实现Logistic回归模型学习的梯度下降法

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在实现Logistic回归模型的学习过程中，梯度下降法是一种常用的优化算法。Logistic回归用于二分类问题，通过使用sigmoid函数来预测样本属于某一类的概率。以下是如何用Python实现Logistic回归，并使用梯度下降法来学习模型参数

2 j( x* n  b) J1 }% {### Logistic 回归原理
& y" W+ X4 G7 ~: P
1 M6 k* P! B: r0 P& E4 s% e1. **Sigmoid 函数**：
- o( m1 U$ E  O; x7 j7 j   \[
   \sigma(z) = \frac{1}{1 + e^{-z}}
   \]
  Y+ [2 Z7 h+ ]# a   这个函数将任何实数映射到(0, 1)区间，用于计算预测概率。

2. **损失函数**：
   Logistic回归的损失函数是对数损失函数（Log Loss）：
, b/ Y- ?8 Y: G; l   \[
! v' @" u  A5 A: ?5 V! d* ~/ f   J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(h_\theta(x^{(i)})) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))]
4 Z! K6 l" c1 m! ^( l: i7 O- d   \]
" J3 ~7 X6 R, c+ e* I, s   其中 \( h_\theta(x) = \sigma(\theta^T x) \)。

6 ^3 [. X, F( Z# E4 M! L3 \# q; M3. **梯度下降法**：
( O2 Z1 y2 v& I6 w4 P   梯度下降更新参数的公式为：
* s' ^. _0 U+ E% a2 P   \[
   \theta := \theta - \alpha \nabla J(\theta)
+ {' R- ?, B/ N8 j! }1 A- a+ \$ g   \]
   其中，\(\alpha\)是学习率，\(\nabla J(\theta)\)是损失函数的梯度。


4 S: T$ ?) j, Q
/ s% ^6 h* Q" E1 a  I: j8 g, D
9 C+ S8 i3 U8 O5 h5 P" j$ I