Kruskal算法生成最小生成树 实例

2744557306

Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
0 F- t# |. f- i: ?+ p以下是Kruskal算法的简要概述：

# d1 J4 A: ?8 e+ [. }$ U! E5 U% x1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
7 v  ^( V4 v. Z3 I+ E* s  L9 A2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
; z5 U) n( s6 W/ Y0 S, e0 \3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
! |" ~  |' y, ?5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   5 ~/ h. q) `( ]0 ?; Z+ g
2. 
   ; L! @! r8 O3 K% h: h1 n. g
3.     def __init__(self, vertices):
   : A/ A# r$ J$ M8 \
4. 
   / w) B! K, i\" t: Y% x) O
5.         self.V = vertices
   5 W  V$ ?. Y4 Z# t
6. 
   9 Q6 ]; P$ R+ x: F\" }: }. T
7.         self.graph = []4 g\" t1 y: Y. g1 T
   
8. * o- _7 v1 l/ u$ e* ]7 U0 g* w1 b, ?
   
9. 
   4 [& [1 l( ]& c1 x
10. 
    ( N) l, N1 Z% s) ?
11.     def add_edge(self, u, v, w):. L  n7 V7 S8 u9 y' r# \2 B
    
12. ; g- U4 R. J% ]* ?- n
    
13.         self.graph.append([u, v, w])
    / Q* @/ W5 p) E: `( l+ C+ {\" s7 F& t
14. 
    $ ]# k8 N# d2 L& ^# k7 E
15. 9 e! B# G5 ], D/ \5 t
    
16. 
    4 {% D6 }0 }- @
17.     def find(self, parent, i):
    7 o\" S: n! [% ?7 a  w+ J
18. 
    ) K( Z  a7 `! D\" }3 M' _+ G% Z
19.         if parent[i] == i:4 ^- {+ Z% @- k2 N, a! H
    
20. 
    5 g) G; l; m2 J
21.             return i, ~) A5 W7 Y9 \
    
22. 5 T  A8 ]6 a6 n. c, M* s; E6 J4 W5 E
    
23.         return self.find(parent, parent[i])\" P2 R( v5 H; E2 C4 ?\" g0 s
    
24. 1 c- o9 l& `4 Z3 r0 i1 Z
    
25. 
    ; C1 e: \9 [  X2 v2 t4 a
26. - j, W; b. ^+ o3 v  i
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):  o( T2 V' u3 q/ Z\" I0 H% t5 ^# k8 B
    
28. # F  j* H; Z0 R: |3 J
    
29.         x_root = self.find(parent, x)* V  u* ]& w6 B6 T2 e
    
30. 
    % ~' L- U. |3 f
31.         y_root = self.find(parent, y)1 J6 }( ^6 \) \( |4 h; l1 q
    
32. 
    \" N2 w  q3 o\" b( w! Z4 Q
33. 6 T! W- N3 e' G  o4 g1 _
    
34. % _\" W: y# f! e) X; U& R
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:& S3 n. j  F) T2 M0 ]\" z9 f  W
    
36. 4 o$ k' O) g' B. w9 f- z
    
37.             parent[x_root] = y_root5 W2 C# G' g# }' n$ L6 ]4 k3 A% W) m
    
38. 
    8 a& {& S) g$ z  d
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:& K; e8 ^6 O. t) z
    
40. 0 q. ?: R: S  {
    
41.             parent[y_root] = x_root
    , T; @' r: x( C  a: m
42. , s, H9 `& _  {  K4 T1 `- w% m
    
43.         else:3 A2 K. h\" u\" x- |* h* M
    
44. ; F9 q4 w' e. k
    
45.             parent[y_root] = x_root
    ) C7 F1 o& F/ G  j: f% I
46. ! \! T3 O( ~+ j6 T6 C6 z4 B4 O  L
    
47.             rank[x_root] += 1: ]' E) R  E+ c9 S# h( F
    
48. 
    5 o# D7 ~3 J8 m' J\" D
49. 
    5 B; L8 B2 d! `0 P
50. 
    % T8 t# |- j: \( g. k
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):4 {\" A. {7 |5 v1 ^: U8 `$ R% t
    
52. * T- V% ?: _9 s6 V
    
53.         result = []
    % G* n7 _8 ^* V1 }( A( i& p+ c
54. 
    7 t0 ?\" H! s4 ]+ X' O\" Z/ S
55.         i, e = 0, 0
    2 D4 P5 J5 `; y/ R
56. 
    $ U! p/ S+ r\" g\" s
57. 
    % e. M. c( P/ u$ U8 j) ]
58. 2 [0 w( @# N( @& B- {$ `; B2 K
    
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2])
    ( T7 m+ l' V) J\" m, k5 M
60. ( ~2 R8 S7 E, M0 a) r4 e
    
61.         parent = []2 ~* |; l1 ]) S5 ]: k* u( ?
    
62. 0 ?' }! R$ _1 L# e
    
63.         rank = []
    5 Q. M8 U' C0 K
64. $ g0 o1 D) m0 }5 ?
    
65. 
    ( h! J. p. F' \. ^. a
66. 
    % a3 h. s2 X! r2 b  R7 ^
67.         for node in range(self.V):( q& r$ M7 ?/ y6 s\" N
    
68. 5 p+ o; J& E7 R) ^
    
69.             parent.append(node)9 K\" _* }1 r+ P7 f
    
70. $ A6 P' D- u3 k6 T% p
    
71.             rank.append(0)
    \" Y) K7 a; Y1 ]
72. 
    ) {/ _: a4 U2 g, J
73. 3 L- ~- z1 ^- B& L6 g
    
74. $ x3 N5 T\" R1 K* W
    
75.         while e < self.V - 1:* g$ |0 I\" f6 I1 X4 c4 `% \
    
76. # M1 A& l# W& p6 ?3 h* Z- l
    
77.             u, v, w = self.graph[i]
    + d! X7 [' V7 @' o7 s8 o' y
78. 
    , O2 B' j* b; ^/ H) H: x
79.             i += 1( O- I. H1 h- @1 U9 o
    
80. 
    7 r  Q\" r; E/ R. M& S) Z1 ^) z
81.             x = self.find(parent, u)0 ?! M, b; s, B& i
    
82. 
    - C\" B; v$ I9 Z0 i/ N6 U3 R) |; W8 M
83.             y = self.find(parent, v)
    , f+ _, W; {\" y7 p
84. 
    . i' e* D+ k- x* C2 i* O$ ~
85. # R3 y( _# x8 c
    
86. & O' g. j\" j9 B* t) t  |8 e
    
87.             if x != y:' F1 o! n0 J% K, [' m
    
88. ; a8 R. Z\" x% B$ l0 ^& s
    
89.                 e += 1: ~4 p% Q' s( v3 f
    
90. 
    1 S% H  I1 ~3 |4 _
91.                 result.append([u, v, w])
    ' f1 V8 j- P' ]4 u: S
92. : O, H+ o1 k+ w  q( |+ Y8 q/ G\" I
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    8 m* w6 Q7 K. Y
94. 6 J/ t\" b& N0 s9 S$ U
    
95. ( o+ N& g8 S2 p2 y$ d8 w8 S/ c
    
96. % i  U: {( q6 y. [( l. b
    
97.         return result
    5 P! [; [# q# D$ T* }) A9 @  q
98. 1 D/ p+ c! o- C+ A
    
99. 
    : d8 q( ]# a& r
100. 
       \+ h$ n# n7 V7 _8 G! Q9 R
101. g = Graph(4)8 e7 d# s* \1 |
     
102. & U\" a3 D  G. j& c$ p
     
103. g.add_edge(0, 1, 10)* O6 B* Y7 c6 z' M- `* r0 \
     
104. 
     5 F' k3 K7 Q: ^5 M% r
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     0 R3 P6 J! H3 d& X8 ]
106. 
     $ n6 o2 F! T7 h' R2 B$ Y
107. g.add_edge(0, 3, 5)
       f, t- S. A; g1 Q
108. 
     - j/ o: ^7 V8 P/ L
109. g.add_edge(1, 3, 15)
     . M0 G% ~  N# g3 b\" d. A
110. 
     1 A- e2 P4 {8 o( m7 t7 p3 j
111. g.add_edge(2, 3, 4)4 n* j! U; P; e) I1 G  S' d' L
     
112. 
     0 h% t' m/ a# X8 e9 \
113.   U+ ?2 v/ ~1 B, M
     
114. 
     ' W\" E: `; z* r+ T9 e8 x
115. print("最小生成树的边:")
     . P' Z; \2 Q+ p4 d
116. 
     & w  I4 y, t6 D4 W5 j\" `
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。