典型同态映射的实例

lilianjie

4 E3 X9 _, _  D3 Q  h( U
" |+ e5 z$ R* W" M* n
8 x' ^3 b; \0 n" n$ p6 ?" [+ P- s三．典型同态映射的实例

( z" C& j  a! l1 n

" n1 \9 _! n4 J$ d7 p; S$ v--------------------------------------------------------------------------------

例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
7 l/ Q: O! Y4 v$ X; m9 W4 w' |0 N???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
: K: C' _4 v8 R3 m则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
7 j$ C& {1 t3 ^+ O2 O6 p+ c- u) t????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
: O) m9 b  O( J( x6 q??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
) I& `! J- R0 z( U8 ^: h???????????：R→R*,(x)= ex
) Q$ B1 A5 R+ y: c, [; e则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
+ h  M- Q% B0 a) O7 g  N
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1


% X' N/ t7 C$ D  }  D
; a, t, Q5 {2 y& i6 X  J4 v- G" b 例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
2 G1 S+ r8 w7 X( g2 x1 P则是G的自同构,称为G的内自同构。
' U: N' Z  {$ Y/ U; l
? 证 x,y∈G有
??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
3 L9 S' @! |' @7 g0 W. z
所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
7 u8 c$ \: |2 F+ Z  [: s) h所以是满射的。?
; b) m% x9 _: p( ]( J. D2 H  J
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

   综合上述,是G的自同构。
" t5 o. _" b& h" I, R
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
' l) f) Y. s% u; z6 Z, w这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

7 j! p" U( Y3 `# [??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
3 a3 Q# s. R& c* w???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
# n7 z* F' U* Z/ C. Q1 @1 k???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
! F$ f9 V7 ~5 y4 Y* c
--------------------------

例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
7 |2 j, h. [0 n- H) }2 p" t4 R/ v
" @, u, f3 g) u! e3 D? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
! Z' l/ ?/ m0 _$ \. l) ~7 X+ G, T: g
: n. U3 g" [# Q" e+ e! T3 U??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c
5 F8 O4 a# ~. b4 k7 q7 l2 w
??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
; b: W1 w; ~4 }6 k
??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
  r. P- }8 l. I( ]0 g0 K
??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

# [4 R: U2 V- s/ Y! G0 {根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
; d0 I, w/ k3 {9 K  |% x8 {2 Z
0 A' B9 _5 T1 M5 {* b成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。
, a" q5 P0 E4 K3 s" N# \7 K0 T