哥德**猜想的证明

蔡正祥

哥德**猜想的证明
0 x8 z- y& ^/ t$ d1 Z7 F3 H    一、质数表示式
1、质数表示式的由来
' }1 i6 G: |: ?6 T* C已知；P=2n+1为奇数的表示式，式中为n=0、1、2、3……，自然数集。因奇数中含有全部的质数（除2外）,所以p=2n+1也可以视为奇质数的表示式，所不同的是其中有一部分不是奇质数，如：9、15、21、25、27、33、35......等等，这说明7、（9）、11，13（15）17，19、（21）23，23、（25、27）29，31（33、35）37.......
/ q" Z! n) {2 \0 K  v( \& W: ~它们两个奇质数之间的距离不是3、5、7，11、13，17、19之间的距离为2而是4、6或者8、10......。所以p=2n+1不能是奇质数的表示式，必须修正或选择。
# ^9 F, O! B9 M- d1 i5 ]将p=2n+1改为pn=2n+1+2n".......(1)
- \: A4 D. u  w' b' i! L已知两个奇质数（Pn’，pn）之间的距离为D。为2的倍数。用2N表示。当N=1时。D=2N=2×1=2。即Pn’- Pn=2、Pn’=Pn+2，又知奇质数加1等于偶数，用2n表示，即Pn+1=2n，则Pn’=Pn+1+1，Pn’=2n+1......（1）’将（1）’式代入（1）式：pn=2n+1+2n"，得n"=0即pn=2n+1
以上说明，若两个奇质数（Pn’、Pn）之间的距离为2，即N=1，n"=0
$ V- }1 O' v& M  h4 Y# x则该奇质数的表示式与奇数表示式相同，为Pn=2n+1。因为奇数之间的距离为2。如3.5.7，11.13，17.19，它们之间的距离也都等于2即N=1,n"=0。
将n=1.2.3，5.6，8.9代入p=2n+1中得3.5.7，11.13，17.19。当N=2，D=2×2=4即Pn’－Pn=4，Pn’=Pn+1+3，Pn’=2n+3......（2）’’代入（1）式得n"=1，即Pn=2n+3如7.11，13.17，19.23.它们之间的距离都等于4
即N=2，n"=1将n=4.7.10代入Pn=2n+3得11.17.23，
3 H7 j5 l; _' y4 u( ]同理N=3，n"=2，N=4，n’’=3......。即Pn’=2n+5......（1）’’’，pn’=2n+7......。如：23.29.31.37它们之间的距离都等于6，即N=3，n"=2将n=12.16代入Pn=2n+5得29.37。
由上可以得出，n"与 N的关系，n"=N－1。
9 M' d% {4 F; U, l即（1）式可以改为pn=2n+1+2（N-1）或pn=2n+2N-1......（2）
. m7 f$ j, c8 Y! u/ ^/ A（2）式为奇质数表示式
! A: i; \. \* {9 ~由奇质数定理1（注2）得M=Pn+n’
将（2）式代入上式得M=2n+2N-1+n’      Pn+Pn’=2M=4n+2N-1+2n’+2N-1
  因pn=2n’+2N-1  则Pn’=4n+2N-1……（3）
/ G* Z% w, A5 V1 H5 Q由上得Pn=2n+2N-1......（2） Pn’=4n+2N-1……（3）
均为奇质数表示式 （2）（3）式涉及到两个变量n 、N只要n、N相互配合，就能表示所有的奇质数，由此只能是奇质数表示式的基础式
2.证明两个质数之间的距离为0、2、4、6、8…∞即整个偶数集。
" U0 q5 j, E7 e  U- C: t1 [/ f6 _* ]  假设：两个质数之间距离不包含整个偶数集，如不包含2n"。
设2n"=0、2、4、6、8……∞。
即Pn'-Pn≠2n"……（4）式中2n"=0、2、4、6、8……∞
3 F  @; N' x1 m9 `. v+ L根据奇质数的表示式Pn=2n+2N-1……（2）  Pn'=4n+2N-1……（3）
: i: Z+ W) b" {2 G用2n"、 4n"分别代替2n 、4n   
  D5 H3 g$ x2 r; B/ v+ Q; lPn'- Pn= 4n"+ 2N-1 -（2n"+2N-1 ）   Pn'- Pn=2n"……（4）’
  e* j2 \* J" F                    
9 ?" t2 l' A0 b+ t其结果（4）’式与（4）式相悖，证明（4）式是错误的。
这种假设不存在，证明两个奇质数之间距离包含整个偶数集。
即Pn'- Pn=2n…（4）’'式中n=0、1、2、3、……∞
% S% B/ g1 N. T' [2 f例如：2n"=6，2n"+1=7，4n"+1=2×6+1=13，13-7=6
. g/ c+ K: f- [. D& G3 W  I2n"=40，2n"+3=43，4n"+3=2×40+3=83，83-43=40
2n"=80，2n"+3=83，4n"+3=2×80+3=163，163-83=80
: t8 k% o9 a$ i* d9 ?# Z2n"=100，2n"+27=127，4n"+27=2×100+27=227，227-127=100
! W0 |. y  B* ^4 o$ |3、奇质数表示式Pn=2n+2N-1的证明
直接证明不行，亦可用两个奇质数之和的联合式来证明
9 }: Q$ l. H1 D; D  ?即证明Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式在理论上成立或n为自然数集时（1）式成立。
在(1)式中设N=2，2n’+2n”=2n，即2n’，2n”为2n的偶数公由数(注1)
代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）
: }  Y; N2 W0 ^$ \0 X4 R9 {, i在(2)式中设Pn=3代入(2)式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)
又因两个奇质数之差为偶数，用2n表示，即Pn’=Pn+2n
9 @% y: I8 T6 d* f8 |8 Y& \代入（3）式得Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n为恒等式，即（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n也为恒等式，即从理论上成立，
即证明（1）式在N=2，2n=2n’+2n”的条件下从理论上成立
或Pn=2n’+2N-1和Pn’=2n”+2N-1在上述条件下也成立。
从而证明了奇质数表示式Pn=2n+2N-1从理论上成立。
& @+ w: R+ U/ R5 a由此可以证明（3）式   ①为恒等式   ②等式左边或右边表示两个奇质数之和   
& ^$ w) N2 a5 K& z+ S4.将n=0，1，2，3……自然数集时代入(2)式得3+3=0+3+0+3=6+0    3+5=0+3+2+3=6+2 5+5=2+3+2+3=6+4   5+7=2+3+4+3=6+6  7+7=4+3+4+3=6+8  5+11=2+3+8+3=6+10 5+13=2+3+10+3=6+12  3+17=0+3+14+3=6+14  5+17=2+3+14+3=6+16 59+67=56+3+64+3=6+120      61+67=58+3+64+3=6+122……
7 T% i3 k6 r0 s" E9 f# n4 p2 c/ M( [$ [由此从理论上实例上证明了Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n……（2）Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n……(3)成立， 从这个意义上讲
, H2 G6 A6 V% R/ v( N（2）式或者（3）式才是完整的质数公式 即Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）*为质数表示式  在（3）*式中  Pn*  Pn*+1表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公由数  Pn=3或Pn=2 （注3）
+ ^" S: Q1 P- P$ `二、证明n为自然数集时（2）式Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n成立，
% H# w0 h! D  V# J1、在（2）式中设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
- @" F. {& T$ \- j4 Q, s& i6 L若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，代入（2）式，
# G6 A- G, N8 i; u' e# H6 G
+ @" u6 J6 p0 ?; U$ C5 n得（Pn+Pn’）/2=2n’+3=2n”+3=3+n……（4）
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+3=2n”-1+3=3+n……（4）’
在(4)、(4)’式中设Pn=3得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn=Pn+n……（5）
（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn=Pn+n……（5）’
2，由奇质数定理一、二(注2)得知（Pn+Pn’）/2=M M= Pn+n
! v) H1 P% m7 t. z7 L即M为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数，将它代入上式，从而得到了或证明了M= Pn+2n’=Pn+2n’+1=Pn+n或=3 +2n’=3+2n’+1=3+n为两个奇质数Pn Pn’之间的正中间数
3、当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据M=pn+2n’或M=pn+2n’+1代入得M=pn+(0, 1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2),M=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2)即两个奇质数pn  pn’的正中间数M=pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2)
4 c) e# @( O7 Y4 ?0 c% s设pn=3代入得M=3+n=3+0，1,2,3,4，
8 ^: t  _( v, x4 s$ M2 ~5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]再根据奇质数定理三找到M两边奇质数, pn  pn’且pn=M-n’pn’=M+n’即Pn+Pn’=2M=2X(3,4,5,6……)=6,8,10,12……即大于4的偶数集,得Pn+Pn’=6+2n.
即 从理论上证明每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
! }" \) X- J% n+ m例  
* c6 [" H- `6 Z1 m6 un        0        1         2        3        4        5        6        60        61
$ i' N8 `; Y5 o( T! [( T! G2n        0        2        4        6        8        10        12        120        122
, [! ^+ R& {4 t2n’        0        0        2        2        4        4        6        60        60
9 j( F( R+ V) e! K8 C+ E2n’’        0        2        2        4        4        6        6        60        62
7 g( r5 Y' d2 ^4 G/ uM（2n’+3或n’+1+3）        3        4        5        6        7        8        9        63        64
Pn        3        3        5        5        7        5        7        59        61
" X  d) x+ S' ?3 H' o0 t; n7 o& {Pn’        3        5        5        7        7        11        11        67        67
Pn+pn’(2M)        6        8        10        12        14        16        18        126        128
0 K+ ?+ [) F/ h9 a& x5 h
- h/ {: f1 k' ^! y由上表得出 M=3 4 5 6 7 8 9……大于2的自然数集，pn+pn’=2M=2X（3 4 5 6 7 8 9……）=6 8 10 12 14 16 18 ……大于4的偶数集。
又例如，2n=22222222222222222   n=11111111111111111
因为n为奇数，2n’+1=2n’’-1=n   2n的最后一对偶数公由数2n’ ,2n’’分别为2n’=1111111111111110  2n’’=11111111111111112  
则 Pn+Pn’=2n’+1+Pn+2n’’-1+Pn=1111111111111110+1+3+11111111111111112-1+3=22222222222222228
(Pn+Pn’)/2=2n’+1+Pn=2n’’-1+Pn=Pn+n=3+n=M
6 |( G" @* [) g- `; a- a( ], M+ NM=11111111111111111+3=11111111111111114
0 V! P; g" r! d! I根据定理三，因M的左边相邻处找到Pn
然后通过n=M-Pn 求得 n由 Pn’=M+n  求得 Pn’
. O5 I: v* C4 S. f" C2 M/ P* z已知  M的左边相邻处找到Pn=111111111111111111   n=M-Pn=11111111111111114-11111111111111111=3
Pn’=11111111111111114+3=11111111111111117
( E/ ]* A- T( K3 M  p' ~+ a, `Pn’+Pn=111111111111111111+11111111111111117=22222222222222228

) w' c0 Z+ v; K8 N       =2M=11111111111111114X2=22222222222222228
* g5 k/ \4 i+ e7 T三，也可以这样证明
1，        在Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）式中  
设2n’，2n”为2n的最后一对偶数公由数
% q, o/ G+ Y1 y$ v- U3 x  H$ J若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n，
0 c- l$ j. ]) p- A7 L4 U) l若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n       
, {( e' c+ w& u2 x' ?代入（1）式 得（Pn+Pn’）/2=2n’+2N-1=2n”+2N-1
1 |+ i0 v2 t8 j" X2 D/ y（Pn+Pn’）/2=2n’+1+2N-1=2n”-1+2N-1
( ?! p0 m# D: I& E  i& |或（Pn+Pn+2n）/2=n+2N-1=n+2N-1  
/ F4 u* z0 i  K% i7 s9 k$ M& B; d* L0 xPn+n=n+2N-1=n+2N-1  得Pn=2N-1
3 A. k! \' c* r+ d+ y1 @代入（1）式得Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn
或Pn+Pn+2n=2n’+Pn+2n”+Pn(恒等式)
9 S7 t! _7 [/ e& {4 J6 D由上证得  Pn+Pn’=2n’+2N-1+2n”+2N-1……（1）  在理论上成立
+ L, @4 E8 ?& g3 ^5 \8 M+ ]当n=0，1，2，3……自然数集，2n=0，2,4,6……偶数集 因任何偶数包括0都有最后一对偶数公由数。且第一个偶数公由数2n’为0,0,2.2,4.4,6. 6……60，60……∞/2,∞/2)根据Pn+n=Pn+2n’=pn+2n’+1得pn+n=Pn+(0,1+0,2,1+2,4,1+4,6 1+6……60,1+60………∞/2,1+∞/2)=pn+(0,1,2,3,4,5,6,7,……60，61……∞/2,1+∞/2) pn+n=pn+0,1,2,3,4,5,6,7……60，61……∞/2,1+∞/2
* a4 X6 o, `9 n设pn=3代入得3+n=3+0，1,2,3,4，
5，6，7……=3，4，5，6，7，8，9，10……63，６4……３+(∞-ａ)/2,４+(∞-ａ)/2)[ａ＞２（Pn+1）]
' ^- b" V4 P) ~代入上式 Pn+Pn’=Pn+Pn+2n=(Pn+n)x2=(3+n)x2=(3,4,5,6……)x2=6,8,10……=6+2n
  |2 r8 R4 ?/ m: W( I  z( A' }或Pn*+Pn*+1=6+2n
2，        因两个奇质数之间的距离为偶数  用2n表示
即  Pn’=Pn+2n   得Pn’+Pn=Pn+Pn+2n……（1）       
在（1）式中   设 2n’+2n’’=2n  即  2n’    2n’’为2n的偶数公由数   
代入（1）式得   Pn’+Pn=Pn+2n’+Pn+2n’’……（2）
$ Q5 ?7 a4 x6 z+ M设2n’    2n’’为2n的最后一对偶数公由数   
若n为偶数时，2n/2=n，2n’=2n”=n
得（Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+Pn
若n为奇数时，2n’+1=2n”-1=n
9 I1 m* G5 W- s1 G7 R# i同理得（Pn+Pn’）/2=2n’+1+Pn=2n”-1+Pn
2 a. Z7 }9 l5 m  }+ O4 ^  h5 }/ q即   （Pn+Pn’）/2=2n’+Pn=2n”+1+Pn……（3）
7 z( w& @5 \) \# [n为偶数2n=0,4,8,12……
) K; q/ q2 j; _2n的最后一对偶数公由数为0、0，2、2，4、4，6、6……
( a, t9 K5 u4 v3 u5 T2n’=0,2,4,6……偶数集
n为奇数  2n=2,6,10,14……
1 I! D$ F5 G) _8 `' U( i- s2n的最后一对偶数公由数为 0、2，2、4，4、6，6、8……
+ ?' Z  F2 X6 _2n’+1=1,3,5,7……奇数集  
将以上数字代入（3）式得（Pn’+Pn）/2=Pn+(0，1，2，3，4，5，6，7……)自然数集
Pn’+Pn=2Pn+0,2,4,6,8……偶数集   
6 r# i. d6 d1 D" c; A. G# d设  Pn=2  或        Pn=3
/ j: Y, N% ]2 M8 u) O" W; G 代入上式得   Pn’+Pn=4+2n或Pn’+Pn=6+2n
四，奇质数定理三的证明
" q- J5 q6 S/ K（1）        已知M=3，4，5……大于2的自然数集n’=0,1,2,3……自然数集
又已知Pn’-2n=Pn    Pn’-0,2,4,6……=Pn
Pn’-0，1，2，3……=Pn+0,1,2,3……=M
; q$ g( L% {# w7 }0 M' B, ^% mPn=M-0,1,2,3……  Pn’=M+0,1,2,3……
8 M) A$ L  a% _2 ~  Y或 Pn=M-n’    Pn’=M+n’
由此证明了  Pn=M-n’    Pn’=M+n’或Pn+Pn’=2M  成立
. h8 x* Y. ~: x, S（2）        实例说明  Pn=M-n’  即Pn=3,4,5,6,7,8,9,10……-0，1，2，3，4，5……
                  Pn’=M+n’   Pn’=3,4,5,6,7,8,9,10……+0，1，2，3，4，5……
得 Pn=3-0=3  Pn’=3+0=3   M=3  2M(Pn+Pn’)=6
) f3 `- j& Q' x2 U     =4-1=3     =4+1=5    =4             =8
& l) W- t" T, W# a/ m/ l9 Q& Z     =5-2=3     =5+2=7    =5             =10
. ?1 Z! ~! p5 ]) j; [! V     =6-1=5     =6+1=7    =6             =12
     =7-0=7     =7+0=7    =7             =14
' |4 t8 H6 L. d8 r; {. n* f8 j    =8-3=5    =8+3=11     =8            =16
    =9-4=5    =9+4=12     =9            =18
    =10-3=7   =10+3=13    =10           =20
    =11-6=5   =11+6=17    =11           =22
: O$ [+ }0 q+ e) i1 H1 q* n5 ^    =12-5=7   =12+5=17    =12           =24
" L) _: U; @% A3 |1 TPn+Pn’ =3，4，5……-0，1，2，3……+3，4，5……+0，1，2，3……
      =3，4，5……+3，4，5……=2x3，4，5……=2M=6，8，12……=6+2n
（3）已知M-n’=Pn  M+n’=Pn’
1 M* \" C: Z: R4 h( R' }$ { 或 M-0，1，2，3……=Pn    M+0,1,2,3……=Pn’  
即 在Pn和Pn’两个奇质数的正中间数M的左边n’处或0，1，2，3……处
存在着奇质数Pn  M的右边n’处 存在着奇质数Pn’  且M到Pn、Pn’处的距离相等且=n’   例题见（2）
由此 从从实例上、理论上证明了奇质数定理三的成立。
  I, \4 ~  z! ~& [五、质数表示式的证明
/ _# k8 h/ W4 q( C; h$ G1完整的质数公式 即Pn+Pn’=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n………（3）为质数表示式或Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n ……（2）     在式中  Pn  Pn’表示质数 n=0,1,2,3……自然数集 2n’+2n’’=2n 即2n’  2n’’为2n的公 由数  Pn=3或Pn=2  
, e& J" @" b1 [/ d' n$ ?在（2）式中2n’+3   2n”+3必须为奇质数，即Pn=2n’+3  Pn’=2n’’+3
$ `+ @5 W: g4 K2 h第一种情况 若2n+3为奇质数 如n=0，1，2，4，5，7，8，10……时2n的第一对偶数公由数2n’   2n’’代入（2） 式均成立，2n的第一对偶数公由数为0，0、0，2、0，4、0，8、0，10、0，14、0，16、0，20 代入（2）式得 Pn +Pn’=0+3+0+3=3+3
) o! T1 F5 m' e, f9 @9 S                                             =0+3+2+3=3+5
( M7 ]$ X8 V  }! @# d" P- ^. n                                             =0+3+4+3=3+7
4 J4 c9 z, \2 n  G$ P. k8 S                                             =0+3+8+3=3+11
$ I; e% o' g2 J0 Z* s- o                                             =0+3+10+3=3+13
                                             =0+3+14+3=3+17
                                             =0+3+16+3=3+19
2 `- ^0 G3 N: I) T, h" Q/ y                                             =0+3+20+3=3+23
- m5 L( t8 E# P+ a0 h% B第二种情况 若2n+3不为奇质数 如 n=3，6，9，11即2n的第一对偶数公由数2n’’ (或2n)+3不为奇质数。如2n=6,12,18,22 它们的第一对偶数公由数为0，6、0，12、0，18、0，22
& }2 l' x' _$ c6 m) a! R即6+3=9   12+3=15  18+3=21  22+3=25  
) ?3 n7 ^1 [# o2 k这必须启用第二对偶数公由数2，4、2，10、2，16、2，20 将以上数字代入（2）式得
: Q' x4 v8 Z% X8 o5 f4 Q, Q( gPn +Pn’=2+3+4+3=5+7
0 L  ~0 F7 m7 z% D% F6 [      =2+3+10+3=5+13
# b8 c  v1 f. }  N! c' T. S      =2+3+16+3=5+19
      =2+3+20+3=5+23
第三种情况 2n-(2,4,6……)+3不为奇质数或2n的第2，3，4……对偶数公由数中的2n’’+3不为奇质数，如n=12，16，24，27 即2n的第一二对偶数公由数2n’’(2n-2)+3不为奇质数 如2n=24,32,48,54  它们的第一二对偶数公由数为0，24、2，22、0，32、2，30、0，48、2，46、0，54、2，52即24+3=27   22+5=25  32+3=35  30+3=33  48+3=51  46+3=49  54+3=57 52+3=55则必须启用第三对偶数公由数 4，20、4，28、4，44、4，50 将以上数字代入（2）式得  Pn +Pn’=4+3+20+3=7+23
            =4+3+28+3=7+31
            =4+3+44+3=7+47
            =4+3+50+3=7+53
% S2 T. `' ]. C8 g1 }& b又如n=46,61,2n=92，122它们的偶数公由数如下
3 G' p0 l9 \$ X8 |% A4 j3 ]0，92．2，90.4，88.6，86.8，84.10，82.12，80.14，78.16，76。18，74.20，72.22，70。24，68.26，66.28，64.30，62。32，60.34，58.36，56.38，54.40，52.42，50.44，48.46，46.（24对）
0，122．2，120. 4．118，6，116．8，114.10，112。12，110.14，108.16，106.18，104。20，102。22，100。24，98.26，96.28，94.30，92.32，90.34，88.36，86.38，84.40，82.42，80.44，78.46，76.48，74.50，72。52，70。54，68.56，66.58，64.60，62.（31对）
' S7 X* s& V- ]6 p1 n它们的偶数公由数分别为24，31对。
6 O; t* d1 K2 I; j/ ^2n=92的有第 9，15，18对能用  即        Pn+Pm’=16+3+76+3=19+79
                                           =28+3+64+3=31+67
                                           = 34+3+58+3=37+61
2n=122由第9，15，30对能用即Pn+Pn’=16+3+106+3=19+109  
                                   =28+3+94+3=31+97
                                   =58+3+64+3=61+67
! o; K3 B, M7 _5 Y! }3 [综述以上 质数表示式（2）式中 n为自然数集时，2n的偶数公由数2n’  2n’’ 有一对以上使2n’+3  2n’’+3  均为奇质数  
0 `! O; Y& b. h" _# B- V2n的最后一对偶数公由数 使（2）式变为（Pn+Pn’）/2=M=2n’+3=2n’’+3……（4）
8 B% A: y! \; s5 d8 x* q                                                   =2n’+1+3=2n’’-1+3
7 u" [, C0 c# R1 \                                                   =n+3
! l8 d  I" L+ V1 ]. ~                                                   =3,4,5……
即 Pn Pn’的2个奇质数之间的正中间数M 为大于2的自然数集  根据奇质数定理3 Pn+Pn’=2M=2x3，4，5……=6，8，10……=6+2n
  u" @4 v& ^7 R3 f$ P2，质数表示式的证明
" I/ a( C' M. ]; `$ O6 x# ^- `/ ^4 u(1)        已知 Pn=2n+2N-1  
设N=2    2n’=2n  代入上式
* Q; _* C9 F6 l/ e得Pn=2n’+3  
: o1 o  y' _9 B3 s! e3 n7 g0 a& u      Pn’=2n+6-(2n’+3)
      Pn’=2n-2n’+3
又已知 Pn’=2n’+3+2n’’’
3 S' _/ `; }* b, R3 K. r- m9 }2n-2n’+3=2n’+3+2n’’’    2n=4n’+2n’’’
( c% r8 x, s3 Y6 [Pn=2n’+3   ……（1）
" S3 \2 h- o  V. H" h% }% U7 E+ xPn’=2n-2n’+3……（2）
; H; Y/ x0 E4 w# u* W+ X2n=4n’+2n’’’ ……（3）
上式中 n=0,1,2,3……自然数集  2n’为2n的第一个偶数公由数  2n’’’为Pn   Pn’之间的距离  Pn+Pn’=6+2n
% G3 c- \# W& D0 }5 c6 C7 C# e4 i2n=0  2n’=0  Pn=0+3=3  Pn’=0-0+3=3           2n=0+0=0   2n’’’=0
6 L  o4 n6 k' a" ?. ?6 n5 p. U0 a- ?  =2    =0     =0+3=3    =2-0+3=5              =0+2=2      =1
  =4    =0     =0+3=3    =4-0+3=7              =0+4=4      =2
  =6    =2     =2+3=5    =6-2+3=7              =4+2=6      =1
. N  x4 o5 K1 w5 g) [6 Y, g  =8    =0     = 0+3=3   =8-0+3-11              =0+8=8      =4
  =10   =0     =0+3=3    =10-0+3=13            =0+10=10    =5
; F, N/ U& ^4 T4 S  =112  =16    =16+3=19  =112-16+3=109         =32+90=112  =45
（2）方程组
Pn=2n’+3   ……（1）
5 u' D' Y* U3 s1 SPn’=2n-2n’+3……（2）
2n=4n’+2n’’’ ……（3）
7 s" p5 G2 c: L①        方程组的特征或要求 n为0，1，2，3……自然数集时方程要成立
2n’+3  2n-2n’+3必须均为奇质数 2n’为2n的第一个偶数公由数 2n’可以任意选任何一对
②解方程的步骤
% S( A( y+ h$ ^设2n=0，2，4，6……偶数集   根据2n的偶数公由数2n’  2n’’ (2n=2n’+2n’’)
: u* `$ b) T* b1 q& n: p; S确定2n’  求Pn=2n’+3   Pn’=2n-2n’+3  根据2n=4n’+2n’’’求2n’’’=2n-4n’
③证明方程组成立
  [1 Z8 ^' J" a4 G/ N即证明Pn=2n’+3  Pn'=2n’'+3  
已知 Pn+Pn’=2n’+3+2n’’+3=6+2n
3 u8 y0 Q5 H& i( y' C- u8 H# K又已知Pn’=2n-2n’+3  2n=2n’+2n’’  2n''=2n-2n',得2n-2n’+3=2n’'+3  
  n6 N6 [7 P/ |& o" {   
+ r8 X' J2 F; Q4 q2 S2 T3 V* T2n=4n’+2n’’’=2n’+2n’+2n’’’    2n=2n’+2n’+2n’’’
得 2n’’=2n’+2n’’’   Pn’=2n’’+3=2n’+2n’’’+3=2n’+3+2n’’’=Pn+2n’’’=Pn+0,2,4,6……
) i) B# U$ r1 M: H/ A; s1 f5 ePn=2n’+3
$ F' M( Y- d; y- ^4 yPn’=2n’+3+2n’’’
1 h9 m5 g- l$ T3 g/ s' f. }3 Q 因 2n的第一个偶数是公由数2n’为0，2，4，8，10，14……除6，12，18，22，24……之外的偶数集，因6，12，18，22，24的偶数都可以分解为2，4。2，10。8，10。8，14。4，20即2n’可以避开6，12，18，22，24……
  r' a3 L* w3 u8 b4 Y即Pn=2n’+3成立
Pn’=2n’+3+2n’’’
: O6 @1 |7 o" X& P+ b7 S6 {  =Pn+2n’’’
. e. C! E+ x9 H! y2 [% `; X  =Pn+0，2，4，6……
% [& o' T- W  z已知Pn到Pn’的距离为0，2，4，6……
则Pn’=2n’+3+2n’’’也成立
9 J4 `# l* Z: G5 X5 R即Pn’=2n’’+3 也成立
2 q. U" T5 z3 ?$ K, Q3 用数字来检验质数表示式的成立
已知Pn+Pn’=2n’+3+2n”+3=6+2n    Pn=2n’+3   Pn’=2n’+3+2n’’’     2n=4n’+2n’’’
5 n5 A0 ?) A1 N' |; M2 F5 E- Y设  n=0,1,2,3……   2n=0,2,4,6……
5 x% V4 H: m5 c) O# }& x1 ~   2n=0    4n’=0    2n’’’=0    2n’=0    2n’’=0    Pn=3    Pn;=3    Pn+Pn’=6
$ G: I% G6 G9 |$ v     =2       =0       =2       =0       =2      =3       =5          =8
      4        4        0         2        2       5        5           10
$ k3 ?4 S! ]  s. B/ B      6        4        2         2        4       5        7           12
7 ^% U: G# z; U) k      8        8        0         4        4       7        7           14
+ y7 D7 z$ t0 G- q1 g      10       4        6         2        8       5        11          16
      12       8        4         4        8       7        11          18
* ~$ A0 j; t9 G; m* \0 S      14       8        6         4        10      7        13          20
      16       16       0         8        8       11       11          22
     18        16      2         8       10        11        13         20
. `& G- o7 K( N/ i! x4 a     20        20      0         10      10        13        13         26
     92        32      60        16      76        19        79         98
     92        56      36        28      64        31        67         98
     92        68      24        34      58        37        61         98
1 F0 K  J5 H- h  \- m/ ^$ W     122       32      90        16      106       19        109        128
  l" J  Y  S# B, [. c     122       56      66        28      94        31        97         128        
     122       116      6        58      64        61        67         128
5 D/ `6 H6 T: O# d+ w4 s/ Y) ^$ D  Q 2n=22222222222222222  4n’=22222222222222220  2n’’’=2
2 l" W' g0 g' x/ Q+ c2n’=11111111111111110  2n’’=11111111111111112   Pn=1111111111111113   Pn’=11111111111111115  Pn+Pn’=22222222222222228
8 q  Q9 d7 ^4 _六，奇质数定理和公由数理论是证明猜想唯一的新方法
1，以上证明是根据质数的特征及其规律为理论依据 即（1）质数除2外都是奇数
(2），由于是奇数，它们之间的差为偶数  即Pn’-Pn=2n
' n* X, f0 y* R: W+ c6 S6 T  ?  Q(3)，它们的分布是不规则的
7 s5 I) s: ~& b) E: ^8 f由上述三个特征得到三个定理（见注2）
' D8 i8 s6 N/ t2 `即奇质数之间的共同规律
) z3 d" D" D2 D+ e1 Q7 R2，以上证明涉及到五个问题
① 公由数理论。注1已经说的很清楚，是大家可以接受的数学公理，无需证明和检验
( F' l% u2 I/ ]+ m0 _ ② 最后一对偶数公由数也是存在的，大家也可以公认，无需证明
③ 由最后一对公由数求得（Pn’+Pn）/2=Pn+n=M 的方法也是正确的
5 F% Q; Q! U' v, Y" g ④ 由2n 的最后一对公由数，求得M=3，4，5，6……或M=2，3，4，5……也是正确的
⑤ 通过定理三求得2M=6，8，10，12……或2M=4，6，8，10……这个方法也是正确的。
3，公由数是鄙人发明的新概念，新理论，正如王元所说，它是一种新型的数学模型，它与三个奇质数定理加上完整的质数表示式才能证明猜想，以上三者缺一不可，事实上没有公由数新理论，也没有质数表示式，数学界普遍认为在没有新的理论诞生之前，即使是数论专家也无法证明猜想，数学家希望催生新的理论，公由数和公和数是最基本的数学概念，犹如公因数和公倍数一样，无需证明，可视为数学公理。
! F4 V( _/ J8 X! k鄙人城请数学界能把公由数新理论写进教材。
, F# P$ A0 }8 Q$ W注1：为了便于证明和计算，俾人提出公由数和公和数这个新概念、新理论
因为因素与理由意思相近或相似
公因数与公倍数相对应，俾人将公由数与公和数相对应，前者是乘除关系，后者是加减关系。
( D; b  T. t! n公和数和公由数定义：任何一个数（自然数包括0）都可以分解为两个数的和，这两个数的和为公和数，而这两个数为它的和的公由数
  [! r' K8 M, A- L3 t/ S如：1、2、3、4、0  可以分别分解为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，以上1、2、3、4、0为公和数，它们的公由数分别为0、1，0、2，1、1，0、3，1、2，0、4，2、2，1、3，0、0，特例0的公和数和公由数相等
这里讨论的公和数和公由数是指偶数集（包括0）
又如，６的公由数为０，６　　１，５　　２，４　　３，３
4 i" b3 b! L+ V" j8 S1 q! _０和６，１和５，２和４，３和３的公和数为６
- B: I. m+ o) ?9 r# b1 V  S因，2n’  2n’’为偶数，只能取０，６，２，４同样，８的偶数公由数为０，８　　２，６　　４，４以上情况是显而易见的，不必证明，可视为数学公理，以予公认
2 {) O$ R6 Z7 w( \! q6 l9 H2 G 任何偶数（包括0）都有一对以上的偶数公由数
   设2n’  2n’’  为2n的偶数公由数  则 2n=2n’+2n’’  或 2n’=2n-2n’’   2n’’=2n-2n’
2 L' A. [4 Q# G' s/ M/ u2n的偶数公由数可用 2n’=0+2n’  2n’’=2n-2n’ 来表示
! o0 G. f0 d2 S5 g注2   在数轴上，任何两个数或奇质数Pn.Pn’到这两个数或奇质数之和的二分之一数（Pn+Pn’）/2之间的距离相等。即（Pn+Pn’）/2-Pn=Pn’-（Pn+Pn’）/2式中Pn’＞Pn（定理一）。
下面来证明定理一：
已知：Pn’-Pn=2n’  因两个奇质数之间的距离为偶数，可用2n’表示。
则Pn’=Pn+2n’    将Pn+2n’=Pn’代入上式得（Pn+Pn+2n’）/2-Pn=Pn+2n’-（Pn+Pn+2n’）/2
" s; i9 P7 z" v% h% d) tPn+n’-Pn=Pn+2n’-Pn-n’   n’=n’   定理一成立
% ^6 e. ~, |/ d, i: U' {即任意两个奇质数pn，pn’到这两个奇质数之和的二分之一数之间的距离相等，且=n’（奇质数定理一）
; D% s( U  A/ ?3 ~# Y9 s! z由上得：Pn+n’=Pn’-n’=M  即M=Pn+n’  2M=Pn+n’+Pn’-n’=Pn+Pn’
M=(Pn+Pn’)/2  即M为Pn.Pn’之间的正中间数。
由上得到第二个定理：在数轴上，Pn’与Pn之差的二分之一为n’（即Pn’-Pn=2n’）
: r. ^  m! [/ ~1 ?则Pn’.Pn之间一定存在一个正中间数M。则M-Pn=Pn’-M=n’.
4 l% [, Q0 V  l9 `( `: _; x! n即任何两个奇质数pn，pn’之间一定存在一个正中间数M，且M=pn+n’=pn’-n’（奇质数定理二）
% J2 s+ w6 E& R: c$ T得Pn’+Pn=2M.   M=Pn+n’
  c1 r$ B4 `9 G& e. x5 y% e! N例
$ a/ D. M6 G! _$ ?+ Y: Jpn        3        3        5        5        59        61
- j  k- t8 U# _* B! V! i
Pn’        3        5        5        7        67        67
2n’        0        2        0        2        8        6
n’         0        1        0        1        4        3
7 @; c1 Z8 b3 BM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
( Z+ \0 A( y/ o/ r6 X" A8 [8 |由上得 Pn=M-n’   Pn’=M+n’    由此得到第三个定理（即定理二的逆定理）
即已知M为任何两个奇质数之间的正中间数，则在M 的左边或者右边一定存在一对奇质数  pn  pn’且 pn=M-n’
Pn’=M+n’  得 pn+pn’=2M
  W+ ?( J/ [% F+ l/ fM(Pn+n’)(pn’-n’)        3        4        5        6        63        64
. y+ ^8 X" _# ?2M(Pn+Pn’)        6        8        10        12        126        128
2n’        0        2        0        2        8        6
n’        0        1        0        1        4        3
# d8 i, d1 Q5 l& J0 SPn        3        3        5        5        59        61
- W/ ~4 t* S" c% LPn’        3        5        5        7        67        67
) v. [7 `/ f' |$ I4 B# b
注3：在（3）*式  Pn*+Pn*+1=2n’+Pn+2n”+Pn=2Pn+2n式中
/ y5 i& f  G/ Z' F, ?3 T/ l# k6 V若 Pn=2 代入得  Pn*+Pn*+1=2n’+2+2n”+2=4+2n 或Pn+Pn’=2n’+2+2n”+2=4+2n……（2）’
式中  2n=2n’+2n’’  即  2n’  2n’’为2n的奇数公由数  （这里0既是偶数，又是奇数）
8 ]; K% F2 I% y; [, a* |' r9 {- z# }例  当n=0，1，2，3……自然数集时 代入上式得 2+2=0+2+0+2=4+0
& B9 m% I% K9 v. |, U                                          3+3=1+2+1+2=4+2
) e3 O& k/ g7 Z; l3 E: o                                          3+5=1+2+3+2=4+4
/ u! T$ w' Q5 s. v8 L- }5 J, f                                          5+5=3+2+3+2=4+6
5+7=3+2+5+2=4+8
7+7=5+2+5+2=4+10
$ B; ]3 x0 P0 r6 _6 M! i59+67=57+2+65+2=4+122
61+67=59+2+65+2=4+124
…………………………
9 i- R- W: ?7 d& h; X0 e在(2）’式中，设 2n’  2n’’为2n的最后一对奇数公由数
8 p9 U  \0 K$ o当n=0，1，2，3，4，5……61，62……∞/2自然数集时2n的最后一对奇数公由数为0、0。
1、1，1、3，3、3，3、5，5、5……61、61，61、63，……∞/2、∞/2。
3 u' m6 T! u% U) U& U' M7 g  y若n为奇数时  2n’=2n’’=n
若n为偶数时  2n’+1=2n’’-1=n  代入（2）’式     再根据奇质数定理   得  (Pn+Pn’)/2=2n’+2=2n’+1+2=2+n=M
M=2+(0，1，1+1，3，3+1，5，5+1……61，61+1……∞/2)
, z, [! i! L# c  N- p =2+（0，1，2，3，4，5，6……61，62……∞/2）
=2+n=2，3，4，5，6，7，8……63，64……∞/2
再根据奇质数定理3，得Pn+Pn’=2M=2x(2,3,4,5,6,7,8……63，64……∞/2)=4，6，8，10……∞=4+2n或Pn*+Pn*+1=4+2n
即大于2的偶数都可以表示成两个奇质数之和。
笔者   蔡正祥
7 v  n1 C6 o+ m* E8 I: B) q        2011-8-6
通地址：江苏省宜兴市宜城镇环科园丝绸花园51幢306室
邮政编码：214206           电话：0510-87062749     18921346656  15370276856
籍贯：江苏 宜兴      工作单位：宜兴市张渚镇政府
4 l- l" F2 c4 w# G


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蓝色琉璃

看起来不错。。。。。。

wangxun2010

好，不错

学会适应

真的很不错的！
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