由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
6 C- b( c+ P" Y( b( K! a$ P* y
/ \6 A# p/ ^: z! Z  Q5 Z" ?6 G

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
! ?& h% B# }* ?1 H! k/ `                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
% a% a3 o, w" V                      2011年2月20日
' H1 }& K$ b% D. ]; p7 c2 N+ D3 @* G1 G     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
( m3 X3 R7 S$ z$ V% p# t' h( E7 O                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
& @( h, y7 p$ u' F4 y( M    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
" x/ y4 b' m( |" i$ g! e                 
; d! D: G  A8 u4 E   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
% n" S  T; s! h$ j' o7 n: w8 R   三) 问题的终结
   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
    证明  
. W; y2 F8 ^. w  x在∠AOB一边AO上,取
            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
9 ?+ b! h! _1 x& ^根据定理1,有
                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
7 l. ^4 p) K. v$ J; x8 p9 L! V根据(4)式知K
$ C, D% S2 \1 [. r、F共点,所以
  x; K6 [# m: d/ I6 ]( |2 B1 f4 h        EG=GH=HF,         (5)
" S" E& `( `9 i; D; y根据定理2,(5)式,有
* Q# q) A7 N$ z" s: t        .
即
7 a3 `! [3 C7 i' e/ N       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
, u% `/ O9 `, O( H2 g若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
2 D8 Y9 Q: X0 S: ~* q

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
% ^! I- T: ^1 r1 o                        苏小光
                      2011年2月20日
& O* l& N. u6 t     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
% g/ l; |5 W- G7 Z! T/ r/ q1 e                  8x^3-6x-1=0
" h- V4 _( |) r, L没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
, U. ?" V' v' q4 a7 u: Y1 y    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
, |, O5 T) h( `  w3 b* O/ x2 E                 l=NR\pi /180 .
# E& m2 H8 F- [3 ^$ _4 O1 {                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
$ m/ E1 s5 {, w# i! o则用直尺和圆规可得
( ^1 l) C7 G7 o& @3 o6 A' b& r       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
5 n/ O; v2 G# D    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
, N& J/ v5 m6 q( A9 D7 F在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
' v8 i9 Z% U8 }4 \/ K# p) `            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
( x: y# o5 B5 C9 c: c$ c$ |9 v7 S根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
+ Q3 W7 ~5 E* l( ~在AO上取点E,使
9 |: `7 J/ R- M8 _4 C3 h6 c3 B OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
5 P4 ^5 T8 N( V/ K0 }8 a: u根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
$ z3 q) s* U" r+ x9 x, c. h        CD=EG=GH=HK,
8 [2 u7 {2 _/ j$ T# a$ a, D1 Z根据(4)式知K、F共点,所以
$ U; a( L/ K8 y) N        EG=GH=HF,         (5)
$ t% B4 h$ c, u; _' R根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
- ^9 e: k7 ]/ N4 \& Q0 O  l    本文的理论基础是
8 w) j3 {1 J- A+ ?5 e- o8 B            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
2 {* H  p6 [: o3 T1 L0 o6 a

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
& t7 d8 c- H! M/ F; `

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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