由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理

数学1+1

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                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
1 d0 \' Q8 t' b' Z9 `: v( A7 M( E                        苏小光
                      2011年2月20日
) q5 w% m: s5 v4 N: Q/ H     一)  问题的提出
9 r% C. Q- d4 I, B, u& w1 L7 e& h     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
9 y% Z, O! F/ e) F1 U没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
, r( N. ^' X% @2 ]' |    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
; H* F% P( V/ @9 Y4 O& S4 M   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
$ s3 o' r. h4 c' o1 d# S3 T, [8 L   三) 问题的终结
1 ~/ F0 k( }/ v! v& X& }3 V   定理3 若
7 F0 n3 P% P1 d1 K            
则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
* {% L) s. ?' N4 K6 s3 N" H    证明  
在∠AOB一边AO上,取
            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
5 V8 g+ H$ E. h4 m. u根据定理1,有
                    (2)
+ v$ y" C$ ^7 j6 @9 C在AO上取点E,使
            (3)
  }5 L; q! `; L, g7 W+ e; H. G以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
2 e# D; x( H0 B% ^' W             (4)
! {1 y* r0 E4 c+ p. E: o# L所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
* A- H6 q& s1 [7 t0 g  J# Q! s0 s4 x$ P        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .
即
       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
         
# L/ W0 N1 t. a若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
5 K. a% Z- W  c! ]& D% T$ v5 M. |

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                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
4 R. C3 N+ z  j/ W  w( v     一)  问题的提出
# ^( P$ o+ c" E) \( P# R     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
- ]+ r. \9 b' b0 [! w没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
+ \5 i6 l( y) X& E, g) }5 ]    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
* m( R/ ?0 t+ x                 l=NR\pi /180 .
3 ~7 y5 ]2 i% |8 |                 
$ K* u* C- [/ u( t   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
; i  X) \( J6 }( Y9 I. Q% N. N   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
则用直尺和圆规可得
. F! s) [4 R7 |5 o$ N( C       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
4 M$ Q* u% m9 `/ S0 ?- n/ u    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
# ~8 H1 i7 }4 F8 T            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
+ {8 U0 c1 E* L在AO上取点E,使
7 x. q- d/ n7 A! Y( C. X OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
4 ]1 R8 v$ P. j* R# \6 u$ O; A! A以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
+ [  O9 k  j" M7 E' y( H( o          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
! L2 M- Y7 t5 j3 p所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
! f$ b; l! w, v3 b# s( ?根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
' k3 m4 U# f, w即
5 p  g7 N- V  s& k$ F           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
% G- C% M# `2 x    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

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  Y+ C1 a' X2 n
/ q0 ]8 o, i/ y3 s5 T没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

永远支持中国数学建模