任意角三等分

徐成龙

任意角三等分法（1）

如果某一任意角是由原来的三个等角合成的，那么这一任意角便能分成原来的三个等角，即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。
# K9 R# }  C& e2 i& Z+ e4 N3 Z

（一）三等分直角的启示

如图1所示：∠A=90°，以A点为圆心，任意长为半径画弧与角两边分别相交于B、C两点，连接BC；过A点作AP⊥BC，并与BC相交于G；过G点作GH//AB，并与弧BC相交于M。连接AM，并与弦BC相交于N，连接BM。
/ J4 g$ s' B+ N; h* z+ j: t3 [则∠BAM=∠MBN= ∠A。
, T% j; j+ x" V4 g$ o: K8 o% @3 c) D( ?

（图1） " ^7 R( \: h8 k: j6 Z, f

证明：（1）延长MG与AC相交于K，则AK=KC= AC
9 M* L0 T2 y0 ^3 [& i* }! d* u∵AC=AM
& U- {1 Z, V: f; M∴AK= AM
∵∠AKM=90°
3 f& B  J9 S7 h* C7 q7 s0 j% q& y, A9 c∴∠AMK=30°= ∠A
: S3 D% a- A5 e" j∵KM//AB
( ^/ F9 G( O( @# l& V∴∠BAM=∠AMK=30°= ∠A
) a/ y' t3 Z) N9 u( p9 p（2）在△BAM中
∠ABM=∠AMB= =75°
在△MBN中
. J. n  [9 H" T∠NMB=∠AMB=75°
3 A( U  X9 F. \  A9 J/ v( Z∠ABN= =45°
0 K. x1 D3 b% p∠ANB=180°—30°—45°=105°
∠MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°
∵∠NMB=∠MNB=75°
9 M6 d+ }+ C) J( [& A/ z∠ABM=∠AMB=75°
∴△MBN是等腰△
) n3 Y8 D9 u" E* A! G" E( [0 O: n∵∠MBN=180°—75°×2=30°= ∠A
1 C: z! y& @$ x; {8 z, x% ]∴∠BAM=∠MBN= ∠A
通过对直角的分析证明，我们发现这样一种关系，即，如果以直角的顶点为圆心，任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦；那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边，以弧（或弦）与角同一边交点为顶点，构成的三角形，是一等腰三角形，这一等腰三角形的顶角，是直角的三分之一。
. c2 {( l' t& J; V4 T直角存在着这种关系，任意角是否也存在这种关系呢？
: o. [% K4 X. [/ v+ x4 a; d1 Y

7 }. m# p+ ^* }( |6 {* b+ b

未完待续......

蓝色忧郁

只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的，只有那些特殊的角可以三等份

RoyalYun

虽然这些图很精致，也花了心血，但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题，其本质在抽象（近世）代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张，后一个问题涉及π（圆周率）的超越性。在抽象代数学中证明了，它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄，大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少，如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式（也是抽象代数学研究清楚的）、初等函数的不定积分（如概率积分）未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程（如Riccati方程）不可积等。其实，认识到了这些不可能的问题，也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费，二来可以另辟蹊径，发展更有效的工具。比如，对5次以上的代数方程，就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程，而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。

15920368411

强悍，佩服！

bua1s2d3

一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人
　　
7 u# B( Y  r8 K8 W　　 在处理尺规作图的内容中有：
　　 三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
　　 二等分角的代数判别准则是————已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
& X+ T+ Y# n2 P$ E' i　　
　　 两个代数准则相差仅“有理”两个字，它们是不可以相互调换和替代的。
/ \9 n9 c" q7 v1 K# {, _2 p: N8 z　　 由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容，它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。
" s/ z% ^- n. N2 M5 d2 T) @

haoyongle

先支持一下

haoyongle

看来我懂的还很少，很少……