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任意角三等分

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发表于 2009-5-13 11:42 |只看该作者 |倒序浏览
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: Z+ L' P$ ?3 D, |% |3 m9 F
任意角三等分法(1)
如果某一任意角是由原来的三个等角合成的,那么这一任意角便能分成原来的三个等角,即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。
7 N- {8 y4 Y2 m2 |5 S+ `
(一)三等分直角的启示
如图1所示:∠A=90°,以A点为圆心,任意长为半径画弧与角两边分别相交于BC两点,连接BC;过A点作APBC,并与BC相交于G;过G点作GH//AB,并与弧BC相交于M。连接AM,并与弦BC相交于N,连接BM
2 N6 e+ l5 C+ x: {+ @则∠BAM=MBN= A8 Z  w; F) b  o: C  K
+ N# i+ K' Y! u5 I6 r
(图1)

, W6 N5 W/ m: B+ h* g' K$ g' K
证明:(1)延长MGAC相交于K,则AK=KC= AC! d; ]+ ^1 I8 ~4 u
AC=AM2 G) N* p# K2 F- r$ S2 t
AK= AM5 F/ T6 ]1 j. p: o+ B$ P8 G/ F% O
∵∠AKM=90°
. Z' [. P/ M, m. Z* H4 ^∴∠AMK=30°= A
( E. p0 z5 D% i" _KM//AB
7 b- h/ Z+ P( ?% _- M∴∠BAM=AMK=30°= A% r3 L5 j; S7 m% X, Q$ ]! @
2)在△BAM  w" [( g1 y/ j& _! {- E1 h, ^1 \3 q
ABM=AMB= =75°7 ~; S0 A7 P0 }/ q
在△MBN6 \* p& o! b) R2 p7 {
NMB=AMB=75°- D4 V2 H8 j+ ~% K. r; ^
ABN= =45°
  ?; B6 {  W" R' D: TANB=180°—30°—45°=105°! \: a9 Y: D5 d" Y" W
MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°% E; j- D$ \1 B
∵∠NMB=MNB=75°
1 o4 z0 z$ U. c; I& g4 T3 g* VABM=AMB=75°
  i. x& i' G2 z0 q3 ]7 \6 R∴△MBN是等腰△
: Q$ _4 A. K3 ^6 f: u- A4 x( T* i∵∠MBN=180°—75°×2=30°= A; a/ r  r1 |7 K" L$ ?+ _
∴∠BAM=MBN= A
7 @( {4 @8 H+ h1 z1 R( p: _" N通过对直角的分析证明,我们发现这样一种关系,即,如果以直角的顶点为圆心,任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦;那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边,以弧(或弦)与角同一边交点为顶点,构成的三角形,是一等腰三角形,这一等腰三角形的顶角,是直角的三分之一。
. n; r+ h  U7 `4 i3 y. M" x直角存在着这种关系,任意角是否也存在这种关系呢$ i+ p  r$ k# }+ r
. u0 K7 ]) d! z# ~8 e( x& c4 H

% Y- E$ V6 K) i2 {' Z9 o! b  l' g

, o& j% P' c! j
未完待续......; C4 @' `6 e8 y( y$ u6 V
) Y, R2 s! }  r& i' a$ o6 H

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zan
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  • TA的每日心情
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    2013-5-15 21:06
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    [LV.3]偶尔看看II

    新人进步奖

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    群组我行我数

    群组数学兴趣小组

    只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的,只有那些特殊的角可以三等份
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    RoyalYun        

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  • TA的每日心情
    开心
    2011-12-27 21:39
  • 签到天数: 2 天

    [LV.1]初来乍到

    新人进步奖

    虽然这些图很精致,也花了心血,但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题,其本质在抽象(近世)代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张,后一个问题涉及π(圆周率)的超越性。在抽象代数学中证明了,它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄,大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少,如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式(也是抽象代数学研究清楚的)、初等函数的不定积分(如概率积分)未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程(如Riccati方程)不可积等。其实,认识到了这些不可能的问题,也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费,二来可以另辟蹊径,发展更有效的工具。比如,对5次以上的代数方程,就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程,而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。
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    bua1s2d3        

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  • TA的每日心情
    奋斗
    2013-5-29 10:42
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    [LV.1]初来乍到

    * \0 {2 F7 o4 H% s2 A* F1 K
    一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人5 K$ j4 g7 s# i
      7 A+ h5 C" I% P1 w2 u- u6 [$ {2 a
       在处理尺规作图的内容中有:6 c% e5 ^# d4 j/ m7 o/ f# p; H
       三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发,经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
    " X: s9 c) s( t/ m   二等分角的代数判别准则是————已知数为出发,经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
    ' }& n( Q' p9 C- L! a. ]# g  
    : o6 q4 c6 T; f) X% g! H2 g+ P   两个代数准则相差仅“有理”两个字,它们是不可以相互调换和替代的。- w; o: Y. m5 P4 w& e4 J1 a
       由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容,它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。7 i5 V+ l# c7 Y% X

    : w: o/ I8 k5 H
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