巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化
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　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
+ w1 k& U3 ~; o: T: R河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
6 R- @% A5 s8 n& Z" N亞和伊拉克。
, e( T5 G* `5 t* r9 m
　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
" Y  z( U* D8 \. Z/ e+ w5 S  ]現在的禮拜日。

$ y, M2 |" h0 m7 Y" G& {8 j: L- u　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
) b9 _; {1 Z/ g- s% H- |3 S秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
" y1 D: i- {# ]* v: c" R4 e十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
的貢獻。

　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
; `" y. A5 h: `) i的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
板書。
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- W! _0 r0 F4 a& M9 J% h2 b8 z0 c% y8 ~　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。
# W! _, R& U! V  C- E9 }+ ?
　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
# c9 a6 ^1 N4 B( I2 G4 K% {土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
: G5 p' {- @7 @$ q這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
/ f4 v0 L1 b- P6 _: I$ E4 H! y土下，上面只有野羊奔跑的荒原。
) G, Y$ Q& b$ n
- j  e# p7 ?0 ~9 q. [3 O. e& d4 n6 a# Y, i　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
# O$ J" h0 D* i3 m# I, f及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
5 K  d5 D7 b1 M5 ]6 v8 j: _了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
9 P  B/ i4 O; h: b" w微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
9 H+ n/ q( Z/ p5 S, o板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
! @* \$ u; Y; w" ]比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
% m% o8 r3 U: m/ e4 _" [高。
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　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
# J/ z8 }( Z" K+ [" c3 z' `. a裡就談談他們這方面的貢獻。

　

* B* X2 }- t0 `巴比侖人的記數法
2 n" H" R( b& u; S; `
　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。
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　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。
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　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
2 J$ F$ f! a3 W! B
　　　　　　

　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
" ^( v1 V6 a, x9 I) D$ e2 O了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
  }# n0 j% [. _1 N$ A' L- ?* G3 個小球。

　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
' M  O! H1 a9 ~, r- r. o個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

0 D5 I# [! z2 ?/ H0 V, }- G　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
( L5 m& T3 X, {9 I+ l, U（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
! Z6 i6 e9 _! q6 t/ ~: p' `% b法。

! {, ]+ s; I3 ]　

　
7 `9 G; Q* M1 N
$ R. h2 c. \) N% s; p0 Q　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。

　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
. b5 r) F" j. w7 I4 ^3 M' }5 D五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。
! I+ h) S5 J# h2 J
　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。

　

　

2 l" A+ R  z% l9 V5 R' W　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
, y6 R* \% _8 K2 w1 R$ K出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

- @. s- ]; d) @9 j, a) c# L# x+ d　

7 V" M$ X/ e( X　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：

　

9 I2 |, w) M) D3 Y很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。

　　可是接下來的卻是這樣的符號：

　　　　
　　如果我們前面知道的符號是寫成：

8 d( C5 m7 g  U2 g2 j* W/ p) k　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。

: f. V2 v  r- L  B. h' B5 W　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
" z5 ~" j. P9 E' w7 B1 D就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
7 t- T) Y& a. ?0 n9 u4 C) d將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

1 Y( x, x  N  F: N# r$ r　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
( C% O( y$ m0 t9 V8 k5 Y
　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。

　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。
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　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
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　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

　
) M# a% j4 L2 y; \) d
0 k& l0 `, ~$ _6 i  ^5 G巴比侖人怎樣進行除法運算？
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　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
9 O! q% T. i8 s* R/ c, H
2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
4 15 20 3 50 1 ,12
1 z* {8 w8 }4 A. L$ v5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
  T; b) O) \/ v0 Q) L: D; a6 ?; B6 10 25 2,24
6 x8 I- n: V, k! e( y8 H: k5 k! K8 7,30 27 2,13,20
4 W& a1 {/ J! j& e9 Q$ e! r9 6,40 30 2
10 6 32 1,52,30
12 5 36 1,40
6 Z* ?4 I8 I! p& m: y15 4 40 1,30

0 \9 \% {9 U  A& W, E' w- S$ {　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
2 G& g! L, H% x3 w" _( z5 _6 m現在把以上的表改寫：

4 k; F( v- q+ E" W7 h　　　　　　　

: ^7 C. f, d9 R: k' L# S; x　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
對應 2,13,20意思就是：
, T1 s$ j) K5 S* v' M
　　　　　　 　
" {8 b8 B* H; L8 @9 S; l1 I
　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
3 {) C/ c) `' Z' |& C  G8 g+ `- T這是什麼原因呢？

　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
$ W2 M% B& D+ l; l" k9 w數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

7 W5 y% c2 c8 U2 d/ \0 A: F　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
2 N3 Q" d. G0 ?- f( G5 w9 ^8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。

　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
3 i) T$ @8 ?( I" [4 K) G
　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
* j. @+ i$ L. {a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。

　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
# Y. n& I1 c* T2 e% `! v" P2 v! T、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
9 d4 g! ~5 [$ u9 \' q7 I- j決，這時候「倒數表」就很有用了。