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合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

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    [LV.7]常住居民III

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    发表于 2012-12-24 16:08 |只看该作者 |倒序浏览
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    在自然数列中,除了0、1以外,不是素数就是合数,每个素数与合数都有其固定的位置,而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除,例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项,即:5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除),并且所有的合数都能联系在一起,形成一个等差数列网,这个网,呈上小下大的金字塔状,也可以说像树根状,如果把这个网从自然数列中抽出来,剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中,然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多),豆子与珠子各有自己的位置,根据所处位置看其是否被线串上,就知道是珠子还是豆子,如果把连在一起的多串珠子抽出来,剩下的豆子就看不出规律了,也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置,某一项只要不是合数就一定是素数。因此,要判断素数就要根据某数的特点,看是否存在于合数的等差数列网上,在网上的就是合数,不在网上的就是素数。
    8 H2 c2 ~4 z6 s$ |. g+ h/ @/ [8 A( T' j; V- \
    下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即:判断任意数)
    - Z5 \6 ?; O; t6 ~/ E. I" ^+ [7 {& B( h0 U
    M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量,表示被判断数I被2除的整数商(例:I=31,I/2的整数商为15,即:q=15),M、N是变量,通过自变量N(N小于I的平方根取整加1,例:被判断数I=31,I的平方根取整是5,则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值,判断M是否为非负整数,若M出现非负整数,则I是合数,并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对,在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件,就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内,没有一对M、N同时满足非负整数,就说明I是素数。7 i0 K, l' v3 c6 V% o- {  W
    例1:I=27
    8 ^. X; |. t7 B' _4 ~因为I=27除以2的整数商为13- P! R9 h: c3 ^$ B9 i, t% ?
    则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:/ L5 v" U0 c5 b, z" E: g
    M=(13-N)/(2*N+1) 0 c5 T. a2 r9 j1 J$ @
    N的最大值为:I=27的平方根取整加1,即:5+1=60 T6 s& u$ e" G
    当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
      R' y. h; c1 a( ^. H% U& E- {则:(2*M+1)=(2*4+1)=9) D! ?1 W* R7 B: i0 l1 h
    (2*N+1)=(2*1+1)=3. d* W+ R4 `2 r+ ]: u5 s5 g6 X
    即:(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
    % |/ d* z. ^) Z2 E同理:当N=2、3、4、5、6时( Y& r" C  C. A. @1 `
    只有当N=4时,才能得到非负整数M=1" I9 L5 ?, T: j( c$ A3 i  w3 j) B
    即:(2*M+1)=(2*1+1)=3
    : g$ B8 i+ |) p( s2 C4 Q, Y(2*N+1)=(2*4+1)=93 d/ @" S9 A& J( n0 {: v
    与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反/ X2 C- T/ \' ^
    则:说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)$ O( ?8 m( r# a- I5 P
    例2:I=31
    1 Q; k1 s2 T% Y  |( T$ p因为I=31除以2的整数商为15
    & L# s3 l* u+ q6 V0 r/ ]则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:* C4 E; D  F2 l' g  i& T: T$ w
    M=(15-N)/(2*N+1)
      P; U: D+ _, d: [$ x6 s/ VN的最大值为:I=31的平方根取整加1,即:5+1=6
    ' n% c% {7 l0 ]# Y& h, ^" f当N=1、2、3、4、5、6时3 P- m/ e4 f! [0 ?. j$ d( v+ t1 Y
    没有一个N能使M为非负整数/ c% {+ ]/ Y8 a) V
    所以I=31是素数。  S, ^& d6 k$ N( n* l
    数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序,就是利用合数公式得到的:) ^- C: W; }4 I! M: K& `
    1、精确判断素数计算素数个数,及寻找合数因数对  h' w9 c) n( r% @/ i$ @: L2 h: T: a
    2、精确计算哥猜数对) w/ d" l" G5 ]; b
    3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数5 _& y+ U6 w: a! a. {6 }

    ) U% D8 ]# H$ g+ d' o*用19号程序:判断素数、合数及寻找合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。
    9 B" t# d( R. W, ?( v" z; K! K4 T( W) |: h$ n" f6 N
    下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。. n2 N2 q) F" a) i* q, i
    输入:* Z* n5 q! h$ q6 r1 k' `2 ?' `8 e+ Z
    用第二选项,E=17,h=111111111,,L=111111999,' t1 h1 g; r5 a( m8 R
    先点击:并行参数开始,有数据出现,再点击:结果开始。2 Z! T* s/ ]( }
    (T下面有X、Y值的就是合数,并且X、Y是T的所有因数对,没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内,素数与合数的个数。由于较多,数据中间使用了省略号)
    8 D+ i! {& j! V- |# P  JT=33333333347- l6 ?0 ]; [8 N* R! Q9 `( k  Y
    T=333333333773 X: i; E& B9 R7 e2 s" F
    T=33333333407
    . Z: f, L9 c8 Y  X=3030303037
    ! ~; G& \' Y, N% G  Y=11
    1 g1 N: m$ \) ]( [% w3 S5 ~  X=628930819
    4 p( ~$ W$ D# _; [2 V% P' Z5 Q: q  Y=53  `) g; }. T6 l; S# h$ a
      X=57175529
    7 h1 v' u- ?6 K2 x2 W2 K  Y=583
    6 C0 q! `. F/ H/ S1 ~; jT=33333333437$ m0 p, q% a: g3 X6 O4 w* d* F$ j
      X=254452927- V) k8 t5 y7 w5 O$ N
      Y=1319 J+ b& P- V4 H; V
      X=16347883
    0 P7 ^7 A, r( Z. P6 o  Y=2039
    4 u) @1 S0 ]* H" G* X3 z3 c: a" u  X=267109
    5 z, n2 n8 B2 K8 y! t! d+ |; l  Y=124793- \$ g/ }2 A, s5 |% Z: u
    T=33333333467
    & i/ x7 g8 D) M1 j2 H  X=4761904781
    : {6 S) E0 \4 d; D# X8 X8 L% d  Y=79 d2 l0 @5 I# Y2 c8 J( k& S
      X=709219861
    , l4 }* L! M4 z8 Q4 j7 V  Y=47
    9 p9 E/ t( }: u# ?! U! }0 m1 A  X=3115264818 N/ J: V/ V+ d) w7 l+ n7 ^
      Y=107
    , h) s3 B# T4 ?# ^- d  X=138312587! I5 ?) B9 x5 C# J2 C7 n
      Y=241$ ~) M2 U5 ~+ x: Y
      X=101317123% e1 Z5 j6 I6 ?8 x6 j) k
      Y=329, ^  v" E/ q1 {$ j; j+ E
      X=44503783
    4 w: u5 c" h, Y8 r5 x  Y=7497 ^, R' m) U, F: f# J6 s
      X=19758941
    2 v/ ?1 ^: o! l) Q  Y=1687
      a% j( f' P' ^# N' `+ O' p  X=8483923; d) @; e1 p# t- A! O+ |
      Y=3929
    - Z5 B$ O8 C6 ~% S  X=6628223
    0 t" @% O4 M3 I- I% J4 c1 b5 D  Y=5029
    ; V# z+ K% y/ d8 i& b4 Z. _9 e  X=2942821/ o8 K8 y: ]- B$ e# G
      Y=11327
    ) L3 J5 G6 L9 `$ G" R# |  X=1292641( U$ {% m1 r$ l7 [0 O8 N4 s* ]/ D
      Y=25787) m9 W" r, M; ?  m
      X=1211989/ _' h4 O4 D  I; N/ F- k- v
      Y=27503
    ( f! d5 q# `! q% h; l  X=946889
    * t  R" h+ m  v# t5 |- G% q  Y=35203
    0 X) T3 o: p2 E  X=420403( T& f& y0 Q) g9 O" Z7 @$ k
      Y=79289
    + P9 u2 `% X; X+ R  X=184663* u+ Q2 ^) _9 m9 e, K% B+ B
      Y=180509( s' E7 M" Z/ m1 E3 J
    ……
    " L# W: t9 J' ?T=33333335867
    & L2 ^% J& M6 t, A! Z, D0 c  X=25641027599 q+ K  I0 ]2 g
      Y=138 E+ K$ j3 n5 O% }4 B8 r  N. b
    T=33333335897* P. S% Z" l$ K0 z% V4 X
      X=2886253* |! @+ [/ \" b6 [/ ]9 D
      Y=11549
    # W; P6 b% z$ v; TT=33333335927
    3 T) l3 H9 C2 G  L7 A. r+ I  X=9009009716 J) v$ P5 Y) [7 R; y* r, b; P
      Y=37
    4 T" J; a" J3 N- u, r& @  X=11918816 O' a6 @4 o6 Y. ]. q
      Y=27967
    ; [  D9 T$ T: h1 b  X=1034779. ], B* K; T% ]5 z# i, ^5 L* x6 z
      Y=32213
    % V, m1 t" f& V. Z* ~3 X; U% _T=33333335957
    . {9 l, b' M" v5 P# M& |5 P5 m5 a% f  X=1754386103
    , [) M  X' m% q/ J# k  Y=19
      K$ K5 W: [' d8 l$ a# V/ lT=33333335987
    ) [& H( L; ]' |- _9 m  X=4761905141
    " L3 B! f6 E7 q  p0 {& q; O( {  R, Q  Y=76 q3 ^. v; T4 Z, Y! t$ P
      X=680272163
    ; b0 Q- J; h8 I# H* b; \  Y=49
    ! [4 \) {3 c2 u合计:89个
    1 o9 @, w- ^% B3 Z' K& p" x2 _    素数:11个  E( Z9 G9 R1 `% |3 H
        合数:78个/ m6 z- p- S! D& z  J
    # j1 p3 E0 Y/ E, z& x6 x+ D
    若再选择第三种输出方式(输出的是所有素数及个数)
    6 u' K( @: \% ?8 u4 F6 F4 K即:
    + N- O. O& z  S9 D' kT=333333333473 S) I& R$ f  o; N5 B# s
    T=33333333377' G# W7 [) ^4 S8 c. i1 t( k# Y
    T=33333333647
    * D$ s7 V& Q8 DT=33333333827% y$ B1 z9 o1 _7 Q& ^; v+ k
    T=33333333857
    2 q" B6 A# J0 {( OT=33333334007, Q1 ~: U' ~+ o) u5 L+ C/ y( @, V
    T=33333334487
    6 V6 d" O1 t" |7 s& S, A5 xT=33333334907
    0 s# g4 b$ i2 Z( dT=33333335027
    6 |  o* m* J; {T=33333335177# R) t/ K& P! b' ^" d# {& G; E
    T=33333335657/ X7 Z& q2 B0 f- T
    素数:11个6 y( h5 E" I$ }) B: Q. q+ L

    0 n. S( O* u" x% E4 `" E& U9 ^7 t*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
    ! f+ ^3 |  j+ {0 P2 g  A$ i
    7 k& A1 y. }5 F* g9 U用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
    : B% X! R7 A% F6 D* O输入:E1=11,E2=23,h=0,L=111
    " `" S; c; n0 c输出:
    7 w( L9 k& O4 G. W6 E8 I0 q0 F1 z34有1对9 ^# L- O  \3 x/ i0 n- W
       (11,23)
    5 R/ C1 ]5 k9 R64有2对6 o$ c9 s9 S3 m  @9 D
       (11,53)0 V$ x# ?0 x- ~3 Y* L2 G
       (41,23)9 s; g' Y% N9 I. h! l" v) c
    94有3对7 t, x% k9 O% ~2 ]
       (11,83)
    ; D+ c& F1 c, [( c5 ?- x$ j6 K, J   (41,53)$ K, k! h; e6 f& Z, T( g0 |
       (71,23)$ J1 s9 F( t& E9 `& F
    124有4对
    1 ]! I6 s# h" C# f8 U   (11,113)
    2 [3 P2 ~. r$ o: _. W   (41,83)" v! p8 j- \$ ^: K5 K
       (71,53)
    6 B+ u  H# a" ?   (101,23)- O3 t2 v0 H% i, t  |+ k
    154有4对# Z9 `2 }. R7 U5 [$ Y2 S/ T
       (41,113)
    8 l; W6 b6 A8 f3 ^. E. v: z   (71,83)
    8 L% _& Z0 Q; {( v$ v6 {   (101,53)
    * o6 S& q) p2 A) B- A. Q( L# G# P   (131,23)' E, g) A7 f9 S! `% e( Z
    184有4对
    4 \6 p) `# u/ G6 Q! a& u+ m( f' T   (11,173)' p/ [& v# \3 n! r! k/ r4 f
       (71,113)' ?& [' t/ r$ j" V% }' @4 Q
       (101,83)
    0 V/ M: J; \; A   (131,53)3 ]0 g1 V4 W1 d; X  W6 ]
    214有4对5 K% I; M! G3 l* X. a/ l- ?  _
       (41,173)7 Q8 v& G3 t- J! `+ D& T
       (101,113)3 ~7 n, e( z$ Y0 S& @9 m
       (131,83)
    $ z& k" N/ U" Q9 f$ n' s   (191,23)
    9 }) p" |& m0 b1 f! B0 p& {……
    8 l9 ^- n0 u' t$ P3324有24对
    9 |9 ?! q: j0 Q+ @   (73,3251)6 W3 M; K' E: e' v2 t5 g
       (103,3221)3 E, _+ g+ u+ U. g- k1 r, N, U
       (283,3041)
    3 Q; O# s4 B6 w( @   (313,3011)
    9 S5 W9 s* s& s# o   (463,2861)
    3 P) \$ E6 v& U! n4 i3 J   (523,2801)# r( F' i5 I: ^
       (613,2711)
    ! K- ~  q! O& u% L5 ~& x   (733,2591)
    2 p) ~+ _" b) q2 T% [2 Z8 W' M6 K% j4 B   (883,2441)
    " Z% F6 K3 u& B. P* ?0 \   (1213,2111)
      G- r0 r7 E! H$ G" `) V0 E9 X   (1423,1901)4 o% H) v! Q& R* ], Z
       (1453,1871)
    8 g3 `' q4 e7 ]) c7 @% t6 N   (1723,1601)8 `& B3 s$ |4 r; x1 T. V0 {
       (1753,1571)
    ( g/ r: d; b5 [   (1873,1451)) [2 m  {2 }' b0 }! z3 C0 }: f
       (2143,1181)4 ^$ B" [$ c% k9 r) g2 w
       (2293,1031)% c( B8 L' b# D! H
       (2383,941)1 \3 A4 x- ?) F4 r: ^- W2 B; m
       (2503,821)2 a& ^8 J$ p6 P9 h
       (2683,641)
    , X: ?9 P, m' y' [   (2803,521)- p  B9 @7 c1 _% m2 K
       (2833,491)
    - V8 I% n! }9 V" m, z8 g% o   (3253,71): i$ F! G7 x( V. l
       (3313,11)6 p: i8 _1 n1 F( P' d; _

    / F, {2 w3 o8 q5 ~- q*使用21号程序:寻找孪生素数对/ E  a: b8 w/ T
    : A) Y7 B7 d) x5 w. h
    用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999,
    " K, o5 t; Z- T( h+ ^在程序中输入:E1=11,E2=13,h=111111111,,L=111111999
    2 z5 c/ Z- }& P% G" i输出:+ R- D8 s8 `) n
    3333334391,3333334393
    - Z/ k+ R4 K/ a) F7 R1 \: i3333335771,3333335773
    : _2 _* _. U6 w% u3333336701,33333367033 b: ~3 h* A, o. N$ \0 A
    3333337661,33333376637 L$ O0 N9 C% A
    3333338711,3333338713# s  J, m7 \/ G' m; l: _3 a
    3333339701,3333339703& e% l" \- b' s! v! G
    3333340391,3333340393
    : |: s8 m: [) ^2 ^; O) D3333342401,3333342403
    $ V- R* [2 a! n' x% D3 O3 k3333342581,33333425832 t" G9 I) }4 m* q
    3333343421,3333343423! J: ?; M6 S8 b/ U& r
    3333345011,3333345013' H6 ~+ _5 H6 p0 G: Q3 A& ]0 `
    3333346061,3333346063
    $ R( `$ ]2 K* r7 B# e& {7 T3 o3333346571,3333346573% c' }) X: q) e3 q8 d# i/ S) w6 R
    3333349751,3333349753
    4 c4 w/ h; O3 _- L) m, v% e6 s+ U3333350201,3333350203
    # Q- m, S. h9 ?0 I+ g5 j3333350261,3333350263
    ( E* K  M) H( H  X% T. P& m: N! u3333350651,3333350653* `3 q  G5 n6 N7 H! h1 I$ N
    3333351641,33333516433 F5 p1 q4 b7 z, k+ X
    3333353531,3333353533+ J* g" @1 T% T5 T1 W+ `
    3333355601,33333556031 y1 Q& {# c, i; h) p! o
    3333358211,3333358213
    4 x2 D( ^9 @; F; j5 W  P. `0 K3333358361,3333358363
    8 ~9 F9 r$ T. r: P: P3333358781,3333358783
    ' O- F: M; ]: w  }: B3333359501,3333359503, D+ R* N  M$ T4 M( F: Z
    3333359591,3333359593
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