典型同态映射的实例

lilianjie

0 A0 i  C! K& m2 n& H# E
! J' ?' u5 ]9 V4 H8 N6 h三．典型同态映射的实例
- [3 y9 `& Y: f; c, y


* N9 j5 _6 A, o5 @2 \9 Q0 d1 ^5 Y--------------------------------------------------------------------------------
# x1 x4 t( O5 f9 J
例11.21 (1) G1=<Z,+>是整数加群,G2=<Zn,>是模n的整数加群。令
. G) \7 E! T2 c: ?+ p9 K: C0 @???????????：Z→Zn,(x)=(x)mod n
( d8 n) u7 i+ J! L- T则是G1到G2的同态。因为x,y∈Z有
????(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)
  I+ |$ x( g8 Y, C0 h* |9 I??(2) 设G1=<R,+>是实数加群,G2=<R*,·>是非零实数关于普通乘法构成的群。令
' w; O! Y/ E+ V; z???????????：R→R*,(x)= ex
则是G1到G2的同态,因为x,y∈R有
/ h3 m! z, ^/ m. s6 F, p* v4 b5 B, I1 t      ????(x+y)= ex+y = ex·ey = (x)·(y)

?(3) 设G1,G2是群,e2是G2的单位元。令
* K8 j2 u; w( F  b1 d?????????：G1→G2,(a) = e2,a∈G1
( b( l" ]# d  e8 k6 v则是G1到G2的同态,称为零同态。因为a,b∈G1有
( M# K7 N0 n- ~- E?????????(ab)= e2 = e2e2 = (a)(b)

??例11.21 (1)中的同态是满同态,这是也可以说模n整数加群是整数加群的同态像。（2）中的同态是单同态。由于ran=R+,同态像是<R+,·>。这两个同态都不是同构。
6 D2 a& H! O. m5 T
% d$ y# M& N6 e% P 例11.22 设G=<Zn,>是模n整数加群,可以证明恰含有n个G的自同态,即
???????：Zn→Zn,  (x)=(px)mod n,p=0,1,…,n-1
. S7 R6 ~4 Z% }1 S" D1 f

; x- t2 u6 s5 g
, C- ~  R; p2 d' U9 S 例11.23 设G为群,a∈G。令
/ l2 W  a* G) j( `3 F& z????????：G→G, (x)=axa-1,x∈G
则是G的自同构,称为G的内自同构。
0 R$ |, Y' y# i3 N  G
? 证 x,y∈G有
' o0 l& z0 q) Z2 {2 C??????(xy)=a(xy)a-1=(axa-1)(aya-1)=(x)(y)

/ u; a2 J6 O, \. g% ~. `6 h所以是G的自同态。
8 d; h% c2 j* P$ Z& u2 T0 x
$ y4 @* Z' Y  W: v+ x7 o* S   任取y∈G,则a-1ya∈G,且满足
8 z2 J) B; h4 e: k* @! z??????????(a-1ya)=a(a-1ya)a-1=y
* A& s  F( g% O" f+ ?# s所以是满射的。?
% [6 F8 k1 h8 ~% y
   假若(x)=(y),即axa-1=aya-1,由G中的消去律必有x=y。从而证明了是单射的。

   综合上述,是G的自同构。
6 J6 I% G' C/ X
??如果G是阿贝尔群。对于上面的内自同构必有
??????????(x)=axa-1=aa-1x=x
这说明阿贝尔群的内自同构只有一个,就是恒等映射。

0 I( L  S& G7 F??考虑模3整数加群<Z3,>,根据例11.22,Z3有3个自同态,即p=(px)mod3,p=0,1,2.
6 o& {' B" O- k???????p=0,  0={<0,0>, <1,0>, <2,0>}
???????p=1,  1={<0,0>, <1,1>, <2,2>}
???????p=2,  2={<0,0>, <1,2>, <2,1>}
在这三个自同态中,1和2 是 Z3的自同构,其中1是内自同构。0是零同态。

! i' z& _7 {  Y3 C( S& q% T--------------------------

例11.25 设G={e,a,b,c}是Klein四元群。试给出G的所有自同构。
4 n4 N, i7 k7 |; }9 ^% p8 ~; @5 B
$ e) `1 ^6 \3 g" M5 r0 B3 O? 解 设是G的自同构,则(e)=e,且是双射。因此满足这些条件的映射只有以下六个：

??????1：e  e,  a  a,  b  b,  c  c

??????2：e  e,  a  a,  b  c,  c  b
9 @7 f( U2 V8 D- Z, R4 _6 h6 u- T- ?
  n: K1 `" K/ L% f4 F??????3：e  e,  a  b,  b  c,  c  a
3 y8 W& A8 n* L) D- D- W% e+ l
??????4：e  e,  a  b,  b  a,  c  c

+ H- @: R5 H9 b. Z! D$ F' z7 H??????5：e  e,  a  c,  b  b,  c  a

: b& j2 T1 q6 U$ t??????6：e  e,  a  c,  b  a,  c  b

根据同态定义,不难验证x,y∈G都有

: K" f7 t  y1 C7 n* Z0 M# f! @???    ?i(xy)=i(x)i(y),i=1,2,…,6
% F. j+ f$ B; `. |- S/ x+ h
5 R$ P, n/ W+ R# ~成立。所以上述的1,2,…,6是G上的全体自同构。