哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
; g$ |/ ^+ n7 K3 T: l1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
) s, X3 k( f6 \7 `6 y1 t* l将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
# ?4 }2 E) w" ?" {/ a, L3 ]" O则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
( ~- c& `8 U: A! ~- M即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
& j& d+ q* d; E0 _" N' x同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
; p/ Z3 m/ B, ^即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
4 c, m" X+ s, Z5 |( P6 S（2）式为奇质数表示式
, M3 w- O) x; u% {, q+ M4 k& h5 ?由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
, B* S9 r3 n6 w 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
2 H8 C( K1 t& a由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
2 w/ N& @7 L( u8 e均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
- Q* `& D7 Q$ e  B- T3 Y! s  V2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
3 b. @, A* s+ {! a  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
$ v, u3 M3 D8 z) {" ]# Z设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
2 K; N  u+ ?. N* [4 A& ~: k/ |用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
" _# d- S! M8 f0 I5 D% J4 o  t' ~                    
+ M4 ?) E7 ^9 k- t4 m" u其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
( K4 \9 B% L' y, n/ j/ i; B这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
) A3 q0 d8 ]* G: X# H9 D8 [& Z5 ^6 a即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
7 d, ]$ M* a5 a# ^- I0 E. a例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2 B) a! E, \; d! w. v2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
5 I! ~$ V  ~/ M8 k: p/ A$ a2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
2 J" k; ?4 {; Y: b% e在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
# u& @& D" Y! i0 D& Z又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
% R/ z; h1 @1 i! Q即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
+ D0 a% |% g5 L或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
& E2 q' W+ J1 ?/ m5 P从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
8 \3 u  R- Q/ v$ g* n% s6 T4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
5 S: Q+ b+ i$ U' i& ^二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
" e; F; j9 C) G+ F" Z+ D; u
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
# _5 y' H! _; x0 ^. @4 m; k2 _同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
0 F& [, z, `* F2 I0 }: o0 b（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
# c& m/ n* Z7 {1 z# y& p% i9 b即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
$ g+ a9 C% }& `* L$ [3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
8 C  e' _8 z0 v9 J$ ^, L% W; }5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
! k% |. T. d+ W8 @7 T* g即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
7 T9 ~+ S! }! j  L& K$ D例  
8 q/ J# W. x  S6 ?n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
$ p2 k/ {3 R# ~2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
8 p( [0 w, b& ?) }: F5 o; B7 c4 {2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
3 M+ h( V& H) O1 }; APn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
! k6 _% y/ d* W5 q2 \1 DPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
% Y% |! A/ p  k6 v$ I1 Q/ n
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
% {5 g% f5 K. S/ Y( J! M则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
- u3 b$ k8 @% s3 r3 U根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
  c7 J% X3 s4 C& e# M. m已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
* U. H3 W: b1 L+ f& ~( D- mPn’=11111111111111114+3=11111111111111117
/ m  w+ J% u5 t. dPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
" Z. F6 r6 B( E  E0 p; k
  \& X# o: k+ s; @5 H       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
% F) I* Q% U6 ?& w' }设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
9 }6 F% h% w' h" L1 }若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
) R1 p+ J& {5 V0 J: }+ T若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
$ x* R- Y' H0 \) n3 p. J代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
$ h6 p# q# m. T3 nPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
6 U+ C! @( f% o' L" t- j5 v代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
& s+ x3 e& P& z/ P由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
) z$ w( F5 H! A6 B. c, i% t- U代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
1 T. o8 G3 T" I! X8 y* x/ g2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
0 [! D7 ]* \$ ~$ a  U+ v即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
% G7 u; }! {7 y在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
' K. b( H6 n# z; W代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
8 `, ^! {& F3 w若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
! b  q& d6 v( c% u1 e" P& d9 V/ w: u同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
2 C) F, s+ D# K2 W3 b# s* V8 q. fn为偶数2n=0,4,8,12……
4 X  s- M; u$ P: X* a2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
$ y9 U3 V$ P8 v+ o! p6 ?2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
; u; v0 T+ n5 \9 ], i7 A0 y  Y将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
" g1 F. e8 q& l" x( z0 n) }Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
7 \, [. s2 W# r  X+ a设  Pn=2  或        Pn=3
7 ?7 m3 ?( f) f0 d, j 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
: K' z; r% m3 @0 h; cPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
" z# s4 h4 x- KPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
/ ]4 }( Y! A# i$ i& x& H或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
( k# i+ F3 }) O3 o, X$ b（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
2 e, s3 E* o/ D" M' N; `0 a                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
, h8 ?  Z# z' @- Q* U2 R得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
/ ?* Y: i1 @1 w, X3 f0 v     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
4 ^& y* n! `; {, ~) ?     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
/ f1 ^6 v* m( z- h    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
$ `" n9 k8 r, |  N  d. e+ A      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
! N9 G+ W9 f: ?4 I/ b( t5 _（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
" ~, U4 a* X+ g; `/ }1 [ 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
" D9 F$ |: o9 c# E由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
9 h1 z+ Y3 G' @( U8 M& p五、质数表示式的证明
5 Q4 q# a  g' @1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
( S' D3 a' \7 C在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
/ j; ~, z$ `' m5 v7 K第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
. \& Z0 L+ q7 z4 _2 V7 @& Y                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
3 g4 w+ J8 S3 N# C                                             =0+3+20+3=3+23
$ L( t4 w- s. w) t9 K) \. Z6 {& `% x1 m第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
  x5 A, Y/ ]/ ]: F+ Z: I2 m即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
' ]: f% A  \% q+ ~第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
8 e- G# o5 Z; \9 s3 I- j            =4+3+28+3=7+31
+ ?( q3 }5 v$ l2 D$ ^            =4+3+44+3=7+47
- b! ~- P# H5 Y- W7 ?; `  `. @& D5 R            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
$ E, C/ D9 U+ \( N! A6 e; c- _! U0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
$ L9 T  v# z9 j它们的偶数公由数分别为24，31对。
2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
5 S5 v8 }! L' l* ~0 b1 R                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
: [. Q/ o* \! N2 Z+ k  O2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
! J, h' s1 g, L( h' A0 e                                   =28+3+94+3=31+97
- x% K& u# N7 g4 c/ D/ E/ j                                   =58+3+64+3=61+67
1 q' y' @8 P* \( J, \1 g$ F综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
6 j$ F6 s+ a0 m9 |8 d8 j( @3 Q6 t4 a: I2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
9 T9 g1 u9 [0 ]. b) |8 l                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
% a5 `9 p3 A% c: A+ E/ `/ y                                                   =n+3
, Z" F& M8 b- N5 j- m                                                   =3,4,5……
( g; u+ K3 {% u  @' z即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
+ A1 ]! J, [. H+ l; _( f设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
      Pn’=2n+6-(2n’+3)
( s6 F0 h0 E) q' |8 t5 X2 Y$ }# W      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
# o3 ?9 ]! O7 u8 N2 o# _/ a0 O2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
. B" T; L) p  M/ x! f! W  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
& T% j7 M& P* L# l+ S9 ]7 e  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
) d' Z$ a: D7 e* F: @  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
- `. |5 f+ r- g; x  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
. ?8 M1 F5 W& K! W- d/ r  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
% u8 U& M" c5 E# Z5 M3 I1 k（2）方程组
/ [9 Y: Q! p0 g& l1 dPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
1 @8 i+ e" a% P4 a* _$ q①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
  P" M: K2 L) {6 R8 p6 [2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
6 M! R3 Y* B$ f- s2 V0 z  c* n9 B②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
# Z. C6 \" v! a. C确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
# i- ?  P5 _4 A) d$ U已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
# P, N: e2 m! Z  G1 n2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
( j1 t" }; Y/ }: ?得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
; P  t" p$ t! y. `! _/ ^3 N 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
) t3 Z4 I% e! s即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
4 l. K! C9 d  r2 x1 W已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
, @7 k; V! B" ~# ?( O4 ^则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
" C9 x$ O1 p9 @* y7 K即Pn’=2n’’+3 也成立
3 用数字来检验质数表示式的成立
& o9 W& [( R; y9 l# z& F5 J/ Y5 F. F已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
# A7 A+ p$ J  j; k$ l: B设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
1 O9 l4 e+ {. C# s1 O3 h  w     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
0 e% ~, ]: ?& x$ ^; }2 q/ S7 h8 A& Q      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
  Q. Z, [) c0 D$ K+ A      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
6 @4 @  q1 u" `" I      16       16       0         8        8       11       11          22
/ h: j7 A  S* G3 z0 d     18        16      2         8       10        11        13         20
6 C. G, Z8 K, d6 u! r, U4 L     20        20      0         10      10        13        13         26
7 t2 R  i2 }( m     92        32      60        16      76        19        79         98
2 D: J$ u3 d. H2 ?) Y8 j     92        56      36        28      64        31        67         98
2 i$ @8 f; M$ P; D: P; J     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
0 i7 J$ j) v8 y     122       56      66        28      94        31        97         128        
! v, ]4 d/ u) q% N0 A0 J# @; S8 W+ I     122       116      6        58      64        61        67         128
6 H& e, e$ ^" y" ?5 R* e4 x 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
. j! c. I2 M7 x- C: {2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
' H" t% Y& S" s4 V9 @4 E7 J/ w1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
; s4 g1 v6 e- u9 D8 m(3)，它们的分布是不规则的
8 K: M8 }/ o- c# x由上述三个特征得到三个定理（见注2）
8 @- V$ V! y# `# m- s% D  u5 a, t+ w即奇质数之间的共同规律
6 z& F$ l& }, X" i# n. t1 [2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
# F. Y1 x3 k4 O: a( j5 J9 U③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
$ _) M; \. O7 ~6 N+ |6 B ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
+ d7 f/ @: ~3 K) j" j% z+ h" Z3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
" k% y* Q2 {* Y鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
" G* R( |: Z$ |$ d因为因素与理由意思相近或相似
% D0 U8 I; Y* U( M- L  H' j/ g公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
8 {" f, V4 |! W8 T/ b7 X: C' i公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
  m7 e3 C1 q- l7 d3 l" w+ B这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
5 ], M* }" g) z' s/ w4 B０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
5 F( |, a7 W* Q  Z1 J( P8 g& |因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
. V" c% z8 G8 W2 l 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
  V5 M- ~( R2 ^8 X   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
; ?# {& a7 b0 b& F) n2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
8 l4 \7 B2 R; ]已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
. m5 C4 A: v6 X! y  M2 bPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
  A' _/ G" ?- E5 e) `" [即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
% t: a, A- E! v6 c( B- {由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
# a* Y. s: @, u) EM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
( T( G& Q/ l2 e4 E& i  B+ O, ]则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
1 |# ~- I4 x3 w1 |得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
9 ~" T+ p* D' ~, Z! E6 ]pn        3        3        5        5        59        61

) S' c; z- S) ]$ ^Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
$ `: l. b' P7 x; j  n4 `' On’         0        1        0        1        4        3
8 ]! r( m5 T6 [3 ]M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
8 Z* H& _  K, B( h" L' t即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
3 }, ?8 [! Y- N+ I- rPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
' ?8 E( L* ~  Z4 \$ N' }# H2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
/ s/ i/ C6 L1 @% q8 B/ u8 a2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
8 \- e" n8 f* b! FPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
3 a/ d0 X8 J# l                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
- j$ L% n6 B  q' U9 i" k                                          5+5=3+2+3+2=4+6
6 P; R0 ]7 _$ Y) w3 A8 s5+7=3+2+5+2=4+8
& T/ a: F7 j8 l  y8 j5 |3 k2 Q7+7=5+2+5+2=4+10
, S5 A; {; v0 i/ M* G7 Z5 J7 D59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
& v7 v9 \. U7 T+ t. [) I…………………………
* k9 a$ j1 y, _! l2 T在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
1 m: z6 t9 l  }  ?) J( Z* z当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
4 p5 ~4 _- S( ~1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
1 n# N" `/ g7 Z& ^若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
  i- q9 t; l. O: A, r( P3 }/ ] =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
6 X9 n3 U1 Y6 _ =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
2 a8 P3 h3 X* r" \即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
: W6 u" k5 F, N3 e& \- m/ P笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
2 m7 c$ {) g+ T9 k/ A/ T邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
( i3 \4 k0 M/ k1 r5 F7 t籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
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蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！