选择排序

韩冰

<>对于给定的n 个元素的数组a [ 0 : n - 1 ]，要求从中找出第k小的元素。当a [ 0 : n - 1 ]被排序时，该元素就是a [ k - 1 ]。假设n = 8，每个元素有两个域k e y和I D，其中k e y是一个整数，I D是一个字符。假设这8个元素为[ ( 1 2 ,a)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 4 ,d)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 2 ,g)，( 2 0 ,h)], 排序后得到数组[ ( 2 ,g)，( 4 ,d)，( 4 ,b)，( 5 ,c)，( 5 ,e)，( 1 0 ,f)，( 1 2 ,a)，( 2 0 ,h) ]。如果k = 1，返回I D为g 的元素；如果k = 8，返回I D为h 的元素；如果k = 6，返回是I D为f 的元素；如果k = 2，返回I D为d 的元素。实际上，对最后一种情况，所得到的结果可能不唯一，因为排序过程中既可能将I D为d 的元素排在a [ 1 ]，也可能将I D为b 的元素排在a [ 1 ]，原因是它们具有相同大小的k e y，因而两个元素中的任何一个都有可能被返回。但是无论如何，如果一个元素在k = 2时被返回，另一个就必须在k = 3时被返回。

* J5 Q: C' u8 O选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k = [n / 2 ]。中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量。其他k值也是有用的。例如，通过寻找第n / 4 , n / 2和3 n / 4这三个元素,可将人口划分为4份。

选择问题可在O ( n l o g n )时间内解决，方法是首先对这n个元素进行排序（如使用堆排序式或归并排序），然后取出a [ k - 1 ]中的元素。若使用快速排序（如图1 4 - 11所示），可以获得更好的平均性能，尽管该算法有一个比较差的渐近复杂性O( n2 )。
! b# i/ J* }4 d+ M2 ^; |
# c# N' I2 b6 [" d! b9 ]可以通过修写程序1 4 - 6来解决选择问题。如果在执行两个w h i l e循环后支点元素a [ l ]被交换到a [ j ] ,那么a [ l ]是a [ l : j ]中的第j - l + 1个元素。如果要寻找的第k 个元素在a [ l : r ]中，并且j - l + 1等于k，则答案就是a [ l ]；如果j - l + 1 &lt; k，那么寻找的元素是r i g h t中的第k - j + l - 1个元素，否则要寻找的元素是left 中的第k个元素。因此，只需进行0次或1次递归调用。新代码见程序1 4 - 7。S e l e c t中的递归调用可用f o r或w h i l e循环来替代（练习2 5）。
& a) d! y* g& t( [- f; b/ B
4 a* m4 e: C- T- r# d! a& V程序14-7 寻找第k 个元素
% v: y- g+ {) Q! f0 V% ~  p
template<CLASS T>

T Select(T a[], int n, int k)
1 I+ e. t: f& a( Z0 d
{// 返回a [ 0 : n - 1 ]中第k小的元素
1 O8 w; A7 y+ P; m! X6 c8 l. A
// 假定a[n] 是一个伪最大元素
6 y" E& f" C  E
if (k &lt; 1 || k &gt; n) throw OutOfBounds();
8 ]! }0 q- H% x0 G; _+ L! h4 Y
return select(a, 0, n-1, k);
$ Y7 O- A0 S( T, \3 c
" y  B! o1 k/ a}
% m6 }5 s' L% t. e/ i
template<CLASS T>

% Y6 d+ n: x0 BT select(T a[], int l, int r, int k)

1 S+ a! ^/ [, c/ q{// 在a [ l : r ]中选择第k小的元素

' f" r6 s: d# f" Jif (l &gt;= r) return a[l];

, _: M6 p2 v3 v2 }0 }( ?. Aint i = l, // 从左至右的游标

; d+ d  S) w: z3 |, pj = r + 1; // 从右到左的游标
6 f7 `# y$ N4 s* X' p9 L
" y+ Q  |: u8 ^) l) o3 zT pivot = a[l];
+ w' P$ a; x4 \$ z
// 把左侧&gt;= pivot的元素与右侧&lt;= pivot 的元素进行交换
1 B7 ?' }' H, v6 O* C$ E+ v& J
8 B/ L$ }  y$ D/ u7 g% B& Ywhile (true) {

do {// 在左侧寻找&gt;= pivot 的元素
, V# T3 O! O$ c0 C. }4 u3 I
i = i + 1;

} while (a &lt; pivot);
/ o) H  H! o7 ^( R: q( r
9 l; y0 W2 c7 w. Z3 Kdo {// 在右侧寻找&lt;= pivot 的元素

j = j - 1;

} while (a[j] &gt; pivot);

if (i &gt;= j) break; // 未发现交换对象
! P% G) @" G7 N1 ?+ y/ ?4 ^
  J3 u% ~* S: g  g# l* I+ s; PSwap(a, a[j]);

9 S; w9 r# V4 K8 b* k! g' O}
9 Q7 Q9 n  {) b# G5 J- ]6 `4 b
% C+ G7 F" Z# x7 V4 {1 yif (j - l + 1 == k) return pivot;

& X8 Z$ L# }. [+ C0 ]3 ^! T// 设置p i v o t
8 K. [' @6 w8 P
a[l] = a[j];
/ O2 w0 ^, `3 K& r  t, Z( M
a[j] = pivot;
. q4 ~, L1 h( G* L. n; T7 i
$ q' l+ c5 J) T+ O3 _// 对一个段进行递归调用

) K/ \; w- V. Uif (j - l + 1 &lt; k)
" V+ `" Q! a- F: q3 @
9 y5 d2 h2 v+ P6 J9 Nreturn select(a, j+1, r, k-j+l-1);

else return select(a, l, j-1, k);
- m* N# v0 d# X4 M; V7 z# n- i
4 ^0 v! `0 z% W1 X% o}

8 R2 }$ F6 C" [程序1 4 - 7在最坏情况下的复杂性是( n2 )，此时left 总是为空，而且第k个元素总是位于r i g h t.

7 X! x0 [) @5 z1 R如果假定n 是2的幂，则可以取消公式（2 - 1 0）中的向下取整操作符。通过使用迭代方法，可以得到t (n) = (n)。若仔细地选择支点元素，则最坏情况下的时间开销也可以变成(n)。一种选择支点元素的方法是使用“中间的中间（ m e d i a n - o f - m e d i a n）”规则，该规则首先将数组a中的n 个元素分成n/r 组，r 为某一整常数，除了最后一组外，每组都有r 个元素。然后通过在每组中对r 个元素进行排序来寻找每组中位于中间位置的元素。最后根据所得到的n/r 个中间元素，递归使用选择算法，求得所需要的支点元素。

8 t5 c) V- y$ S" p+ `( e$ X* z' M例2-6 [中间的中间] 考察如下情形：r=5, n=27, 并且a= [ 2，6，8，1，4，1 0，2 0，6，2 2，11，9，8，4，3，7，8，1 6，11，1 0，8，2，1 4，1 5，1，1 2，5，4 ]。这2 7个元素可以被分为6组[ 2 , 6 , 8 , 1 , 4 ]，[ 1 0 , 2 0 , 6 , 2 2 , 11 ]，[ 9 , 8 , 4 , 3 , 7 ]，[ 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 ]，[ 2 , 1 4 , 1 5 , 1 , 1 2 ]和[ 5 , 4 ]，每组的中间元素分别为4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2和4。[ 4 , 11 , 7 , 1 0 , 1 2 , 4 ]的中间元素为7。这个中间元素7被取为支点元素。由此可以得到l e ft= [ 2 , 6 , 1 , 4 , 6 , 4 , 3 , 2 , 1 , 5 , 4 ]，m i d d l e= [ 7 ] ,r i g h t= [ 8 , 1 0 , 2 0 , 2 2 , 11 , 9 , 8 , 8 , 1 6 , 11 , 1 0 , 8 , 1 4 , 1 5 , 1 2 ]。

2 z& y, i1 s* j: R6 ?" E如果要寻找第k个元素且k&lt; 1 2，则仅仅需要在l e f t中寻找；如果k= 1 2，则要找的元素就是支点元素；如果k&gt; 1 2，则需要检查r i g h t中的1 5个元素。在最后一种情况下，需在r i g h t中寻找第(k- 1 2 )个元素。
) F. n# q/ }( ~' g. G
定理2-2 当按“中间的中间”规则选取支点元素时，以下结论为真：
) i5 O& X* J9 x3 {6 I, N9 p
0 M/ y; p" \% t3 {! U1) 若r=9, 那么当n≥9 0时，有m a x { |l e f e|, |r i g h t| }≤7n / 8。

, r  r  z  w  r& m2) 若r= 5，且a 中所有元素都不同，那么当n≥2 4时，有max{| left |, | right | }≤3n/ 4。
- A& r+ d7 w% ^. B2 |% x
证明这个定理的证明留作练习2 3。
& w( T. X( V* a. C
根据定理2 - 2和程序1 4 - 7可知，如果采用“中间的中间”规则并取r= 9，则用于寻找第k个元素的时间t (n)可按如下递归公式来计算：
% S( B. t2 s# n9 L9 N" T8 F% x
在上述递归公式中，假设当n＜9 0时使用复杂性为nl o gn的求解算法，当n≥9 0时，采用“中间的中间”规则进行分而治之求解。利用归纳法可以证明，当n≥1时有t (n)≤7 2cn (练习2 4 )。

当元素互不相同时，可以使用r= 5来得到线性时间性能。</P>