典型同态映射的实例

lilianjie

# \# C, f- O4 X5 W7 X1 z7 y) H
三．典型同态映射的实例



/ j, L6 c" M3 {: e. ]- A0 P--------------------------------------------------------------------------------

例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
9 q1 G* f% W' c1 U: g???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
9 _. z% s$ E( P) [& i7 a" B- ~. |??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
; H! p" L9 K+ V' C2 ????????????：R→R*,(x)= ex
, _& ~$ t7 h/ n则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
- {6 G$ @! w; \; @% b7 i( B% G      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

" B! y, k7 s0 M! d; A3 _  `# e% m' E?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
3 ]7 O) c5 o9 d1 Z# S: ^5 W?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
5 N5 q% P7 E: b& y0 F/ m, x?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)
4 \( o! O0 x# G8 n" p4 @
??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。

例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1

( u! x# u3 d* H/ N9 V# y0 `4 x
- Q5 l* i& s/ n& f
) v& Y: A! i+ e7 s3 f% l 例11.23 设G为群,a∈G。令
0 S2 y! A# a: M/ b5 S. O  }0 Z1 s????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
1 z0 S1 A+ l0 p( ]8 B??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
; W- D. `' g) m4 V/ Y& t* F" b7 i' h
9 R$ \& e8 Z0 n3 i  P所以是G的自同态。

   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
所以是满射的。?

   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

   综合上述,是G的自同构。

: d9 J% \2 P" A: ~! h. [  }5 a??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
2 t6 C4 }7 g6 V??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

2 J/ B4 k9 s# d* z7 V$ L??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
% I6 M, B0 l) D6 L8 ]+ W/ u$ Q! J  `???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
/ q- e9 F( Q, [& H! y7 V- d7 u???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
) B, a" Y  ~8 N' n: m3 x: |' c! c在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
# m! b, g3 K/ K' {) x
--------------------------
# b; N* K/ ?7 R7 t
例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

0 ~. p& c2 k7 a* F- u# n? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：
6 o7 d+ c( B: [. F
- P% Y5 J* W4 O' V, ~9 B! {??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
+ G( W* V: n/ c$ N3 f
??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a

! u3 L: v- c8 @. n. J* U??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a
* j6 e2 r/ e# o& y/ B6 @
??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
6 d0 ^! D! a: j. P6 }
根据同态定义,不难验证x,y∈G都有
" m' g+ p- F- q' Q, \! W8 @0 W
  E" U" x$ h" @. o2 _4 V2 g$ J???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。