由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
- P/ D& {& ]' i; J
; e( M! C! F0 H, v. I- i

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
9 P* D& N7 f1 Q" U: k                         尺规三等分任意角的逻辑原理
. D  ?5 B4 n; l4 K                        苏小光
: T1 w8 ~7 ?& I: t, Y                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
6 f# T" ?7 L% C: A                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
2 {# N! Y& x8 @- X+ ^    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
) ^; ?- P) A; a' {! i+ n- K9 p            .          (1)        
    证明  
! D$ d1 C. P- m在∠AOB一边AO上,取
! ]0 A! T% I! e& N* K8 ~, s9 u            
5 U$ q6 P3 H' Z+ u. `' q以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
" M/ p1 D  u) r" c根据定理1,有
# U: k0 ~& j" D& k) \0 g; K  A                    (2)
在AO上取点E,使
* ?0 z. s, u1 `) O$ C8 d; h, E            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
& E1 T2 U8 z7 s7 g根据定理1,(2)式,(3)式有
- s/ c5 o  b# }             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K
、F共点,所以
! ~  |4 a2 m# Y6 B4 H8 C+ @( U! O% I        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .
即
0 T+ g+ w& ~0 n; H6 r% p       .       (6)
; J0 s( W" K% s) H由(6)式知(1)式正确.证毕.
' d7 c, g" m* r6 W! U  s, a    本文的理论基础是
) F- P% z& s( h- ~. }; v         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
9 D& i& k: `9 b' w2 F                        苏小光
                      2011年2月20日
* P$ A2 P* E' a: W) P- _/ f     一)  问题的提出
6 ?: ]( D8 h0 h/ h: g$ w( o     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
                  8x^3-6x-1=0
  o; t) {& e  W% k没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
% G6 d  f6 R; X4 L* D* H    二)  预备定理
) t! Q* |& m9 X, k$ Q2 a( f1 R: v    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
                 
8 ]" g5 S& Q- {- s6 M   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
$ |: b6 ^7 a) [   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
# T% P3 S& F. g4 r8 H5 s9 y8 D则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
' C3 T" J$ j' e            
6 O6 P7 t) E* Q- T/ I) W# q以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
+ x8 C5 H3 d2 G% ?1 I3 |; c; b( J% H根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
4 R4 U3 z& F) c; E在AO上取点E,使
0 i( l' [0 i) h# @ OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
3 k1 [3 h9 H$ F8 v) _6 q! V以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
! R  D- r/ f7 S+ D根据定理1,(2)式,(3)式有
1 m# C- E( H7 ?' v- f          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
1 m+ D) z' ?  P; Z所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
2 o0 ^+ Z+ K; Z6 q8 w+ P        CD=EG=GH=HK,
5 G# y) q8 ^2 B: g* o! A3 [, w根据(4)式知K、F共点,所以
, I: _2 b" r: I4 V! z! q! U  o        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
9 g0 t; f  |4 S) F' I( R        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
& P( b: d& N9 ^# Y即
1 D2 n# S! U" _           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
5 u1 ]$ B  p% q1 Z由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
6 b" [) E& N, A  l! b$ F6 ^% t+ f            \pi = l /2R
. {2 j) j6 @- j7 |) t3 X' Y" o若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
- x% j& t" i4 S2 h

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

回复 wujwu 的帖子

没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

永远支持中国数学建模