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数学家的故事之高斯

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发表于 2009-9-7 23:58 |只看该作者 |倒序浏览
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本帖最后由 丫丫爱数模 于 2009-9-8 00:01 编辑 3 n8 ]1 ?, W" P' ^# D8 |$ r# Q
+ `+ \' H% X  z/ b+ u: Z
[quote]高斯-被譽為「數學王子」的德國大數學家,物理學家和天文/ J) r0 v0 i* A' y
    學家。
' O' t1 }7 b  ?* W
/ ~* r+ V. [  i5 _6 x  德國大數學家高斯 ( Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ) 是德國最偉1 [0 d8 m# l6 s# K( Y3 A! S, @
大,最傑出的科學家,如果單純以他的數學成就來說,很少在一門  P' s0 u: o8 O- C5 t  x
數學的分支裡沒有用到他的一些研究成果。+ L. I) s: ^( }9 P* H( d

8 i8 ?* ~- F7 }* U6 h5 L- p0 _      ( ~3 @8 h+ K9 ~; L' S' E, \
1 g8 x. f: H, d
貧寒家庭出身
" x8 w7 {: B8 m2 _! r7 S# L9 R/ i* O1 W  k: T
  高斯的祖父是農民,父親除了從事園藝的工作外,也當過各色, u9 o, ~. {' `5 h! H2 E- \
各樣的雜工,如護堤員、建築工等等。父親由於貧窮,本身沒有受  r+ v0 L7 E4 i  K1 Q" U* V  n
過什麼教育。7 ]: H; z2 W$ J7 s5 ^6 p' q' _
. j/ W. W% i' T; y
  母親在三十四歲時才結婚,三十五歲生下了高斯。她是一名石
. s" S) k. r* g匠的女兒,有一個很聰明的弟弟,他手巧心靈是當地出名的織綢能
- H5 X; d! @' k1 U- ~手,高斯的這位舅舅,對小高斯很照顧,有機會就教育他,把他所; o4 D; E: I: Y* _
知道的一些知識傳授給他。而父親可以說是一名”大老粗”,認為
6 [) B' z: s# r只有力氣能掙錢,學問對窮人是沒有用的。( Q' B, |. O' B; Z- P

8 O- S8 U/ Z- K  L* \7 y  高斯在晚年喜歡對自己的小孫兒講述自己小時候的故事,他說
% \* T5 R9 c1 U: \他在還不會講話的時候,就已經學會計算了。7 f3 m4 b. x1 }
" `, m( |9 @$ p; y- j2 e' x
  他還不到三歲的時候,有一天他觀看父親在計算受他管轄的工6 k! C1 Y$ a" C& l; _9 }5 u4 c
人們的周薪。父親在喃喃的計數,最後長嘆的一聲表示總算把錢算
2 N! `2 ~$ x4 _. G  v2 w出來。
6 w  ]3 I" A$ c" i+ x8 ?
- w0 P6 l$ B/ h( c0 T$ X+ \. n  父親唸出錢數,準備寫下時,身邊傳來微小的聲音:「爸爸!
9 I$ K2 k/ c" q算錯了,錢應該是這樣.....。」+ I* a- n6 H0 |& M. X. o
; b9 t4 G8 k/ r
  父親驚異地再算一次,果然小高斯講的數是正確的,奇特的地
" N& K8 w5 M: X, D/ T# u方是沒有人教過高斯怎麼樣計算,而小高斯平日靠觀察,在大人不3 i( [- Y$ K/ l) F5 a+ k
知不覺時,他自己學會了計算。. k3 U5 |" S$ p: S6 N- W% I
8 y) ?5 b! a$ {* A
  另外一個著名的故事亦可以說明高斯很小時就有很快的計算能# m0 ]1 g9 E  c9 O( u$ b
力。當他還在小學讀書時,有一天,算術老師要求全班同學算出以
& x/ ~* g, i( [下的算式:0 G4 r! l" I+ x/ B& u0 d3 B
  1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ?, I  s0 d' b  n$ e. G( y/ ?
在老師把問題講完不久,高斯就在他的小石板上端端正正地寫下答3 g9 I  b3 B# q( S1 f! W- Y1 Q( u; O
案5050,而其他孩子算到頭昏腦脹,還是算不出來。最後只有高斯5 ^- E" V% b/ o% m4 R5 r; [
的答案是正確無誤。3 P0 F3 p5 \, u! L6 B; l6 \6 L8 `7 w. C. o

4 W$ @1 Q+ d$ f. m" v6 @$ ^1 V  原來  1 +100= 101
4 H) S1 f( K% o9 t& D3 @+ M0 @      2 + 99 = 101
# ?: N9 o! v* h% J; N' `& H1 I      3 + 98 = 101( `+ j) M: U9 {! z
       .' x% X: d# [0 f0 e1 W8 S6 c1 l
       .
. W5 L$ O0 ?! C( G. X2 T       .# g( I- X* U- i" k" L
      50 + 51 = 101
. J; e: L; \! @' s- g
: k' ^+ \- M6 j4 e( O  前後兩項兩兩相加,就成了50對和都是 101的配對了
- a8 w! g# x; p) v即 101 × 50 = 5050。
% K6 w8 i- {: l$ |" ?) _* h5 b; D& B# {
  按:今用公式% W5 P5 J7 \) D8 n
         
/ C) C6 G9 C% ]; p" i5 z$ Y$ B    表示 1 + 2 + ... + n
7 @6 ~0 h  Y1 [  {6 U" U- L% n  j4 \1 o' \- [, Q5 [3 U- B( D" b
  高斯的家裡很窮,在冬天晚上吃完飯後,父親就要高斯上+ X+ ^6 M2 }5 y3 L3 \! ]+ g) s
床睡覺,這樣可以節省燃料和燈油。高斯很喜歡讀書,他往往/ h: b' F4 F! Q0 R4 H
帶了一梱蕪菁上他的頂樓去,他把蕪菁當中挖空,塞進用粗棉
' b7 n3 D3 W% S" \4 z: W捲成的燈芯,用一些油脂當燭油,於是就在這發出微弱光亮的
6 i2 G% G) K  Q4 F6 O) g+ x燈下,專心地看書。等到疲勞和寒冷壓倒他時,他才鑽進被窩
- g/ n0 _  b1 T. g睡覺。9 e' v& I- ~  x9 V9 L
" N' z4 ]- t: \+ w) t
  高斯的算術老師本來是對學生態度不好,他常認為自己在
2 c0 C3 {4 x$ \4 A) p7 a窮鄉僻壤教書是懷才不遇,現在發現了「神童」,他是很高興' P- L- f& N7 g5 R) T) Z7 E5 E
。但是很快他就感到慚愧,覺得自己懂的數學不多,不能對高
' M2 n: f7 z5 M1 Y9 x( @斯有什麼幫助。3 z1 K3 [# X( o6 C3 ~/ J! Q% T' X

8 h9 r9 |8 L+ I  h) f" G  他去城裡自掏腰包買了一本數學書送給高斯,高斯很高興
: Y) {. N0 S# v$ w* W! M和比他大差不多十歲的老師的助手一起學習這本書。這個小孩
6 @& k, o) E- Y+ O* G  A3 U和那個少年建立起深厚的感情,他們花許多時間討論這裡面的
% X9 c- m$ |3 x4 [! a' Z4 A東西。
/ M- h& z: a7 o/ [4 T$ s# u" r% }$ I
/ I; R5 D" m; k* F5 f6 W! M  高斯在十一歲的時候就發現了二項式定理 ( x + y )n的一般
3 B0 K+ ]2 a! ^; d( M情形,這裡 n可以是正負整數或正負分數。當他還是一個小學生' j" T! y- [) d+ I2 j
時就對無窮的問題注意了。
1 U4 x! Y# p$ i8 n. k. }1 L, w5 ~3 k  W+ E  m: P6 T% [% g1 l' [
  有一天高斯在走回家時,一面走一面全神貫注地看書,不
7 B* f5 k& d1 r3 _; |5 ~知不覺走進了布倫斯維克 ( Braunschweig ) 宮的庭園,這時布倫
# ?) ?+ T( u% t7 ^6 w斯維克公爵夫人看到這個小孩那麼喜歡讀書,於是就和他交談
1 C1 Y" Q0 e3 z% G,她發現他完全明白所讀的書的深奧內容。
5 `8 N8 O8 \) L3 z( Y. E- q+ O, G/ y# g: _/ ]
  公爵夫人回去報告給公爵知道,公爵也聽說過在他所管轄) u2 V. m' O( C2 c" z! _; b
的領地有一個聰明小孩的故事,於是就派人把高斯叫去宮殿。8 t! P( t8 ~2 M; Q& d" x
' ?. y; ]8 J+ t9 u. F9 ]7 ]8 c, L+ T
  費迪南公爵 ( Duke Ferdinand ) 很喜歡這個害羞的孩子,也& g0 o0 c) d8 a% d
賞識他的才能,於是決定給他經濟援助,讓他有機會受高深教: E" S9 M1 w  q- V& S( p2 {6 b
育,費迪南公爵對高斯的照顧是有利的,不然高斯的父親是反
; C* O) t+ t1 d4 W) W& c( ]6 a對孩子讀太多書,他總認為工作賺錢比去做什麼數學研究是更
6 l0 e; K6 \% |# B有用些,那高斯又怎麼會成材呢?
! N; g5 j9 P2 W3 j- \/ U1 o+ b) M/ S, j# G& ~6 ]' l  Q) c4 W. g
高斯的學校生涯
5 y! h/ b; {4 y2 M% l
* d7 p4 j" {. F2 v1 d  在費迪南公爵的善意幫助下,十五歲的高斯進入一間著名6 J* i/ N8 d. S  z3 s. j) F
的學院(程度相當於高中和大學之間)。在那裡他學習了古代8 L+ P$ j. B) @+ B( W
和現代語言,同時也開始對高等數學作研究。
" }: r+ d' |9 H; p: o. |
  ^* g9 u) E0 p7 c; J  他專心閱讀牛頓、歐拉、拉格朗日這些歐洲著名數學家的9 Z4 v' y/ P' V8 Q1 \) z
作品。他對牛頓的工作特別欽佩,並很快地掌握了牛頓的微積
" K& e; B1 _- i分理論。
. a& H. g2 n( ~3 c3 O" U4 R0 `7 _, z+ R1 u! k, N( @
  1795年10月他離開家鄉的學院到哥庭根 ( Gottingen )去念大
  u4 L1 _7 E/ {4 [* v' W$ L學。哥庭根大學在德國很有名,它的豐富數學藏書吸引了高斯7 n3 B4 ]0 v% m2 I0 j5 a7 ]' [
。許多外國學生也到那裡學習語言、神學、法律或醫學。這是
! U* O7 @0 J+ J; b; _) B  Y一個學術風氣很濃厚的城市。
: o; O- o$ M, L8 W; D+ ~! Z: L
  高斯這時候不知道要讀什麼系,語言系呢還是數學系?如4 y- E* V" R6 f4 a8 T
果以實用觀點來看,學數學以後找生活是不大容易的。
  y- y8 }# i# z' X6 V0 f+ a
5 k' ^- V9 ^! }1 t+ v  可是在他十八歲的前夕,現在數學上的一個新發現使他決& F6 Y1 H% M+ n  V6 X
定終生研究數學。這發現在數學史上是很重要的。8 |! O/ q! F/ |% W3 d+ a7 C7 t

1 P* B" |9 X1 L! e! Y0 f( ]  我們知道當 n ≧ 3 時,正 n 邊形是指那些每一邊都相等,( [$ r, m* N5 c' |0 g& [" R. N
內角也一樣的 n 邊多邊形。
4 u$ J$ d% r3 \2 V, ^+ q
& r5 B& U. `2 j' x' T+ |, h$ |2 F- Q  希臘的數學家早知道用圓規和沒有刻度的直尺畫出正三、0 c/ @$ T8 p9 Z  u
四、五、十五邊形。但是在這之後的二千多年以來沒有人知道. s; W( f% R5 j" ]- s' u
怎麼用直尺和圓規構造正十一邊、十三邊、十四邊、十七邊多
! w3 i9 w3 R# v/ O- c  \4 B8 C$ J邊形。" v' F# w6 n9 T1 m5 W
$ I+ C5 l$ [  n6 i- T- D! n' M6 H
  還不到十八歲的高斯發現了:一個正 n 邊形可以用直尺和
1 b% l7 F# t3 z" K圓規畫出當且僅當 n 是底下兩種形式之一:
: l# b+ m& i  B6 h" y, Y. [  f& A  ! [  m9 P% P3 x8 j1 M
     k= 0,1,2, ...
) E$ Q$ R, F: h1 [2 C9 ^; K. z
9 }- p! \; y1 \! y, T+ b  十七世紀時法國數學家費馬 ( Fermat ) 以為公式& j; J: N$ ]2 F: Q; E6 V
在 k = 0, 1, 2, 3, ....給出素數。(事實上,目前只確定 F0,F1,F2,F4' e, o# j3 B2 s! l* e2 `" q
是質數,F5不是)。
1 ~4 l  N5 q# W
! g$ Z3 n1 b* ]  高斯用代數方法解決了二千多年來的幾何難題,而且找到
0 t, z6 n4 d4 I; ^- D正十七邊形的直尺與圓規的作法。他是那麼的興奮,因此決定
+ |4 i, n7 y4 J, @  h一生研究數學。據說,他還表示希望死後在他的墓碑上能刻上* e0 b5 Y9 C6 R4 u8 q" n/ o
一個正十七邊形,以紀念他少年時最重要的數學發現。
8 Q, m9 y, v: Z" J! v3 R/ x1 \6 o( ^: J/ m
  1799年高斯呈上他的博士論文,這論文證明了代數一個重6 p( Z2 j4 M- _: d; L: Z
要的定理:任何一元代數方程都有根。這結果數學上稱為”代) F/ n: N) @7 z1 u9 d. |# R5 a
數基本定理”。
9 b* ?' m* j; p  p0 n+ g- V6 Y! U* K2 k0 K3 s! G( D: }
  事實上在高斯之間有許多數學家認為已給出了這個結果的
% |4 F! s0 u3 m0 r' c; H證明,可是沒有一個證是嚴密的,高斯是第一個數學家給出嚴/ s/ ~( L/ y/ {
密無誤的證明,高斯認為這個定理是很重要的,在他一生中給+ X& X9 x7 C7 R1 g
了一共四個不同的證明。高斯沒有錢印刷他的學位論文,還好0 W& `0 Z! o, I5 |0 [, k7 i
費迪南公爵給他錢印刷。2 ~' q9 q5 S2 I/ q
& ?  D- d7 L& v- J, d2 e
  二十歲時高斯在他的日記上寫,他有許多數學想法出現在% u4 k8 t1 R5 W1 F
腦海中,由於時間不定,因此只能記錄一小部份。幸虧他把研
* @$ l2 U. f! R6 K究的成果寫成一本叫<算學研究>,並且在二十四歲時出版,
3 l6 c# l: h$ a9 h+ Y& D' r這書是用拉丁文寫,原來有八章,由於錢不夠,只好印七章,0 _/ ^5 t5 r2 `: L4 G8 \+ B; s
這書可以說是數論第一本有系統的著作,高斯第一次介紹”同- y. S: R! r& I8 e
餘”這個概念。
/ J* C- s' C+ v: n  F8 Z8 |/ ^
& |" z1 ~3 a6 l' T4 |6 h5 U& Y- D6 E这是  高斯
zan
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