任意角三等分

徐成龙

任意角三等分法（1）

如果某一任意角是由原来的三个等角合成的，那么这一任意角便能分成原来的三个等角，即任一任意角客观上都必然存在着两条角三等分线。

（一）三等分直角的启示

如图1所示：∠A=90°，以A点为圆心，任意长为半径画弧与角两边分别相交于B、C两点，连接BC；过A点作AP⊥BC，并与BC相交于G；过G点作GH//AB，并与弧BC相交于M。连接AM，并与弦BC相交于N，连接BM。
则∠BAM=∠MBN= ∠A。

( t6 c# T# L6 ~: x（图1） , z" x6 w' X* R; Y5 [$ G7 O

证明：（1）延长MG与AC相交于K，则AK=KC= AC
0 Y: V5 X) R6 K2 `∵AC=AM
/ K( }' _" {) p7 x! C6 k5 P, _∴AK= AM
∵∠AKM=90°
$ d3 k: n) G3 a0 Y1 ?/ X. g" j∴∠AMK=30°= ∠A
∵KM//AB
∴∠BAM=∠AMK=30°= ∠A
  r- T7 n% V6 Q5 |" U（2）在△BAM中
  Z1 ~: k, @  j% `' g2 ]∠ABM=∠AMB= =75°
在△MBN中
1 Q8 `7 U0 V: L# F# W∠NMB=∠AMB=75°
  i0 L" G! b% l! |7 l9 F∠ABN= =45°
∠ANB=180°—30°—45°=105°
" q- y2 H1 \* y, c0 ?$ C) g∠MNB=180°—∠ANB=180°—105°=75°
1 c$ F5 n$ m" w1 H* ~∵∠NMB=∠MNB=75°
- B2 K# u# A' H∠ABM=∠AMB=75°
/ h3 q% v" r9 A7 f∴△MBN是等腰△
∵∠MBN=180°—75°×2=30°= ∠A
; P" |. B6 M3 `* _∴∠BAM=∠MBN= ∠A
5 Q" ~' w& D8 M0 X( q2 l! |: Y通过对直角的分析证明，我们发现这样一种关系，即，如果以直角的顶点为圆心，任意长为半径画弧与角两边相交得一弧和弧所对弦；那么以直角的一条角三等分线被弧和弦截取的线段为底边，以弧（或弦）与角同一边交点为顶点，构成的三角形，是一等腰三角形，这一等腰三角形的顶角，是直角的三分之一。
直角存在着这种关系，任意角是否也存在这种关系呢？

" v8 `7 {$ f3 k5 l! n8 d
9 v) r3 n# M8 Y4 k4 M5 B/ @

未完待续......

8 a- m3 [, G* h$ n9 E2 [, u

蓝色忧郁

只有无刻度的直尺和圆规三等份任意角是不可能的，只有那些特殊的角可以三等份

RoyalYun

虽然这些图很精致，也花了心血，但是为你感到惋惜——你的精力白费了。三等分任意角、倍立方体、化圆为方是古希腊尺规作图三大难题，其本质在抽象（近世）代数学中才研究透彻。前面两个问题涉及域的扩张，后一个问题涉及π（圆周率）的超越性。在抽象代数学中证明了，它们都是尺规不可能作出的。提这个问题的老兄，大概没有接触过抽象代数。奉劝不要再在这个不可能的问题上花精力了。数学中像这类不可能的问题不少，如5次以上代数方程不存在由其系数构成的代数求根公式（也是抽象代数学研究清楚的）、初等函数的不定积分（如概率积分）未必能够用初等函数表示、一般的二阶变系数常微分方程（如Riccati方程）不可积等。其实，认识到了这些不可能的问题，也是数学上的一大突破。一来可以避免精力上的浪费，二来可以另辟蹊径，发展更有效的工具。比如，对5次以上的代数方程，就可以用数值方法求解。对常微分方程甚至可以不求解方程，而应用定性理论、稳定性理论来研究其变化趋势。

15920368411

强悍，佩服！

bua1s2d3

+ y5 J' C+ S# q( e7 F0 d; P一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人
0 e4 @& s2 T+ {1 W) H8 Y3 V　　
6 g+ D, `3 ]; w( ?. ]- u2 H* g　　 在处理尺规作图的内容中有：
2 ^8 T! z7 b7 U7 C& j4 S　　 三等分角的代数判别准则是————已知有理数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
+ D/ Q( F, E- R4 f0 q& p! U. e# c　　 二等分角的代数判别准则是————已知数为出发，经有限次加减乘除和开平方所给出的数。
　　
　　 两个代数准则相差仅“有理”两个字，它们是不可以相互调换和替代的。
　　 由于同时有两个代数判别准则在处理着尺规作图中的相关内容，它吸引着一些人继续探索着几何三大难题。所以一定会有不断出现声称继续研究三等分角的人。

haoyongle

先支持一下

haoyongle

看来我懂的还很少，很少……