如何读懂<四色猜想>

张彧典

如何读懂《四色猜想的归纳法证明》中的不可避免构形集
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我在《四色猜想的归纳法证明》中给出的由九个heawood反例构形组成的不可避免构形集，西安的雷明先生曾给出认真解读，并提出不同的看法。我由衷感激他的关心和对四色猜想的研究精神，但是也有未读懂的东西。为了与四色专家们更好地交流四色猜想的研究成果，我想把建立heawood反例构形集的指导思想和H换色程序再次详细说明。
1986年，我拜读了敢峰先生的《四色定理的证明》专著，书中研究了大量的Kempel漏证的5-轮构形的各种解法，但却始终没有确立一个不可避免集。不过使我从中得到不少启发，最重要的是发现了他所给出的5-轮构形与Kempel证明了的5-轮构形之间的本质区别：如我所设双B夹A型模型中的A1-C1与A1-D1两条色链的位置关系不同，前者是两条色链相交，后者是两条色链相离，这就说明任何两条含有某一同色的色链之相交影响构形解法的变化。这使我产生了一种逆向思维——设法构造解法不断复杂的构形。从1987年起，我开始了构造解法各不相同的构形的探索。我选定始终从A1-C1环内作B-D链之二色互换单向着手（不像敢峰、雷明等先生兼顾从A1-D1环内作B-C链之二色互换的双向思维）构造。经过3年的努力，终于确立了可使V之四种不同类型的邻域（即双B夹A型、双D夹C型双A夹B型、双C夹D型）周期变化的四次换色程序，同时构造出一个连续变化近两个周期（7次）的复杂构形。这个研究成果发表在山西教育学院学报1994（2）上。有了这样的换色程序，到1999年我便陆续成功构造了含有8个解法不同（换色依次增多）的构形，期间我也曾试图构造一个周期变化的构形，但未能成功。我以为这样的构形不存在，于是把译英论文寄伦敦数学杂志，得到回复论文《已知的heawood范例》，否定了我的错误想法。但是文章中的范例2（即米勒构形）所给出的4次换色程序与我的4次换色程序完全一样，在《四色猜想的归纳法证明》中我把它拓展为8次换色程序，前4次是双B夹A型模型中的A1-C1与A1-D1两条色链之交点在V的上方，后4次是上述交点在V的下方（这是雷明先生的构图习惯）。
至此，一种科学的完整的H-换色程序形成了，而且我自创的8个构形和米勒构形就在H-换色程序中对号入座了。在我构造9个构形的同时，也找到了每一个构形的
2 t2 Y( F/ Y% n4 E) X理论依据，那就是正规四色地图中所固有的6种色链在所设基本模型中的不同数量组合与不同相交组合。这时，色链组合理论——构形——H-换色程序之间形成一一对应关系，由于任何两个相邻构形是在同一条色链之二色交换后的两个相反结果，所以说任意两个相邻构形相反相成，而且再无中间构形可存在，所以说也是无懈可击的。雷明先生曾说，像我所构造的构形永远也画不完，而且证明不了只有9个。我想认识是肤浅的。当然雷明先生对我的第4—7构形解法的简化还是对的：因为这4个构形之右侧的A2-B1链都在A1-D1环内，当对A2-B1链作二色交换即类似第一构形（K构形）得解。但是他对第8个构形的分析还是错的，因为第8个构形之A2-B1链与A1-D1环相交了，对它施行色交换不能类似第一构形（K构形）得解了，只能类似第二构形求解了。我认为，用单向的H-换色程序和色链的组合理论确立heawood反例构形集是重要的、主要的，也是科学的，解法即便不简化，比起Appel-Haken等人给出的机器证明中的约化程序不知简单了多少呢！