数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

裸狗问题：

# j9 p$ |! @' r4 L ] r% P

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

2 j5 L# n2 a) c" @5 U

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

* H1 I' k7 [$ k

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

/ Q, e0 v3 ^8 u( J

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

+ r2 F- \9 Z8 X( l: t, c1 ^- ~

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

2 C" |: c# W" O* @1 ~$ N

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

& L t( N% Z% D

由以上可知，命题成立。

1=0=1/2？

- S/ {/ u$ e/ f5 W* a

考虑下面这个无穷级数：

* Y- Y2 a- T' c' O3 q5 i % S7 S& [ |0 p6 N5 f

　　1-1+1-1+1-1+……

$ L: O' G) f( m+ X/ r1 q5 n, L

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

7 D( a/ a2 o" P' X% B 1 N2 U0 X2 ?/ ^% T9 t% s9 W/ p8 Z8 q

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

) H- i6 y3 g, ~9 }9 C3 d . V' U7 G: Q% V3 }9 u$ K# o5 [ F

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

6 A: f! C' ? b+ @: J. q9 x% O0 w & ^. `5 B- z `( Z6 B5 B

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

. U, ~" M! A( B2 p/ O9 j

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

4 C8 Y0 }! \. i% g4 Z2 N 7 M: i# Z y# R% V% H

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

% f/ P% p" a: O% N; E0 G: M8 | z2 K

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

, D2 g/ _, }) u" {; M

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

8 i9 `3 ~. v3 i2 p% z

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

: ^( ^. k: R) i$ r9 @

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

( p1 I( D- V& O' b0 x$ R1 z

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟