哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
  [9 i3 c/ m# I    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
  L/ V* R2 F1 [' \8 S; Q$ N$ q2 F将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
. T8 i% k. W  S3 i( [4 J已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
# w- o. D) i) V, t则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
5 G  |5 f1 J: o  u# i& V. O- u将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
# o, _/ r- c' ]5 |( x, n. r由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
8 k3 I# R9 C/ g1 s  _6 P即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
（2）式为奇质数表示式
# t5 |3 B# J1 ]* u& P  O7 u0 v* B由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
" ^" \7 ]4 f6 K, C- |4 C3 o  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
& G$ f6 A: m# d/ p由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
- E% b3 F) L$ M% G  k& f8 u2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
- F1 R2 {  a9 e" d/ a# a& M7 r  V/ t  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
: ^! ]1 i* e! [/ B用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
- P$ Z. E; b  }+ R0 g5 D5 X  ^8 [# tPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
/ l& ~! E. }: D7 B8 J* l1 V8 x这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
( L0 f0 ^2 f' Y; Q5 N! Y$ T9 \即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
  D+ z. ]& g6 a; ?2 i% X1 T2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
5 X/ q7 K( A# T0 n; n$ K% s直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
' q: T! _3 O, G- w/ y0 z6 G在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
  i' i8 r0 s: ~2 y$ w在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
7 h# C7 \6 b! o/ t: }: Q- t, Y代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
6 B2 Y% Y3 E2 E1 E即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
3 `. a1 e8 x0 p, d! p0 F1 D: r从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
6 d. F, z  K8 f4 N- F3 s由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
- C7 h6 d0 i/ K7 E. Q) S4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
* N! i+ k  W! _! ]: f由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
6 _; g3 a3 o) }, X（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
5 E: X6 }1 \6 T" x& H: Q二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
& W( H/ B) R, d1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

* }  G; b; o! [9 p得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
+ e/ U/ C2 s% D若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
0 h; y8 V$ x- Q, i8 q. i* u同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
8 ]7 Z4 y: t0 z& z' J& Z（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5 J% f7 S) h5 U  e5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
! a6 W* \8 \8 K$ \即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
n        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
' a/ K! p1 n, S- [1 oM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
& c* n6 k* O; k: GPn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
* A& l, p  A4 t7 d
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
( p. N, w9 [0 F- a$ D则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
8 q* R0 y" }: E; _4 q( f( @M=11111111111111111+3=11111111111111114
. I# h* J5 q( W9 m* M1 H根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
# c2 F7 c, B! ~( u4 q$ b% w然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
) K7 S! O! A1 }0 O. S) T已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
7 s% }; d! m3 |2 q; I1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
  Z' `( S3 A+ Z. K! H1 ?设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
$ Y9 L/ M0 p( W  a, P若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
$ z$ S) h1 w) v4 p代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
' i+ H8 t: g  E; S. ?' u或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
+ \( _+ d- v8 [- m! |. GPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
% k7 O+ e# y4 \4 t0 \3 H4 I! T由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
/ ^& ?1 J5 Q5 m# f8 s5 [或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
! E& l' t$ E) B2 y1 X6 `; ]' W即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
+ ]/ \* V( C7 p1 o4 Y在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
# ]5 t, \: Z  Q% b9 k2 Z若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
4 E, {; G/ ?/ R7 ~同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
" U9 a/ ?  O: q$ {9 V3 e! i8 H即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
/ e9 w$ ^# k" \+ ?* x, n, ~2n’=0,2,4,6……偶数集
3 U* `3 Y# e2 L3 Ln为奇数  2n=2,6,10,14……
" a( H% v6 I8 |; k8 {; X2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
7 K  U, }; r8 c( Y% e- K; }3 D$ Z2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
- d+ C( Y7 x# S  \" X将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
, `3 v  ~& x- |' u- o 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
" }  o; D4 i% e  o% r（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
& R' \" B. f" o( `) e又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
- f) k% j8 K) z5 ?& r3 k或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
0 e4 I# I+ `1 U* f% y2 O+ ?( p) f由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
! a  Q" d4 |0 L; x1 Z( v- l                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
+ f% |  d7 K1 k! S" |1 l% `得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
4 P. D) H- `. M) d( O3 M$ Y     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
" f! w: W+ ?0 ~5 g! t! ?! M    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
# B6 j/ S3 }6 x9 A+ U8 H    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
6 t% G0 W7 M' f8 d, Z+ J" n6 [    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
: r4 `9 ?1 X& ^' |0 ?6 K' \      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
) i# v- x' c% c' y* |3 R即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
- x: t# ?: a9 K五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
5 O. }4 w( q! e3 m                                             =0+3+4+3=3+7
                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
- d* ]# H) X. Q                                             =0+3+16+3=3+19
  B) w/ P% N( `9 s: n) h: J6 n                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
) J5 J& h0 T6 n# z/ R* Z这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
8 p1 |7 r% S2 H( R      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
( e9 b0 C: v, f) V9 k( `  a( W            =4+3+50+3=7+53
又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
& `) @. N$ `; H, I4 c0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
它们的偶数公由数分别为24，31对。
) ?5 E4 _1 f8 _2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
4 J+ I- m- C  R7 E. M9 {3 p& |                                           =28+3+64+3=31+67
: r0 G' ?0 f7 a                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
: ?. A2 v, Y8 \6 E8 J- b                                   =28+3+94+3=31+97
0 u+ s6 n1 u. a0 Z                                   =58+3+64+3=61+67
综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
+ _: G6 f; N' e( Z- X                                                   =3,4,5……
; S7 g$ m) R) M+ V: g' {1 u即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
2，质数表示式的证明
- @; h7 w( g" H% W(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
1 b4 k" G+ |5 z- p# ]" O得Pn=2n’+3  
  s+ s% T+ M7 k5 `7 l, b      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
7 C( P0 t3 l- E3 {Pn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
7 Q8 ^; Z: r1 q( N/ k2n=4n’+2n’’’ ……（3）
3 |% g% V/ z1 r上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
1 H" T! c1 g& D2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
4 b7 C) i1 Z, B" [7 v9 E2 M# @  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
' Q% D5 I5 [$ ?6 e! l  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
1 X, U( b) X2 f# ~6 m( p& W  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
$ A5 N2 H) b9 B) G9 W$ Q" A（2）方程组
6 z1 P. x4 l1 ~0 t; x4 E" GPn=2n’+3   ……（1）
, D+ v; u* p, a6 Z; F/ BPn’=2n-2n’+3……（2）
$ L$ D( u6 [4 W2n=4n’+2n’’’ ……（3）
6 i# i) b$ E3 m①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
/ Z8 U+ z- o$ k4 y) f2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
7 T: A% @, t+ C  a/ c) F③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
" T: L/ z* f1 ?* ]: b1 N/ L   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
- c" D8 s. G* G$ A# QPn=2n’+3
" E1 d; n' ?* k: G" C( KPn’=2n’+3+2n’’’
% Q9 ^- Q, Z1 m 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
# y! y- ?6 l1 }2 e* E8 wPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
+ c5 {4 ~6 y" h" R; K, K0 n* b8 ~  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
7 [9 x" A7 i- l. C( H# ]) N  a. E则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
即Pn’=2n’’+3 也成立
- ]  z8 S! S0 T$ }7 B" G- P由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
! O  H( V3 x: ^6 u7 y- E+ \; Y3 F即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
3 t) M/ J( v: w换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数

3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
) l4 z& w+ }) ^- {1 O% S- p设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
% I' _- F! o. c' D     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
/ L( {. F" A# G& A( f      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
% t; x! g- L: D. O      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
; Q! S$ e  \) V1 n) i7 M) `     92        56      36        28      64        31        67         98
+ R. G4 d+ n+ s9 d% M% _5 S     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
     122       56      66        28      94        31        97         128        
" z" U6 Z* }3 I* }& u' P6 X7 ^     122       116      6        58      64        61        67         128
2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
, c" T$ k6 s) L8 P: Q! d2 |0 }2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
由上述三个特征得到三个定理（见注2）
4 y6 M; c. N' B8 W4 ?& p即奇质数之间的共同规律
2，以上证明涉及到五个问题
3 n* X$ _& ?: a- x8 W ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
% G! Y+ l$ E  m1 R  A( Z3 [ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
: |7 K% O$ ~4 L8 O2 U③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
% [( Z+ }  b5 m. p) X' n ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
: J1 r# }; \* ]: R鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
2 Q. T2 m) N+ d+ b+ f6 H因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
( x' |* Y  |# [7 T如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
% o* \# y* v" X# A: w这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
0 z1 @/ y. B+ `. Q又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
& A, u* k  l0 l% ~% K０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
# B) V9 ~) b+ U9 l( j3 g/ {注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
+ _) F- t% F  }8 Q7 p5 ^' D! K下面来证明定理一：
( A" Z+ W2 p# J; k9 ]0 s' R# K已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
7 v( [! C0 ~8 J6 R; ]' s% J0 F则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
4 V" E' s; }3 G- PPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
( H! a# _* F& H) _8 eM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
5 O5 {( K; F! G& W$ ~8 `+ v由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
& ?5 i% G, J& B则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
% H; x) d# |6 z+ m! {) r, Y得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
pn        3        3        5        5        59        61

' ~7 M& {( T% T, b5 ^Pn’        3        5        5        7        67        67
) M; {6 F0 ^7 c1 _) d, g, _2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
; ]( ?( H* ~9 A9 o# rM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
7 @: N; `* o6 q9 F& _/ l) k: s由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
8 T/ }2 _/ |' Y! ]4 g/ @即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
) U0 M% B  p( J4 t9 _1 s0 A8 ]  YPn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
* e  W" ^) f) U; M# n6 x' w" p( W$ Z2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
! S8 N% i; U! Z* L+ U2n’        0        2        0        2        8        6
3 ]% A% {' x' b- B0 q1 a0 U* Dn’        0        1        0        1        4        3
' i# G' k0 E, S1 y/ FPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
4 P6 x" c7 k' k" U) ]' s式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
: [( I# d# ]3 i5 {例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
) {9 O( _2 p3 S' F8 ^& I                                          3+3=1+2+1+2=4+2
, C' C" @* W( W$ J2 k9 s' P                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
( r" g! e1 h, r" ]/ @/ m7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
& q2 k) F0 u$ F$ f( O61+67=59+2+65+2=4+124
: ]9 x" p, O" D/ ~, _…………………………
% E, j" R, Z* \5 x0 v; C8 u9 K在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
3 E( i# I$ }, s1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
5 u5 @2 D) q5 u9 M若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
/ M. Y2 A# Q4 g$ w6 Y4 eM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
=2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
6 J+ Y6 h' J+ i& G8 [ =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
% M' D( l2 F. w1 y9 L1 U, X! p即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
2 R" E" a! `2 o" b6 d+ f$ B笔者   蔡正祥
        2011-8-6
. p: c6 r3 s- c  j  C通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府


  r  x  Q2 |$ O. \: B' h2 Y

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
5 n3 z8 U. Q4 j3 W4 F- H3 `2n’’ 保证2n’+3为奇质数
9 U5 N1 Z  A  G9 \2 q4 @即Pn=2n’+3
! V+ O8 r* m" a2 ]  G( A4 V" R6 O是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
# B8 x7 i! p. [* O2 a: _但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
! K/ J9 A% C  L; E5 L* F$ P即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
3 B9 }2 S4 c5 V4 p使2n’+3=Pn
* p( @! [$ S9 K( v. @. j! w4 V成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
; E# j/ q" Z- d又因为Pn’=Pn+2n’’’
即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
4 X' n" N8 `1 i$ I+ B+ y已知Pn=2n’+3
1 r# ~5 e1 H4 S- h# J* t- u$ ~$ ]Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
3 I# a2 N7 M% a* {7 c$ _" I, Z# q代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
由上证得Pn=2n’+3
1 K3 [7 n5 x" b  P! {0 BPn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立