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求助！！！证明下面一道关于极值的数学分析问题

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叶纯萱

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1^#

发表于 2011-7-8 17:12 |只看该作者 |倒序浏览

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已知f（x）在[a,b]连续，且在（a，b）中只有一个极大值点和一个极小值点，求证极大值必大于极小值。原题参见林源渠《数学分析解题指南》第二章一元函数微分学，第三节函数的升降，极值，最值问题，练习题2.3，第4题（P81）。希望高手指点

zan

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活儿

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发表于 2011-7-8 19:30 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

能不能证明这个命题：连续函数在某个区间上没有极值的充要条件是该函数在该区间上严格单调？

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叶纯萱

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3^#

发表于 2011-7-8 21:55 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

活儿发表于 2011-7-8 19:30
3 Z' q; }/ c; p# L# v能不能证明这个命题：连续函数在某个区间上没有极值的充要条件是该函数在该区间上严格单调？

这个问题不会证明……不过按理来说只要证明了单调性，其他就很容易了

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4^#

发表于 2011-7-8 23:30 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

你看看我的思路，有没问题哈：首先设a,b分别是唯一的极大和极小点的横坐标，在闭区间a到b上函数连续，则在该区间必有最大值M和最小值m,于是M大于m.若最大值M(或最小值m)不在区间ab端点取得,在区间中间某点c取得，则c点函数值大于（或小于）它附近的所有点对应的函数值，故c点为极大值点(或极小值点)，综上所述，最大值和最小值只能在区间端点取得，即在ab两点取得，所以M=f（a）,m=f（b）,又M大于m,故f（a）大于f（b）证毕

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5^#

发表于 2011-7-8 23:34 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

你看看我的思路，有没问题哈：首先设a,b分别是唯一的极大和极小点的横坐标，在闭区间a到b上函数连续，则在该区间必有最大值M和最小值m,于是M大于m.若最大值M(或最小值m)不在区间ab端点取得,在区间中间某点c取得，则c点函数值大于（或小于）它附近的所有点对应的函数值，故c点为极大值点(或极小值点)，与题目唯一极值点矛盾，最值点不在区间ab端点的假设不成立,则最值点只能于区间ab的两端取得。综上所述，最大值和最小值只能在区间端点取得，即在ab两点取得，所以M=f（a）,m=f（b）,又M大于m,故f（a）大于f（b）证毕