哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
    一、质数表示式
) r3 c! e7 C; ], `1 q; x" n) M# y1、质数表示式的由来
$ o1 `7 B/ f8 j! Q$ L, K已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
: c) v6 u6 s2 e' [" u即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
6 S& y* a7 V' i4 {即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
" t4 n* e- D# R6 |" b7 ^（2）式为奇质数表示式
( s' H# L+ n7 R4 o: h' J由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
' s, P! Y1 ?2 A$ p1 n由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
+ [6 H3 b8 i* R均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
$ i5 \3 m$ b4 X3 L; G用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
Pn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
6 b; J* w# i& p                    
其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
0 X4 s6 z' T: S0 X/ r这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
. d* I" m& c1 @即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
( T5 w2 |* `6 \0 L# G例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
3 x, P) I6 V7 l$ ^/ X# G2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
5 I, E( c9 f' U0 a0 q  p  _6 ~2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
" ^' `. a' s4 A0 e直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
7 B1 m4 \4 M3 f7 y5 f7 }即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
. m/ @" v+ f' ^代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
2 t8 X+ e7 }1 c' c在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
( U  \- Q' D; N0 f( P1 [/ @又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
: F  D6 `! s2 d" f即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
2 i7 ]2 |5 r3 A( L. Z由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
2 y0 a0 k- m& F) w' V7 f3 @" C由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
4 Z+ i! ]. r: B+ w9 `8 Z二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
5 ^* H5 X! s' N- G6 N$ d若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
. w) I! d9 ~& O$ E) q
得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
! C  k% G  P, W若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
+ B. F% ?9 C/ G" L+ `/ U4 Y（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
: G* L5 l2 j9 i6 J2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
) U, A/ f1 D+ X( X8 o) a4 p0 S即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
. u; Y1 X- A2 ?; d9 [0 q1 t3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
7 C) B9 L3 u+ a3 \6 B4 @% R$ R设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
例  
2 ]" e6 ?; g5 L3 gn        0        1         2        3        4        5        6        60        61
& o& O, j0 n! r; w5 @- H6 u2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
M（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
$ |1 u* [! F: C+ B: GPn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
: d* g& b) H1 \; ^Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
5 a0 G$ B7 A% B# L7 R; n& @4 ZPn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
$ J) x4 p. l) d# e+ }% k
由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
9 A+ C. V8 E, k9 F6 e) a因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
6 ?7 Q5 v& h4 |' ~& @+ g5 c(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
M=11111111111111111+3=11111111111111114
根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
: Z+ U+ d0 j$ @4 R已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
4 x: m2 T2 k3 ZPn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228
' S  E( V1 c0 D% I7 }5 h
       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
# m% R$ K. K4 y- Y. \% K三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
9 J0 z2 c5 l. V5 Z8 `' u# M设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
. Y) s; c: D( _3 X& L- m若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
6 ?. W, G8 Y0 C* o若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
* h3 T8 Y! ]( |/ `: ~3 E* i+ [代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
# v* O: M& g6 `$ h, M( j（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
Pn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
/ E+ o: B. K1 l或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
  x( Q) ^& I" _: I; v8 p设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
! e) @0 k1 l4 e) }代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
9 a) L$ e- b! Q; y或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
1 Q, }* G0 n1 R/ B# \! E! K代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
9 }4 Y( u' b3 W3 X4 t: i7 P* h: h+ o. T若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
% h* v* J$ K) |8 t得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
+ P- k! D8 n6 P+ j若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
% K; ]7 @; }% V+ L3 J! h5 M( ?同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
# F+ k0 [% b! v+ A即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
  y7 u$ w) V5 l$ \' y6 tn为偶数2n=0,4,8,12……
2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
0 f4 M6 D; [4 r& A& w. v1 G/ p$ k2n’=0,2,4,6……偶数集
( b# Y( x4 B/ D1 kn为奇数  2n=2,6,10,14……
1 B- a5 a5 U+ j# O$ u2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
! |7 G. o( {: ~0 c7 e# l将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
8 {7 y4 `/ S3 m4 DPn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
! C+ R% M2 W$ C# @, [' }设  Pn=2  或        Pn=3
7 c6 F' c7 l, \ 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
9 F7 B" K) P9 M. |8 ]四，奇质数定理三的证明
7 s1 f3 ]7 Q0 ~3 h# y: u3 Q" G/ n4 Y（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
/ ?4 I( r5 J8 L4 F$ q0 O; G; oPn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
+ M. O  F, n% \1 Q1 }/ hPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
  e& z( ^, _0 \) ]/ L+ @或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
: O9 u3 T3 v/ P0 v                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
0 W5 D4 x) ^! L5 R- N3 N得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
% l# q0 ?& P  t/ ^; x     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
1 B( f3 @5 Z3 ^0 P& h" u    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
1 h& m& ^- |/ P9 W    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
$ [4 R# X2 i+ tPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
# v5 [5 f3 |; I; A, M1 E+ b（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
" j2 S3 Y' Z3 S% F存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
% z8 L" C) ]7 Y% k8 \! K2 Z五、质数表示式的证明
1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
                                             =0+3+2+3=3+5
2 r, s4 |. ]' t' `  G: f                                             =0+3+4+3=3+7
8 u1 O) b: ^0 _" O: W                                             =0+3+8+3=3+11
                                             =0+3+10+3=3+13
3 z9 p+ ]0 w# }                                             =0+3+14+3=3+17
! e, ?, q3 l! ?5 o6 x                                             =0+3+16+3=3+19
/ b) v9 R5 {- H" d  e* T; R                                             =0+3+20+3=3+23
第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
5 W, P7 {+ W9 Z3 {6 ~4 m' x$ G- }这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
/ y5 I/ h  s. k" C$ z  O" i8 J; [& APn +Pn’=2+3+4+3=5+7
      =2+3+10+3=5+13
      =2+3+16+3=5+19
4 i; ~' A* U8 r# p      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
0 l7 n- @- \7 r4 Q! z; x0 v            =4+3+44+3=7+47
6 F2 L8 D/ e  l  C' T            =4+3+50+3=7+53
5 T4 f" w2 z, t& y( Z; _又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
6 o+ K! c/ J$ A5 B! p5 ]0 D0 L) G& j8 ^0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
" K3 R+ h- p# _8 }# u+ a) e它们的偶数公由数分别为24，31对。
# u* H' ^( a; y/ a5 W: V- m2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
# @% g; {. i1 E2 Y4 S& i                                           = 34+3+58+3=37+61
! ?/ c9 t1 Y+ W8 O  t2 k  z" l0 N2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
4 ^! A8 t2 ]' D6 U" ?* _  D. x% z% W                                   =28+3+94+3=31+97
$ T& u. f* E( P                                   =58+3+64+3=61+67
, r3 m/ `, O' W4 V9 [; q! v$ ^综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
, C) N8 P$ Z* S: a& L, J                                                   =n+3
$ ]% Y' a3 r' P+ ~0 t* V/ K                                                   =3,4,5……
$ [: H! ~( B% n& Z2 @' G4 A! `0 a! [即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
3 d: z  C1 x' _9 ?0 y0 I5 Y2，质数表示式的证明
(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
" r8 h# w3 e8 H, c) U. {7 |; W得Pn=2n’+3  
- n$ ^; V% {9 s" w/ C% W; \( }/ P3 Z      Pn’=2n+6-(2n’+3)
1 {; c/ q6 ?0 F1 w+ y- G7 \' h# [      Pn’=2n-2n’+3
0 P! `0 l  T, h: h( M. G又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
4 s* b2 k: N5 I9 ^/ D2 {2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
% i! Q0 c0 e9 \, z9 d0 b" q9 @0 {Pn=2n’+3   ……（1）
- D/ }: w% M1 s5 L% FPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
" U0 M4 r& p) o0 q" v, ?# U# B2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
! r8 [# b1 k7 a2 k* ^9 }# C8 {/ J  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
% F. J' k' |3 `Pn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
+ {. x9 i2 T4 s: h7 s% _①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
+ L5 }8 k* Y$ H6 t# b7 V②解方程的步骤
设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
% K" c5 Z1 E9 E8 D7 C# v确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
- E* g7 [* k( @, I# w- @③证明方程组成立
即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
" u6 g1 x. }: o又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
   
2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
Pn=2n’+3
9 s3 D- L. \! O/ hPn’=2n’+3+2n’’’
2 Z, t  q& g; F 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
即Pn=2n’+3成立
5 b. ]& _$ Z; b. \1 bPn’=2n’+3+2n’’’
  =Pn+2n’’’
  =Pn+0，2，4，6……
( q' z6 {7 ]& O3 `7 l4 Z已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
9 ?; m- Q( s8 {0 z5 Z8 r4 U! C8 o7 }# U即Pn’=2n’’+3 也成立
" a) W7 `8 ^7 [: \! z- a* ?3 用数字来检验质数表示式的成立
: F/ k/ z6 o$ F+ B/ b已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
- |( G8 S3 U" ?5 }) K4 _& x设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
2 u; f3 X$ @4 w6 w( G6 J7 ?4 J   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
/ M  Y/ m# S  b, V- j0 I     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
" ^. [4 x* S+ I1 {# v      4        4        0         2        2       5        5           10
      6        4        2         2        4       5        7           12
      8        8        0         4        4       7        7           14
      10       4        6         2        8       5        11          16
) R; Q  c- G; _/ U/ o1 X      12       8        4         4        8       7        11          18
      14       8        6         4        10      7        13          20
) R4 L+ `5 m- Z) N9 t9 I" B      16       16       0         8        8       11       11          22
& a( t& k& f4 m5 Z% c     18        16      2         8       10        11        13         20
. Z$ k- I' y: d: y* I5 S, s4 H- B  y     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
+ w: o6 x1 W7 u+ M! h+ y  J     92        68      24        34      58        37        61         98
     122       32      90        16      106       19        109        128
* f9 W4 O4 b0 {4 x7 E3 P     122       56      66        28      94        31        97         128        
- L. Q; q7 u7 y9 c1 }2 P     122       116      6        58      64        61        67         128
0 }6 W( e# z+ q7 \ 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
+ Q9 X, q3 q) V( E" `+ [) G8 I2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
* w6 s: @/ V3 H  t(3)，它们的分布是不规则的
8 ?0 y' ^( Y+ F* O1 g- I- S5 s' s由上述三个特征得到三个定理（见注2）
即奇质数之间的共同规律
% ]: Z/ R# E8 }- n1 ]: E/ T. U0 d2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
! Q& h; ~/ j, S2 W/ I- O  R ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
2 c$ p  y) w! e ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
4 F: q& |) J, V! |1 i8 j+ o鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
+ s- C; q" B* K% ^/ E7 z公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
/ c+ Q4 F. b+ o# F7 A: [5 [公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
$ V0 \+ Z$ {( |; k这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
4 M1 F  m& _+ d5 w( |０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
  Y8 i1 }: C; F) H: {' H因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
% ^: C, k4 h8 R$ G1 D注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
% G+ b- g& |  l/ K" w  N, Y( n- P. J9 N下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
Pn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
2 o; R$ \* f2 i5 Q; r3 f/ S即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
4 p1 A# W- Y; ?$ |0 ?即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
例
( a, Y* d9 t0 X  w9 v9 ppn        3        3        5        5        59        61

Pn’        3        5        5        7        67        67
& O5 [7 ~- y4 a2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
; s5 k3 `4 n4 Z$ H' g/ F即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
- c# A3 r7 B3 d  P3 Z  j+ W5 l' \Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
M(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
8 p( z( `% e: a2n’        0        2        0        2        8        6
- g0 W! H! Q3 Z: ?n’        0        1        0        1        4        3
Pn        3        3        5        5        59        61
Pn’        3        5        5        7        67        67
6 ~4 d; T; o7 O3 `
% |8 l% B- |6 T4 i3 j注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
4 m: p: G9 r: Z( E! y  T; X式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
2 i2 S* H! e2 n% a$ z例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
                                          3+3=1+2+1+2=4+2
( P5 B6 M* t& e- L3 A+ @                                          3+5=1+2+3+2=4+4
                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
59+67=57+2+65+2=4+122
) V2 i7 H# e2 R8 q$ L61+67=59+2+65+2=4+124
( X  {1 _5 Y3 q+ W…………………………
在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
+ `" K# _, X5 P8 d  h1 f% r( p当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
若n为奇数时  2n’=2n’’=n
9 Q# ^9 i0 y* ~8 j9 ~5 d若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
) \# U3 Q8 F, N- H =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
% z. g# r; Q$ {8 B. F% k, s1 Q4 Q  i* a即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
/ @1 x; r% p6 m, d9 g% I) j$ N        2011-8-6
& W* c, M; g$ Q0 p/ q3 c& F7 F# u通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
# p3 e# @1 M& ]3 v* O( }邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
7 @# U+ n% [; z% K& Q5 q籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府



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蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！
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