证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
' B" b; X  W: ^6 {! w8 ?; i若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
3 v6 i+ f' {* P
3 a: G; U% d7 M: Q% Q(mod q1)
7 N9 V: W8 F$ I# y# U/ q1 l6 Zx ≡ r2
, E$ r4 m/ n! Y% ?! H7 C(mod q2)
) J, o' m# p3 s) c2） x ≡ r1
# E7 z; h) x' Z6 H(mod q1)
x ≡q2-r2
: q: d  H* _5 e! ~9 t5 J. f(mod q2)
  U8 S0 e. }2 q5 ^3） x ≡q1-r1

(mod q1)
4 V8 Y- |( C2 a% k  x$ xx ≡ r2
(mod q2)
8 I3 M; d/ Y: @) @5 b- ]4） x ≡q1-r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
7 C' ~! E& ]) p2 w3 T: q1 M) o证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
6 G. ?7 G# P( B. R, S令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
! x# f* o+ s* W& ix1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
3 \9 w- D' X& q; G2 B5 z# mx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
: S: b) ?. K9 C  Yx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
x1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
3 [& O7 w2 O, @: _5 i- d即
& s% X8 ~6 `  Y  P( w" Z/ K, I9 H% n8 Na1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
4 V' X9 j& I# Q/ ~同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
: F: l8 V! D6 N+ J7 p+ I定理得证。