证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
1） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡ r2
(mod q2)
2） x ≡ 0
! L" ], V- }% q4 d. v' d. h- `  s+ [(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
" b# p- I  d0 R! [小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
& N5 L1 D' s, Z# Z- H7 p证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
令方程组1）与2）的解分别为：
9 `: ~, l- h& a3 b- Q' V- \, ~x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
; @4 \$ P( H8 D7 N4 C则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
5 c/ Q( o$ t1 G1 M3 h, {. s即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
: G; l! V0 D* I0 o' K  {; F/ rq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
∴
x1+x2< 2q1q2,
# f# `1 X) V9 F∴
- p. _) p. e% P) ta1+ a2 =q2
% e* `) a/ T1 P  }，b1+b2+ 1=q1
3 ?8 s$ d2 y1 \, s2 O$ A∵ q2为奇素数，
1 }* w0 K, J- F: b5 l# {∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
∴
x1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
也只能一个为奇数，一个为偶数。
定理得证。

azqw

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