实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数

$ I: z& ?% e% o$ B8 Z0 a2 ^* k### Logistic 回归原理

7 A' q) q4 H. c1. **Sigmoid 函数**：
   \[
; ~6 w; f! H0 c: `' F  G( M. o; I   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

2. **损失函数**：
; X, S2 t( N, l5 \- _. W   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

3. **梯度下降法**：
' l! Q! H. j! L& x2 t. O" Y0 S% w   梯度下降更新参数的公式为：
$ J( ^* L9 G, n* u0 I$ U   \[
; f' x) A/ j& x, g( ~   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
, [& p& T0 N0 X- h) \; j9 F/ u5 b   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。



* j8 a# p% ]7 X6 l$ r. M
% s/ L& T1 @# \, z9 u7 y