任意角三等分

徐成龙

任意角三等分法（1）

如果某一任意角是由原来的三个等角合成的，那么这一任意角便能分成原来的三个等角，即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。
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（一）三等分直角的启示

如图1所示：∠A=90°，以A点为圆心，任意长为半径画弧与角两边分别相交于B、C两点，连接BC；过A点作AP⊥BC，并与BC相交于G；过G点作GH//AB，并与弧BC相交于M。连接AM，并与弦BC相交于N，连接BM。
& r3 _  A7 u* s* r9 S* b则∠BAM=∠MBN= ∠A。
5 R, c7 t* j: @: G# O( U

% y/ y. h' g6 r# P" n. C5 z（图1）

证明：（1）延长MG与AC相交于K，则AK=KC= AC
∵AC=AM
∴AK= AM
∵∠AKM=90°
7 X+ u0 q  l  E" M! d∴∠AMK=30°= ∠A
4 e2 r% E) }; G2 `& }5 M∵KM//AB
∴∠BAM=∠AMK=30°= ∠A
* r9 z  x2 U: A; i（2）在△BAM中
* t9 {" T: Z! l: N% r0 [1 ^) H∠ABM=∠AMB= =75°
. C8 t( w$ ?4 F7 s2 s在△MBN中
3 {+ P& O5 w( t# S. A∠NMB=∠AMB=75°
, e$ O$ D( R. k  P. i. ?∠ABN= =45°
∠ANB=180°—30°—45°=105°
∠MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°
5 C4 c6 {8 z: H0 b& {( i8 K∵∠NMB=∠MNB=75°
∠ABM=∠AMB=75°
  o9 \, ]" c# U. c4 }% J∴△MBN是等腰△
∵∠MBN=180°—75°×2=30°= ∠A
0 `) R! e8 G7 K% q! Y∴∠BAM=∠MBN= ∠A
通过对直角的分析证明，我们发现这样一种关系，即，如果以直角的顶点为圆心，任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦；那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边，以弧（或弦）与角同一边交点为顶点，构成的三角形，是一等腰三角形，这一等腰三角形的顶角，是直角的三分之一。
5 R5 R3 e9 O" X) u直角存在着这种关系，任意角是否也存在这种关系呢？

; Y1 m$ G. B2 @, Y9 H6 p) P

未完待续......
1 g. `/ r7 U% _( `/ v7 A# P( g
$ a6 Z3 {, c3 F8 F

蓝色忧郁

只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的，只有那些特殊的角可以三等份

RoyalYun

虽然这些图很精致，也花了心血，但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题，其本质在抽象（近世）代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张，后一个问题涉及π（圆周率）的超越性。在抽象代数学中证明了，它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄，大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少，如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式（也是抽象代数学研究清楚的）、初等函数的不定积分（如概率积分）未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程（如Riccati方程）不可积等。其实，认识到了这些不可能的问题，也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费，二来可以另辟蹊径，发展更有效的工具。比如，对5次以上的代数方程，就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程，而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。

15920368411

强悍，佩服！

bua1s2d3

一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人
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　　 在处理尺规作图的内容中有：
% y! D: U0 R+ M# Z; N# ^, r　　 三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
　　 二等分角的代数判别准则是————已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
3 P3 W# j! M8 {7 r+ M  t8 s0 a$ f& |0 l# N0 s　　
1 D. [: e2 w5 R( ^　　 两个代数准则相差仅“有理”两个字，它们是不可以相互调换和替代的。
　　 由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容，它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。
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haoyongle

先支持一下

haoyongle

看来我懂的还很少，很少……