证明素数对称分布定理的五个引理（三）

李彦修

引理1.5
若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组
1） x ≡r1
4 h) b$ N& a# M) x# G0 ]( i4 ]
(mod q1)
* `) S2 T) P8 ^. d2 H! fx ≡ r2
(mod q2)
7 v' e5 z' b( ]9 S, s& S+ W1 w& q2） x ≡ r1
(mod q1)
x ≡q2-r2
* G) P& |2 w9 y+ d$ S(mod q2)
3） x ≡q1-r1
- R, F+ c. j8 M( a/ i
) h0 |: ?3 b  L. o& \* |(mod q1)
x ≡ r2
2 d# V7 W8 k& t(mod q2)
6 ?( J3 E8 e$ U, V# p) Y4） x ≡q1-r1
( H, j  M  [+ [" Q. L(mod q1)
2 Y4 T3 A, O7 _% G& e: Sx ≡q2-r2
9 Z$ [0 ^6 F5 j  j(mod q2)
小于q1q2的4个解必然2个为奇数，2个为偶数。
证明：
8 l: x5 b5 B8 G$ z% N2 ~根据孙子定理，每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
令同余方程组1）、2）、3）、4）的小于q1q2的解分别为：
; \+ @1 h  w; S$ {* z+ }3 j, Mx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
x2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
" B( g/ x' y- mx3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2
6 u7 E6 {4 t! b* a$ r则
9 W, b9 Z% \+ w3 e3 ^3 a0 T; U7 Gx1+x4=（a1+ a4+1）q1=（b1+b4+1）q2
& [3 s# z) [( Z: x% ]7 ?3 n. m即
$ p3 ]& i* O- a8 V; {  ma1+ a4+1= q2，b1+b4+1= q1
0 s1 @1 _6 A4 ^0 E, [( L0 ^∴
a1与a4 、b1与b4只能同为奇数或偶数。因此可推出，x1若为奇数，x4便为偶数；x1若为偶数，x4便为奇数。即，x1与x4总是一奇一偶。
) B7 `7 w. v- ?; m同理可证x2与x3也总是一奇一偶相对的。
3 s' J- N5 v8 @# v% J8 ?2 A即是说，x1、x2、x3、x4这4个解中，总是2个为奇数，2个为偶数。
定理得证。