证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1

(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
3） x ≡q1-r1
4 f( j2 Y8 X2 j" r; N  N; x
2 R  e9 m4 a/ V. m(mod q1)
+ L: X6 F$ e: G1 i9 W( ^! ?x ≡ r2
(mod q2)
5 n* h9 ]3 V& W$ V4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
* B2 ]+ Y/ M( W1 A+ ~* |小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
/ R# j4 J. ~( e: h* s证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
1 {2 @7 Q2 b( ~0 N0 C- ~3 k令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
0 e9 Z$ Y! g7 Y/ gx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
: i3 W2 M: ~, L' c9 zx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
) D4 }+ k/ x5 S! S" D7 l- a( ~9 qx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
& u: H! Y( f8 L8 @0 I即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
, N- ~* j: Q* M% d  g7 D∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
! }* S" a) J  f; Z同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
! L* N5 N" f. O. C. `即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。