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能否用一个恒等式证明

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ftg1029        

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新人进步奖

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发表于 2009-5-21 19:26 |只看该作者 |倒序浏览
|招呼Ta 关注Ta
2009年四川省初赛题。设a,b,c为正数且a<=b<=c,又a,b,c的平方和等于9,求证abc+1>3a.能否用一个恒等式给出证明?
zan
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王亚东        

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  • TA的每日心情
    开心
    2026-6-7 10:45
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    [LV.10]以坛为家III

    新人进步奖

    ftg1029:
    8 R8 p9 u6 Y0 I0 @" A6 W) t        题   设a、b、c为正数,且a≤b≤c,又a、b、c的平方和等于9,
    ) X0 |" U" Y7 z4 q& a           求证   abc+1>3a! X' S. f/ G% \# r& y6 \: O1 S& H8 }
               证明   因为0<a≤b≤c& x4 b) C2 I( m7 w8 j. X/ N  F
                         a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
    + E2 m$ I! @, {* y+ J* D7 p4 Y) [: \8 b           所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=95 t' _9 m: ]/ v8 F; @$ I! c
               即      3a^2<9
    8 u' n) s6 h3 P! i9 w           所以   a<√3
    + x, `! U# \7 ?( i! U! ]           从而   b≥√3 ,c≥√3' w1 Y; \+ p, j/ G0 E+ g: U
               所以   √3√3a≤abc
    2 w" ?* d4 _& t! D  N3 w5 l           即      abc+1≥3a+1: N" s! }+ \5 G9 \& n$ ]% d+ Q8 E
               所以  abc+1>3a
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    jtdu007        

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2021-11-15 21:08
  • 签到天数: 33 天

    [LV.5]常住居民I

    不知道能不能用不等式证明,不过通过一个简单计算很容易就解决了7 H1 b4 }* O. ^, X$ s
    楼上的方法是错的

    答案.rar

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    证明   因为  0<a≤b≤c4 Z& B4 l7 k& z0 \# n) p1 R
                         并且   a^2+b^2+c^2=9,且a≤b≤c
    6 i/ W8 d+ e: r7 y: M, _                     所以   3a^2<a^2+b^2+c^2=9. q+ E. M8 R+ e6 T
                            即      3a^2<9
    ( m4 k( ^+ a. Q4 S: |' Y                      所以   a<√39 y5 V/ t4 P6 g/ C0 t+ m
                          从而   b≥√3 ,c≥√3
    & F" f3 H, T% k                      所以   √3√3a≤abc
    0 K, d0 E- Z- r% C                         即      abc+1≥3a+1
    , R8 g/ R" E$ f- l& x; m( Z; b                     故结论成立:  abc+1>3a
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