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同素理论与哥德巴赫猜想

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    [LV.3]偶尔看看II

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    发表于 2012-9-4 21:00 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    同素理论与哥德巴赫猜想: ]5 U5 ^4 n, ]) F
    杨天生1 ?6 r# |  p) n& g6 }' J: |+ ]. k
    QQ:784177725! E7 V$ y/ N' W( P- m
    邮箱:yangtiansheng68@sina.com) c* W- R* ^9 s2 P: Z8 D& K
    摘要:1同素理论:一个自然数a和另一个自然数b,如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数,我们就称a和b关于m同素;
    4 g3 A6 d% u& _8 A2、对于自然数a(a+2<b)如果与另一个同奇(同偶)的自然数b,有M(a,b),则M(a+2,b)也成立。- x; R- t; D% S. ]1 v/ c1 M
    3、对于奇数a,b(a<b),如果存在非负整数m,使得(a+2m)与(b+2m)同时为素数,则称a,b关于m增同素;
    2 h# P: j9 f: }( \& @, ?4 N4、对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。当a≠1时,其逆也真。( J& y2 ]' a# y) w( r
    主要方法:数学归纳法! n, v( K  t5 {% x5 P( g
    关键词: 同素   增同素  同素定理  增同素定理
    % k0 C  x/ m3 [; g+ x6 Y
    3 l7 y2 U& I1 Q1 G正文:9 d  D( M' I6 z1 M
    我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究,认识了自然数的整除性,奇偶性,总结了许多规律。其实,自然数还有一类重要特性——同素性。
    4 C' W7 [( y4 a' g9 }一、同素的相关定义
    - v  d" R4 [; Z观察下列关于自然数的算式:$ @/ @1 V9 g7 o9 z7 Y8 E
    给定奇数1和45,有:; n; f9 a) E7 h1 i
    1+2x8=17(素数)、45-2x8=29(素数)
    / j' p' Z/ m* H+ Q) a, e6 ~给定奇数9和123,有:+ G7 ]% B0 v5 f+ @' m! v" G
    9+2x11=31(素数)、123-2x11=101(素数)
    ) s& {$ c: f* B3 ^7 Y* B给定偶数数12和94,有:8 O. F8 A* r, _6 X1 O' T
    12+(2x6-1)=23(素数)、94-(2x6-1)=83(素数)0 O' q! N9 K# p1 a9 E
    ……" O7 h3 t& i( t+ z9 T" E
    定义1、一个自然数a和另一个自然数b(a,b同奇或同偶,a≤b),如果有a+2m与b-2m[或a+(2m-1)与b-(2m-1)]同时为素数(m为非负整数),我们就称a和b关于m同素,记为M(a,b),m称为a和b的同素模,a=b时称为本同素,a≠b时称为异同素,a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0,同素模有可能是一个或多个。) ]) g; w. }: ^9 m$ P' p
    特别规定:M(1,1),M(1,3),M(2,2)没有意义,即M(1,1),M(1,3),M(2,2)不存在。
    * ]" @1 g$ z  S3 m$ t, Z+ ]! @' ~另外,在M(a,b)中,M代表同素变换,不代表任何具体数,m为一具体数,但不固定唯一。( Z. ?7 b, g( y  L2 c9 J
    我们根据同素的定义,容易理解M(a,b)成立时,M(a+2n,b-2n)或M(a-2n*,b+2n*)(n<b/2、n*<a/2)也成立。
    , H2 i! Y$ T" G, ]& y' @8 c定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b),如果存在非负整数m,使得(a+2m)与(b+2m)或【a+(2m+1)】与【b+(2m-1)】同时为素数,则称a,b关于m增同素,记为M+(a,b)。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+(a,b)成立时,均满足a≤b的要求,不再特别注明。
    ! T4 k  W9 r2 W$ ]例如对于奇数1和5,1+2*1=3(素数),5+2*1=7(素数)
    8 i5 U" X) I6 p+ Q% T2 Z$ f$ O所以有M+(1,5);对于奇数15和43,15+2*2=19(素数),43+2*2=47(素数)所以有M+(15,43)。
    & o' M  ]" @, z+ E) C/ j由于素数有无穷多个,显然任何奇数本身满足增同素,两个素数永远满足增同素,其最小同素模为0。
    ! R' E# M9 f2 b% M, H2 S根据增同素的定义,容易理解当增同素模大于1时,如果M+(a,b)成立,则M+(a+2,b+2)或也成立,其增同素模为(m-1), M+(a-2,b-2)也成立,其增同素模为(m+1)。
    / I) w; }! l! n定义3、给定素数a,b(a<b),如果b-a=2,则称a,b为孪生素数。5 `+ s0 A" @- Y0 v# e1 d" n
    定义4、给定素数a,b,c(a<b<c),如果c-b=b-a=2,则称a,b,c为三生素数。
    $ c# P% p0 `* U- c% ~6 q+ n定义5、给定素数a,b,c,d(a<b<c<d),如果d-c=c-b=b-a=2,则称a,b,c,d为多生素数。. i; d& a0 P+ U* w6 T
    二、同素的性质
    & K4 E' O7 L3 O  l7 k自然数同素有许多有趣的性质,下面举出几例。
      @9 m$ e) k; q+ N8 E# e4 t  j1、同素定理:对于奇(偶)自然数a(a+2<b)如果与另一个同奇(同偶)的自然数b,有M(a,b)成立,则M(a+2,b)也成立。7 M8 }( P2 s; h( X9 c: A5 S
    证明:先证明同奇的情形。为了叙述的方便,我们不妨先讨论a=1的情况。- E; W6 N4 U( w# H& H
    ①、容易验证:据M(1,5)有M(1+2,5);据M(1,7)有M(1+2,7);……   ,据M(3,5)有M(3+2,5);……。# T' u0 ~* ?; w$ T- G, N" O
    ②、假设当a=2k-1时,上面定理成立。即M(2k-1,b)成立时,有M(2k+1,b)成立。那么当a=2k+1时,有:
    7 i" t  \5 x+ P0 U9 n∵M(2k+1,b)
    3 y) K$ t$ v' Q' D4 D( x∴M(2k-1,b+2)
    - A& q+ Q7 l- A! C$ b  l∴M(2k+1,b+2)0 N; ]: q7 c, {' Q1 y
    ∴M(2k+3,b)
    & _$ X; J. G9 F1 [: {即当M(2k+1,b)成立时,有M(2k+3,b)成立。  [% O* @9 z) \+ t$ V
    综合①、②,由k的任意性可知,对于奇数a(a+2<b),如果与另一个奇数b,有M(a,b)成立,则M(a+2,b)也成立。/ i# R$ ^7 }. g2 f
    同理可以推出a,b同为偶数的情形。
    / q- N# j" ?8 L6 @! @! O  ?0 y$ e; B综上所述,对于所有自然数,如果M(a,b)成立,即M(a,b)有意义,则M(a+2,b)也成立。, v* u2 w; j: D. g/ X7 j
    2、增同素定理:对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。9 A( V' ^6 i( L. T- J1 R- V
    证明:(1)、显然由M+(1,5)有M+(3,5);由M+(1,7)有M+(3,7),……;由M+(3,5)有M+(5,5),M+(3,7)有M+(5,7)……;! h7 B& X" \. X. o' y# _6 F
    (2)、假设a =2k-1时上述定理成立,即M+(2k-1,b)成立时,M+(2k+1,b)也成立,那么当a =2k+1时,显然由M+(2k+1,b)可以得到:
    , B- w9 `4 M) [# }& j, U∵M+(2k+1,b)5 `6 o9 G( w! b' p$ E
    ∴M+(2k-1,b-2)
    % B: }$ G5 T* J* p+ N6 E3 S∴M+(2k+1,b-2)
    8 {! ~, F3 R+ ]- ?9 h' B: g/ R∴M+(2k+3,b). [+ Z' ~) v/ o- t' z& H# @

    , [; j& {4 ~; N4 }5 T由于素数有无穷多个,那么选取适当的素数c(c>2k-1),在小于(2k-1)的范围内任取一素数d,显然M+(d, c)成立,根据假设,有:M+(d+2, c),M+(d+4, c)……,M+(2k-1, c)也成立。1 }3 n2 @2 @& b# \: r& X, n# S. H3 p
    由M+(2k-1, c)得:0 f8 Z  _1 y5 |' `7 U' C
    M+(2k-3, c-2)7 D4 e0 f* y  z4 C+ t8 M
    ∴M+(2k-1, c-2)
      ^" r5 M. N) O7 P( X0 U% E∴M+(2k+1, c)
    7 J: J* |" e$ G3 P7 T; d7 [由k的任意性知,对于两个奇自然数a,b(a<b),若M+(a,b)成立,则M+(a+2,b)也成立。% T5 ?; F: k. d1 O* l
    下面我们再来证明当a≠1时,其逆也真。
    6 k5 E# v4 E' e9 b& u- e(1)、容易验证,当M+(3,5)成立,可得M+(1,5)也成立;当M+(3,7)成立,可得M+(1,7)也成立;……当M+(15,27)成立,可得M+(13,27)也成立;……
    8 Q8 t& g# k: G* Y* {4 U: M9 R" P1 `(2)、假设当M+(2k-1,2k+x)(x为奇数,x≥1,k>2)成立,可得M+(2k-3,2k+x)也成立,那么当于是M+(2k+1,2k+y)(y为奇数,y≥3)有:& E) I* \1 T/ m% m9 B
    M+(2k+1-2,2k+y-2)即M+(2k-1,2k+y-2),根据假设有:+ A' b2 c# o5 L% l
    M+(2k-3,2k+y-2),而k>2,故2k-3≠1,
    - {- j8 m/ Q4 |- C% k/ F. S∴M+(2k-1,2k+y)
    1 C3 y: }" d6 q" t* t, Z由k的任意性知,当a≠1时,其逆也真。& l+ |1 L( k, c
    推论:自然数中,所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
    , y" O+ H3 u/ {- S证明:先证同为奇数的情形:
    7 X" R% r4 \: Y. U: g(1)容易验证,M+(1,3),M+(1,5)……成立。  m* N  ^  e' {7 V$ J
    (2)假设M+(1,2k-1)成立,那么根据增同素定理有:
    $ o6 k* Q* o$ b% PM+(3,2k-1)M+(5,2k-1)……M+(2k-1,2k-1)也成立。而M+(1,2k-1)成立,故M+(3,2k+1)成立,2 `: Z& W2 t7 b' x# e2 F( M
    ∴M+(1,2k+1)
    8 ^! N- {. C* f& L) Q∴M+(3,2k+1)
      ?9 c$ v/ v* l) @2 `' f* J' U……, M% d) V  \8 H  \' }
    ∴M+(2k-1,2k+1)& G: ?6 E8 }  _' O! N
    又∵奇数本身永远满足增同素
    " {; J2 ]$ q8 K∴M+(2k+1,2k+1)4 n( H0 ^" Y! @6 @/ c6 v; r' @
    由k的任意性知,自然数中,所有奇数两两增同素。
    & k- X; I5 q6 q9 d同理可证同为偶数的情形。2 |) W. e: e- e  N* g& S1 p/ A9 f
    三、同素理论的运用举例
    3 W4 R# _) {5 g1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
    9 P% c4 n/ M; S4 W+ ^* N已知:2n(n>2)( F. Z# I) `# S) U; Z
    求证:2n=p+q(p、q为奇素数)2 {) Y2 R! d; x1 S
    证明:∵2n=1+b(b为奇数,b>3)  N# x2 n6 Z8 w
          M(1,b)成立
    ' _# ?( c4 O7 _/ ]      即1+2m与b-2m同时为素数
    ' D* J7 X# A+ g0 x& V! I  ~( N∴2n=(1+2m)+(b-2m)
    6 q: X- H/ E0 R! A( r+ Q+ A+ ]# n+ @, t令p=1+2m,q=b-2m,有:' _  e* f0 Y) r) |6 ?
    2n= p+q(p、q为奇素数), o3 T, b4 n6 R
    推论:任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。2 ^  W. P; K3 j( G5 P( S5 L
    事实上,任何一个大于7的奇数,一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和,而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和,故推论成立。$ f8 U/ l* p' V2 J1 b2 G
    2、孪生素数有无穷多对。9 ]6 K4 P! l$ h: s! D0 [  ?
    证明:假设孪生素数仅有有限对,那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a,b(a<b),
    2 X2 ]- m* y: a; i∵M+(a,b),故存在m>1,使得:6 B8 c; L; F& _4 J4 ?' K
    ∴(a+2m)与(b+2m)同时为素数
    ; d! j, G4 Q: }+ B3 _/ p而(a+2m)-(b+2m)=2
    , W7 _# I6 ?- a, @∴(a+2m)与(b+2m)是孪生素数。
    / _8 [9 C4 b# C* G  o- i显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
    # H% b: `+ `' i! j8 E% o推论1:三生素数只有3、5、7一组,多生素数不存在。
    $ Y! E! `9 R8 t0 J$ u! ?假设除3、5、7外,还有另外一组三生素数a,b,c,
    - G7 H) G9 u  M8 e; m: \8 }则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1,则b能被3整除,与a,b,c是三生素数相矛盾;如果余数为2,则c能被3整除,与a,b,c是三生素数相矛盾。因此,除3,5,7外,没有其他的三生素数。2 b* I1 G& I) q2 J
    同理可得,多生素数不存在。. V6 m3 y2 @1 P
    推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
    ) B) ]% N' {. _* A0 [证明:任意给定偶数2n- U" o6 J: B/ R0 p' c& P
    ∵M+(1,2n+1)成立;
    , {. ?1 r1 {# u% S' u+ Z∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
    7 w; }3 g$ a! b( k有(2n+1+2m)-(1+2m)=2n" R. a. D$ l" }4 G7 y4 Z( H
    1 W2 |6 t8 q) P! z- I/ o* f0 o
    参考书目:1、《中国大百科全书》数学卷,华罗庚、苏步青等主编,1988年11月中国大百科全书出版社出版,P628-P629。1 C7 L% `. ?1 ~% H: w; r  G2 E( N8 p
              2、陈景润《初等数论》。3 Q6 k" P* v  ^# k0 [
    zan
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