典型同态映射的实例

lilianjie

7 s+ u$ l" x, n  T$ D4 C

三．典型同态映射的实例
2 J6 T7 R. l1 I+ a
/ l' v$ w2 i8 m/ K$ t& s4 d
  d* a  M+ V8 E- S7 A: ]8 i$ S
--------------------------------------------------------------------------------

例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
( W, Y! e, N/ I$ F则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
, v/ t4 V! H) z2 H7 ?????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
$ \% T+ h7 v8 ~0 J5 {( F; j??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
???????????：R→R*,(x)= ex
# w7 t! g7 [8 @6 }  D$ {$ k6 a% k! D则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
6 V' Y. s. e( w5 |5 n, ]?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
) E8 T3 z" g9 s8 c则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
0 j3 J/ b6 c& B8 b5 l0 X?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

' ~: ]# q3 ~8 f3 Q' ~??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

9 R4 P5 B) R5 {  M6 P 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
0 D  B3 C$ W4 ~% L- i( l9 ^2 A
' F" J/ _, n& t
2 B9 `0 i' N: u9 e; l
例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
1 K, I" i- }8 k1 e, v6 u* g# ^则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
; {& T& K9 Y, j4 O6 {
( `1 a4 S, I) R  H9 N. ?所以是G的自同态。

6 J3 V0 z, U6 b' x' d/ [0 M   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
' o4 C# x! V8 z+ e( e??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
- N8 u# |$ M" W* W( m: z3 f9 |' S* u. Y* \所以是满射的。?
$ w+ e0 Q) e7 O) @- k: `6 c  {
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。
. M% C' k% d6 U/ |( u3 Q& S
  g# n6 [) k, \7 A  u; Y9 ?   综合上述,是G的自同构。

* [5 _' o* V2 T$ E3 R% y, W??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
; p& S2 N0 c7 o% j( ~这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
/ L+ B; x) O: u1 v% ^
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
6 }7 z1 h! r5 q; A! _; F; a???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
! I8 B$ w4 G. {4 y: Y" r6 i' c
+ }. j7 {) e1 p5 {1 |/ d( W--------------------------

( m5 H: k4 z$ V9 q( x; e 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

& C# U8 E! n" t2 }" u. P? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
2 w, R$ J% C/ q5 e% @
??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
- G7 I7 L. B2 T% q3 n8 z7 }
??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b

  u9 B: i7 m9 C9 x0 a??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
! v6 d) R3 [# Q7 b
??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
% S% X( ^9 S: Q8 O( E5 R& b3 X& K
7 U4 i# _; y/ o. M1 q) b) D& ~??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
7 k: Q% ~5 Z+ E* \$ v+ P% T8 D
2 f: Q; }, s! ^) M根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
* n( N+ T( u6 i% K3 N
1 U8 h- d) c1 g/ L, E6 |, Q* ]???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
2 M+ |8 c0 p; G! H5 O( l; Z3 t
6 r+ ~3 W. u0 X: Q+ W成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
( ^% _( I/ Q2 l4 J: _5 `9 f