典型同态映射的实例

lilianjie

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) e8 V4 `- R( {2 m# L6 c) V
! T$ g  V! L* d三．典型同态映射的实例


$ W; O' t5 s3 N$ C  t% i
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例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
  c6 `! A# N2 ~' `+ n/ y??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
6 }* k* Q: }' @: W8 @- e" a6 v???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
2 m! l9 }! S" P3 I0 d      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)
+ }/ x: [, b9 G
; I: v& m2 D6 l1 j9 R7 h/ l: h?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
. O9 W8 |9 [& u- i' D8 m% j- Q/ a. a8 m?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
7 J& q! F7 E4 N' f% Y?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

5 P9 w8 P% M& J??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
, a4 Q* s6 v* H3 x' J4 L
例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
3 M* N9 a6 i2 `$ ^, s( e???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1

* v" F- [. C+ R* {+ [
7 R  Z0 v! G) Q: |2 R3 E
例11.23 设G为群,a∈G。令
????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
/ w  a: g- h6 y" U& N  N则是G的自同构,称为G的内自同构。

? 证 x,y∈G有
" [( K+ C/ C+ H: y??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)
6 j7 o, n- {! z
所以是G的自同态。

7 v! X- ~. ~! M7 Y0 m* ?. y5 C* H   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
$ m, ~! \: n+ j! f. M' e; G6 t+ R??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
* r8 k( J* `0 Q- n所以是满射的。?
+ Y5 A3 i. p  L: C/ ]' G1 h
5 R* i! ]) v: U. U9 E! A, i: b! L   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

   综合上述,是G的自同构。

??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
5 F9 R8 n0 _7 m6 @5 Y这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。
2 J/ d9 A5 P! ?% z
??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
5 d+ G! D, o" o  {) M% L; i7 w1 o???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
# L) d0 ?) U- l; o???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
! n. s1 T6 O  [3 L! ^( ~???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。
6 |1 c$ e% e% Q( F7 o% v; \
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" E# D  k, r9 y- [ 例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。

? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
& u' n' P$ _# {( q' T
??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
8 u3 S: n  T0 {% e" z$ h
??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c
( I' q! m6 L# e+ g; e! l% X
& b( R. P2 u+ u  r$ \' g??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b
4 G& `1 c4 J: e
根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

; Y: Z3 G# s, ^* ~% @???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6

1 d( ]! p& C# i; T5 F6 m成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。