数学趣闻

天子门生

数学在其发展过程中产生了不少悖论和趣闻轶事。如：

裸狗问题：

求证：不论一只狗有多少毛，它都是裸狗。

' \3 E, x% D* n/ z

证明：1.没有毛的狗，是裸狗。命题成立。

- t1 [1 e, r/ ?' x! S' X

2.有一根毛的狗，当然还是裸狗。命题成立。

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

; k$ O9 q2 l$ j( T- b

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

8 f( C4 I( U& b, F: ]( k

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟

3 `2 X* m s, P( w3 g# v' [

3.假设有n根毛的狗，是裸狗。

1 @2 \1 G4 N! j8 K: @" z

那么有n+1根毛的狗呢，当然是裸狗啦（你能说它不是吗？）。

; I; ^% G1 t% V. b4 b0 h

由以上可知，命题成立。

1=0=1/2？

5 C$ N6 x' X# M1 h ]. Y% i

考虑下面这个无穷级数：

/ [: E( s6 W+ \5 Z( D0 r! K1 {# o 9 D! Z% v" b. h- Y& U5 j; S+ S

　　1-1+1-1+1-1+……

9 T" g' r+ `1 C( X0 S0 @. T

在很长一段时间里数学家们对它迷惑不解。它似乎有两个值：

7 J) x2 W% d ^ 7 k0 H, L0 g" e7 A) U5 z9 U

　　1-1+1-1+1-1+…… = (1-1)+(1-1)+(1-1)+…… = 0+0+0+…… = 0

m4 O1 m! @. J* `) k9 O 0 g* V" y% N; K# r

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1-(1-1)-(1-1)-…… = 1-0-0-…… = 1

9 V) l4 ]% [. z! ]' l$ L) k

而伟大的欧拉则更绝，他把等比级数公式1+x+x2+x3+……=1/(1-x)应用到x=-1的情况下去，得到：

　　1-1+1-1+1-1+…… = 1+(-1)+(-1)2+(-1)3+…… = 1/(1-(-1)) = 1/2

然后他得到1=0=1/2，并由此得出“上帝从虚无中诞生的象征”。

; E4 f7 @; G0 T7 }6 ?" T! Z

驳论: 阿基里斯永远也追不上他前面的一只乌龟

1 p8 p( d: T3 Y( j& R$ J1 ~

阿基里斯是希腊神话里面传说跑得最快的人,现在他前面100米处有一只乌龟

+ j2 x, ^1 C7 v; _8 j 1 Q k. g6 P$ n7 ?

阿基里斯和乌龟同向而行,当阿基里斯追到乌龟起跑的地方时,经过时间t1,这时

. e; E% q. `" n0 k0 J

乌龟在t1时间内往前爬了s1,当阿基里斯再追到乌龟t1时的地方时,经过时间t2,这时

. d6 E7 s# ^- |0 P4 A ' l/ F# Z( z& y9 @- w) Y( _: V; F7 ]

乌龟又往前爬了s2......每次当阿基里斯追上乌龟先前的地方时,乌龟都要往前面爬一点

距离,所以阿基里斯永远也追不上乌龟