同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
杨天生
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摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
5 x; t9 W: {/ l4 I+ u; b& R* h2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
# p% I+ k0 y# W- @5 p# }4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
) M+ y4 i+ W: Q4 S- u* W) {主要方法：数学归纳法
; {9 @3 |- k4 z  C% ^5 Y关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理
; T. y9 e8 B1 I# _, {
正文：
' B2 V8 n) v$ e+ z$ y# |我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
8 k9 N" Q) I2 o8 j9 `一、同素的相关定义
. N, ^( Q5 s" [0 `0 d- l观察下列关于自然数的算式：
给定奇数1和45，有：
$ q' Q/ ]: M; @5 _% H5 i1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
给定奇数9和123，有：
4 y2 F% Q. P9 v. h9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
& ~; {% M( {! v9 T2 E: [3 c, p定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
# Z, G7 j1 N5 s. ~特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
. p7 ^; p2 j6 w9 b另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
) J6 ^4 s& \8 s9 Q) `我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
) L: \9 t8 Q0 Z5 L0 c- F7 }' i* [例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
$ [: ?$ r+ u3 u& P' {由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
, Z0 U& g6 H* i' i二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
' W  e, z  T9 R0 `9 j: C4 c1 f1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
0 C4 d* j9 @) v7 c$ C, i证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
0 m& w& ?9 {$ [: k②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
∵M（2k+1，b）
- Y. j' ~. I2 X# G# E∴M（2k-1，b+2）
  n; w+ R9 G9 [∴M（2k+1，b+2）
9 L9 b3 v6 h3 u6 @9 w9 u) J$ T∴M（2k+3，b）
/ `% K, p# ^8 _2 o" e/ b即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
3 i4 ^# b: _; T0 @% Z4 o0 |2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
" H0 h) S5 o, t9 `9 o8 c（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
∵M+（2k+1，b）
! x7 v5 b* @& g) {∴M+（2k-1，b-2）
# x6 e2 O. h' H" z∴M+（2k+1，b-2）
2 e/ t8 N5 F- z! j4 g  n( N∴M+（2k+3，b）

: O1 `6 N' n0 j2 s' U由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
由M+（2k-1, c）得：
( d9 k3 {: G0 eM+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
∴M+（2k+1, c）
7 g3 [2 y9 N- v+ {: t7 ~2 i由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
  J' \: z) m/ v- n4 zM+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
: t: v( _, c" `. G) uM+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
) F& i; O+ Z  r由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
4 r1 w. G% j& O证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
; S4 V# c* ^3 h( O# D, d8 H6 NM+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
3 i. h9 A  s3 a' @# Q∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
: A  T) i: C, [……
∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
∴M+（2k+1，2k+1）
" L% k. `3 T3 _5 r/ g5 Q0 a由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
" A. z# O! v# r% u, T" L+ c同理可证同为偶数的情形。
- h4 H) x2 Q% u6 Q* g% B% N2 R三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
* D% z' G& F3 p- M/ K已知：2n(n＞2)
求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
$ N" M( ?( |% o) o6 X# A; z* f5 b证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
" M! W* G$ f" E  H( ^+ F2 P& ?6 t      M（1，b）成立
# o4 S8 y# h+ K      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
( ]; a* g4 g, _1 U; g3 S事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
2、孪生素数有无穷多对。
" s- W0 U$ g$ D/ _9 R证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
: P- G& c  N$ G而（a+2m）-（b+2m）=2
∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
9 l3 ^1 y3 r7 K# X) p显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
, M* Z; ~5 N- Z6 y假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
同理可得，多生素数不存在。
7 r! T( Q0 Z- G$ _/ [! x  T推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
证明：任意给定偶数2n
∵M+（1，2n+1）成立；
! _$ _7 j" B$ x1 ?' v0 V& a! L∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
6 U  t5 P# n' p2 M4 Y有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
5 o( J1 t, k( _- X% B. t6 z
0 y) v3 N% @9 x. T& ^4 x参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
' [6 E7 `; z4 d8 f8 p          2、陈景润《初等数论》。

马路人群

请多指教。

茉稀

请多指教。

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
1 K( O3 z* k; T" y  g