数值计算一个极限可能吗？

elim

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题：\(a_1 > 0,\;a_{n+1} = \ln(1+a_n)\)求\( \lim_{n\to\infty}\frac{n(na(n)-2)}{\ln n}\)
$ e2 t( T$ W6 z6 ]$ H
( v  C9 W1 W% Y! |) `这个数列 Mathematica 好像拒绝计算，而数学分析证明这个序列收敛极慢，若初始值为 1， 需迭代 10^140 次才有两位有效数字。但能处理这种计算量的机器还不存在。
) p1 n5 F2 ~* I3 x; x
对软件 pari/gp, 如何估计这种迭代的累计误差？ 谢谢指教。

4 N0 ^3 U; u  t" J

elim

2 i: h% j/ X4 @5 R
$ F7 u' C4 i; Y# @9 f从分析的角度看，\(0 < a_{n+1} = \ln(1+a_n) < a_n,\;\{a_n\}\)是正项递减数列, 其极限满足方程\(0\le A=\ln(1+A).\;\therefore\;\lim_{n\to\infty}a_n = 0\)

) |+ X. C- R) M\(\lim_{n\to\infty} na_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{a_n^{-1}}\overset{Stolz}{=}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_na_{n+1}}{a_n-a_{n+1}}=\lim_{x\to 0}\frac{x\ln(1+x)}{x-\ln(1+x)} = 2\)
" l" ?  I5 r; T/ z( t& [& E1 W
* i: h! O& d+ u! L\(\lim_{n\to\infty}\frac{n-\frac{2}{a_n}}{\ln n} \overset{Stolz}{=} \lim_{n\to\infty}\frac{1-2(a_{n+1}^{-1}-a_n^{-1})}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n/6 + O(a_n^2)}{\ln(1+\frac{1}{n})}=\lim_{n\to\infty}\frac{na_n}{\ln(1+\frac{1}{n})^n}=\frac{1}{3}\)
1 X7 y( n# r4 }; |( F: K9 V, K
\(\lim_{n\to\infty}\frac{n(na_n-2)}{\ln n} = \frac{2}{3}\)

好了，现在试试编个程序算算对很大的\(n,\;\frac{n(na_n-2)}{\ln n}\)是否非常接近于 2/3?
- Q, Y5 [: c$ ]
2 b7 z& Q! `) e; R4 k# n1 R) x
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