由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

数学1+1

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                   圆周率 的联想
1 H6 l/ \* M1 c  Y. m, a                         尺规三等分任意角的逻辑原理
! f# r: ]" c1 J, k3 l                        苏小光
, J7 L' M1 ]) Z' r4 Q. g                      2011年2月20日
) S8 S% f+ g1 U0 G8 I. E     一)  问题的提出
& {9 I0 u, S, z& g' ]5 W+ d) c  H% H     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
* B' |* c' L6 E2 h8 S    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
; ^& J5 U1 _& @9 v- ]' p4 Y, R                 
, Q  V. Z$ [. w0 s   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
% }5 k" }5 x1 q; j: u7 p2 K* X+ P   三) 问题的终结
- U6 l+ q1 |  C# f1 g9 K   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
2 W. k7 j/ S3 T/ F: a  a    证明  
在∠AOB一边AO上,取
            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
# Q% ?3 E4 f( S1 @+ C                    (2)
在AO上取点E,使
            (3)
( H+ a* [6 j+ C# M7 m. u- t以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
6 G7 K3 u  _3 p# L! r" A) C: B             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
0 {1 Y3 U% K5 O/ m& h( a        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
8 b; j0 `! O3 E1 F、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
9 K. [- X+ R: H; x根据定理2,(5)式,有
3 w8 a3 m6 S2 Y+ P  \! _" ^7 s; W        .
即
       .       (6)
0 [$ H) d& |7 T/ r$ |( M5 \由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

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                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
! N2 p% l7 X$ w9 O# P9 m6 y! B                        苏小光
                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
1 D  |3 ~. M- I3 }/ N) ]( a& x     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
9 D7 R' u  r  \0 v                  8x^3-6x-1=0
$ b! B5 `  a% M! C1 V5 l没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
& z; F8 x6 ^' a    二)  预备定理
7 V+ [2 U. j+ N# H; p8 T+ n8 J  c    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
9 V! H$ ?* l0 }: `$ {                 l=NR\pi /180 .
                 
0 L( E/ \! C0 {: C& V! n   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
8 Q! c) u$ L% C' h6 m9 A" I   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
  Z/ I) w5 e: C# _% J            
则用直尺和圆规可得
- Y" P, U! G/ @/ p- W- ^       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
5 s% r; n/ [$ x$ V# c% x0 x3 n    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
, q2 ]5 N) n8 w. Q+ Y2 b4 ]在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
0 o% ?3 W9 a5 D! v4 c1 u            
! I+ }" L5 O. b以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
4 e6 f. p2 R+ K5 |; p# l根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
' B5 ?! p- i- h) H+ a& r7 L在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
5 x! `- X  e/ Z$ p+ Y根据定理1,(2)式,(3)式有
          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
. P4 B- n  l* G& N+ k所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
4 e: y- L: x; N* K9 E( ^8 `        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
' A2 d: m3 e+ c' R4 n+ Y        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
$ v8 D, \% o+ C2 K即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
8 c  h( \$ @& R, K+ q" K( s: y由(6)式知(1)式正确.证毕.
; R# ~* m) J9 b3 R3 H' r& p$ M    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
3 v4 G" M, O0 E

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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+ o1 T# }4 r- l' r( E7 }
没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

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