- 在线时间
- 1 小时
- 最后登录
- 2018-5-2
- 注册时间
- 2006-10-17
- 听众数
- 1
- 收听数
- 0
- 能力
- 0 分
- 体力
- 64 点
- 威望
- 0 点
- 阅读权限
- 20
- 积分
- 20
- 相册
- 0
- 日志
- 0
- 记录
- 0
- 帖子
- 4
- 主题
- 1
- 精华
- 0
- 分享
- 0
- 好友
- 0
升级 15.79% TA的每日心情 | 开心 2018-5-2 00:04 |
---|
签到天数: 1 天 [LV.1]初来乍到
|
本帖最后由 elim 于 2018-5-2 00:44 编辑
) W9 w b2 V' M, U4 i+ m; P7 E3 G6 X7 ?5 }3 [1 n
从分析的角度看,\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)
( E K' s2 X8 I F$ ~' c
7 V7 u9 K, \! p- `$ |1 T( N ~+ \\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
h* d7 x9 T) D( s# D; t5 x9 v% p( U3 m
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
: q& |% a& M; \" q8 Q/ J7 }$ @1 x6 Y8 k
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)
- z" W9 g7 A' D; b
) i9 Y' x3 g" g B7 Z+ i8 O好了,现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?) R# L+ g! N1 D7 c
H5 i Y, k+ B% Y1 V! m
. Z' V# G$ f" k4 `" O3 _9 k |
|