V! h. N\" ?2 p7 U3 k2 T
    
49. / p8 L  s  g8 B$ L% r2 }* I
    
50. 9 m2 Z3 T  V) B& y5 ^
    
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    # f: q5 g0 _  m1 G
52. 
    $ W0 o/ a* m4 t2 \6 F* E* a
53.         result = []
    8 @5 u- @  q! B4 q! V5 E1 w5 D
54. 
    8 q% f9 A7 j$ _1 s; l* `) ^) ?
55.         i, e = 0, 0
    3 s4 Q! T' Q7 Y$ k) a6 r* r# V
56. \" o8 N$ t* u- |0 {; X2 E$ b7 @
    
57. 6 Z! u2 _. T\" U& P# b
    
58. - D2 O) e. e3 k9 [  Q( P+ h' p
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    4 n5 Q8 B: ~/ X2 q( I6 p
60. 4 q+ }6 o& P) Q; Z3 c5 L
    
61.         parent = []
    3 C0 c/ k% i4 ?4 Y
62. 
    # n* O+ U5 {) {5 j5 ]
63.         rank = []+ N+ I9 d\" G, e/ P/ K
    
64. % \2 h6 S* m7 c0 }( u
    
65. 
    2 X2 [7 E; x0 ^4 h2 ?) h+ [, _
66. 0 M; P. E1 a0 s( x3 W+ H
    
67.         for node in range(self.V):) |9 }6 B4 \( V- V
    
68. 
    ! m\" x8 \4 Q6 t7 g
69.             parent.append(node)
    $ L: N; Z% J. |- I7 s2 s) k5 N
70. / j) z( |& M  x) `# W9 [/ g
    
71.             rank.append(0)7 l0 q2 B) W% h  F# W\" u( ~% V
    
72. 
    5 d0 j8 ^. m  G' \: v3 [
73. 
    % w/ V) I, i( C  F2 T9 ]
74. 
    , y& |/ a& f% @' f
75.         while e < self.V - 1:! N4 _  v7 z7 [\" h- Z
    
76. 0 J; y6 T6 b' L5 E\" S5 `; U
    
77.             u, v, w = self.graph[i]8 ~4 W/ R) Q4 t1 k& I& J
    
78. 1 I6 ]) x) c. q4 Z* Z( N
    
79.             i += 1& E0 o, m, }; p. y/ H  L5 F' `9 d
    
80. $ _. S& v  [* v# }: i7 F
    
81.             x = self.find(parent, u)
    . i1 g& X* C' \. w% W
82. 
    6 V' z# O4 e1 Y+ @# {: w1 W
83.             y = self.find(parent, v)2 e+ Z! {2 |+ _: o0 h\" e9 U! k
    
84. 
    4 O6 g, @. U/ m$ B' A$ n( \
85. 
    8 }- k: F; h8 K, c7 S5 M
86. 
    5 N2 N+ z3 ^\" S3 d% P2 O5 v
87.             if x != y:
    7 x: G; D' g2 g0 S, v2 J
88.   }& q- [* @/ \7 C6 R
    
89.                 e += 1! A$ K\" I9 y+ [
    
90. 3 f2 F+ m) J0 X9 T
    
91.                 result.append([u, v, w])* _5 a! p% `3 z
    
92. 
    8 A2 x8 }8 t2 x7 ~  X7 i* ]/ N
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    ( ]0 s/ S9 {% k
94. / e. L% P* L\" q\" i
    
95. * j, p, P/ I; i; H2 v, a- @: s
    
96. 
    ! _  z( b0 J9 k( V. H4 Q$ v
97.         return result
    & C6 D\" ?$ ~, W* R& b% g
98. 9 ]: @  Q( t$ F\" Z
    
99. 
    * t. Y1 e\" t0 ]0 p  B* i0 C
100.   u3 b$ ]6 ^7 A\" ?
     
101. g = Graph(4)
     1 ~/ E\" r5 \1 z3 u+ e  R% U
102. ' u' a$ @0 C* G+ X+ }+ {
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)# V% a$ H6 N7 R' ~( O
     
104. 5 V& r6 U, o. M) w- E% L
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     $ J5 w/ m4 ^1 \7 r3 w
106. 
     . o5 ^# S3 b, Y; I( r
107. g.add_edge(0, 3, 5)! j8 n% O# z1 |5 R! r
     
108. & r. \* L6 ?: }& R, N4 \5 Z
     
109. g.add_edge(1, 3, 15)% Q% A* b4 P7 {% u, S/ o1 v3 ?
     
110. 8 W# ]( p% f( q) B\" t( A
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)3 q* K7 h8 g& d% S
     
112. 
     0 y4 P1 x( q- c! q2 Z! e
113. . |! u: y1 F! A! Y6 L
     
114. % G. D. e8 I6 {+ u4 r
     
115. print("最小生成树的边:")
     3 H- Z. g, N% r, g3 }9 s
116. 0 @' _$ |# b7 p\" D! d( j; n
     
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
5 ]/ l4 ?! e: F4 G8 E2 w8 t; I

" j+ a9 ^9 t# r& H" y