证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
6 t1 L  _8 K2 u$ r1 `. E+ H* I1 C1） x ≡r1
! u' q4 H) N( n
(mod q1)
x ≡ r2
- m4 F3 W$ P* @7 u$ ]! I(mod q2)
2） x ≡ r1
(mod q1)
" j5 B: ]9 K. G1 s& g% Jx ≡q2-r2
(mod q2)
3） x ≡q1-r1
$ A( i% @6 |5 D: u6 o4 x; e
9 S. `  p9 a* O% K(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
. Q1 ]$ |3 p* _, |& J/ G; F' {4） x ≡q1-r1
6 J+ b; S8 S  [4 E' K0 E(mod q1)
x ≡q2-r2
# T4 [0 e5 s- C2 F& F# a(mod q2)
) |, W( X9 c+ ~小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
+ U! ^/ z1 H8 t根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
x1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
: ~* D( O* m9 I9 k2 B" G则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
  h/ x" t% z* S8 U8 v  @即
a1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
0 U4 e/ L. z' ]% j- M" D$ C, ?∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
& n; c! H2 q1 M+ G3 Q定理得证。