巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
/ B; `0 @( B, q1 s. j# p# G( Z  \河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
亞和伊拉克。

　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。
0 O1 [% w$ ^! b
　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
& ?+ ^) X' m. ^- \! \十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
- l* z, ~2 {. c4 ]; h的貢獻。

$ h% k" D5 a  o# u　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。

5 v; @7 g' U) m& K　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
3 s. P6 y6 i% _" p3 A! t5 p; ^* g，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
( |; g* U, v  Z5 B，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。

8 Y; C, p+ V1 R, A9 I/ i' g　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
+ k7 O0 v6 r: O微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
3 x9 a/ i" q- [) J+ I9 J; D載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
高。
2 D3 \" {" R/ w9 N5 V+ z2 \
　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。
4 e& T0 D$ E, V: {  O
　
* T+ c' V" ~1 s3 P9 c, ?6 h, L8 c8 d
: N1 }& S5 u& X  l2 y" a巴比侖人的記數法
6 J) j" `9 B# ?; z8 p& H2 o
1 }. N8 g$ O7 @% p! ]; h9 M( w　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
8 I8 K7 X/ l9 A進位。

5 u( O0 p+ U1 M: j$ j- h　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。

　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
6 V6 B2 c+ D* t' V/ X助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。

3 c* \5 y, u: h　　　　　　
$ K& m; ?' T' t/ M+ G& C; i- |! [
9 ?7 \  b6 [5 w: d/ Z$ D4 |9 U　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
) m8 O% ~5 u+ m" X7 n稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
5 _' Q8 |6 {+ h5 K! c- Y是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
' ?# r6 Y9 T* J5 i0 S上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
3 h# I8 O' D* j9 v2 i" q3 個小球。

　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

" X2 \1 l4 r) I! f* }' f　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
6 {3 x+ C% s, Y) a（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
$ q% }* E5 s0 o6 d& ?法。

8 x+ K# K. J% X　
4 D* l: b0 N4 H' ?
　
1 K$ b' z' n0 q4 X, f
　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。

- |3 h0 i& b* c　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
# H9 v# _4 V- }* N  m) o. {吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　

　
+ v& b6 ~7 r. ^" U0 r" F
　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　
9 P7 U. o- Z4 |% F/ A7 ?/ Q
　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：

7 ]( s! t) }5 H& Z　
0 n" _) k) ^- [( X
很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
% v8 d& _2 F5 W3 P
　　可是接下來的卻是這樣的符號：

2 |; U6 ~2 }- P　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：
+ l2 M+ D, ]8 }  g9 V7 f
　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10
  n& ?) W$ Q; v( I- I% t+ `
　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
0 a( g4 ~3 e4 |2 M
7 H' c9 _% g$ V　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
* A6 X6 P" C  q! V0 V; G就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
: Z( q! @6 Q2 s( c; y/ C. i' d將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。
( j# M' x/ t+ r; n! T
　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
9 z  W9 u. x$ q9 B他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。

　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
6 w2 D1 n* i4 h/ y9 `' t& N2 \, R0 o/ A看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

+ X2 I, j/ [0 ]( P　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
6 z6 P+ Z4 h+ A
9 }( r" m/ d8 w% v4 m9 z　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841

0 J, H' g4 @4 K" l　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

: r; e% A/ R9 z) j# W: e　

2 v0 Y6 [' @" O/ X0 E6 g$ t巴比侖人怎樣進行除法運算？

　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。

2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
7 {5 u( i& G0 n4 K4 15 20 3 50 1 ,12
) M( o+ l- z, H/ D5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
* n9 E  \6 c% J12 5 36 1,40
  \) a$ N! N: L/ E$ z9 P# e15 4 40 1,30

　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
% E$ h1 v- W) `1 _6 o8 O, q9 Z意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：

　　　　　　　
8 u. t9 J8 W: T( r9 e" G1 G( ]9 W4 e
* a8 z# g% U& P0 `% ~( d; [+ u% Q　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
# p* d7 m3 d+ j( t" H/ M: U  A& W對應 2,13,20意思就是：

, g" A7 J2 W* n' c　　　　　　 　
+ P' E$ j' G  Y
% K3 L, @! H/ T$ [# y　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
+ X/ _- l( ^1 `. T3 ]. D6 g這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
% |. ?  m9 U. u( H數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。
6 _* e& o3 ~# x( L, z  }
　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。
7 v; l( P; K5 g0 f  ?, t/ d
3 G6 s8 B3 i4 L　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？

0 L4 H( u/ n# C+ \5 q+ m: E* F　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
( C8 A7 P5 Q6 M' Y/ \* b9 y* ]a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
& f% H8 c' w. g. i1 F: Q化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
( L  ?( L" ]1 O- n! X% |% q/ y) A
　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。