合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
8 H2 c2 ~4 z6 s$ |. g+ h/ @/ [
下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
- Z5 \6 ?; O; t6 ~/ E. I" ^
M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
8 ^. X; |. t7 B' _4 ~因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
  R' y. h; c1 a( ^. H% U& E- {则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
% |/ d* z. ^) Z2 E同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
: g$ B8 i+ |) p( s2 C4 Q, Y(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
1 Q; k1 s2 T% Y  |( T$ p因为I=31除以2的整数商为15
& L# s3 l* u+ q6 V0 r/ ]则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
  P; U: D+ _, d: [$ x6 s/ VN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
' n% c% {7 l0 ]# Y& h, ^" f当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

) U% D8 ]# H$ g+ d' o*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
9 B" t# d( R. W, ?
下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
8 D+ i! {& j! V- |# P  JT=33333333347
T=33333333377
T=33333333407
. Z: f, L9 c8 Y  X=3030303037
! ~; G& \' Y, N% G  Y=11
1 g1 N: m$ \) ]( [% w3 S5 ~  X=628930819
4 p( ~$ W$ D# _; [2 V% P' Z5 Q: q  Y=53
  X=57175529
7 h1 v' u- ?6 K2 x2 W2 K  Y=583
6 C0 q! `. F/ H/ S1 ~; jT=33333333437
  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
0 P7 ^7 A, r( Z. P6 o  Y=2039
4 u) @1 S0 ]* H" G* X3 z3 c: a" u  X=267109
5 z, n2 n8 B2 K8 y! t! d+ |; l  Y=124793
T=33333333467
& i/ x7 g8 D) M1 j2 H  X=4761904781
: {6 S) E0 \4 d; D# X8 X8 L% d  Y=7
  X=709219861
, l4 }* L! M4 z8 Q4 j7 V  Y=47
9 p9 E/ t( }: u# ?! U! }0 m1 A  X=311526481
  Y=107
, h) s3 B# T4 ?# ^- d  X=138312587
  Y=241
  X=101317123
  Y=329
  X=44503783
4 w: u5 c" h, Y8 r5 x  Y=749
  X=19758941
2 v/ ?1 ^: o! l) Q  Y=1687
  a% j( f' P' ^# N' `+ O' p  X=8483923
  Y=3929
- Z5 B$ O8 C6 ~% S  X=6628223
0 t" @% O4 M3 I- I% J4 c1 b5 D  Y=5029
; V# z+ K% y/ d8 i& b4 Z. _9 e  X=2942821
  Y=11327
) L3 J5 G6 L9 `$ G" R# |  X=1292641
  Y=25787
  X=1211989
  Y=27503
( f! d5 q# `! q% h; l  X=946889
* t  R" h+ m  v# t5 |- G% q  Y=35203
0 X) T3 o: p2 E  X=420403
  Y=79289
+ P9 u2 `% X; X+ R  X=184663
  Y=180509
……
" L# W: t9 J' ?T=33333335867
& L2 ^% J& M6 t, A! Z, D0 c  X=2564102759
  Y=13
T=33333335897
  X=2886253
  Y=11549
# W; P6 b% z$ v; TT=33333335927
3 T) l3 H9 C2 G  L7 A. r+ I  X=900900971
  Y=37
4 T" J; a" J3 N- u, r& @  X=1191881
  Y=27967
; [  D9 T$ T: h1 b  X=1034779
  Y=32213
% V, m1 t" f& V. Z* ~3 X; U% _T=33333335957
. {9 l, b' M" v5 P# M& |5 P5 m5 a% f  X=1754386103
, [) M  X' m% q/ J# k  Y=19
  K$ K5 W: [' d8 l$ a# V/ lT=33333335987
) [& H( L; ]' |- _9 m  X=4761905141
" L3 B! f6 E7 q  p0 {& q; O( {  R, Q  Y=7
  X=680272163
; b0 Q- J; h8 I# H* b; \  Y=49
! [4 \) {3 c2 u合计：89个
1 o9 @, w- ^% B3 Z' K& p" x2 _    素数：11个
    合数：78个

若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
6 u' K( @: \% ?8 u4 F6 F4 K即：
+ N- O. O& z  S9 D' kT=33333333347
T=33333333377
T=33333333647
* D$ s7 V& Q8 DT=33333333827
T=33333333857
2 q" B6 A# J0 {( OT=33333334007
T=33333334487
6 V6 d" O1 t" |7 s& S, A5 xT=33333334907
0 s# g4 b$ i2 Z( dT=33333335027
6 |  o* m* J; {T=33333335177
T=33333335657
素数：11个

0 n. S( O* u" x% E4 `" E& U9 ^7 t*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
! f+ ^3 |  j+ {0 P2 g  A$ i
7 k& A1 y. }5 F* g9 U用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
: B% X! R7 A% F6 D* O输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
" `" S; c; n0 c输出：
7 w( L9 k& O4 G. W6 E8 I0 q0 F1 z34有1对
   (11,23)
5 R/ C1 ]5 k9 R64有2对
   (11,53)
   (41,23)
94有3对
   (11,83)
; D+ c& F1 c, [( c5 ?- x$ j6 K, J   (41,53)
   (71,23)
124有4对
1 ]! I6 s# h" C# f8 U   (11,113)
2 [3 P2 ~. r$ o: _. W   (41,83)
   (71,53)
6 B+ u  H# a" ?   (101,23)
154有4对
   (41,113)
8 l; W6 b6 A8 f3 ^. E. v: z   (71,83)
8 L% _& Z0 Q; {( v$ v6 {   (101,53)
* o6 S& q) p2 A) B- A. Q( L# G# P   (131,23)
184有4对
4 \6 p) `# u/ G6 Q! a& u+ m( f' T   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
0 V/ M: J; \; A   (131,53)
214有4对
   (41,173)
   (101,113)
   (131,83)
$ z& k" N/ U" Q9 f$ n' s   (191,23)
9 }) p" |& m0 b1 f! B0 p& {……
8 l9 ^- n0 u' t$ P3324有24对
9 |9 ?! q: j0 Q+ @   (73,3251)
   (103,3221)
   (283,3041)
3 Q; O# s4 B6 w( @   (313,3011)
9 S5 W9 s* s& s# o   (463,2861)
3 P) \$ E6 v& U! n4 i3 J   (523,2801)
   (613,2711)
! K- ~  q! O& u% L5 ~& x   (733,2591)
2 p) ~+ _" b) q2 T% [2 Z8 W' M6 K% j4 B   (883,2441)
" Z% F6 K3 u& B. P* ?0 \   (1213,2111)
  G- r0 r7 E! H$ G" `) V0 E9 X   (1423,1901)
   (1453,1871)
8 g3 `' q4 e7 ]) c7 @% t6 N   (1723,1601)
   (1753,1571)
( g/ r: d; b5 [   (1873,1451)
   (2143,1181)
   (2293,1031)
   (2383,941)
   (2503,821)
   (2683,641)
, X: ?9 P, m' y' [   (2803,521)
   (2833,491)
- V8 I% n! }9 V" m, z8 g% o   (3253,71)
   (3313,11)

/ F, {2 w3 o8 q5 ~- q*使用21号程序：寻找孪生素数对

用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
" K, o5 t; Z- T( h+ ^在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
2 z5 c/ Z- }& P% G" i输出：
3333334391,3333334393
- Z/ k+ R4 K/ a) F7 R1 \: i3333335771,3333335773
: _2 _* _. U6 w% u3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
: |: s8 m: [) ^2 ^; O) D3333342401,3333342403
$ V- R* [2 a! n' x% D3 O3 k3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
3333346061,3333346063
$ R( `$ ]2 K* r7 B# e& {7 T3 o3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
4 c4 w/ h; O3 _- L) m, v% e6 s+ U3333350201,3333350203
# Q- m, S. h9 ?0 I+ g5 j3333350261,3333350263
( E* K  M) H( H  X% T. P& m: N! u3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
4 x2 D( ^9 @; F; j5 W  P. `0 K3333358361,3333358363
8 ~9 F9 r$ T. r: P: P3333358781,3333358783
' O- F: M; ]: w  }: B3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
9 u1 U6 I8 \/ i1 t! P" ^' A3333359831,3333359833
共有26对

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