Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
% N* I" s. M+ `" `5 X9 y3 ]以下是Kruskal算法的简要概述：
# ^! B. P/ }3 r- f
0 e: _. R, o# R3 q4 M1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
9 G: Y+ S" R8 u$ C: U2 w! A; l2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
2 o+ T0 q9 `/ O$ b/ R, Y5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   4 X6 N7 E2 K& t% a) U2 Y- |; q* _
2. 0 U2 x5 e: F# [- ?
   
3.     def __init__(self, vertices):- e3 M, G# _. m4 H
   
4. 
     J' v! u) u- \8 t
5.         self.V = vertices
   & s; z' }; }5 m\" L
6. $ W. ^; R: P6 b  n. K4 ^; L
   
7.         self.graph = [], z  U5 z+ X1 l3 N$ P. x
   
8. 
   0 x2 c! f) }& O  z
9. , r. W# u$ Z: Z( w) g
   
10. 
    1 p6 q* k/ a/ i  X; Q
11.     def add_edge(self, u, v, w):0 U4 L7 W7 h7 V# A7 b& q  ~
    
12. 
    $ I$ d9 d: \4 w1 _3 P9 P
13.         self.graph.append([u, v, w])  L5 B# n( e- w) r' [$ z2 s
    
14. 
    & v, k5 X1 s0 W\" v8 I( V
15. 
    ( T\" `1 [* K+ R& \
16. 
    2 H# n% o$ T3 n* t. b6 @* X
17.     def find(self, parent, i):
    1 O0 Q  a) x# o6 z; o1 Y# l
18. 
    / b4 C% I8 ?& J7 s) q, V7 v& Q
19.         if parent[i] == i:6 Z( w& N# z4 G. Z
    
20. 1 ~. x% E$ Q/ f8 |. ~) U
    
21.             return i1 P5 [% r, U1 Z5 r+ ~; b
    
22. 
    0 u: \% Q8 U$ K: R, m* M* i3 _
23.         return self.find(parent, parent[i])3 y$ f7 e: M6 O( g2 q) D9 m
    
24. 
    # \5 g! K, k6 J9 E( Y
25. 
    ! `! C! t3 q! E9 u. n
26. 
    ; e1 l6 \5 R9 a2 |4 W/ ^2 S+ h
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    2 _2 c' O7 \4 s2 o
28. 
    8 b$ d( M' G; M- M# X\" D
29.         x_root = self.find(parent, x)( O3 y! M( l; E
    
30. 
    $ e1 |7 }. y+ j5 A. j
31.         y_root = self.find(parent, y)) l\" H& {, G# m
    
32. , g% {6 f( [  P& l# {. c
    
33. ) S7 y* O% a2 T( A4 D  w
    
34. 
    $ ^. C! U& @% d9 y5 ^
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    4 t* q5 m2 Y  H1 Z$ P, U5 x
36. 
    9 {# a, M. M. c\" g. V- J\" D
37.             parent[x_root] = y_root5 N8 R- j# q0 V' i
    
38. 
    , X, P) ?\" s1 U; |& f4 k8 ]3 o) [
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:
    & k- I' C& S3 x! X\" L( g
40. 
    5 |2 V9 B8 H( a. I1 f
41.             parent[y_root] = x_root) y% o# V: o, h1 H: C+ s- \
    
42. 
    ( x6 j- [, Q3 I9 b8 p$ B, O
43.         else:
    ! b* {5 l0 \$ l7 ~# X2 [( p
44. 
    $ p/ m8 c' g) _7 ~- `
45.             parent[y_root] = x_root3 @  u. F\" Z1 R9 c
    
46. 
    # X2 f& h! m0 R
47.             rank[x_root] += 1
    / U  ~' I& X/ y
48. + k* Q6 l8 G1 `) p
    
49. 6 q6 r; ~4 \* f, |  @; @  g, F  ?
    
50. 
    6 r  N/ T: W/ N9 t& I/ S; T5 U
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):  }  D\" A1 y, r8 G& N* ~
    
52. 0 n% z. w0 d3 x5 ], n0 H( l
    
53.         result = []\" b9 `8 H7 p, T* Q
    
54. 
    ! ^( Q2 B; i6 _, ?
55.         i, e = 0, 0
    $ q7 g7 u* j$ R7 c- L
56. 0 i0 c5 c& x9 G3 ~: i3 `3 N
    
57. 3 g2 T9 Z% h' B. K
    
58. 3 z* l+ M, N& X' j& r& i
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    ' ?4 Y( v0 {2 [& Q5 ?4 d6 A
60. ( `+ s/ t6 ?, @, d
    
61.         parent = []$ A3 a1 ]9 U7 F( `2 O% q0 P7 [
    
62. 
    ; c, m) c$ A: u( g+ ~
63.         rank = []
    * y% D# D! D% H# _# e8 }
64. 
    # x8 r) M$ X4 j; d
65. ' W2 b# l9 D* O5 S# O, B
    
66. 
    + R, R3 X\" h0 s  j4 U2 F0 q
67.         for node in range(self.V):2 R6 U) f7 x. n1 C( ]
    
68. 
    . U- q. \( c5 A' N3 M. A( F! r
69.             parent.append(node)4 m( I8 Y( L' M2 J
    
70. 2 _+ D; x& p9 b. N$ K
    
71.             rank.append(0); G4 M& j0 t* r( V& ~
    
72. - \% m. n3 T+ p! \0 r5 G6 r' P2 ]0 n7 p
    
73. ) w  [9 i) A: v
    
74. 
    ! N9 w6 F; ]0 d' z4 q/ O
75.         while e < self.V - 1:
    , @+ w& E3 i: O, k1 i
76. % v& ]3 _\" N( [7 j# n, n6 o\" i
    
77.             u, v, w = self.graph[i]
    4 ?% S) k4 G: }
78. 
    # f& s7 L$ T1 p5 e' n7 k8 ^- G1 I\" {# T
79.             i += 1
    & I$ I: D9 |) K/ N$ m$ Y% o
80. 
    , ?\" U0 z/ |) g' e2 h& q
81.             x = self.find(parent, u)
    5 V9 y* N9 z) l; ]
82. 
    : p$ \7 o* Z7 n8 X8 U* f
83.             y = self.find(parent, v)
    ' P0 R1 m0 z& x. J/ H( [
84. 0 d; g! Q7 m5 g# ^  n/ l- o9 C
    
85. + r& n* C8 \1 n
    
86. 
    \" ?% O+ U% N( r( Z) l: a6 U
87.             if x != y:
    + P6 s  @9 ^4 r; m
88. 
    ; P7 h/ w  M$ u( n; d
89.                 e += 1
    ' Q3 q4 v: o5 C
90. 
    4 R: i- c7 L$ O7 J1 u- P
91.                 result.append([u, v, w])
    , ?4 H  J% Q8 p- P3 K
92. 
    - g1 T+ {  f2 Q
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    ' F5 `7 H8 j2 d3 J$ L1 `/ C% N
94. ; K! r& N) i. |) @
    
95. 
    6 X+ ?3 z8 w( q% w% |' y
96. 
    # F/ j5 N3 f. @4 Y4 W- c9 l
97.         return result0 ]  ^1 S% P* l
    
98. * i; \7 F1 r7 P, Y5 M
    
99. 
    ) R$ {, S. f! u
100. ; U\" c4 Q( x8 R: g* ^
     
101. g = Graph(4)
     # v6 O  L/ M6 Z. X
102. 
     : Z0 i. U  D$ q) F! [: S! d, k* x
103. g.add_edge(0, 1, 10)
     - Y6 L7 @  L  U; w3 b) g% ?
104. 
     ( |& ~( n: w% ~\" |
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     * E  l8 E7 _$ t8 w4 B. q8 N
106. 
     / J& L# \; w2 ]4 ^8 I; H
107. g.add_edge(0, 3, 5)
     1 F0 i4 ^0 Z8 @; B+ x/ ~5 V; z9 `: l
108. 
     , y$ T8 f6 I# w( f, c
109. g.add_edge(1, 3, 15)3 {, P0 R# V4 s3 A3 B  R5 a
     
110. * r7 y2 G: T) G* P5 `
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)$ T* j- Y. w/ s  g
     
112. 0 `\" P) E7 u7 C' \
     
113. 
     ' r3 t! }, @( ]/ s# E! w
114. 
     % F' C% b- m( I, ^1 G9 |$ k+ s
115. print("最小生成树的边:")7 h( H! L' I6 r+ c/ I' H
     
116. 
     / m- S# q5 E9 `% ]. B: k
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。
" R( |2 D7 W9 b6 L5 {

* S  y8 x4 w9 O( o) y6 ]/ v. W" [7 T