Kruskal算法生成最小生成树 实例

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Kruskal算法是一种贪心算法，用于找到连接的加权图的最小生成树。它找到了一组边，形成了一个包含每个顶点的树，树中所有边的总权重被最小化。
  H+ y  {$ l1 i2 ~# ?1 ]以下是Kruskal算法的简要概述：
( t# M; U! c4 C3 G7 w
1.排序边: 将所有边按照权重的非递减顺序排序。
2.初始化: 创建一个森林（一组树），其中每个顶点都是一个单独的树。
3.遍历边: 遍历所有边，从最小权重到最大权重。
4.检查环路: 对于每条边，如果将其包含在生成树中不会导致环路，则将其添加到生成树中。否则，丢弃它。
5.合并: 如果将边添加到生成树中，则执行合并操作，将两棵树合并为一棵树。

: ^# o3 @+ H/ K0 Q# {以下是Kruskal算法的Python实现：

1. class Graph:
   - R3 E  R2 F. i
2.   Q% }$ {; z( m
   
3.     def __init__(self, vertices):
   : v5 p' o/ _4 V& a) _
4. , U6 O# O9 R) P9 x3 x) H/ z! T/ P
   
5.         self.V = vertices2 ~/ e$ I# }6 s
   
6. , g$ M) K/ v0 d# d& G
   
7.         self.graph = []
   * `4 m( ]; V0 ~/ x; ]% u0 [
8. 
   2 }9 u! _! V% U6 Q% A
9. 
   1 j9 \4 j/ z& x' g- D/ M
10. 1 G$ u5 K% C0 @/ p* F
    
11.     def add_edge(self, u, v, w):2 H+ A! C6 {( [
    
12. 6 F8 _8 k4 G& _& [) M3 k/ r0 r
    
13.         self.graph.append([u, v, w])
    8 G9 {7 r$ S7 D5 f
14. ! O7 B0 J# {- g. e, @\" }
    
15. 
    ! S/ Q' u  ]. ^& ~( v
16. , X0 X: H\" }9 L) Z0 s$ Q8 ^
    
17.     def find(self, parent, i):
    4 ?  e1 r7 _9 k! z
18. 
    ( r& f/ i% M- z( |& n3 h
19.         if parent[i] == i:
    ( e  ~& h( C: u  U& E  n1 U) f
20. 
    0 K; u5 E! x\" f1 Z3 \( u
21.             return i0 E. V# G2 y6 g# z\" U/ a
    
22. 
    8 H1 i) N1 h9 f1 t/ _3 i
23.         return self.find(parent, parent[i])
    7 V% K\" l, u  b1 ~
24. 
    $ ~, p5 s/ L1 T. V$ l
25. 1 `. v2 }! B3 [+ j! |) H$ T
    
26. ( Q( m% ?  _# D' v. h; T# i( ]
    
27.     def union(self, parent, rank, x, y):
    5 Q  N. f9 R  K  _7 m& s! R
28. $ B7 _* a6 R* ~( \' |
    
29.         x_root = self.find(parent, x)( A6 C2 P, X0 v5 D& F; A7 q
    
30. 
    9 X. ?5 c) ~* }\" ~
31.         y_root = self.find(parent, y)
    # m\" _  L# n( n; F) ]; p
32. 
    ( J+ a) M( L( {  r: @& }
33. 
    * {3 ~* }/ w: e: e0 c7 x
34. 2 y+ J1 s6 a\" i/ l( {6 P: s/ x
    
35.         if rank[x_root] < rank[y_root]:
    , d- {/ ]  Y6 L. _8 d+ n. Y
36. 0 s. ]! L/ n9 j/ \8 e$ `
    
37.             parent[x_root] = y_root1 U+ ~- \6 {. y. `
    
38. - Y8 x; @  d% v- J  l
    
39.         elif rank[x_root] > rank[y_root]:2 }* h9 y: ~& l8 p: ^4 A
    
40. # t4 A) _3 f: Q7 R9 J+ x: _
    
41.             parent[y_root] = x_root( r: {# f, Z: e
    
42. 
    0 e! ^( `2 N8 p' j9 Z* j4 b
43.         else:8 I' L. j7 i5 ?2 u. Z7 n6 @
    
44. 
    ! e1 m0 ^- p) X
45.             parent[y_root] = x_root
    $ S9 J/ a) A6 \& l$ {
46. 
    1 g1 O) e\" ]8 G3 l, \\" j
47.             rank[x_root] += 1
    : L/ s: U, Y, f$ d  Q
48. 
    * K+ m8 W( i/ Z9 v' A# \1 u- N3 b
49. 
    % t1 r5 |9 ?5 A' v0 o3 y\" D: j4 ?
50. 
    $ F$ D  W+ F% V$ K' {  s
51.     def kruskal_minimum_spanning_tree(self):
    & e7 g/ O$ _: {( w; U8 f
52.   r& h+ Q9 t& C: B8 V! Y
    
53.         result = []- r+ Q) }' G0 o& C# r
    
54. 
    - }- _6 Y6 w1 m( H
55.         i, e = 0, 0
    * |' q+ f+ l5 g/ n+ J
56. 
    & ?' }% a) i: s5 @$ i& Z( Z, o
57. . u! q4 ?1 S2 C0 K0 f( y2 G# _$ H
    
58. 
    : H( w1 `1 E# `) a# p; h  P
59.         self.graph = sorted(self.graph, key=lambda item: item[2]). `6 S/ k' t; I# B% N
    
60. 
    \" L  v5 @  @  ^' X1 P' L
61.         parent = []) j. P8 ]% x5 \+ X6 a\" u, X
    
62. 0 T/ e6 u! z* m4 @\" M: c
    
63.         rank = []- ?) y0 ?: s# S, t! M; `
    
64. ' U8 C4 M5 u& P8 }; w7 r. }  t\" J1 s
    
65. 
      [6 T4 o! d: M0 Z5 t0 Z4 a: _1 I
66. 4 T' i! @, G' ~. E\" P  J# S
    
67.         for node in range(self.V):( t2 q# g* n1 O
    
68. 
    + w8 k$ q( _  e4 k  \
69.             parent.append(node)
    1 m8 P: p2 c, F2 w- ^
70. 
    $ d6 R' s/ O' l; ~: z! d; K
71.             rank.append(0). C  X; w- y8 b  p( T6 l( ~
    
72. 
    $ \8 Z# ], l4 b# a6 v( E' a
73. 
    0 |. B& ~2 c+ g; Z6 y
74. 
    # f4 B* G+ u' ~7 a: k7 w, S
75.         while e < self.V - 1:! L7 x2 ~% N9 |2 W* }
    
76. ' W. x1 s# Y2 I: v% V
    
77.             u, v, w = self.graph[i]
    : e& W! X8 R\" G2 e9 _3 t/ }
78. 
    3 l( W2 a0 v( O5 k3 l8 i4 V, l- P
79.             i += 1
    5 L$ v: s1 d  C$ t
80. , Z4 q+ }. J2 p, C' h
    
81.             x = self.find(parent, u)
    & l6 }* u+ D# v) Y$ `6 K5 g
82. 
    8 I4 O) c\" ^# Z! A0 j; U\" _% y
83.             y = self.find(parent, v)! C8 O4 B; \\" ]% }. Q
    
84. 
    8 L\" l# ^6 @( H8 Q\" R
85. % S& s' Z) ]. Z
    
86. + ]/ a# h+ J1 U: X
    
87.             if x != y:1 j4 V3 o: L) b  U+ c
    
88. 5 m) }# E8 a4 l! @\" L& O0 L
    
89.                 e += 1
    6 C. q9 y0 T; s6 ~\" [0 h
90. 
    , B7 m: \# P) Z- C6 w! u
91.                 result.append([u, v, w])
    6 R) X$ K( p6 \: p4 M; U: X
92. ; r4 m0 m0 ^5 }8 l! E9 D% P
    
93.                 self.union(parent, rank, x, y)
    3 a- X; E9 x5 n/ x' ^0 C0 R  b
94. 
    1 t; A/ B' \8 |. L6 \' ]
95. 
    7 ]2 K5 g: ^8 P8 B2 E- E
96. 
    . h; b0 u% e4 [/ C, `6 I
97.         return result% Q  O* g4 T' z1 K1 @) b6 Q1 e
    
98. 3 ~$ `% p: M5 e1 N. y9 Q: h% }: b
    
99. - w\" A+ x' H( _6 m; P# b1 R
    
100. 
     , H( X) [; f# e$ C( K; e# {. ~
101. g = Graph(4)
     3 l2 q0 L) A$ h: M- c( e3 a7 ?
102. 
     # X7 e4 M6 L3 c8 P5 X# I6 [- F( ^
103. g.add_edge(0, 1, 10)! F5 b/ [  d0 E- I) n
     
104. ; D( K. T' F6 P  Y( {
     
105. g.add_edge(0, 2, 6)
     + k' U/ K\" R( _7 T3 I! E
106. : N, y5 Q+ K7 v8 r\" V6 N: j1 [) f1 P
     
107. g.add_edge(0, 3, 5)+ B8 I* E9 }8 k, I0 M
     
108. 
     2 w2 b( d* _6 Z- b, Q- S* o; O0 `
109. g.add_edge(1, 3, 15)/ [8 K  L8 j  D3 @  q8 r
     
110. * O& k$ D, x# u\" O0 i; D! V6 f
     
111. g.add_edge(2, 3, 4)7 |( A( X- t( O7 ^
     
112. 
     8 Y: L' `' `  @% r' [6 ^; Z
113. 
     # r. m$ O2 G& R% L( a
114. 
     2 `5 `) ^9 I- h+ }; `
115. print("最小生成树的边:")4 k$ I\" k7 }/ n8 i: I
     
116. 
     8 Z) Q% R- c$ p$ V
117. print(g.kruskal_minimum_spanning_tree())

复制代码

这段代码定义了一个Graph类，其中包含添加边的方法、查找节点的父节点的方法、执行并操作的方法以及使用Kruskal算法查找最小生成树的方法。

8 P) R' ^0 M! s, L2 M
2 S# n' [: K& i' m& N; e0 p