典型同态映射的实例

lilianjie

三．典型同态映射的实例


" i8 j, u  k! Y6 u1 ]0 z* r2 X
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) n7 _: g& c9 s# s
例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
# K! r/ s& S& u3 T. h: t5 o2 N) D???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
8 I% A# Z3 j" ]* b& Z' T8 {+ `0 q则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
: q& t4 s8 ^0 Y! l: Y8 z' _??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
+ O! G7 X5 D" Q$ T- s???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
5 o/ o& t% B1 A8 @      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
1 ^* C- y0 q) _/ r8 I
?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
$ p2 f& Z$ D$ D* D; x8 U/ b, M?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

  X) }3 b+ y! J3 M# Y' t??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
: X8 Q; P9 ?0 E$ }/ J) R
+ g6 q0 E  Z8 \/ \" A6 j$ n. h2 M/ K 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
8 v) u$ t: T; n4 N1 L: ]  W/ p


例11.23 设G为群,a∈G。令
+ }: l0 K- b0 N, l4 H7 K????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
  m4 h  a: S  B/ e5 A
' y( ?4 |$ W+ C7 R4 b4 p所以是G的自同态。
' u3 {+ Q  g" [! v- w) |# e" Z
   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
* Q( w; t+ t7 O# e( C. w2 C: v??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
0 ~! ]; F9 D7 Q所以是满射的。?

   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
8 @* E7 E' V) b" A) s3 i: u. A' ^: V??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
+ H( ]% i  w$ K. }; n0 Y
1 }) W/ e+ |# a( E1 z1 e??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
/ m! n8 d8 O( N8 l2 e3 i" N; V8 u???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
7 k' ]7 M; S" }7 ]% \5 I2 z* w3 I???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
& Y# T* K. c4 |+ k# r  G在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

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9 g% _4 {- Q: n9 w) ]6 q 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
9 {. }$ [; l. }2 @+ \
- C! N+ S# }: D) E3 L? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

: w7 Y: @, |# X; w( K+ b0 y% f??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
, V8 l# a: f! A9 z$ T1 O) L
??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

5 ?0 d+ y0 T/ b* \??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
) m5 d  H$ ~; c) C6 L
4 }+ X6 g$ O4 @* u' b: C4 E' Z* m??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
5 v, j: a, \5 [1 k
7 o# P3 v* u! N5 B4 v8 M. `" _' f??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
# m! k+ i- j; G" \) R
??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
) L" j( o% [( i6 U, z0 |7 b
4 z7 B( F% P, |' w. w0 n6 Z" q: {根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

! Z' N; Q8 u. Q6 g6 Y0 B2 d???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
0 H& z6 r4 A6 y. W  l( {  S
成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。