数学建模社区-数学中国»论坛 › 【基础数学论坛】纯粹数学 › 计算数学 › 数值计算一个极限可能吗？

查看: 8086|回复: 1

数值计算一个极限可能吗？

[复制链接]

字体大小: 正常放大

elim

1 主题	1 听众	20 积分

升级 15.79%

TA的每日心情

	开心 2018-5-2 00:04

签到天数: 1 天

[LV.1]初来乍到

电梯直达

1^#

发表于 2018-4-27 06:18 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta

本帖最后由 elim 于 2018-4-27 06:28 编辑

题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)

这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1，需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。

对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？谢谢指教。

zan

转播0 淘帖0 分享0 收藏0 支持0 反对0 微信

使用道具举报

elim

1 主题	1 听众	20 积分

升级 15.79%

TA的每日心情

	开心 2018-5-2 00:04

签到天数: 1 天

[LV.1]初来乍到

2^#

发表于 2018-5-2 00:25 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

本帖最后由 elim 于 2018-5-2 00:44 编辑

从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)

\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)

\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)

\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)

好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?