尺规三点分60°角的代数模型(pdf)

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                                        尺规三点分60°角的代数模型(pdf)
                                                      苏小光
             一  背景资料
  尺规能否三等分任意角，是古希腊人提出来的一个几何难題。有人证明尺规不能三等分任意角，是因为
         cos\alpha =4cos^{3}\frac{\alpha }{3}-3cos\frac{\alpha }{3}
: p. A: R" b; L2 ^       当 \alpha =60°,cos\frac{\alpha }{3}=x时，
         8x^{3}-6x-1=0,
. E5 j6 e( l0 Z0 o9 y 这个方程没有有理根，认定尺规不能三等分60°角，从而推导出尺规不能三等分任意角。[1]
要否证尺规不能三等分任意角，就必须证明尺规能三等分60°角。若尺规能作出
        \gamma =20°,
则尺规能三等分60°角.
: U: ^5 C, ]" q$ a, o二  代数模型
/ Z4 _' M! A1 W      tan\theta =\frac{sin\beta }\left (  \right {1-sin^{2}\beta })^{2}}
. ~/ N; v8 Y$ |0 x& ]当sin\beta =\frac{1}{6} 时,
  tan\theta = 0.1763265306
所以  \theta=10°, 显然  2\theta=\gamma, 所以尺规能三等分60°角。
三 代数模型的几何解释(或作图)
作线段BC=n,AC=6n,∠B=90°，得到Rt△ABC，令\beta =∠BAC, 则
) B3 z6 Y. x" Q. M" N8 ~/ @sin\beta =\frac{BC}{AC}=\frac{n}{6n}=\frac{1}{6},
' ^$ r& o/ K& N+ h3 H+ KRt△ABC绕AB边旋转一周得到的圆锥体，其底面圆周长
  l=2n\pi,
+ \, @* G3 u$ n圆锥体的侧面展开图为扇形，圆锥体的底面圆周长与扇形的弧长相等，扇形的半径R=AC,设扇形的圆心角为a,则
l=\frac{aR\pi }{180},
即
    2n\pi =\frac{6na\pi }{180},
+ L% h$ ^  q+ S1 H& x5 |6 W所以，a =60°.
" \0 Q: v: Q  }4 m* `在Rt△ABC中，
7 \) L5 F- M/ Ncos\beta =\sqrt{1-sin^{2}\beta },
9 `! M  ^2 ^/ r- Q" n所以
AB=6n\sqrt{1-sin^{2}\beta }.
: b9 F' B) t$ E" |. n( l* h" L以AB为斜边, ∠BAD=\beta,∠ADB=90°, 作Rt△ADB,则
# d" i8 i9 D3 F- U3 U; I/ z9 W  DAD=ABcos\beta= 6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ).
" L3 r2 L2 t2 C. u: I& Z以AD为斜边, ∠DAE=\beta,,∠AED=90°, 作Rt△AED, 则
4 D- q! r3 v$ m, o6 j: R  AE=AD cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right ) \sqrt{1-sin^{2}\beta }
以AE为斜边, ∠EAF=\beta,∠AFE=90°, 作Rt△AFE, 则
- t- t3 Y# z) x6 ?+ _AF=AE cos\beta=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}
& j- a) P; Q5 s! Q以AF=6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}, FG=n, ∠AFG=90°, 作Rt△AFG,
令∠FAG=\theta,则
tan\theta =\frac{n}{6n\left ( 1-sin^{2}\beta  \right )^{2}}.
注[1]: 初等几何研究，朱德祥编，高等教育出版社，1985年2月，177-179.
9 h/ S; p7 i) p

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