证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
( u  n  ]6 W% y  v; K(mod q1)
: h6 {$ S+ P, L8 Sx ≡ r2
(mod q2)
( _: {2 P  n3 K7 M; Z2） x ≡ 0
. L3 l, {+ S  V& r6 u(mod q1)
x ≡q2-r2
9 C4 [$ @% j$ r3 w- V) d(mod q2)
6 d+ u/ T- x% c+ f小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
# B) B6 V8 z. X4 g7 h' w( m! P1 H证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
& @- r! a3 s3 |' P, Ux1=a1q1=b1q2+ r2
9 @3 T2 h& \6 T0 sx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
% `" J. A9 m  L$ O8 W则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
. g1 w8 [  @+ F3 C( t& M' Fq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
& E( V* X) _- T9 Gx1+x2< 2q1q2,
# e- n/ _0 W* z∴
a1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
7 E! [5 u0 h! n) i# e, y8 r∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
0 I4 h# X+ |8 q! j" l; V∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
) z0 I9 }, H& H: J8 wx2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

看看看看。

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