证明素数对称分布定理的五个引理（二）

李彦修

引理1.4 若q1 、q2为奇素数，则以下同余方程组1）与2）
) Z! ?2 u# d' I! ?" c6 J1） x ≡ 0
(mod q1)
8 n5 W+ A0 o+ o) S/ H' W! h7 Ux ≡ r2
(mod q2)
- @5 q* u7 ]1 ?2） x ≡ 0
(mod q1)
x ≡q2-r2
(mod q2)
, U& [$ o) R9 X小于q1q2的解必然一个是奇数，一个是偶数。
- _' G1 O- m: `5 e: P2 j" o8 i证明：
根据孙子定理，方程组1）与2）都有小于q1q2的唯一解。
3 ^, s! [8 }. r7 _5 X- i令方程组1）与2）的解分别为：
8 p3 O+ t  s& H" \  `4 @# O3 px1=a1q1=b1q2+ r2
" a4 \: P' m+ t, b" Ex2=a2q1=b2q2+ q2-r2
# M& h1 j/ n/ s( N$ [3 i; `则：x1+x2= a1q1+ a2q1=（b1q2+ r2）+（b2q2+ q2-r2）
5 y2 V' C$ X' `2 `0 A即：（a1+ a2）q1=（b1+b2+ 1）q2
∵
2 L$ L' Z4 `( c4 kq1 、q2互素，且x1< q1q2，x2< q1q2，
. N( W$ i/ I( Z& w6 N∴
x1+x2< 2q1q2,
' r: G0 {/ Z; w. J4 m6 D: \∴
a1+ a2 =q2
，b1+b2+ 1=q1
∵ q2为奇素数，
∴ a1与 a2既不能同时为奇数也不能同时为偶数。
+ S7 x! n  ]" `8 R( s% _3 j∵ 若a1与 a2同为奇数或偶数，则有a1+ a2=2b= q2，此与q2为奇素数相悖。
& {: z2 G8 n3 D( \; l* _∴ a1与 a2只能一个为奇数，一个为偶数。
$ U' m% H4 I7 A+ Z" F) v9 o∴
+ g2 s. m( ]' m9 W$ @% A0 }+ X+ Xx1=a1q1=b1q2+ r2
x2=a2q1=b2q2+ q2-r2
( N: h3 ]5 A0 b4 Q, m也只能一个为奇数，一个为偶数。
5 |) F3 c* n3 F  P% W定理得证。

azqw

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