巴比伦

丫丫爱数模

[quote]燦爛的古巴比侖文化

　　發源於現在土耳其境內的底格里斯河（Tigris）和幼發拉底
河 （Euphrates） ，向東南方流入波斯灣。河流經過現在的敘利
- J# g/ |7 D" N  L亞和伊拉克。
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　　現在我們生活的「星期制度」是源於古代巴比侖。巴比侖
6 f% ]; s* [6 H# {. R人把一年分為十二個月，七天組成一個星期，一個星期的最後
一天減少工作，用來舉行宗教禮拜，稱為安息日－這就是我們
現在的禮拜日。

) E5 O; U" w; A& e　　我們現在一天二十四小時，一小時有六十分，一分有六十
秒這種時間分法就是巴比侖人創立的。在數學上把圓分三百六
十度，一度有六十分這類六十進位制的角度衡量也是巴比侖人
, @! t  y4 w  ^! D; w! A的貢獻。
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　　古代巴比侖人的書寫工具是很奇特的，他們利用到處可見
0 z- U" w, M5 |( t! Y$ H) H的粘泥，製成一塊塊長方薄餅，這就是他們的紙。然後用一端
, T, J4 W. A; x/ w' C磨尖的金屬棒當筆寫成了「楔形文字」 （cuneiform） ，形成泥
& _3 f/ w, `* a, `' ~板書。

　　希臘的旅行家曾記載巴比侖人為農業的需要而興建的運河
$ g3 f0 B! x+ {2 s# e  E+ `，工程的宏大令人驚嘆。而城市建築的豪美，商業貿易的頻繁
; |+ @, a+ I" m/ ^& |& m: @1 Y，有許多人從事法律、宗教、科學、藝術、建築、教育及機械
工程的研究，這是當時其他國家少有的。

　　可是巴比侖盛極一時，以後就衰亡了，許多城市埋葬在黃
土沙裡，巴比侖成為傳說神話般的國土，人們在地面上找不到
. U4 J7 R0 r3 b( \7 G) e這國家的痕跡，曾是聞名各地的「空中花園」埋在幾十米的黃
土下，上面只有野羊奔跑的荒原。

　　到了十九世紀四十年代，法國和英國考古學家發掘了古城
及獲得很多文物，世人才能重新目睹這個地面上失蹤的古國，
/ {, ]9 ~& v/ e( M3 U了解其文化興盛的情況。特別是英國人拉雅（ Loyard）在尼尼
微（Nineveh）挖掘到皇家圖書館，兩間房藏有二萬六千多件泥
板書，包含歷史、文學、外交、商業、科學、醫藥的記錄。巴
) B5 y. j7 L! f  c; t3 z8 H' M比侖人知道五百種藥，懂得醫治像耳痛及眼炎，而生物學家記
% I8 y8 j3 b4 O! G8 U載幾百種植物的名字及其性質。化學家懂得一些礦物的性質，
除了藥用外，而且還利用提煉金屬，製陶器及製玻璃的水平很
" ~" q! E# \- y- w- Q' Z2 `, _- S高。
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　　有這樣高文化水平的民族，他們的數學也該是不錯吧？這
裡就談談他們這方面的貢獻。

6 U" R% _3 \  n2 l: G& b　
! ~4 A; b" U* l
' {1 V% H- c" a6 \9 W$ e$ F巴比侖人的記數法

　　巴比侖人用兩種進位法：一種是十進位，另外一種是六十
進位。
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　　十進位是我們現在普通日常生活中所用的方法，打算盤的
「逢十進一」就是基於這種原理。
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　　巴比侖人沒有算盤，但他們發明了這樣的「計算工具」協
( c/ y+ a1 G3 |  r助計算（圖一）。在地上挖三個長條小槽，或者特製有三個小
糟的泥塊，用一些金屬小球代表數字。
6 N' S# g* U: z3 H" v
　　　　　　

% x" G# ^' V- _. @' ^　　比方說：巴比侖城南的農民交來了 429 袋的麥作為國王的
; [* O) J4 ?" _: J4 t2 ^/ c稅金，而城東的農民交來了 253 袋的麥。因此國王的倉庫增加
了 429 + 253 = 682 袋糧食。我們用筆算一下子就得到答案，可
是巴比侖人卻是先在泥板上的小槽上分別放上：4 個， 2 個，
9 個的金屬球，這代表了 429。然後在置放 4 個金屬球的小槽
& [5 l! w) r6 ~3 V1 p5 ^上添加 2 個小球，中間槽上添加 5 個小球，最後的小槽上添加
6 ]  Y- ^& S, Y3 c/ I5 n3 個小球。
7 v  P2 \* Z, ?6 u
　　現在最後一列的小槽上有 12 個小球，巴比侖人就取掉十
! f5 r1 a; [3 e) t0 K個，在中間那個槽裡添上 1 個小球－這也就是「逢十進一」。

" \  N* p* Y& F: g5 a" c: p: W　　最後泥板上的數字 682 就是加的結果。這不是很好玩嗎？
( O" h# Z# v% Q& A0 j6 w（圖二）我們可以利用這方法以實物教兒童認識一些大數的加
" w: A7 J3 K: B1 E8 f法。

　
4 j0 v. U$ `& H) @+ t( A' Y
　
: A+ {9 O% q1 }; v) K3 M0 ~5 i  z
2 H) P* V, r; q　　六十進位制目前是較少用到，除了在時間上我們說：一小
時 = 60 分，1 分 = 60 秒外，在其他場合我們都是用十進位制。
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1 u& L( A' h+ V' n4 ^- Y　　可是你知道嗎？就是古代的巴比侖人定下一年有三百六十
五天， 十二個月，一個月有二十九天或三十天，每七天為一個
星期，一個圓有三百六十度，一小時有六十分，一分有六十秒
等等，我們現代還是繼續採用。

　　考古學家在一塊長三又八分之一吋，寬二吋，厚四分之三
吋的泥板書上發現了巴比侖人的記數法。
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# l! B1 s0 ?! m9 R! ]　
0 @4 {: q7 |6 i8 M
　

$ e* W4 @8 C" D% [　　這泥板的中間從上到下有像（圖四）的符號：讀者可以看
出這是代表：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13。

　
4 F0 K' P( W/ G9 I2 r" |
) X) t$ G# Z4 S. n　　這泥板書受到鹽和灰塵的侵蝕，但可以看到泥板書的右邊
前五行是形如：

6 A" p! d6 F; |7 ~% k　
  }9 \* s4 `! I9 r
很明顯的這應該代表 10,20,30,40,50。
& z1 v* R0 S2 M7 Q. B8 e' C
0 \: T9 {$ N& }3 G) S　　可是接下來的卻是這樣的符號：
$ F; [* M- m/ n- W7 a* c
1 H( S0 h4 j6 h$ h/ B7 ^3 f　　　　
% T) }' q, @; }, f7 K　　如果我們前面知道的符號是寫成：

# f) u0 {* L, @% y: z1 K1 {; T　　　　1 1,10 1,20 (缺三個) 2 2,10

　　這是什麼意思呢？考古學家猜測那幾個符號照上面10,20,30,
, W9 ]- w. ]- n; N$ a) p　　40,50的次序應該是代表60,70,80,(缺掉的90,100,110),120,130。
; a6 N, D  [* S
" b, i8 A& W4 f3 a. I# L' B& Y+ `　　是否那個 1 的符號也可以代表 60 呢？如果是的話那麼 1,10
# b) E4 t7 f. l* X4 ~' D( g8 N就是代表 60 + 10 = 70。而 1,20 是代表 60 + 20 = 80。而那個
將代表 2 × 60 = 120了。很明顯 2,10是代表 120 + 10 = 130。

　　這樣的猜測是合理的，由於巴比侖人沒有符號表示零，而
2 c3 ?. F7 ^- m$ t* Q3 D( f5 x% y; `4 z他們採用的是 60 進位制，因此同樣一個符號可以代表 1 或 60。
! ]- h* l7 _* l3 X1 P
　　沒有零符號在記數上是很容易產生誤會，比方說：可以
看成 1,20 = 1 × 60 + 20 = 80 或 1,0,20 = 1 × 602 + 0 × 60 + 20 = 3620。
& Y% p" M5 V" G; Z" q
　　到了兩千年前巴比侖人才採用表示零。

　　因此像代表 2,3,0,41 即 2 × 603 + 3 × 602 + 41 = 442841
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: h$ g) T; B1 y4 B/ L8 g; w　　從此巴比侖人小於 60 的數字的記數可以看出他們懂得「位值原理」。

　

巴比侖人怎樣進行除法運算？

* @$ c$ A  R; o$ L- j! o7 Q# i  `　　從一些泥板書裡可以看出底下的對應。
; Y- h4 c# q" C  G( w4 {4 S( M& [
2 30 16 3,45 45 1 ,20
3 20 18 3,20 48 1 ,15
# l$ ?* u$ _9 Q4 15 20 3 50 1 ,12
5 L( R" A3 z/ z3 b5 12 24 2,30 54 1 , 6 ,40
7 M% [0 v, j! p; `6 10 25 2,24
8 7,30 27 2,13,20
9 6,40 30 2
/ _# y) I0 h; x- F/ l, d* e10 6 32 1,52,30
( m, w2 a2 P2 m12 5 36 1,40
# u6 C0 K# i  [5 L0 y! v  v& V4 h15 4 40 1,30

0 E) L. x, s3 k9 F& E3 y2 H　　如果你在現在的伊拉克的土地上發掘這樣的泥板書，你能瞭解這是什麼
意思嗎？四十多年前考古學家發現這事實上就是巴比侖人的「倒數表」。我
現在把以上的表改寫：
. e# f, ~$ _* ]3 B2 ^
4 Q! Z6 `/ Z+ z, E　　　　　　　

　　你可以看出這就是把整數 n 的倒數１／ｎ用六十進的分數來表示。比方說 27
" N5 H4 H1 @. a; C對應 2,13,20意思就是：

% X( T, v9 [- E4 K) m. ]　　　　　　 　

　　你會注意到以上的表缺少了：7,11,13,14,17,19,21,23,26,28,31,33,34,35等等，
5 z$ L0 ^# x  G0 V  u. A這是什麼原因呢？
* {: x, V- V3 `7 J" i. y
　　原來是這樣：巴比侖人只列下以六十進位制的分數表示式是有限長的那些整
數，而這些整數只能是 2a3b5c（這裡a,b,c是大於或等於零的整數）的樣子。

& d6 C* R# c: X$ z" @1 r- x7 e　　對於 7 來說，它的倒數如果是以六十進位數表示將得到循環分數，即 8,34,17,
3 A, `$ B( q1 i2 D8,34,17,....直到無窮。對於 11 也是如此，我們得到 5,27,16,21,49 然後重覆以上的樣
式以至無窮。

, n& C2 Z: n* i- ?0 o& p　　為什麼要構造這樣的「倒數表」呢？
8 d; }  U, ]9 E
　　我們在小學學計算：先學加，然後學減。先學乘，然後學除。如果現在要算
; R0 H/ U9 Y+ D$ A$ ]a ÷ b ，我們可以把這問題轉化成為 a × ()，這樣只要知道 b 的倒數，我們就「
化除為乘」，計算有時是會快捷一些。
+ j6 `0 J9 }- K
　　古代的巴比侖人也懂得這個道理，因此在實際生活上，如在灌溉、計算工資
、利息、稅項、天文等問題上遇到除的問題，就儘可能將它轉變為乘的問題來解
決，這時候「倒數表」就很有用了。