数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

裸狗问题：

2 {1 L9 b3 m2 b% r& f. o! I0 q* ^# d

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

2 P8 u& R$ M: ?

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

9 W% W- F$ H: o0 Z

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

# T5 l; ?5 \7 G3 y- u1 }: p, Z, }' O

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

( E& k8 F( E" c. K8 b f9 L

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

6 h! [+ ?1 s. _( _

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

" H# D6 A0 l2 u( | o, ?6 R0 `& f

由以上可知，命题成立。

1=0=1/2？

考虑下面这个无穷级数：

' T! \2 H2 C- \ b. R V8 ^3 d& f; w+ k

　　1-1+1-1+1-1+……

+ b7 B0 I" s7 T; @( b. Z

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

9 A$ n9 T- S1 b0 z# i

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

+ t. Z/ y! B% ~ : g% e1 I+ g8 C# M2 x9 y6 e

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

' p" e9 l$ ?$ m1 t

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

3 F' ]0 R' a" e) ]( {, N: O ' e' n0 w0 w/ F) v. A1 i0 ?' p' D

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

8 |8 K; J4 J. Q( Y8 b1 m

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

3 \1 \5 ^" B' r$ B

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

) D1 @9 u! Y% G: e . G' e# ]; y+ w9 s! a* C, S

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟