同素理论与哥德巴赫猜想

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同素理论与哥德巴赫猜想
1 F) k2 ~2 Z) B3 J6 t杨天生
QQ:784177725
2 F6 a/ Z9 n& V% d9 X4 r, Q4 C邮箱：yangtiansheng68@sina.com
  x3 R/ [4 A: T6 x6 a7 k  x: Y6 ]摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
& g7 h' Z3 \, }# Y+ q# \& C  }4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
+ e& }1 _: U# U% R  r. d主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理
5 K5 S, C& o3 G/ p" q/ D1 N' U. p
正文：
" u$ o4 N- `; e3 i" c我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
一、同素的相关定义
; q2 `) @- C* T$ E* b/ G+ h观察下列关于自然数的算式：
给定奇数1和45，有：
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
. l$ n7 K* \8 D给定奇数9和123，有：
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
. O9 ]5 \4 K: q' N8 I/ C; |定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
3 i2 b# s+ l+ R2 Z. g特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
7 p( z; c* p$ K% E7 t0 I另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
3 Q) m* _+ s5 R8 Z我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
2 T$ Y9 x9 `4 a) t6 W6 a定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
0 Q$ o4 V( t( D$ j/ _8 e例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
5 h  `" N* J  |2 Y$ [定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
+ Y4 g0 Z" j5 d3 z定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
5 s  {; {6 ?" _( r9 f二、同素的性质
7 c  @' R' D! i3 f9 s! s5 g* C自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
∵M（2k+1，b）
/ a/ B5 }) G1 G3 o5 c; H" L4 D∴M（2k-1，b+2）
∴M（2k+1，b+2）
" m# ?+ D8 h6 X∴M（2k+3，b）
! E% ?: P2 c1 _# b& I: b( _9 {即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
& Y& S* A- Z3 Z7 G综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
同理可以推出a，b同为偶数的情形。
  J- p9 }! [9 R. g7 e5 j( D8 {综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
∵M+（2k+1，b）
% H3 \4 ^1 S% p9 x! M  t% M/ T∴M+（2k-1，b-2）
6 {. w' y* w" V: a4 L∴M+（2k+1，b-2）
∴M+（2k+3，b）

- ^% d/ S8 W/ \/ @4 R由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
1 t, g( d9 w4 o由M+（2k-1, c）得：
M+（2k-3, c-2）
∴M+（2k-1, c-2）
∴M+（2k+1, c）
由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
9 ^! i1 \8 d( Q2 V( X下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
0 P1 O) {4 r9 n（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
  Q* T3 P( O; K# m. n, U由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
7 E5 L' I2 B6 x4 l& z, A8 u推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
( Z: i. Q, W7 ^3 M1 d4 X4 TM+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
! m- b" `# \! m6 L0 q  i- M- D∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
1 k' z) w2 b0 _/ a  F; r……
; N+ X0 i7 \1 |- m2 u∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
1 n) v9 F/ S7 I% O& i同理可证同为偶数的情形。
三、同素理论的运用举例
- x. \& M( E2 a. N% p: n1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
0 k8 {% j9 o! W/ V* r$ Q' J已知：2n(n＞2)
+ H: S2 R! t) Z: C' p求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
$ X  }$ v) i7 v4 ?证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
0 e/ c! x3 @* F3 E/ a$ [      M（1，b）成立
      即1+2m与b-2m同时为素数
/ e6 Q% h' U7 e) M∴2n=（1+2m）+（b-2m）
令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
+ ?/ \& i4 Y( Y+ w4 L8 S2、孪生素数有无穷多对。
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
5 |: N% P. T# y) W∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
9 N2 N$ N( o& T9 a. {9 |2 N+ d∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
; \9 u- v& m9 B! g7 A1 ?而（a+2m）-（b+2m）=2
2 `8 O# ~- B1 r- f0 u& v∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
5 B/ V: v) Y  f$ a/ z推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
7 y4 g- d( ]% s6 L$ J3 m同理可得，多生素数不存在。
" ~; k3 y% A: a. _4 G! z推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
2 A0 F# R' x% G+ D. g+ K证明：任意给定偶数2n
4 e% M0 x# a' y4 X: y∵M+（1，2n+1）成立；
∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
3 w5 [' y6 W, o( Q- x0 S* l$ J有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n

参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
) b& h) ]/ [6 L. w) x2 [$ f          2、陈景润《初等数论》。

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请多指教。

茉稀

请多指教。
: s4 V6 R" j( D+ x2 k$ A

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同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；