哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
- I: i8 o3 ~. L& h已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
- g& Y5 S# R! K) }, O) I5 `, f它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
1 I5 ?, Y, Z+ S/ ?( b以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
: X4 o" c! U, v4 f将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
2 l- K( R( A3 U* p: i/ z8 H即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
$ N% P1 r) q/ Y* _, z- J 将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
: d* v' N9 r9 [. D由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
1 G4 F: O) a, {' j3 x& ^! J7 m/ d  m均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
& t( M+ N3 J; x2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
' Z) r) E5 B$ {2 ^即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
# A8 H! k8 z  b- `) a  u' t/ K) U$ i1 lPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
, O0 \- O, s* \1 h+ ]9 M, d其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
, Z6 k; R$ o5 g3 K. y例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
; @8 i& q* v. W8 G1 o6 @2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
( Q- w: `$ E) v' W2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
/ ^& J& Z; [. u& U3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
% O; m) S# J; G5 f$ g在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
! |, e, B4 ], H: f3 W, [在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
, `- |5 q" ~/ W8 i2 \& v2 {代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
. V6 ~! S& Z% u- h, Y& F从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
' ?- h, r6 e1 L1 s. F* r2 i（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
/ a8 D* x- J' _! V: m) g二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
8 u; e( g+ v& X  V+ Q
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
/ B7 F, C# L! I* c若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
8 z+ x5 {5 f' u7 N9 c8 ?% d/ L/ y同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
# N8 |* m  ^5 X( g0 h在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
% l5 u5 l0 p5 u7 C9 O" p$ h5 a+ h即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
% S6 s) Y6 U; D# U5 L$ w设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5 I2 R% l1 ?1 E' x' [5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
( L5 _+ `2 ^( l$ m, d7 b即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
9 Q$ `0 ]# Z( O# X& o5 G例  
& v( G3 R. p7 I/ Bn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
" _* y  S8 a- z8 M5 L2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
+ j$ S. u) i& a, `  q2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
7 E! d# L' J" U! V$ @- \6 JPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128

8 Y* v+ D0 \, l- e; I2 ~由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
/ t3 |+ Y5 e1 r2 k. k' m, t  N8 {& `因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
9 B: r; B' O2 @5 L( `- D9 q然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
& j3 ~- l$ G; y  N1 x) T% ]+ \
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
* C3 B! }/ g4 w7 o$ x. A! A& n1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
5 u5 M# f! E( u& ^& L: c- o2 H6 A代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
! U" P, d; V, Q4 t$ X由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
5 s/ F2 p: A5 f' L6 k# y6 y设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
, S5 L$ ?4 v( E  Z- p8 p$ z) y或Pn*+Pn*+1=6+2n
6 O. m* e% H  c+ A2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
3 k# A3 u( v1 ], e即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
" Y; m  `1 ~$ ]3 p代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
! [0 K6 G1 i  I' L0 H. s若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
, V" K4 w7 w9 l. w7 K$ I: |! u+ h若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
' V8 R& U- |; c1 l3 T" n! x- {同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
1 R: b- a% d1 Y5 Y2 @* @2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
. v) e" e+ @- @0 y# v+ w- c将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
. K% B  N8 @$ }2 G, V; cPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
- c7 Q3 J/ `  V# V2 G% P 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
( T  n5 z4 |- w% `7 _" t' {又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
+ a& R! w( X2 JPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
7 ?6 t  f1 O* t) W9 _. r7 _Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
6 M' M; R5 B% Q3 J1 ?（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
2 X% g+ Y; t: c                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
( C, @0 v5 U8 _: V     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
0 A9 O; ?  i& [2 B: Z% T     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
; a' l6 S( j* R% n& x    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
- j* J' Q0 r9 [' kPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
: w, e0 C" Y7 y（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
" v% r( m; T0 g1 c# ~5 _" ` 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
- n7 V7 P5 K* U4 o即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
& s# j9 N6 q: x在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
" J7 V7 h- a) [3 d/ G第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
8 P. b" M7 T: f# [                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
  Q& @3 Y- h; o* x                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
' D; {* p# `( \5 Y                                             =0+3+16+3=3+19
. C0 H7 C9 v1 f0 k0 r6 r/ t                                             =0+3+20+3=3+23
* a+ i# s+ j5 q第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
1 Z  P" ~- C. W1 C9 G这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
7 Y$ L+ @6 f$ x: Z$ D      =2+3+10+3=5+13
, ^! v7 Z( m) t" O  i4 }+ E      =2+3+16+3=5+19
$ Y; f2 t0 @) i, x8 ]7 p$ l% Q      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
  B: {- A, R! s* m  w            =4+3+28+3=7+31
- l* |, `. q+ i' K; `  K            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
7 l1 C' I. I, S1 @又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
4 }, l& ^; g+ p8 U" z0 t, ]+ p0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
2 j# ^: Q% N. D4 R0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
" c7 P: r5 Q' c) d2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
  t! D. T9 X3 N, C) b                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
7 u0 b3 W, E/ o! X6 n# P; a综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
. z5 t% y4 u- ^& f" y! H2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
. U1 j! [, ]/ h) A                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
! ?, m! Y' V0 ]. k                                                   =n+3
4 P$ d! i9 `! L$ T7 Y                                                   =3,4,5……
' K6 S) e5 |; R/ e) |/ G; m" H5 h即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
8 c* H: B/ C0 s. [4 F3 u, _2，质数表示式的证明
5 A; u- C1 z9 }, _3 Y8 M(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
, E6 j% F' r; y' n- B得Pn=2n’+3  
. z6 R9 ^/ ^4 G# y3 f( ]      Pn’=2n+6-(2n’+3)
2 ], c/ p7 K9 n5 b      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
5 W" C& w1 K3 `% o: D+ Z) w2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
3 u. S6 t! W, t7 |' U8 D, YPn=2n’+3   ……（1）
8 \# q9 A# }4 N# }( q. {Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
4 K7 I( o3 M, {+ n& p, b9 h9 F5 P上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
1 r/ R9 @5 J' U. o5 n9 s6 u  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
4 ?% g! }  k3 P- I  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
8 }- n9 R0 Z' Q8 @" `  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
) a+ T5 y7 O8 S6 V6 G' V& X0 ^（2）方程组
7 r1 _  U) K9 n3 xPn=2n’+3   ……（1）
/ |) ~4 Z/ `* D; e; KPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
* m. V) X5 @) H$ Y0 J* d* [- ^" T: ?* m2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
8 K# b0 C2 ~' A3 O8 U②解方程的步骤
& o- B, k2 [* K4 @6 W, V6 y% X设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
, R9 {% S9 O9 V③证明方程组成立
, K# M/ L2 J/ f2 e2 o6 E即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
$ i3 o* V- S$ j2 x2 b已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
6 S, [. j9 ~" M  P2 L9 Q+ R/ c6 }' _   
) b# x9 A3 H7 |! X  C9 r- a9 I2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
Pn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
1 C& Q$ d! B+ D0 `即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
( q4 g/ Z/ ~. l8 ~  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
8 R0 \! t  w$ U8 P- x+ v4 X则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
. w& ?9 I1 L' x9 z: i1 P由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
8 k) H& a8 ?5 j换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
+ I# H( N# E. v' ]7 Y因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

- o1 \6 D% Y+ H2 T6 I: m3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
% Z) |. A# Q  b+ ]6 F) T. O设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
  v$ L: \4 t& b2 ]; S8 X/ `/ Z   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
1 Y. q3 D- h6 P- A" H/ z8 k( T     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
! b/ y% m! V* g      6        4        2         2        4       5        7           12
& L% T. q1 h! {2 P      8        8        0         4        4       7        7           14
0 @5 L+ `+ ]9 N& U* A, N1 _* M      10       4        6         2        8       5        11          16
2 g- i6 O( G1 w" I      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
4 A# i7 X8 l$ w" i, P. L2 {) A0 _      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
& [) n1 z9 Z, H0 X1 [     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
$ c: E' N0 W0 {6 D! O5 z: Z     122       116      6        58      64        61        67         128
3 a4 N- f' m" O4 Z( q 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
0 ~" {: g2 N1 q9 H& d* P由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
! G0 K7 o$ q- u. [. ]* h2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
; @1 P$ O( d; j: y③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
" w! E: f" ^% z6 I& z; W- L$ \8 ?3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
3 }0 ?# H8 x% y4 Q因为因素与理由意思相近或相似
; q* p1 k) C) K公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
" ~6 B% r( i' T# e, }/ O+ n% U公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
8 P) C: u* n" L如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
& p8 r/ |3 C; X. _% A( U5 c这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
) B4 _+ y5 A7 g! Y, Y6 E6 c% B又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
4 F# G' t, P# W6 K: D０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
7 @1 O3 ?7 S: H  w. W0 H& _" Y   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
( T  A; ^$ Y8 w* I8 w5 N, C# B: G" g2 _注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
7 g0 {8 O9 [1 b已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
; G; x  |, p( h则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
( @0 d& h( ~. a3 {6 S* k1 SM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
: L2 q$ j  R9 Q  A' _9 T0 }* a则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
. f: d4 g1 F0 i" C5 s4 n即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
# [: z8 g4 {  t4 s得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
! G- }2 F! P7 d5 Xpn        3        3        5        5        59        61

$ {9 ^6 ?1 j# c2 ]+ APn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
. g7 e. h) f4 ~! g+ U/ Mn’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
; `* f# N* ^7 @5 _8 s# ~2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
5 I2 {2 H( A8 i由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
0 ^5 G( z& g  `" D0 B3 x即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
* T6 y1 r; ~$ RPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
' o- L* w- `% ]+ xM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
  s1 [5 d7 I  N, ?  `- q
: a5 ~5 k' }; R( \$ L4 w! X( ]注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
+ {8 p. @0 q. {# a若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
+ S8 ]$ S' y/ L' K: F1 P, [式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
- O2 L! |) Q0 z3 N& Z( t2 g) k例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
                                          3+5=1+2+3+2=4+4
( x5 D. n  k$ _! v$ P4 \! B! K                                          5+5=3+2+3+2=4+6
- v0 s( K; [) K' W6 q0 J5 s" G5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
  U. j$ \+ g, C+ ]  n) R59+67=57+2+65+2=4+122
( B9 k1 s% [: u5 @3 t/ n8 i: s1 B61+67=59+2+65+2=4+124
- J, E4 D$ \, a" S: d…………………………
: s" d8 w, m, D在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
/ {& T6 i1 f  G$ ]* t* H6 I1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
) ^3 ]+ K) |# y2 s若n为奇数时  2n’=2n’’=n
7 |+ `: L! _( L" G若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
# j6 a+ M& B* C8 a; s, X2 ?M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
" y7 d7 ~, B0 w =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
" ?" t2 C' p4 u4 H: E3 |5 E再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
+ m6 j7 ?' T1 \1 X9 ]: c; y2 \        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
% }) |  C$ V: }" q) c邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

) Y3 p& Q- ]7 ^! n

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
: g; g* ]8 a3 S2 m/ r即Pn=2n’+3
/ S4 W& `  f( F; d( W& u$ E, G是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
, s2 T  N: k) I2n’’
使2n’+3=Pn
# A+ Z' u' h: c% K: K/ J9 C. [成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
" ?0 U# Y9 b0 e# U) e0 K  S又因为Pn’=Pn+2n’’’
* |. }0 W, V; M即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
9 a$ r9 K! {$ M6 V已知Pn=2n’+3
Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
% {3 j1 E) X8 }2n=4n’+2n’’’
7 J- R) n2 c7 @0 L* f- |2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
7 x! M& Y$ g7 T又已知 2n=2n’+2n’’
7 K- u' Z3 b$ x7 I5 D代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
1 x+ d7 B* g9 |: ~9 BPn’=2n’’+3
2 o: q* B1 v0 r8 o- L又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立