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引理1.5
' B" b; X W: ^6 {! w8 ?; i若q1 、q2为奇素数,则以下同余方程组 p6 }$ A3 y( j" c# Q
1) x ≡r1
3 v6 i+ f' {* P
3 a: G; U% d7 M: Q% Q(mod q1)
7 N9 V: W8 F$ I# y# U/ q1 l6 Zx ≡ r2
, E$ r4 m/ n! Y% ?! H7 C(mod q2)
) J, o' m# p3 s) c2) x ≡ r1
# E7 z; h) x' Z6 H(mod q1)6 _( L* K2 k. x/ U
x ≡q2-r2
: q: d H* _5 e! ~9 t5 J. f(mod q2)
U8 S0 e. }2 q5 ^3) x ≡q1-r1( b9 {3 u/ P- Y- m
3 s# K* \( ^" b
(mod q1)
4 V8 Y- |( C2 a% k x$ xx ≡ r2 $ _# U8 N: N v, `& g+ w
(mod q2)
8 I3 M; d/ Y: @) @5 b- ]4) x ≡q1-r1 7 h4 [- O* ]/ Y3 _" F& [
(mod q1)7 i7 z t7 M! u$ I* }/ e
x ≡q2-r2$ I# v8 v( j6 M7 w) _3 W
(mod q2)2 h L" A+ c f+ }3 l0 a
小于q1q2的4个解必然2个为奇数,2个为偶数。
7 C' ~! E& ]) p2 w3 T: q1 M) o证明:, N" t5 I* q! a# `; R2 z
根据孙子定理,每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
6 G. ?7 G# P( B. R, S令同余方程组1)、2)、3)、4)的小于q1q2的解分别为:
! x# f* o+ s* W& ix1=a1q1+ r1=b1q2+ r2! A9 l: q* l2 Q+ R1 k# H6 {+ G. j
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
3 \9 w- D' X& q; G2 B5 z# mx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
: S: b) ?. K9 C Yx4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r25 S1 ?# v4 h! E0 u# p8 k
则 {) ?1 [' k# r2 F& x
x1+x4=(a1+ a4+1)q1=(b1+b4+1)q2
3 [& O7 w2 O, @: _5 i- d即
& s% X8 ~6 ` Y P( w" Z/ K, I9 H% n8 Na1+ a4+1= q2,b1+b4+1= q1' z: b5 ~3 `, \5 H8 X* t, ~. G6 G
∴% P( n2 d. E# ^+ c- e/ X9 j) z
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出,x1若为奇数,x4便为偶数;x1若为偶数,x4便为奇数。即,x1与x4总是一奇一偶。
4 V' X9 j& I# Q/ ~同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。# u: R+ ~: n& n) \. h& s
即是说,x1、x2、x3、x4这4个解中,总是2个为奇数,2个为偶数。
: F: l8 V! D6 N+ J7 p+ I定理得证。 |
zan
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