证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
+ R. Y  U  H- T- T- T. }9 Q若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
% |3 X- c9 l' g. w: ]5 [1） x ≡r1
: \/ r; H) r7 s( ?6 E
(mod q1)
x ≡ r2
. A9 p# K; j0 C" r* Y(mod q2)
2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
7 C* ^7 v, F3 H& M: C5 |* i! K3） x ≡q1-r1
5 ?5 y' q  s" q  X3 ^5 Q: F/ q2 |
8 p3 C' k5 J/ m(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
3 a# z* |! h+ t$ f! A4） x ≡q1-r1
8 W: n2 \6 j. g  V, `8 ](mod q1)
: O( `- _9 b$ [. c8 mx ≡q2-r2
(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
4 h  y) l8 f* A% V, s' D2 U: Z- y5 `令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
" }0 `) J/ q% O5 n3 U3 qx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
% c) D, T$ w2 H) H+ t( qx2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
# }/ L$ m, B1 E$ ]x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
' ^( `" P- _  _# E4 s7 H! ?2 [x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
则
; i, Y/ ^) t- V- I1 `, q- Cx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
即
, y5 z' B+ D9 Y* K. g) K8 aa1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
∴
3 g5 V! [/ P1 B4 Ra1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
1 Y& I/ F& y3 l, F即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
& Y1 M( W- H( D, G: a定理得证。