哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
. U1 n. Y: p9 |3 W5 x9 w    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
7 i1 t% y8 r7 D已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
# e& t! R( @3 j& a/ o以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
, o: m& K1 U1 u2 i& m% J  q将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
3 |  U6 d. n' C9 U( j( E即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
7 Y# y7 d  o4 Z$ b/ U同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
+ m5 W+ G6 o. }# x( t# Y. L即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
4 Y7 }# ~  k1 x（2）式为奇质数表示式
3 ?% ?9 H) V3 D5 F1 F; `由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
6 }/ Y% M. E3 b 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
% P! D. d; _2 B# i6 ?& x$ O由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2 f6 ^5 P+ L9 m) w2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
6 c$ z# X( ^7 D9 \; j# q  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
  M1 O9 C9 u$ s9 h& a5 `2 \( |设2n"=0、2、4、6、8……∞。
' M9 C+ T( j* ^  h' c3 g即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
$ {& s% G6 q1 R( T- q2 j这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
! [, L' G) s. I% G2 S例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
  M8 ]6 n& B2 b! h, _9 A& y3 u  t3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
8 t) S+ V& ]! r# R  i: u3 ~直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
" p8 U0 D9 I, J- U$ `- v即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
- M) N% p+ t: u+ J: w代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
7 H% k- O- Z& G) q, E1 i3 m7 d在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
* [: Z- Q* I3 k+ Z3 r代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
# {; w1 h) r: n" o4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
: O5 @6 x0 Q( r' p2 ~. |9 f1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
5 R& X% c7 w8 R4 h若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

0 S$ F( X1 h  l, B) i: [7 ~得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
$ z6 P& q) w6 Y+ p若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
- {9 k6 o* v0 ?2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
2 S, x" k; v) I+ b( P即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
, \0 B1 X- l+ \8 _. x3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
& }% C( K1 j7 o5 r5 H5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
+ M& ]' W3 y- e9 f6 Y# M即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
% W: q" ]3 ?( a例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
9 P! `) S% u5 l2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
7 s' n; L5 k4 VPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
+ P) b* s9 k$ Z+ j$ c0 QPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
1 ~( T; m" R) h; c( \Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
  l9 q2 v1 _, A6 u5 ]又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
3 g, `; G$ g# N2 i则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
2 f+ @6 l& P, K$ Q2 e1 OM=11111111111111111+3=11111111111111114
% \: i% X. J, {6 X9 }根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
4 T& V9 [, P! V* j5 d* K  h然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

+ A. b; X9 Q+ M' t+ |       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
" j$ b# K9 C" D5 q三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
' G3 o* G3 d6 e# }/ ~. i; u3 M4 b' V若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
8 g! ]! n: g/ ?( YPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
9 \; j% B8 M  z或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
) ~8 \! V# o2 I7 T( d由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
. ^' u  _+ Y$ w0 u5 L  k当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
  }! r1 j8 {) b! F) s! S% S7 g设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
! ]9 I! y8 ~+ f6 |在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
, n+ E7 ^" ^; U; _7 f0 Y& K  V: R8 Z代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
5 q! Z1 A/ |& n3 _设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
, |3 u/ @- e. j- Z& H5 y1 }' h若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
- ^& I5 ^. N7 n9 O3 o: y( ~1 u) b得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
0 ^9 k. V+ k, T  }# w1 o5 [" j5 x+ E$ c! l同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
1 i+ U/ E5 |1 V7 k! hn为偶数2n=0,4,8,12……
3 f4 P. \$ \9 J9 X* A2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
0 {. K9 a7 E* F" r1 S2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
/ Z0 x1 a0 w+ K将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
! H$ r9 F8 v/ o' [( t2 oPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
( K- [; c6 T+ x) d/ G" D. a设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
6 P. k0 h, F& e& Z1 PPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
/ Y3 n1 a! y/ M7 U5 a' T( Q$ lPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
! Y: G) M* s  T7 H或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
5 `9 ~9 v. D- q1 B: o5 f& ]4 K! K得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
: d, W7 h1 H6 O2 z7 j- r     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
/ Z5 b' J3 g7 U2 _. p* v, h$ l     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
8 ?% R" o. K" B9 Z- H     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
. D( {$ f$ j! X& }4 }    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
9 ~! F- F& ^7 g7 O    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
; X3 _/ r7 \, I; n( w$ e0 S  aPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
1 S, b& o/ V" a4 a, `5 v# V（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
: S  B- [* x/ \, _) H6 U3 X 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
! \7 l2 J5 l( W7 z5 _4 Q8 H2 V即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
4 o3 w4 h; i2 M5 h) w存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
/ B( w6 k. {7 n' ^) @3 c( y五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
0 v6 s+ ^/ v  _' W在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
3 B+ ^1 \% s6 {% b! r- r                                             =0+3+2+3=3+5
# J  U) v4 t( c8 _4 p0 j                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
9 R+ o  b$ M8 f! j6 G: P                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
  C0 G, Y7 D! ?( Q8 h+ m即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
# O! |5 n" A9 [- T7 Y这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
) K9 K9 @7 ?( ~! e      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
/ l! l/ S/ T9 N: ^* ~            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
8 F. F5 C& k+ c  K又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
! m$ K) c9 h7 f% U: |) g它们的偶数公由数分别为24，31对。
5 p8 V7 b/ A$ T8 N9 y+ M4 v" @2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
# X1 @3 R* E( O3 _                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
3 Z. V8 W/ d1 d                                   =28+3+94+3=31+97
& c- [* H0 {8 {4 z                                   =58+3+64+3=61+67
8 D4 {  X: j" `7 }3 ~0 x4 g3 n综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
! O  D1 c2 e# W. C# c9 C% [+ x2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
; W% E- d0 A: @5 X! g2 c                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
( z4 }+ }" t/ u; C                                                   =n+3
4 [9 W' B* F+ B                                                   =3,4,5……
5 A6 V" h, l0 T即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
0 R* s4 L: A' j! ]得Pn=2n’+3  
, i+ j5 G" U2 a5 R7 m8 {) I5 B      Pn’=2n+6-(2n’+3)
; a5 n4 C+ m5 W4 N" G      Pn’=2n-2n’+3
% x- ~! I) p% _' H! S0 p又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
4 s& A8 y2 k' h' R3 r; [' i1 D: Z9 S2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
# h7 d% `) p8 l  U3 h/ r) \2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
! O: S! t" j0 s$ q  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
; j4 _% U. O+ K( A- s3 W( V  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
& o. l1 D! i5 Q+ Q) k8 E  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
6 m  a8 R& I7 L2 ]; `6 \: F) U  }  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
2 v. V% |3 w- P4 Y5 _（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
% t4 Y: i7 q1 I①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
# ^- x, V9 c1 Y* x$ X8 f3 K0 E/ D2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
* X1 y$ |- A; l& S$ Y% K设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
7 {' F) J: T3 |& T③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
# v; f1 |' I$ c( W   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
! [) d% W8 b8 F. e! r' F" s( I( I得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
8 [9 ?/ b& a  m& J* C即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
8 l; C# {( \# }+ w  =Pn+2n’’’
; u$ I; s+ h8 ]7 c1 E- X7 {# v6 K  =Pn+0，2，4，6……
9 o" l2 V; Q0 C4 u! ]7 x( \已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
$ I7 M; n. b  K; D: m' x! h3 用数字来检验质数表示式的成立
4 z& l/ h( r2 p: J已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
9 r# h/ `; ^) |7 O设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
; ~# M* A7 x3 u! \9 i$ J: H   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
1 n9 i9 _7 M1 j& p% ^% D! j     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
  t6 H% h+ F) z! w, k      8        8        0         4        4       7        7           14
- L6 d( b2 w8 l      10       4        6         2        8       5        11          16
# W* e' J  ]( @% W# o0 b3 c      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
5 }5 F6 E% G: N; |      16       16       0         8        8       11       11          22
( J3 U2 ^2 }% M. a0 f     18        16      2         8       10        11        13         20
  E. i- c, G: p     20        20      0         10      10        13        13         26
+ I1 W9 k% ]+ @2 b' Z! A3 R     92        32      60        16      76        19        79         98
* k- U4 A/ f/ R. U# F     92        56      36        28      64        31        67         98
. @! p# v: D, k+ e     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
9 _  |$ J# {" C$ l* C# ]2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
$ Z/ B7 z# G' L. z  l4 e7 V2，以上证明涉及到五个问题
9 o9 A( @. \: b; B ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
0 ?7 u% d! O5 O8 h7 r3 c③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
% a5 e$ A, Q. V0 Q9 \ ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
4 I. J# L$ o0 e1 t' i6 F' N3 Z ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
# B( k- x2 f  |鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
1 h: y1 m& q# M# ~% R$ A  ], D' S/ X因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
' A4 k8 S- n- d7 l' {# M& E5 S又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
3 R. k2 m' `0 N1 g7 L; B7 N% a2 y因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
3 E$ g8 V8 |( g9 ^7 x2 _  D注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
: p+ F4 b( n, \- L% E: z9 h已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
* ?* ]* W9 I* G% e8 ^% O则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
; E* t6 E; ]1 ePn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
' a- K4 Q- N" s即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
1 E/ X. l. n  R由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
& }- ^: H2 W3 q+ p$ |( Z. L由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
; @1 l* L9 |7 p2 ~  L. N9 B即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
. S5 }$ _4 H  v9 A. ]得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
4 C. S% |  o% P例
pn        3        3        5        5        59        61
. F9 K% Q2 N0 \7 v+ X5 F
Pn’        3        5        5        7        67        67
1 S! d7 K, _* \) E2n’        0        2        0        2        8        6
( u0 A2 y7 ~- t* kn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
# \- V7 }: m/ W即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
( W% l" P: X) R# iPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
& j( ]* f4 Q- ]" Z2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
& }3 p; y- y- G9 Q8 z2n’        0        2        0        2        8        6
, e, }$ {1 Q- I- Pn’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
, d: t2 B2 y4 @  EPn’        3        5        5        7        67        67
. r( J" s- x7 W" y+ L7 ~; f
0 y- i3 k2 g5 k9 M0 Q" s) i注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
" ~6 W( `8 z/ Q4 Y3 a  F' [. l4 f' H式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
4 }& R) b5 w$ h/ c5+7=3+2+5+2=4+8
' K) h. v* v# R7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
6 \6 V$ H5 \4 R. \( T61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
+ R! H2 P: e: f9 n/ p/ J1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
$ Y/ w4 H! D$ E* k9 n# D6 _若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
0 ?5 M; L0 C% n4 y9 a1 X$ iM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
- \" s" t" S$ p6 w, g =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
; }& K& r! G' n" w, q0 |再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
2 I! t  C8 l9 F1 P1 S( q笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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5 a* d3 z# I: \9 V5 b# j

蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！