典型同态映射的实例

lilianjie

% w" Z% c! p: _9 x* w
6 p/ [9 j6 [! `" Z5 j
三．典型同态映射的实例

+ S: J+ m& y2 G) ~
# E8 W$ P* ~3 n
--------------------------------------------------------------------------------
% A+ n( C5 ~3 g
3 `( U, s  x9 q& J7 V6 q 例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
# a5 [; H: d' n. o: o: m??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
  T) r! o; c$ G; Z( C& A???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
; g. L( Q: ~) v- n! U  o9 g! k) B      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
( H1 b* O% Z7 b
?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
  H6 p) t& _0 L' f1 ?则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
4 X- G5 `- q2 L' u, r! r?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1


* u! B% Y3 O. c# e
例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
* P4 T9 C0 \$ U# N则是G的自同构,称为G的内自同构。
& W) P7 b  d8 a$ Y/ V* J6 n. @) I
  ]& f& z* p4 \7 w! ~" F? 证 x,y∈G有
$ e! y& ?/ y& J' r& [6 f??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

所以是G的自同态。
2 V3 e0 x1 f3 @- T! Z  ~
   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
- q1 Q; {1 p- d1 t3 q5 l所以是满射的。?
4 r: ]) f8 E7 j5 |/ k9 u5 Z- z7 o
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
: T) ?: f  G2 L??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
# S6 T* t5 D4 ^! G% ]5 X这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

% H4 R3 H' N- }6 J" {+ n" E8 y??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
  n5 p9 p$ a" f: Z4 _1 F???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
: |! i5 H$ b! r9 B" }. o???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
7 l, ]+ Q) b" {$ U. i在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

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例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

9 O4 O0 t) n! w% b* X7 M3 l? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

4 H7 }! V: W/ N0 l??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
- s, X4 a& i4 s- y5 o4 i
??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
$ H" S, \7 ?/ A" h$ J; a% T
??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

) v3 H8 |! Z! U??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
) m, p( h3 a: z: u+ a
$ i% u; f, q( A$ o) _???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
( P1 n7 L8 U# h9 p/ m4 x
成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
: o  m/ T/ ]% t