实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数
, Y" J) E8 p2 k: w
# p2 |- Z. B, n### Logistic 回归原理

, H: H0 x; a" Z6 d0 c1. **Sigmoid 函数**：
2 Y  n/ A# j2 b: w0 z: K   \[
   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
) j4 f, z2 O& ], p0 H* p0 j   \]
   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

2. **损失函数**：
   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
0 {% O  ~  T2 ^0 x2 b' R5 d; E   \[
   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
   \]
   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

3. **梯度下降法**：
   梯度下降更新参数的公式为：
1 T6 W/ c; r, X   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。
! B+ G/ m* }- L0 R& k' v
- e% g- [- [* q8 ?  w& ^, g' |9 k
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