能否用一个恒等式证明

ftg1029

2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9，求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明？

王亚东

不会啊，怎么搞啊

数学1+1

ftg1029:
$ t6 k4 H4 d- N  g: w6 Y6 k        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,
2 `& @) Q2 u0 l: l+ c2 |+ X           求证   abc+1>3a
: H( W# @. K" v: L7 t0 {4 B- m           证明   因为0<a≤b≤c
* C5 G2 {0 p! C) m/ S                     a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
/ H. w/ s" `5 `, F( @5 i           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
- X' ~5 B" r$ }           即      3a^2<9
' \6 t" q* r! t6 P" `$ I4 F           所以   a<√3
           从而   b≥√3 ,c≥√3
           所以   √3√3a≤abc
4 s! V1 ]1 I* z# e           即      abc+1≥3a+1
           所以  abc+1>3a

jtdu007

不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了
) L/ E7 N! v1 x9 D- G8 x楼上的方法是错的

20077066

证明   因为  0<a≤b≤c
) Q* H7 H8 v, y                     并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
% ^& u/ A, Z* Z* k& y; H% h9 K0 d                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9
                        即      3a^2<9
) c. @$ Y3 H5 f3 ?5 A                      所以   a<√3
                      从而   b≥√3 ,c≥√3
                      所以   √3√3a≤abc
8 ?% r3 [3 P6 V, D" @! l! s+ W8 o                         即      abc+1≥3a+1
                     故结论成立：  abc+1>3a