哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
- V  }' h6 [; G. c    一、质数表示式
' b" P9 W9 X- l8 i/ h1、质数表示式的由来
已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
7 p! n! Y' c' Y% }将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
2 f* z2 R6 N. ?7 S) p; k# X同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
' Z1 g/ P# W7 a由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
  Z: }: t) r2 x+ `: O9 W8 \即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
+ q" ~, E5 x# [" j0 a/ u" Z! I（2）式为奇质数表示式
0 n- {- \. V+ a( s! e$ E由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
4 H' ]7 G# X) m: v4 [" ?/ k由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
, Z7 c/ c3 ~* L设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
                    
! h1 ^* w2 z" A其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
; k/ V& r# Z6 N这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
2 o' a5 `) T* e$ d5 P; r即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
, [8 o, N4 m: Z- D2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
& z' w* |3 e! Z' j: o- ~: m2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
! r$ N& L+ M& C* |1 l4 \# f即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
) r  }" K3 m) g* x; `* A( a, [" W在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
) ]/ S, s3 Y+ P# k/ o* M7 l代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
( |0 h) F# u  r& B5 N9 X! V: g代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
& A) d- V; X, f: X# j即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
/ \" T! S5 T1 }# ^或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
) S% ~% J7 s7 C( q: A2 X. R4 S! \从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
0 l4 S$ a/ s$ t6 b% L由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
) ^% ]2 M) R4 M（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，

得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
% G4 z3 K+ v3 S4 K  c在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
( r' I/ z( D3 e2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
/ u- z$ s0 A: @2 [0 e9 v即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
# e; ^, l- x; N: \" [3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
  W2 W1 V+ J# M# ]6 L5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
& [: W2 d3 J0 l+ F& b% R. Sn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
, g8 v/ [2 U8 j* m! dM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
0 g) {# H( q% Y" A, zPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
& N0 `( q% ]7 L
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
5 O9 E% M5 L% d7 n又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
7 [. y" G2 D& `/ xM=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
2 w) d2 f. l8 ]3 a( w已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
, l/ x3 T3 b5 Z0 q  a
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
% ]7 h& F( L6 _或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
4 E, L. O* C! h6 X& E- KPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
8 I4 t0 e0 p9 i: ^" r1 \6 ]或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
+ X+ g. x, e: y4 c由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
0 @1 N  C% }% ~7 U9 S# L8 G9 n当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
( t' v8 j$ @' M* @% V3 X( k  m设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
& X2 w0 `2 T- T代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
9 ]7 x( h0 s) U" ~- G$ L设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
2 F  }& @' I* u. W$ Q) E若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
3 |; ]$ U8 N( c# G若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
9 U" p) v" e4 H即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
n为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
2n’=0,2,4,6……偶数集
" ?$ X; j& o/ }/ un为奇数  2n=2,6,10,14……
2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
' `4 U. A3 c+ V( E) v  M4 W2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
8 {  V2 W9 }6 m9 C4 b将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
设  Pn=2  或        Pn=3
代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
$ e# u' j! ~; }+ cPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
Pn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
& P' s! m: h, }. Q$ G9 I1 G（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
$ A: l# Z) ~6 |) H; \8 @2 z     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
" [! j, O5 L8 G" W) i+ m; k6 f     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
( _0 ~1 i/ W) G$ r     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
  S6 Q) M6 R1 c- w* r+ N) h    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
/ _0 O7 L; z0 [9 X$ T. D1 x3 l    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
" k  P6 \6 n9 C" h7 P* B% a# y    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
% d( a, m/ A& o$ @$ y0 O    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
Pn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
, D1 f7 |. E: g: J' G7 p 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
0 _/ y  `8 ]$ i9 H% }2 g9 \即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
+ S4 @, p: [  z: B' [% g由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
2 I) t2 E+ T, c9 M9 h+ j6 |五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
( N3 c( c2 \( b: H# P5 l  O第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
! j0 u  [7 M) L+ K. p                                             =0+3+2+3=3+5
                                             =0+3+4+3=3+7
8 s' D/ k2 K6 a- [' M4 M                                             =0+3+8+3=3+11
# J  B$ h9 L# h* X0 j9 B                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
                                             =0+3+20+3=3+23
# z% L9 X# C8 d# e第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
- ?: p: @9 K$ _; o& c& c; T即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
2 ^7 Y# N# Y' ^4 I9 N9 t4 `' o这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
6 b. G; A8 {2 w  [Pn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
  f% F! |% @( i- p第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
/ _* n# S2 e% Y% U2 Y# w            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
3 m' O& a* z% t1 W8 {6 {又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
1 u# t7 X! ^! a4 }0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
4 M" B! o: X* G% @" y4 _7 C5 ]它们的偶数公由数分别为24，31对。
6 R+ ]! g, U/ [9 j2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
+ i/ P7 n; C# i6 @( M; y7 t( ]                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
6 G2 ~* Y- L& z0 W6 c                                   =28+3+94+3=31+97
( b# n# M- O3 ~                                   =58+3+64+3=61+67
8 Z7 M. L2 P6 R, \4 |综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
1 U2 ~1 _5 Z* h7 ?( u; Z2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
. Z9 I: N3 h6 a! o5 U+ x  k) r7 J                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
                                                   =n+3
, x! ~7 [* k1 h, }& [                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
, [8 z5 [; T8 X3 Z! Y( F9 r2，质数表示式的证明
. c6 p" b4 G: i: a(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
, G# a* C$ P3 C8 s, l设N=2    2n’=2n  代入上式
得Pn=2n’+3  
( O  g8 X+ g  I. U1 E      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
" `8 Q5 _7 G* U. l# S- Z* g4 X又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
, {$ R" w7 T9 P" D2 ~1 \Pn=2n’+3   ……（1）
$ O, W! _7 s" \: ?Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
% a$ E7 Z* M3 Y' j6 E4 D上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
' L# \& K& w9 L4 {- ?+ v) W2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
3 C3 u" _; e8 [( v9 s  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
5 A7 Y8 E$ a$ X! E0 p  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
8 T2 Q1 a4 y- Q! n$ C* dPn=2n’+3   ……（1）
Pn’=2n-2n’+3……（2）
; H$ f4 C& F3 q: b2n=4n’+2n’’’ ……（3）
①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
( `; v9 H1 J0 ]# G* N②解方程的步骤
" |! O) r- X9 H* u0 N, Y% c设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
! J4 d; Y- b& l* }$ ?! Z& g③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
- y8 `; ~: V) z已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
8 v# b  B" o; H. ]+ a: r' f   
( S' V9 H* Z& L/ c. u2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
  ~2 R+ [7 E! ~3 Y! O! D; S7 s0 m得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
, L3 q* ]( O! s6 T- m5 xPn’=2n’+3+2n’’’
因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
8 k5 Y' o) N1 ?8 gPn’=2n’+3+2n’’’
9 U- p; B- }7 |" e4 _  =Pn+2n’’’
1 H" j/ l* L2 n  =Pn+0，2，4，6……
已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
3 o" t) W$ X" i则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
3 z) s& `; T& k+ I即Pn’=2n’’+3 也成立
由上证得Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3  
由（2）式得 2n=2n’+2n’’   即2n’  2n’’为2n的偶数公由数  由此得质数表示式的定理
3 }* e. X$ V3 L( ?" v) ]即 2n为偶数集时（含0） 2n的偶数公由数  2n’  2n’’有一对以上加3 分别为两个奇质数  即Pn=2n’+3   Pn’=2n’’+3   或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）  
换言之 2n为偶数集时2n的偶数公由数2n’  2n’’  有一对以上与3相加 等于Pn  Pn’
因 2n为0，2，4，8，10，14……时的第一对偶数公由数2n’  2n’’加3 均为奇质数 除6，12，18，22，24……之外，因6，12，18，22，24……都有两对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20……即2n’,2n’’可以避开6，12，18，22，24……等与3相加不等于Pn  Pn’的数
, j4 z0 ]4 {. w: C. K: I% q
# B1 ]) I( d: v, }7 F( t3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
9 F+ O4 I& S+ S. H' Q+ V) y     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
$ g5 a) E. ]) S+ a$ c: H* |- W      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
& q8 ?0 K3 @0 b: }      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         24
     20        20      0         10      10        13        13         26
* G0 [7 m) R7 _: |6 c; K4 g2 j     92        32      60        16      76        19        79         98
2 G6 {% L& O- B! I8 k     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
/ G) p/ P: E3 h1 w! _     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
9 `1 O; u' H$ _, e, D% r  ^+ {5 i 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222216  2n’’’=6
3 ?2 X4 L6 w' S7 S- t$ n2n’=11111111111111108  2n’’=11111111111111114   Pn=1111111111111111   Pn’=11111111111111117  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
$ i6 n/ a7 d# v: ~5 x, N9 {- u1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
- h# o& I( S# R$ y( F" A(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
(3)，它们的分布是不规则的
, G" X" j! H" V0 u由上述三个特征得到三个定理（见注2）
) V( T4 Z. X( V: b' R% b' `+ e即奇质数之间的共同规律
3 M4 s2 K9 p/ c0 j2，以上证明涉及到五个问题
0 U3 `( Z5 S; A4 Q0 S4 F( A ① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
6 d' M! G7 ?1 C) v+ h% x2 @ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
. \. Y2 c' R5 ]' V9 _% |) K③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
+ d3 m+ \" z7 P3 u, G! e7 m" R2 t ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
$ o, ~# F, D8 }- l  Y7 M5 ? ⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
/ F! Z/ p. W; Q$ g( [3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
4 n& d3 k. d; q" y: Z6 ^) N6 k8 _因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
9 X  o8 c; K0 t1 g; V& N' N这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
' n1 U# n( W& `/ ?又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
$ S. u! v( C' m" ?3 f   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
4 z( L4 L' E; F: T) ~2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
' b4 K% B# H9 Q1 z2 B8 v注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
+ S9 I; [  V/ Q' G! z已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
" s/ `4 ?: K. y) O则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
; O& W7 R/ a0 t  D* \' J0 w. tPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
4 b) Q" h' L# v/ D9 t即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
4 q# _' [6 i* y" |% J由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
) s2 f6 M' P/ s% C7 QM=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
7 s( z8 j- a. {* g则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
, N7 ?# B" C3 {& V8 a  X得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
+ u3 [, c: x3 w: jpn        3        3        5        5        59        61
2 v* j) E! F: i  \7 G: N
9 [8 k  N# \. l# h; |: X1 @. `3 ZPn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
9 O+ W+ c  N% G$ Z- X3 z即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
  l/ d1 U- C( A% ^. Q$ ^& e- Y: QPn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67

/ d; r& g8 a" V0 {+ @+ `% M: P$ u注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
2 S' O* U1 `8 Y: E" B8 b式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
& k! k$ Q& j: f                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
1 b. F" c: X9 y1 P( w5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
5 I+ f* ?4 Q/ f8 v6 x在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
. D( L- E0 a$ U( v* [0 t! P( {* ~0 `若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
3 z! s( U5 L( x# b4 f- F0 XM=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
/ q2 t$ ~- C! g5 B =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
; g# x; w/ Q0 d! X* @ =2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
" C; q7 h. B: S8 u# b% o再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
$ X( i7 v9 o8 M6 U即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
# l/ y8 y9 Z+ q, w) t) [0 i# y7 K笔者   蔡正祥
        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府

& w! n% X, C; }: z8 A  N

1395094431

同－个帖子为什么帖四次？

蔡正祥

每次都有关键性的改进

1395094431

成熟了再发帖

蔡正祥

质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n的最简证明
# [( B: M8 g* W$ {2n 即偶数集（含0）的偶数公由数（注1）2n’
2n’’ 保证2n’+3为奇质数
9 V9 \9 B+ C& D/ Y- ]. ]  {即Pn=2n’+3
; Z! t' h/ _5 i是绝对没有问题的，原因是6，12，18，22，24……等加上3不为奇质数
即它们的第一对偶数公由数2n’+3≠Pn
8 a/ [6 ~/ R* p但它们有2对以上的偶数公由数且都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20
即任何偶数（含0）都可以分解为2n’
2n’’
# x: b$ u* [9 \& n9 @4 v' l; Y! y. b使2n’+3=Pn
& G! |6 P  j6 y4 M0 c/ S成立  以上情况是显而易见的不必证明 予以公认
: G9 A/ X$ O: E又因为Pn’=Pn+2n’’’
* ]& {( o  j2 e+ @; _$ Y! U# f即Pn’=2n’+3+2n’’’……（1） 式中2n’’’为Pn到Pn’之间的距离
9 V) ~% v# j( }7 _1 o3 u  j已知Pn=2n’+3
% A8 F% Y# F1 V# \Pn’=2n+6-(2n’+3)=2n-2n’+3
得2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’
2n=4n’+2n’’’
2n=2n’+2n’+2n’’’……（2）
又已知 2n=2n’+2n’’
6 t" E, ]% a: P代入（2）式 得2n’’=2n’+2n’’’代入（1）式得Pn’=2n’’+3
! W+ x3 v3 D: o6 q9 w- I$ `+ K由上证得Pn=2n’+3
5 l6 X! s' g+ ^% Q/ D8 OPn’=2n’’+3
又已知2n=2n’+2n’’
" V/ Z8 y. O; x即从理论上证明了质数表示式Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n成立