典型同态映射的实例

lilianjie

6 D: o& }6 v, z6 q
9 O* q( @, c5 ?. U三．典型同态映射的实例



# Y; N/ ~# U# s6 u: M5 V4 w( h: I--------------------------------------------------------------------------------

7 ?* c6 _* W2 x( h 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
( _9 Y7 \% [# n???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
7 T& w% F7 Q: g  n则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
/ N. i$ d. T- P????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
' g- m9 H+ e) N- E6 S  a则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
0 m5 k0 M! q  {2 Q1 q9 O
+ B2 |2 y' f- U3 W?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
- l# j$ j! u; K4 p3 F3 T则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
! W# H. h6 T. y?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
; |* X6 {4 u* ]  m' q) Z6 v0 N???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
: g+ W# s0 \' A9 I( J2 y
8 Y" e8 c  _3 b# k: b/ q0 H4 v+ Z

8 T$ G2 t: Q9 ~+ k 例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
* Q' Z) L; e, d
? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

所以是G的自同态。
; g: w+ E2 }5 B8 d; A
  d8 D0 C" H- _/ o4 C   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

* a* e( P5 s6 P1 k   综合上述,是G的自同构。

( I/ v3 ]* U2 q5 H! j6 t) I2 J0 e??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
0 x9 U; b& i) Z! h( M??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
9 C3 p7 f: Z5 N% f6 F, J这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
! e1 U* [6 b) ~???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
0 i/ ]$ `( }, ~0 @8 Q0 M???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
: r- U1 ]; J$ E4 Y% L% K在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

--------------------------
/ t/ T1 \2 E* @4 p- F
例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
% p* v6 x3 n* p, d0 ~
? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
4 \4 h" {. Y8 L
??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

9 ]6 G4 b- u# `* ^9 ^  C" y??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
% P  H* I6 d7 }6 Z
??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
/ @5 D% |* K9 h+ V1 I3 p
??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
& y, C9 `8 [, D0 {1 O" a. g( x8 u& G
根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
- u1 }5 v" _1 z! h$ ?( J1 P
???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
: S" L8 o3 U' o
7 T5 B7 i/ j7 z% w+ X成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。