典型同态映射的实例

lilianjie

3 [1 F, L5 e9 c- ~7 A1 G% @0 @

2 r) g# X8 B- c4 Q三．典型同态映射的实例
. @9 Z4 c& j4 F- x2 L
, s7 W, n/ |. o- h5 U, Z+ K
/ p, t! R0 c) p6 x7 G& i8 C; P
--------------------------------------------------------------------------------

% I, \5 I/ }* s( I: @4 `& y" u 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
% H  Q; x( e6 p9 T' E1 t???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
9 Q" s- C: ]" z& @  H  x+ n则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
3 E, }2 l: c/ s      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
  z" c1 }0 \1 n3 U7 y?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
# r7 l) O6 F/ w( y/ P) F
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
4 z# s+ t# S( t7 S7 q* v. S$ p: ~: v9 i
! j5 A3 Q; _/ m+ T 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
5 ^. @7 N( k6 x5 L7 \???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
0 V, S4 \: L% _% Q* u- y


, K: U) C. w2 l; x' q# O 例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。

& K3 N3 a# J1 T! X1 `6 o2 z? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
1 Z; E  {# h5 B0 P$ N' U
, _# I4 v- C0 l/ m! w* j! i/ ?所以是G的自同态。

2 q& c3 o. p' V+ y   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
: ^1 P0 Q. Q8 R3 _) e! s??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
' E' J) O) Z" F" B7 ]所以是满射的。?
& X8 H6 M% z8 v
3 C! V! P& L# z7 p; O   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
+ Y+ X2 L+ H- ]0 o3 f
: Q" h: `/ a) d2 Y4 i   综合上述,是G的自同构。

9 p5 Q/ k! M7 \) r/ p??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
2 D/ x% _2 P, y( @( ?+ ???????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
: y7 V5 j9 d% z6 R6 n- {3 h???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
- W# O; s7 K# M& M& p6 f???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

7 w+ b1 ?" y" j3 f8 q--------------------------

例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
# F5 \7 _- A1 E, M
??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

9 G% u- o$ u. Q; c1 T$ h??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

' m1 }( ]5 {! q# L* Q2 J; a??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

. f* w; d6 |, b$ @/ l: t/ R2 p??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
& {& J$ D$ b1 [0 V$ n9 ~7 D% w! f2 ~
. b( Z$ ^: n; B+ ~5 Z??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

" z9 m) V$ c) g; x; U' n??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

' |4 f( X) c! M9 N% B! s7 x根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
+ r' g" w- Z. n& Y
???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
) V  z; q0 A' L- n! U3 |