合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

% G* c; w; ]- _. l$ \) tM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
" c7 Y& Z- ?3 }则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
0 C9 t4 u8 A6 y. y) v4 a1 r% @M=(13-N)/(2*N+1)
9 Z( @! ^4 u: i: RN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
6 p; R% j/ `1 a, j则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
% q  f! a5 A2 _" h' |2 M即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
9 R" R/ d/ l2 D7 M* j5 y(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
% A/ f# D1 q" b: B1 a- r! C因为I=31除以2的整数商为15
$ P) X" F$ x7 ~则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
# i4 r& ~. u- f2 I# M3 {/ HN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
) M- b4 F% v9 _  }3 z5 K& B当N=1、2、3、4、5、6时
* _, N5 i3 s# E3 j没有一个N能使M为非负整数
7 _1 J2 K+ ?- Y8 S所以I=31是素数。
6 \8 R7 {3 O! E, `+ |! {6 C5 |数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
# |; ~% j+ r3 S! _3 N1 B/ W6 n2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
# P9 _/ i  b( H8 T/ e
( V- b- A& q1 k$ z* L*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
! U" w8 F* N* d% ]5 X. |
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
0 p2 N; q+ g. \, U. S) G: C, K(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
* L: L, n, D% `) t$ b# YT=33333333377
T=33333333407
  X=3030303037
8 P0 f: J- T% G4 l# k1 S  Y=11
  X=628930819
  Y=53
7 N! k7 i) }6 C$ R, ^% U  X=57175529
. M, m! P# h& D9 L  H  u" L1 I5 x  Y=583
T=33333333437
; }# {) J& v' X$ ?4 R  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
1 b0 G$ c2 N9 E# R+ ~  Y=2039
  V  @3 d" U$ {) L" i% R  X=267109
  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
3 ^' j% i1 _: D! S- P: a* R- L  Y=7
  X=709219861
  Y=47
  X=311526481
! X0 Q3 b6 e: q$ Z$ q  Y=107
/ N$ J& J8 [; i4 }/ M. [- c2 R8 a  X=138312587
  Y=241
) l) [* l3 N$ S* a) Z- L  X=101317123
* @# D( z  l" e: x% f  Y=329
  X=44503783
  Y=749
4 C+ R* p7 R% V! }2 I. ?  X=19758941
  `5 k* G  a- O0 L  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
4 D* H% E4 J$ l- L  X=6628223
  Y=5029
0 P. A* p, f. K" u  o  d* b  X=2942821
  Y=11327
  X=1292641
2 w# t& U" z- O  Y=25787
& @! N- k: t1 F/ }2 |  X=1211989
, h) U, A; y- \9 |$ o0 K2 X# Q/ p1 G  Y=27503
  X=946889
/ a. b$ K! @1 V! c  p  Y=35203
  X=420403
9 x3 A" ?4 B/ M; Q# P4 e5 S  Y=79289
  X=184663
  Y=180509
! T0 p1 ^7 w' Z- h3 N" j( E8 }……
T=33333335867
  X=2564102759
  Y=13
T=33333335897
  X=2886253
  Y=11549
; \1 m. u% j& q( kT=33333335927
! i6 _3 O2 h: I+ x, y$ y. t  X=900900971
$ Q* B, e+ |. D; @* b  Y=37
  X=1191881
  Y=27967
! l" }# n# s& B3 S/ L3 q  X=1034779
3 h1 o9 _9 |8 H2 _; q& ~/ j  Y=32213
T=33333335957
4 \9 v8 N- M" p8 H  W8 r; H0 K  X=1754386103
  Y=19
1 k7 |/ T8 a# d5 J) VT=33333335987
  X=4761905141
6 G: p5 L- O( E. Y, J( o  Y=7
" {% [/ q; I8 T( V2 @0 F5 f  X=680272163
  {* h, S' Z! A* e9 a5 `  Y=49
合计：89个
6 H: T8 q7 j" r, y# _* x1 L    素数：11个
    合数：78个

若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
2 a" x* P# v- M- t8 ]" l5 u: [T=33333333347
% Q+ k2 H4 c9 n5 z  \T=33333333377
T=33333333647
T=33333333827
$ B5 Y' ~  o7 k4 {7 ?* h+ E1 XT=33333333857
+ ]- Y. y( m  W/ u1 xT=33333334007
9 c: n( c% N  b+ h% _4 T5 ?T=33333334487
T=33333334907
1 F/ U% w) j& @1 k' F2 FT=33333335027
T=33333335177
T=33333335657
素数：11个

*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对

用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
, x" d; `* G! \0 i5 k! U+ W# w输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
输出：
34有1对
! {( h: o. U8 Z2 W   (11,23)
( O, Z) n: [* g' d- [: `* ^$ h64有2对
   (11,53)
/ V* A8 `- D9 N% c! Z; }- w   (41,23)
# {' |% W2 |6 e+ C94有3对
% G* e4 \' G% ?- N( Z4 W   (11,83)
5 ?) e6 M' S* z6 |0 h2 r   (41,53)
   (71,23)
' A1 J% K) N* I' [124有4对
   (11,113)
   (41,83)
   (71,53)
   (101,23)
154有4对
5 K# I8 z  p& v1 G/ U% y0 I   (41,113)
: j. |0 {& a( o$ z+ c   (71,83)
; [: @5 {- o! T0 c9 @* j. L   (101,53)
5 M. b) `7 L2 i' z9 f+ E   (131,23)
184有4对
! G& a3 j5 Z+ C8 K% A   (11,173)
8 Q; Z2 e/ D2 p6 Y5 t   (71,113)
   (101,83)
' M& ]( _0 o3 p8 u   (131,53)
214有4对
   (41,173)
% y3 Z: Q( i3 J: I' n- \   (101,113)
3 g  j. d+ g6 v$ {$ [2 a   (131,83)
   (191,23)
) Y1 W8 s2 ^. Y8 x; k8 p……
' Q( D$ z! J' }; E7 a3324有24对
   (73,3251)
   (103,3221)
   (283,3041)
   (313,3011)
! Q( @2 G  [/ l% M% M; V4 K# C   (463,2861)
   (523,2801)
) U/ |6 M, U% W4 o: c   (613,2711)
6 d) H6 S$ n1 w+ Y   (733,2591)
* ~$ M9 P0 \' ^2 @2 _7 F   (883,2441)
  H; N" f: [8 {   (1213,2111)
0 G7 _  B9 k' y+ s+ J  n; b+ C   (1423,1901)
' t% l! B2 Y4 O2 ^   (1453,1871)
   (1723,1601)
! o$ }& J+ c. P# g   (1753,1571)
   (1873,1451)
6 q% G" [; Y, W1 X. [   (2143,1181)
8 E! |2 u, D& [8 i   (2293,1031)
3 t0 e7 t; D, \6 z1 F1 C+ R   (2383,941)
   (2503,821)
! a9 O3 A, Z. T   (2683,641)
  ^& k' \3 Y: o$ I8 x+ i6 }   (2803,521)
# H& R6 t+ \/ \5 V+ {   (2833,491)
   (3253,71)
   (3313,11)
6 ]$ m; A; X, h9 H$ L
*使用21号程序：寻找孪生素数对
: D& G, F' D2 @, V2 }
1 [2 x8 H4 t# d7 \& G7 l用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
' I6 E, V5 F- N; g4 N; p在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
) W- S! v& j, u7 x输出：
3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
3 {# x: `/ r: n, V( B( h& T0 z. l+ g3333336701,3333336703
, }  s$ _8 j4 |8 S, ~3 T% M9 H; z3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
1 F/ F! j# W2 K3333339701,3333339703
! x/ g, i. S0 |1 g1 B9 K1 k, s2 l# l# z) A3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3333342581,3333342583
( u4 ?8 s/ `! {- z" X% u& A3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
6 O" J% s/ u8 w8 Z- t; u! I3333350201,3333350203
  K' m! G3 N, ?; r/ g3333350261,3333350263
) s2 o2 x5 V* k# r3333350651,3333350653
$ p. k8 s% H# a: R3333351641,3333351643
, O/ O) g5 s: w, }7 ^3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
. q1 Q- d' x) G! s/ t' W3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
4 E( z* g& ^/ A3333359501,3333359503
" i- u8 M: P; J* g( v4 c3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
6 k- i7 h( L1 w共有26对

" Q/ t0 R% @0 t  C" I  v