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证明素数对称分布定理的五个引理(三)

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李彦修        

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发表于 2009-4-4 09:31 |只看该作者 |倒序浏览
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引理1.5
+ R. Y  U  H- T- T- T. }9 Q
q1 q2为奇素数,则以下同余方程组

% |3 X- c9 l' g. w: ]5 [1 x ≡r1
: \/ r; H) r7 s( ?6 E7 k  A. W5 P, A+ }4 v
(mod q1)
4 C+ @+ `. h$ _; c3 W
x ≡ r2
. A9 p# K; j0 C" r* Y
(mod q2)
- F( v7 z+ S% l! r; O
2 x ≡ r1 4 e% \# i7 \' w3 Y, Z) X
(mod q1)
; I# Z0 p. _9 c% y; j2 l: X! Y
x ≡q2-r29 x9 ^3 z! L3 _: b+ Z
(mod q2)

7 C* ^7 v, F3 H& M: C5 |* i! K3 x ≡q1-r1
5 ?5 y' q  s" q  X3 ^5 Q: F/ q2 |
8 p3 C' k5 J/ m(mod q1)
3 v0 v# G% z. K" B  p1 ~: R7 [
x ≡ r2 % F, a" Z1 s8 \2 v
(mod q2)

3 a# z* |! h+ t$ f! A4 x ≡q1-r1
8 W: n2 \6 j. g  V, `8 ](mod q1)

: O( `- _9 b$ [. c8 mx ≡q2-r21 R; o8 Q2 a0 G7 E
(mod q2)
9 N: f! O+ b: c" U; p; h. c# p8 s& ?
小于q1q24个解必然2个为奇数,2个为偶数。  }7 S) r, ]5 o
证明:# L8 ?) z: r  L- F
根据孙子定理,每个方程组都有小于q1q2的唯一解。
4 h  y) l8 f* A% V, s' D2 U: Z- y5 `令同余方程组1)、2)、3)、4)的小于q1q2的解分别为:
" }0 `) J/ q% O5 n3 U3 qx1=a1q1+ r1=b1q2+ r2
% c) D, T$ w2 H) H+ t( qx2=a2q1+ r1=b2q2+q2-r2
# }/ L$ m, B1 E$ ]x3=a3q1+ q1-r1=b3q2+ r2
' ^( `" P- _  _# E4 s7 H! ?2 [x4=a4q1+ q1-r1=b4q2+q2-r2' m, _1 Y$ c9 A/ ]5 A4 d7 u6 ^

; i, Y/ ^) t- V- I1 `, q- Cx1+x4=
a1+ a4+1q1=b1+b4+1q2
5 E; A' F2 U. P0 x" S

, y5 z' B+ D9 Y* K. g) K8 a
a1+ a4+1= q2b1+b4+1= q1
& e# V4 h# I$ Y% s. t' J

3 g5 V! [/ P1 B4 Ra1
a4 b1b4只能同为奇数或偶数。因此可推出,x1若为奇数,x4便为偶数;x1若为偶数,x4便为奇数。即,x1x4总是一奇一偶。
; r( O5 Z" h# o. a
同理可证x2x3也总是一奇一偶相对的。
1 Y& I/ F& y3 l, F即是说,x1x2x3x44个解中,总是2个为奇数,2个为偶数。
& Y1 M( W- H( D, G: a定理得证。
zan
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