对A题的一些评论

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aqua2001

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发表于 2010-9-11 10:05 |只看该作者 |倒序浏览

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本帖最后由 aqua2001 于 2010-9-11 10:28 编辑

这是对本次比赛题目的一些评论，仅代表个人观点，与组委会官方观点或标准无涉。考虑到比赛秩序，下面的内容主要谈谈题目给人的大致观感，所述不一定准确，更不涉及思路细节和具体计算方法。欢迎大家讨论及指正。

A题：这个问题不能算难，但真正工作起来的环节却不少，对同学们的工作能力还是有相当考验的。想要完整地解决本题，一定几何学、微积分、统计学的知识，以及运用计算机和数学软件的扎实能力是绝对必要的。

本题关键是希望知道变位参数和罐容表之间的关系。在第二问里，甚至明确指出，希望得到罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系。这可以说是要做一个万能的罐容表了。当然如果细分的话，这里涉及到几个问题，从简单到复杂是这样的：

1：小椭圆形储油罐，无变位，油位高度和油量的关系。
2：实际储油罐，无变位，油位高度和油量的关系。
3：小椭圆形储油罐，有一个特定的纵向倾斜角，油位高度和油量的关系。
4：小椭圆形储油罐，有任意的变位参数，油位高度和油量的关系（这个关系肯定是带着变位参数作为参数的）。
5：实际储油罐，有任意的变位参数，油位高度和油量的关系。

想要完整解决A题，这五个“子问题”几乎都是跳不过去的。题目中，明确给了问题1的数据（以下简称数据甲）和问题3的数据（以下简称数据乙），都在附件1里。而最终希望得到的结果，大致可以理解成问题4和问题5。根据信息的流向，我们似乎可以梳理出一个比较简明，也比较可靠的思路：

解决1：可以根据几何关系和积分计算，也可以部分地参考数据甲来得到1的结果。当然最后还需要使用数据甲来检验这个结果。纯粹的几何计算按理说吻合得就应该不错。但一旦和数据吻合不太好，那或许还需要考虑稍复杂的因素以修正之。当然我个人猜想在这个题中，似乎没有引入太多复杂因素的必要。但无论如何，这里结果的精度还是别太放松，否则对后面工作不利。
解决2：没数据，我们只好根据几何关系来计算它。如果一个方法，包括其考虑的因素，用在1中的效果不错，我们也可以考虑照搬到2上来。无论如何，几何计算都是最重要的一步工作。
解决3：和解决1的思路一样，当然要更加麻烦。完全可能用到求解方程，数值积分，计算机的应用就派上用场了。同样，最后需要使用数据来检验其精度。
解决4：如果解决3的思路好用，没有过多人为的“特设的”修正并且精度不错，拿它来解决4，当然也是可信的。
解决5：借用2和4的结果，当然这个计算还要麻烦一些。所求函数的非线性性质很强，不好办的时候也可以做必要的简化。譬如把一些表示“不太规则区域的容量”的项，先简化成线性的，再用二次项来修正。但无论怎么做，对最后的精度，最好做出评估。

附件2里的数据（以下简称数据丙）是用来做反问题的。对模型的建立过程并没有明显的作用。数据丙的第一个作用是希望通过实测数据，反向求解变位参数，这里往往要涉及到统计学的办法。由于实测数据总有精度的限制，何况模型里最后的函数关系不会很简单，很难指望去直接解方程。这个问题相当于使用已知形式的函数去拟合这些数据，并找到最优的参数。数据丙的第二个作用是检验模型是否准确。一方面可以讲讲拟合精度到底如何，一方面是刚才在拟合参数时，可以不把数据全都用完，有一部分数据就可以做拟合了，留一部分数据来作检验。而且这个工作还可以做若干次，每次（随机地？）取不同部分的数据做拟合，取另一部分数据做检验，如果若干次的效果都能互相印证，定会大大增强结果的可信性和说服力。

zan