如何计算大偶数的部份素数对

wangzc1634

计算大偶数部份素数对的方法
" T8 K- ?9 k; s7 Q/ y    我编写这篇文章的目的，只有一个，向各位老师说明：我们不要被大偶数所吓倒，其实，任何东西都有它一定的规律，往往有许多东西看起来复杂，只要我们去动手、动脑，我们就可以从中寻找到一定的规律，把复杂的东西逐渐简单化，得出一定的正确结论：以什么理由说明哥德巴赫猜想成立；以什么方法进行计算，才使偶数的素数对接近实际素数对。
$ D% K1 ]- n. y    二数和组成偶数的，只有三种结构：合数+合数，合数+素数，素数+素数。我们一次性删除合数+合数，合数+素数，剩余的自然就是素数+素数了。如何一次性删除合数+合数，合数+素数呢？
! ^5 z; P" B3 e# \' @$ H    我们把小于偶数平方根的素数，叫做素数删除因子。在偶数内，不能够被素数删除因子整除的数是素数；用偶数除以每一个素数删除因子，都有一个固定的余数。在偶数内，既不能够被素数删除因子整除，又不能够与偶数同余的数，必然组成偶数的素数对（这种结论，不包括素数删除因子组成的素数对）。这两种运算可以同时进行，所以，叫做一次性删除，具体方法请看下面的例题。
* U" ?" o/ H: V4 W5 L" O: ?% A    例：计算偶数1048576的部份素数对。
" [0 {- p) `# N2 \" X, n8 f/ E    因为，偶数1048576=1024*1204，而1024=2ˇ10。即1024不包含奇素数因子，故1024*1024也不包含奇素数因子，故偶数1048576不可以被奇素数整除，为最少素数对的偶数。又因，偶数1048576不能够被奇素数3整除，那么，偶数1048576相邻的两个偶数中，必然有一个相邻偶数被素数3整除，经查，偶数1048576+2能够被素数3整除，故偶数1048578为较多素数对的偶数，相当于偶数1048576素数对的两倍。
    1、因1048576/3余1，而在自然数6之内，不能够被素数2，3整除的数只有1和5，即大于3的素数存在于：6N+1和6N+5两个数列之中。又因为，数列6N+1除以3余1，与偶数同余，故只有6N+5数列的素数，才有可能组成偶数1048576的素数对，因下一个素数删除因子为5，我们将6N+5的数列取5项有：5，11，17，23，29。
    2、素数5的删除，因1048576/5余1，上面数列的5项中，必然有1项能够被素数5整除，为素数5；也必然有1项除以素数5余1，为11，我们把这两个数删除后，剩余17，23，29。即素数5删除后，剩余30N+17，30N+23，30N+29。因下一个素数删除因子为7，我们将这3个数列各取7项有：
! W+ n, ~9 ]' t4 S30N+17有：17，47，77，107，137，167，197；
30N+23有：23，53，83，113，143，173，203；
30N+29有：29，59，89，119，149，179，209。
; y( D, h" |5 V/ `3 ?5 V. a  U( R    3、素数7的删除，因1048576/7余4，上面每个数列的7项中，必然有1项能够被素数7整除，为77，203，119；也必然各有1项除以素数7余4，为137，53，179，我们把这6个数删除后，剩余15个数。即素数7删除后，剩余210N+17，210N+47，210N+107，210N+167，210N+197，210N+23，210N+83，210N+113，210N+143，210N+173，210N+29，210N+59，210N+89，210N+149，210N+209。因下一个素数删除因子为11，我们将这15个数列各取11项有：
210N+17有：17，227，437，647，857，1067，1277，1487，1697，1907，2117；
8 d3 Q/ n& [5 v/ w& m5 Y; q' O210N+47，有：47，257，467，677，887，1097，1307，1517，1727，1937，2147；
210N+107，有：107，317，527，737，947，1157，1367，1577，1787，1997，2207；
8 k7 B% D7 m1 [" K210N+167，有：167，377，587，797，1007，1217，1427，1637，1847，2057，2267；
) z" k+ k1 C1 I4 ?0 z! B210N+197，有：197，407，617，827，1037，1247，1457，1667，1877，2087，2297；
210N+23，有：23，233，443，653，863，1073，1283，1493，1703，1913，2123；
& C, y: A. a" _6 O( ]210N+83，有：83，293，503，713，923，1133，1343，1553，1763，1973，2183；
210N+113，有：113，323，533，743，953，1163，1373，1583，1793，2003，2213；
; A4 Z0 U! ?& a6 z210N+143，有：143，353，563，773，983，1193，1403，1613，1823，2033，2243；
210N+173，有：173，383，593，803，1013，1223，1433，1643，1853，2063，2273；
! j  ?* u; G' ^210N+29，有：29，239，449，659，869，1079，1289，1499，1709，1919，2129；
210N+59，有：59，269，479，689，899，1109，1319，1529，1739，1949，2159；
, d* w2 J' G+ y+ y* q210N+89，有：89，299，509，719，929，1139，1349，1559，1769，1979，2189；
210N+149，有：149，359，569，779，989，1199，1409，1619，1829，2039，2249；
210N+209。有：209，419，629，839，1049，1259，1469，1679，1889，2099，2309。
" {; A2 C9 U. J% X    4、素数11的删除，因1048576/11余1，上面每个数列的11项中，必然有1项能够被素数11整除，为1067，1727，737，2057，407，2123，1529，1133，1793，143，803，869，2189，1199，209；也必然各有1项除以素数11余1，为1277，1937，947，2267，617，23，1739，1343，2003，353，1013，1079，89，1409，419，我们把这30个数删除后（说到这里，您可能会问：这里的30个删除数是如何寻找到的，请看下面的分解），剩余135个数。即素数11删除后，剩余2310N+这135个数，组成135个等差数列。
* w2 k6 r5 e( M; ~( d    因我们在《1+1的数理分析》中，谈到了这样一个问题，当偶数大于9*9=81时，偶数的素数对个数大于偶数开平方除以4（后面，再具体谈这种算法的问题及用处）。那么，（√1048576）/4=256，如果我们把这256分摊给这135个等差数列，即256/135≈1.89个。即这里的135个等差数列，每个等差数列不得低于1.89个素数对。说到这里，因为，我们所谈论的问题必须经得起客观规律和历史的检验，所以，我们不得不讲清楚，哪怕奥口一点，也请各位老师理解。
1 O. {) R, C8 W/ f5 m3 `. l2 n) o    我们在这里谈论的是，可能组成偶数素数对的剩余奇数数列，而删除后的剩余奇数数列，如这里的135个数列，只有一个数列是由单数列组成偶数的素数对，即（2310X+1073）+（2310X+1073）单数列相加，其它134个数列都不可能单数列相加组成偶数的素数对，我们设偶数为M，同时满足M/3余1，M/5余1，M/7余4，M/11余1这些条件。即其它数列必须是双数列相加才能满足偶数的这些条件，即除了数列2310X+1073外，任意取一个数列都涉及它的对称数列，也就是说：我们在这里取奇数299，即数列2310X+299，必然涉及它的对称数列2310X+1847这个数列，也就是说除了取数列2310X+1073外，其它任意取一个数列，相当于取了这153个数列中的两个数列，素数对应不低于（256*2）/135≈3.79对。如何知道它的对称数列呢？
  i; j5 T* l. h" S1 c    我们还是先谈来历，后下结论，才便于理解和记忆。
+ `) T* p  W8 Z; n    1、设该偶数为M，我们已知，M/3余1，M/5余1，M/7余4，M/11余1，M/13余9。
1 }& e3 c# h8 E8 L# @) E因为，M/3余1，所以，在奇数中，既不能够被素数3整除，又不能够与偶数除以3余1的只有：（6X+5）+（6X+5），因下一个素数删除因子为5，我们将（6X+5）+（6X+5），加数与被加数各扩展5项，且满足M/5余1的排列只有：
  5，11， 17，23，29，
11， 5 ，29，23，17，
    我们对上面的排列，删除能够被素数5整除的5后，变为两个数列和：（30X+23）+（30X+23）和（30X+17）+（30X+29），
    2、因为，下一个素数删除因子为7，我们将（30X+23）+（30X+23），加数与被加数各扩展7项，且满足M/7余4的排列只有：
& S4 n2 b7 e: ]23， 53， 83，113，
% d% U: Q7 B( E: ^23，203，173，143，
    我们对上面的排列，删除能够被7整除的203排列后，剩余（210X+23）+（210X+23），（210X+83）+（210X+173），（210X+113）+（210X+143）；
    同样因为，下一个素数删除因子为7，我们将（30X+17）+（30X+29），加数与被加数各扩展7项，且满足M/7余4的排列只有：
17， 47，77，107，137，167，197，
29，209，179，149，119，89，59，
    我们对上面的排列，删除能够被7整除的77，119排列后，剩余（210X+17）+（210X+29），（210X+47）+（210X+209），（210X+107）+（210X+149），（210X+167）+（210X+89），（210X+197）+（210X+59）。
4 u% l! G9 F& k- k0 R    3、因为，我们在上面取的数为299，299为等差数列210X+89中的数，而等差数列210X+89在上面，所对应的数列为：（210X+89）+（210X+167），我们将（210X+89）+（210X+167），加数与被加数各扩展11项，且满足M/11余1的排列只有：
  89， 299，509，  719， 929，1139，1349，1559，1769，1979，2189；
2057，1847，1637，1427，1217，1007， 797， 587， 377， 167，2267，

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删除上面排列中能够被素数11整除的排列后，剩余9个奇数对应排列，必然组成9个奇数数列相加。即得知，所取奇数299的数列及对应数列为：（2310X+299）+（2310X+1847）。
+ d) L/ p. D( J8 o' [5 |    当然，也可以简单地这样计算，因为，299属于素数2，3，5，7，11删除的剩余数，且奇数299对于素数删除因子2，3，5，7，11来说，都不与偶数同余，那么，奇数299的对应数，也必然不能够被素数2，3，5，7，11整除，因为，2*3*5*7*11=2310，偶数M/2310余2146，即2146-299=1847不可能被素数2，3，5，7，11整除，所以，299与1847可以组成适应偶数的等差数列和：（2310X+299）+（2310X+1847）。请不要专我这里所说的299的对称数这个空子，因为，2310X+1847包括偶数M-299。
    我们再回过头来看前面剩余的135个数，偶数除以2310余2146，如果说，我们用2146减这135个数中的数求对称数列，对于这个余数来说，减去大部份都减得够，可以求到对称数列，而有的偶数除以这些排除的素数删除因子之积，余数很小，减去大部份剩余数都减不够，该怎么办，是不是它们没有对称数列呢？事情是这样的，如这里的余数2146减去前面的135个数中，能够减得够的，其差数所组成的数列为对称数列；不够减的，2146再加上2310后再减，其差所组成的数列为对称数列，不信的话，请您再回过头去看前面的对称排列。
    说明：
" v- z# p7 T) h3 R6 |    1，如果说，偶数之余数减去这里的299不够减时，我们可以提出一个公差2310加上偶数的余数来减去299，使得299与差数都小于公差2310，然后再组成适应偶数的奇数数列和，再进行下一步的计算。
    2、这种方法的适应范围非常广泛，如某大偶数，大于10000之内的素数之乘积，我们以10000之内的素数乘积为公差，在大于10000之内素数乘积，小于10000之内素数乘积的两倍之间，任意寻找一个既不能够被10000之内素数整除的数A，A又不能够与偶数除以10000之内的素数同余的数，偶数/10000之内的素数乘积之余数减去A之差，把A和其差为两个等差数列的首项，以10000之内的素数乘积为公差，且这两个等差数列都不会被10000之内的素数整除，组成两个等差数列之和，再进行下一步的计算。一般说来，最简单最直接的既不能够被素数删除因子整除，也不与素数删除因子同余的对称数，为余数的素数对，所以，我们在对大偶数的素数对进行计算时，最好采用大偶数除以素数删除因子的连乘积的余数的素数对，组成对称等差数列进行延伸。请不要怀疑在这期间是否存在既不能够被素数整除，又不能够与偶数同余的奇数存在？这是有固定计算公式的哈，其计算数是不存在误差的！
    前面我们讲了两种发展思路：一是单数发展，二是对应数列发展。下面谈两种发展的计算方法：
    1、单数发展计算法：
    素数2，3删除后，因偶数M/3余1，在自然数6以内，剩余5既不能够被素数2，3整除，也不与偶数除以这两个素数同余，为1个数，也可以说是适应该偶数的起始数；
    素数5在这个基础上发展和删除，即将6X+5取5项：5，11，17，23，29。删除能够被5整除的5，因M/5余1，删除除以5余1的项11，必然剩余3个项。其计算为：1*（5-2）=3。式中的1为前面的剩余数，5为这里的素数删除因子（下同）。
    素数7在这个基础上发展和删除，即将30X+17取7项：17，47，77，107，137，167，197；将30X+23取7项：23，53，83，113，143，173，203；将30X+29取7项：29，59，89，119，149，179，209。删除能够被7整除的77，203，119，因M/7余4，删除除以7余4的项137，53，179，必然剩余15个项。其计算为：1*（5-2）*（7-2）=15。
    素数11在这个基础上发展和删除，即以前面剩余的15个数为首项，以前面的素数删除因子之积2*3*5*7=210为公差，组成15个等差数列，每一个数列取11项，删除能够被11整除的15个项，因M/11余1，删除除以11余1的15个项，必然剩余：1*（5-2）*（7-2）*（11-2）=135。以前面计算的135个剩余数相同，没有误差。
; p- h+ `  O. g    因为，偶数1048576大于2*3*5*7*11*13*17=510510，那么，在510510内必然剩余1*（5-2）*（7-2）*（11-2）*（13-2）*（17-2）=22275个数，既不能够被素数2，3，5，7，11，13，17整除，也不与偶数除以这些素数删除因子同余；又因为，偶数1048576大于2*510510=1021020，即在1021020内有2*22275=44550个数，既不能够被素数2，3，5，7，11，13，17整除，也不与偶数除以这些素数删除因子同余的数。因偶数1048576>1021020，且1048576-1021020=27556，即素数2，3，5，7，11，13，17整除，也不与偶数除以这些素数删除因子同余的数小于27556的数，以510510为公差的等差数列可以取3项，也就是说在偶数之内既不能被素数2，3，5，7，11，13，17整除，也不与偶数除以这些素数删除因子同余的数为44550+小于27556的剩余数个数。如果说，哪位老师不信的话，可以进行具体的计算。当然，这里的剩余数还要经过素数19到1021的洗理后，最后剩余的数才能够组成偶数的素数对。
    对应数列发展计算法，以上面的单数发展计算法是一样的，只不过我们将单数列相加视为0.5，把双数列相加视为1。到素数17删除后有：0.5*（5-2）*（7-2）*（11-2）*（13-2）*（17-2）=11137.5。即11137个双数列相加，1个单数列相加。因为，等差数列的公差为510510，所以，大部分数数只能够取两项，个别数列可以取三项。
    这就是两种发展思路的计算方法，这是不会有误差的。必须特别申明的一点：这里的偶数1048576是特殊偶数，它不能够被所有奇素数删除因子整除，其它偶数有可能被部份奇素数删除因子整除，如能够被奇素数删除因子N整除，那么，它就为乘以（N-1）/N，而不是这里的乘以（N-2）/N。
8 k; Y; y# Q  S. n9 `- X+ @; \0 h    实际起点，应该是从素数2删除开始计算，素数2删除后，在自然数2之内剩余1个数1，既不能够被素数2整除，1也不与偶数除以2同余，即单个数为1个数；对称数列是（2N+1）+（2N+1）单数列相加，视为0.5。
    说到这里，我们还是书归正传，回到前面的计算上来。在素数2，3，5，7，11删除后的剩余数中，我们任意取1个等差数列，按粗糙计算法都必然有3.79个偶数的素数对存在。我们在上面的135个数中，选择一个即将被素数13删除的合数299为首项，即2310N+299进行发展，可能大家不会有异议吧！
    因下一个素数删除因子为13，我们将2310N+299取13项有：299，2609，4919，7229，9539，11849，14159，16469，18779，21089，23399，25709，28019，
( J- @7 Q4 Y3 J1 g2 V5 @- X) O    5、素数13的删除，1048576/13余9。因为，上面这个数列的公差2310不能够被素数13整除，所以，在上面这个等差数列中取13项，必然有1个项能够被素数13整除为299，必然有1个项除以13余9为2609，我们把这两个数删除后，剩余11个等差数列，30030N+4919，30030N+7229，30030N+9539，30030N+11849，30030N+14159，30030N+16469，30030N+18779，30030N+21089，30030N+23399，30030N+25709，30030N+28019，能够产生组成偶数1048576素数对的素数的等差数列。因为，偶数的素数对是由1048576/2之前的素数与1048576/2之后的素数组成，如果说，我们取的是单数列相加或者是将所有的数列都计算出来，我们只须要考虑1048576/2之内哪些数能够组成偶数的素数对即可。因为，我们在这里取的都是双数列相加，况且也不是计算所有数列，所以，我们将上面这11个数列在1048576之内的数都应该计算出来：
    上面用粗糙的方法计算是说，素数11删除后，剩余的135个数的67个双数列，1个单数列。每个双数列的素数对不低于3.79个素数对。在素数13删除后，67.5*(13-2)=742.5，即742个双数列相加，1个单数列相加。相当于在素数11删除后的剩余数列中扩大了11倍，这里的每个双数列应该是3.79/11≈0.35个素数对。其实不然，我们在这742个双数列中，任意取一个双数列，都有素数对的存在。这是为什么呢？因为，我们在进行粗糙计算推算时增加了奇合数的删除，奇合数的删除是由组成奇合数的素数所代替了的，奇合数是不直接参加删除的，在小偶数的计算中体现不大，在大偶数的计算中体现就明显了，所以，我们不能轻易地忽略推算中增加的奇合数删除因子，也就是说，当偶数大于1048576时，设偶数为M，实际素数对要大于（√M）/4的近20余倍，偶数越大，这种误差越大。下面，我们任意计算两个数列吧，其它数列留给大家去验证，其目的是大家有充分的依据来反驳本人这里的观点。
, |, a/ I0 n- Q( Z3 `7 [& ^    （1）、30030N+4919有：4919，34949，64979，95009，125039，155069，185099，215129，245159，275189，305219，335249，365279，395309，425339，455369，485399，515429，545459，575489，605519，635549，665579，695609，725639，755669，785699，815729，845759，875789，905819，935849，965879，995909，1025939。30030N+4919的对称数列为30030N+22637。这里的35个数，要面临从素数17到1021共166个素数删除因子，正反两个方面的删除。
3 X6 j& k) w# J4 O    （2）、30030N+14159有：14159，44189，74219，104249，134279，164309，194339，224369，254399，284429，314459，344489，374519，404549，434579，464609，494639，524669，554699，584729，614759，644789，674819，704849，734879，764909，794939，824969，854999，885029，915059，945089，975119，1005149，1035179，也是35个数，对称数列为30030N+13397。
# f- I) e8 U6 ?/ I; r/ j9 Q; i  W* E3 I    在没有计算之前，我们首先考虑这样一个问题，该素数的公差并不大，只为素数2到13的乘积，造成这里的数位只有4到7位数，随着偶数的增大，素数删除因子的增多，如果说公差属于2到89的乘积，每一个数的数位在数十位，再计算下一个素数删除因子的删除多麻烦，有没有什么方法能够把数字化简来计算？这里是742个双数列相加，1个单数列相加，如果要把该偶数的全部素数对计算出来，是不是得用每一个数来除以大于17的每一个素数删除因子？如果是这样计算的话，应该计算742.5*35*166/2=2156962.5以上的除法题，有没有一劳永逸的办法？这里提出来我们共同探索。

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素数17的删除，因为，公差30030不能够被素数17整除，所以，在每17个连续项中必然有一个项能够被素数17整除（删除），也必然有一个项的对称数能够被素数17整除（也就是说，必然有一个数除以素数17的余数与偶数除以17的余数相同，简称与偶数同余，下同）。我们可以将该等差数列，针对素数17的删除进行化简：首项4919/17余6，我们把该数列的首项化简为6，公差30030/17余8，公差化简为8，即8N+6取17项有：
5 s" [4 T. x, V. _4 o3 d项数：1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，10，11，12， 13， 14， 15， 16， 17，
1 V- G0 u# h9 s: b8 X) }数字：6，14，22，30，38，46，54，62，70，78，86，94，102，110，118，126，134，
' z# g( t2 Z- A3 K余数：6，14， 5，13， 4，12， 3，11， 2，10， 1， 9，  0，  8， 16，  7， 15，
    因1048576/17余16，所以，对于等差数列30030N+4919，素数17的正面删除为13+17N项，为：365279，875789，对应面删除为15+17N项，为：425339，935849。
( l& f9 }' `4 X' r    对于等差数列30030N+14159，因为，该等差数列与上面等差数列，公差和素数删除因子相同，所以，余数循环是相同的（下同）。因首项14159/17余15，余数为上面的第17项，即该数列素数17的正面删除为14+17N项，为：404549，915059，对应面删除为16+17项，为：464609，975119。
    同理，素数19对于等差数列30030N+4919，正面删除为5+19N项，为：125039，695609，对应面删除13+19N项，为：365279，935849；素数19对于等差数列30030N+14159，正面删除为12+19N项，为：344489，915059，对应面删除1+19N项，为：14159，584729；
1 Y* H& W9 |! k6 H& o, b+ @1 |    …………
) n; C1 Z- k% x/ c6 o6 b8 n    试想：如果，我们把等差为30030与素数删除因子17到1021，都按照上面素数17的删除进行化简后列出来，不光是对于偶数1048576的742.5个对称数列素数的计算有利，而且对于大于1048576的偶数取30030为公差进行计算都有利。因为，正面的删除因首项而异，只要知道首项余数为列出数列的第几项，就知道该数列素数删除因子应该删除哪一项；对称面的删除因偶数除以素数删除因子而异，只要用偶数除以素数删除因子，我们立即就可以看出应该删除哪一项。即我们对于一个等差数列不管它的项数再多，我们只须要做两个除法运算，就知道正面应该删除哪些项，对称面应该删除哪些项。当然，为了直观和方便，我们还可以把上面的余数由整数换成小数。
    （1）、素数17到素数1021对于等差数列30030N+4919的删除为：
6 k' _% x9 k6 i9 k% s    正面删除：365279（素数17删除），425339（素数17删除），875789（素数17删除），125039（素数19删除），695609（素数19删除），665579（素数29删除），635549（素数37删除），215129（素数43删除），785699（素数47删除），245159（素数61删除），275189（素数97删除），845759（素数157删除），64979（素数181删除），605519（素数269删除），185099（素数587删除），455369（素数659删除），
    对称面删除：935849（素数17删除），575489（素数23删除），305219（素数29删除），485399（素数31删除），965879（素数41删除），335249（素数43删除），725639（素数47删除），755669（素数83删除），545459（素数89删除），515429（素数431删除），155069（素数647删除），
) W2 ^- E  R. H) B. \+ S. E+ J, W4 j9 L    删除后的剩余8个数：4919，34949，95009，395309，815729，905819，995909，1025939，与其对称数，必然组成偶数1048576的8个素数对。
    （2）、素数17到素数1021对于等差数列30030N+14159的删除为：
6 p0 b3 R5 S5 G8 S( e    正面删除：404549（素数17删除），915059（素数17删除），674819（素数41删除），134279（素数47删除），194339（素数31删除），344489（素数19删除），254399（素数67删除），374519（素数607删除），494639（素数359删除），764909（素数131删除），794939（素数179删除），945089（素数239删除），1005149（素数199删除），1035179（素数409删除），
8 Q; g- H9 v7 m3 Y    对称面删除：464609（素数17删除），975119（素数17删除），14159（素数19删除），584729（素数19删除），44189（素数23删除），734879（素数23删除），74219（素数47删除），104249（素数29删除），314459（素数37删除），434579（素数43删除），824969（素数53删除），224369（素数79删除），284429（素数61删除），885029（素数67删除），
( J2 \. P& ~* c& ~    删除后剩余7个数，164309，524669，554699，614759，644789，704849，854999，与其对称数，必然组成偶数的7个素数对。
% @* e5 r& t. ~- N4 e    这里计算了偶数1048576的742.5个数列组合中的2个组合，共有15个素数对，如果按这个比例，该偶数应该742.5*15/2≈5568个素数对。实际计算方法应该按下面的方法计算，会更好些。
" i9 x" ~2 @- a& y    因为，偶数1048576不能够被奇素数删除因子整除，所以，对于任何奇素数删除因子N来说，都是正面删除1/N个能够被素数N整除的数，对称面删除1/N个，除以素数N与偶数除以素数N余数相同的数，合计素数N删除2/N，剩余（N-2）/N个。每一个素数都是在前面素数删除因子删除后的剩余数中进行，故适用连乘积。又因为，这些等差数列是素数删除因子2，3，5，7，11，13删除后的剩余数，这里只有素数删除因子17到1021，共166个素数删除因子。删除后的剩余率为：
! p" ?, l1 G- P$ M    （15/17）*（17/19）*（21/23）*（27/29）*（29/31）*……*（1019/1021）≈0.1736679。
4 E% H& g* ?( w, }5 D9 N8 w. y    这里的两个数列都是35个数，最后剩余数为：35*0.1736679≈6.078个，也就是说每个数列应该有6个左右的剩余数，该偶数的实际素数对应该在：6*742.5=4455个左右的素数对。
    说到这里，我们再回过头来看前面的粗糙计算方法，就是为了计算方便，我们增加了不该增加的合数删除，为：（15/17）*（17/19）*（19/21）*（21/23）*（23/25）*……*（1019/1021）=15/1021≈0.0146914，
# q, ~3 I# o1 M4 _    不增加奇合数，相当于增加奇合数的：0.1736679/0.0146914≈11.82倍。实际上，不增加不该增加的合数，我们的计算更接近偶数的实际素数对。那么，增加不该增加的奇合数删除有什么价值呢？能够直观地说明“哥德巴赫猜想”成立的道理。
4 G% |5 {. o4 Z; l$ b! `" }    我们在此，再一次谈一下这个道理：
/ U5 j9 e. w2 P; O1 Q    素数2删除后，即4个连续自然数，必然组成1个奇数对，偶数所能够组成的奇数对为偶数/4，因偶数除以2都余0，奇数除以2都不余0，即偶数/4所组成的奇数对中的数，既不能够被素数2整除，也不能够与偶数同余，后面该素数3接着删除了。
    我们设偶数为M，√M≈N，那么，偶数有素数删除因子3到N，我们令偶数不能够被所有奇素数删除因子整除，再增加3到N的奇合数，也假设偶数不能够被奇合数整除。不论是素数还是合数N，我们都按奇数N对正面删除1/N能够被N整除的数，对称面删除1/N个除以奇数N与偶数除以奇数N余数相同的数，合计奇数N删除2/N，剩余（N-2）/N个。
    删除率为：（1/3）*（3/5）*（5/7）*（7/9）*（9/11）*……（N-2）/N=1/N。
    即偶数M内，删除后剩余的奇数对为：（M/4）*（1/N）=M/4N。
    因M≈N*N，代入上式为：M/4N≈N/4。即偶数的素数对为，最大的素数删除因子除以4，该式说明，当偶数大于16时，就有不包括素数删除因子所组成的素数对的存在，说明哥德巴赫猜想是成立的！还说明，当偶数大于81时，我们增加了不该增加的合数删除，即偶数大于81时，偶数不包括素数删除因子所组成的素数对大于最大素数删除因子除以4。
$ o" n; D8 |6 ^- P, ^, y    上面是按照偶数除以素数删除因子，不能够整除进行计算的，如果说，偶数能够被素数删除因子N整除，那么，素数删除因子N对正面的删除，为1/N能够被素数N整除的数；对称面素数删除因子N删除的1/N个除以N，与偶数除以N同余的数为0，即正面与对称面的删除是相同的数。只能够删除前面剩余数的1/N，剩余（N-1）/N个，而不是（N-2）/N个，所以，能够被素数删除因子整除的偶数的素数对，要多于不能够被素数删除因子整除的偶数，这正是前面所说的偶数1048576+2能够被素数3整除，故偶数1048578为较多素数对的偶数，相当于偶数1048576素数对的两倍。
7 a8 v7 n+ g6 T' D; h    下面再谈三点：
9 I& q9 {' o3 {! p7 v    1、上面的素数删除因子为17到1021，共166个素数删除因子，删除后的剩余率为：0.1736679。是一个什么概念呢？我们再看素数3，5，7的删除，剩余率为：（1/3）*（3/5）*（5/7）=1/7≈0.1428，即166个素数删除因子的删除小于这3个素数的删除。
    2、为什么删除后的剩余数与剩余率有关呢？因为，每一个素数删除因子对剩余数的删除，删除后的剩余数都存在于一定的等差数列之中，都是该素数删除因子乘以公差相同的另一个奇数数列，令素数删除因子为N，所以，素数N只能够删除该数列的1/N左右。这里的左右以删除起始数的关。因为，相同公差的数列的间隔数为公差，即每一个素数删除因子N，对剩余数数列的删除间隔为公差*N。
9 E. l1 z5 D- J0 P  O$ ~    3、从做这个题，我感受最深的是：对素数的寻找，我们不能够采用除法方式去寻找合数，因为，该题后面的素数删除因子有166个，如果采用这种方法每删除一个合数，要做多少个除法题大家是可想而知的，我再次请大家利用《公理与素数计算》中的方法寻找素数，用乘法寻找删除数，所做的乘法题只占实际删除数的1/N，要减少许多工作量。
                          四川省三台县工商局：王志成

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3# wangzc1634      哥德巴赫猜想的题意是：大于6的偶数，可以表示为两个素数之和。人们把两个素数之和简称为1+1。
    素数的定义是：只能够被1和自身数整除的数，叫素数。
# N, |  ~5 u. F    根据素数的这一定义和乘法原理，形成了：大于4的任何一个自然数，能够被小于或等于它根号以下的素数整除的数为合数；不能够被小于或等于它根号以下的素数整除的数为素数。于是，人们把小于或等于它根号以于的素数叫做它的素数删除因子。由于，任何素数不可能被其它素数整除，在某种特定的情况下，多取几个素数作为素数删除因子是不影响素数诞生的，所以，在计算偶数的素数对时，我们统一以偶数的素数删除因子为准。
    我们设偶数为M，在偶数内，由于素数2对由2组成的合数（2的倍数的数）删除后，2数和等于偶数的只有奇数对，奇数对为M/4个（取整数），后面该奇素数删除了。
    设√M≈N，那么，偶数的素数删除因子为：2，3，5，7，11，13，……，N。
    我们令组成偶数的奇数对的一个加数为正面，另一个加数为对称面。不论是正面的奇数，还是对称面的奇数，都可以按素数删除因子的乘积为公差，组成不同的等差数列（详见《如何计算大偶数的部份素数对》）。对于每一个素数删除因子K来说，正面能够被素数K整除（删除）的数只占1/K；为了直观起见，我们把对称面的删除也转移到正面来进行删除，则对称面的删除因偶数M/K的余数而定，正面数值/K的余数与M/K的余数相同时，那么，对称面的数必然被素数K整除（删除），即对称面的删除也只能够删除1/K。如果说，偶数不能够被素数删除因子K整除，那么，素数K对于正反两面的删除，合计删除奇数对的2/K，必然剩余（K-2）/K的奇数对；如果说，偶数能够被素数删除因子K整除，那么，素数删除因子K对于组成偶数奇数对的正面与对称面的删除是完全对应的，只能够删除奇数对的1/K，必然剩余（K-1）/K个奇数对。这就是素数删除因子对于奇数对的客观删除规律。
    由此可见，能够被素数删除因子整除的偶数的素数对，明显多于不能够被素数删除因子整除的偶数的素数对。
/ n1 ?, V4 x1 m' V    从《如何计算大偶数的部份素数对》中，还可以看出：一方面，每一个素数删除因子都是在前面素数删除后的剩余数中进行删除的，因此，可以使用下面的连乘积。另一方面，当素数K进行删除后，K倍数的合数都不存在了，更不要说奇合数的删除，奇合数是不参与对任何数的删除的。
    由此，我们产生了计算偶数素数对的方法。我们令偶数不能够被所有奇素数删除因子整除，那么，偶数的素数对为：
- r6 \: v. g$ u9 Y) R* {( J! [) K（M/4）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（9/11）*（11/13）*（15/17）*（17/19）*……*（N-2）/N。
: B$ k6 y) T3 A" N1 o    说明：这种计算方法不包括由素数删除因子组成的素数对，这个式子的计算结果，最接近偶数的实际素数对。为什么说接近呢？每一个等差数列的项数因偶数而定，不可能每一个数列的项数都能够被素数删除因子整除，素数删除因子对于等差数列的删除间隔为公差*K，删除由起始数开始，每公差*K再删除一个，换一句话说，如果项数减去删除起始项不能够被素数删除因子K整除，那么，素数删除因子是删除不到（K-2）/K个奇数对的，即，实际删除数略小于（K-2）/K；而每K个相邻等差数列只有一个等差数列的首项能够被素数删除因子K整除，只有该等差数列的实际删除数可能要略多于计算数，又因首项为素数的机率要多些，故，总实际删除要略少于计算数，所以，这种计算的素数对略低于实际素数对。所以，只能够说这种计算的素数对接近实际素数对。
    按这里的计算结果，如果偶数能够被素数删除因子K整除，那么，该偶数的素数对应该在上式的基础上乘以（K-1）/（K-2）。说明，如果偶数能够被3个以上小素数删除因子（特指3，5，7……）整除，照这样计算，实际素数对有可能低于这样计算的计算数，是因为删除数的重合优惠所至。不管怎样，素数删除因子相同的相邻偶数，“能够被素数删除因子整除的偶数的素数对，明显多于不能够被素数删除因子整除的偶数的素数对”始终成立。
    前面说了，奇合数是不直接参与删除的，奇合数倍数的数的删除是由组成奇合数的小素数所代替了的，从《如何计算大偶数的部份素数对》中也可以看出。但是，为了证明哥德巴赫猜想成立，我们在上式中增加不该增加的奇合数的删除，将上式变为：
! Z! e6 s' C8 Z8 O( S（M/4）*（1/3）*（3/5）*（5/7）*（7/9）*（9/11）*（11/13）*（13/15）*……*（N-2）/N=M/4N。
    因为，M≥N*N，代入上式为：M/4N≥N/4。
: A% f5 u8 x( Q& q: n6 G8 p    从该式看，当偶数大于16时，最大的素数删除因子大于4，即偶数的素数对大于1对，哥德巴赫猜想成立！
    综上所述：相同素数删除因子的相邻偶数，能够被素数删除因子整除的偶数的素数对，明显多于不能够被素数删除因子整除的偶数的素数对；不能够被素数删除因子整除的偶数的素数对，明显多于增加奇合数删除计算出的素数对。即偶数的实际素数对多于最大的素数删除因子N/4。因为，N/4都能够说明哥德巴赫猜想成立，所以，不论偶数是否能够被素数删除因子整除，哪种偶数哥德巴赫猜想都是成立的！
& ^3 G2 G7 m1 k; A2 W    不论偶数有多大，小于偶数平方根以下的奇数都不可能全部都是素数，就打算小于偶数平方根的奇数都是素数删除因子，都必然有素数对的存在，何况小于偶数平方根的奇数并不一定全部是素数删除因子。而且，偶数越大，小于偶数平方根的奇合数越多，造成了使用N/4所计算的素数对与偶数的实际素数对误差越大。当偶数大于1000时，偶数的实际素数对（不包括素数删除因子所组成的素数对），相当于最大素数删除因子N/4的2.3倍；当偶数大于1000000时，偶数的实际素数对（不包括素数删除因子所组成的素数对），相当于最大素数删除因子N/4的20倍。…………。造成这一误差有两个方面的原因：一方面，是素数删除因子K，（K-2）/K的连乘积就略低于偶数的实际素数对；另一方面偶数越大，小于√M的奇合数越多，上式中增加的奇合数K是乘以（K-2）/K，反过来要排除上面多增加的删除就应该在得数中乘以K/（K-2），奇合数K/（K-2）的连乘积就越大。导致了偶数越大误差越大的这种现象。
. w* J5 T9 N% _4 Q  O2 }2 ^+ t    说明：
2 K( p. w3 Y% B6 E4 y! ], h, D    1、上面增加奇合数为删除因子，是从奇合数9开始增加的，即，当偶数大于9*9=81时，偶数的素数对大于N/4才成立！
. j- y& R4 X* {9 t9 {( Z    2、人们知道：偶数从6到14都有1+1的素数对存在，这里又说明大于16的偶数必然有（不包括素数删除因子所组成的素数对）1+1的素数对存在，所以，哥德巴赫猜想必然成立！
    我个人认为：从9+9到1+2，都属于数论不可分割的组成部份之一；但由于自然数1不是素数，所以，并不是从偶数6开始，都可以表示为9+9到1+2，它们各有各的起始偶数。
! H6 U! O& j; |                                         四川省三台县工商局：王志成

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