典型同态映射的实例

lilianjie

) H. m% u, W3 `  Z
+ [" B* `: m  L& |
) u# ~- O( k! I. ~% i# h三．典型同态映射的实例



--------------------------------------------------------------------------------

$ ?8 r' l7 f( [0 M: n 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
3 T6 V! B" A8 [" b/ Z??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
. h5 u( t5 g( v7 A; K% i???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
* q1 c9 {; E4 r! n# J+ j) [0 z1 k7 t+ B      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
, |$ c7 {0 l. {- d, ?
?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
. P6 S, r3 k) S" ]
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
7 j7 G7 z1 }6 }8 Z: [& Y???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
9 b9 S  f, q$ Y, ]% ?$ c- C
( ?! P. E* I$ O
1 r3 Y2 ]3 Q  Z% _
) Q) ]1 d, }1 M) z6 S- J 例11.23 设G为群,a∈G。令
% }; _6 |" p2 Z2 V9 w, ?????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
7 X3 Z; R+ I3 h1 O3 [
+ ^9 u8 V# G; j+ Q/ P? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
+ y* g& i" v4 R
所以是G的自同态。

  s% z) ?& [: V2 U1 U) s+ B   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
3 c9 z( W0 q" }所以是满射的。?
+ o) T' e6 V. w4 v3 X
9 ]( e6 H- ~& e! N1 R" @4 n   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

( T# }9 |/ j- Z) y4 ?   综合上述,是G的自同构。

% l- g4 Q, I" _1 M! r$ z??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
. A; y0 ^- a: I. R! ~, h4 j- q??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
" v/ c; j6 B" C  H2 {% t???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
" p2 \1 u& A8 c???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
8 D  S5 p9 p9 x7 k+ I$ [在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
) J7 G2 y6 w* [; D0 r$ x
4 u  y2 m/ a( y5 ~& d--------------------------

例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
2 }3 q# w, C* ~- u+ e8 F3 o* r
8 i, Y6 _# o2 J  w; {? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
" `( N$ ~  _( T7 \) ^1 Q5 u- @
. h: A6 e0 n1 A1 a) v??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

, X$ G' z8 o4 X$ a/ J. ~! g??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
" w5 ^2 v# A2 n( }; E  I
; t% `' Q( a2 V! S1 V5 S7 X??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
1 \: }+ i9 ]4 q; t1 h* f
$ z! ]" R* \0 T/ r# Y9 g) ?根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

( S9 {% l% ?2 p+ f4 J+ D; g3 v???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
3 J, j% F8 y5 A! ]% S
2 g( p( t1 [) e$ v2 V/ A) G: K. C成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
3 `) F+ N+ _! p; x3 f0 C) G