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数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如:
/ |$ e. i3 }5 G裸狗问题:
- M/ q% o3 ]' A. Q' r求证:不论一只狗有多少毛,它都是裸狗。 ' K0 K, l; y+ L! ~! a& x0 N: p
证明:1.没有毛的狗,是裸狗。命题成立。 8 k {. l8 h' T+ ?) c$ b' y/ U
2.有一根毛的狗,当然还是裸狗。命题成立。 ; N/ ~0 F6 {/ B: [, M
驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟 + \/ [( L( J# { q" e) ^
阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟
5 U9 D6 e0 ]- X. y0 n* z阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时 ) W1 r0 l$ E$ n8 O
乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时
4 A' l9 b7 t! j l" z! b乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点 * R6 }$ v" ~; W4 O n
距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟 9 G! J7 W7 F: Y
- u4 d, w9 r" \; d3 m' J$ e. Q 3.假设有n根毛的狗,是裸狗。 9 c4 C# c7 e/ U
那么有n+1根毛的狗呢,当然是裸狗啦(你能说它不是吗?)。
; A1 G0 @5 Q( M9 v' _1 V 由以上可知,命题成立。
) R1 [5 P) }0 V4 o0 ]+ L& l1=0=1/2? 5 M3 s% Q% L0 l; i- |
考虑下面这个无穷级数: , C# v) T$ W* Q5 [! s
8 x6 w8 ~5 _9 y1 ~& ], f
1-1+1-1+1-1+……
# W, z( ^0 k) g8 c$ D
* V6 f+ @! l* P在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值: $ P* A/ R ]5 k$ V1 j& q% t [/ k3 ?0 q3 Z
! n8 N$ y h0 Y+ W. m! h
1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0
8 M2 e3 T' h j* c
- f# X7 y: m8 G3 n* n 1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1 9 p/ K' c. N, r; \: p. h. E* |
! H5 j9 E3 \, {+ z9 U) _6 |- k! Y而伟大的欧拉则更绝,他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去,得到: , X4 P+ k6 R) z( {
7 o8 k9 m& N2 R9 l8 w; L
1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2
" w+ l+ z( }4 D3 {
9 X, X5 S, |! p" W: l T8 D然后他得到1=0=1/2,并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。
% W+ ~' }( y m* O w驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟 # R7 C; N7 b! `5 ~
. X, A4 r; f0 M, \% Z阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟
9 {, N Q8 }/ V) r3 b: q# T: a, k* g/ _
阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时
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% |! d1 T6 S* |5 o. M( r5 V+ K6 z乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时
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乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点
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. V& |3 s5 b3 U, H$ {6 L距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟 |