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合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

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    [LV.7]常住居民III

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    发表于 2012-12-24 16:08 |只看该作者 |倒序浏览
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    在自然数列中,除了0、1以外,不是素数就是合数,每个素数与合数都有其固定的位置,而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除,例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项,即:5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除),并且所有的合数都能联系在一起,形成一个等差数列网,这个网,呈上小下大的金字塔状,也可以说像树根状,如果把这个网从自然数列中抽出来,剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中,然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多),豆子与珠子各有自己的位置,根据所处位置看其是否被线串上,就知道是珠子还是豆子,如果把连在一起的多串珠子抽出来,剩下的豆子就看不出规律了,也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置,某一项只要不是合数就一定是素数。因此,要判断素数就要根据某数的特点,看是否存在于合数的等差数列网上,在网上的就是合数,不在网上的就是素数。$ K3 k$ r5 S6 s) b, u( O
    ' U* n" c+ C! m! J
    下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即:判断任意数)4 \' T) v; g2 J" X" R4 l

    % G* c; w; ]- _. l$ \) tM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量,表示被判断数I被2除的整数商(例:I=31,I/2的整数商为15,即:q=15),M、N是变量,通过自变量N(N小于I的平方根取整加1,例:被判断数I=31,I的平方根取整是5,则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值,判断M是否为非负整数,若M出现非负整数,则I是合数,并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对,在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件,就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内,没有一对M、N同时满足非负整数,就说明I是素数。+ T0 M! b% e" n" o0 q% L9 ^
    例1:I=27' C6 H$ |7 ^% s! i8 V( U
    因为I=27除以2的整数商为13
    " c7 Y& Z- ?3 }则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:
    0 C9 t4 u8 A6 y. y) v4 a1 r% @M=(13-N)/(2*N+1)
    9 Z( @! ^4 u: i: RN的最大值为:I=27的平方根取整加1,即:5+1=6; H/ R( g5 d: p; A! R
    当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
    6 p; R% j/ `1 a, j则:(2*M+1)=(2*4+1)=9/ S8 Q- s; q; B
    (2*N+1)=(2*1+1)=3
    % q  f! a5 A2 _" h' |2 M即:(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。; L1 O. |: j( P) E# U( l
    同理:当N=2、3、4、5、6时8 A/ l; W1 b) q+ n# v+ c5 l% X
    只有当N=4时,才能得到非负整数M=1, P& P) Z* ^! Y2 N& P* U5 @* O6 j: {
    即:(2*M+1)=(2*1+1)=3
    9 R" R/ d/ l2 D7 M* j5 y(2*N+1)=(2*4+1)=98 C. Q8 S% H" ^, j. Q5 d  J
    与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反# [$ ^. J5 J( m% J8 B0 N
    则:说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)/ b$ V8 x, ^! p1 h
    例2:I=31
    % A/ f# D1 q" b: B1 a- r! C因为I=31除以2的整数商为15
    $ P) X" F$ x7 ~则:由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得:( ], A, s; F* S  P, Y
    M=(15-N)/(2*N+1)
    # i4 r& ~. u- f2 I# M3 {/ HN的最大值为:I=31的平方根取整加1,即:5+1=6
    ) M- b4 F% v9 _  }3 z5 K& B当N=1、2、3、4、5、6时
    * _, N5 i3 s# E3 j没有一个N能使M为非负整数
    7 _1 J2 K+ ?- Y8 S所以I=31是素数。
    6 \8 R7 {3 O! E, `+ |! {6 C5 |数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序,就是利用合数公式得到的:3 e& w" H9 l0 N' j" t0 H1 B
    1、精确判断素数计算素数个数,及寻找合数因数对
    # |; ~% j+ r3 S! _3 N1 B/ W6 n2、精确计算哥猜数对& g& ]2 G  `8 F0 D" A
    3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
    # P9 _/ i  b( H8 T/ e
    ( V- b- A& q1 k$ z* L*用19号程序:判断素数、合数及寻找合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。
    ! U" w8 F* N* d% ]5 X. |8 [$ i+ o' K- c" P" E0 H
    下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对,并且最后输出范围内合数、素数的个数。: X  J4 n% E) l' `
    输入:+ R/ A" p6 ?! ~* v
    用第二选项,E=17,h=111111111,,L=111111999,7 l* M/ W! U. ~( W
    先点击:并行参数开始,有数据出现,再点击:结果开始。
    0 p2 N; q+ g. \, U. S) G: C, K(T下面有X、Y值的就是合数,并且X、Y是T的所有因数对,没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内,素数与合数的个数。由于较多,数据中间使用了省略号)  G2 d8 i4 r; O6 e, }
    T=33333333347
    * L: L, n, D% `) t$ b# YT=333333333773 D* j+ @- c; ^
    T=333333334070 T2 K; w0 ?, S8 R( g) n
      X=3030303037
    8 P0 f: J- T% G4 l# k1 S  Y=110 \6 }& E3 F) x$ P, B, V4 @
      X=628930819& R* ?  z* s* `1 h+ \
      Y=53
    7 N! k7 i) }6 C$ R, ^% U  X=57175529
    . M, m! P# h& D9 L  H  u" L1 I5 x  Y=5837 y! b/ W: s, x+ }4 G+ E2 x
    T=33333333437
    ; }# {) J& v' X$ ?4 R  X=254452927* L. L8 U" X8 J. U
      Y=131! {, a/ X: m  S
      X=16347883
    1 b0 G$ c2 N9 E# R+ ~  Y=2039
      V  @3 d" U$ {) L" i% R  X=267109  r' }; [! S5 Y( v: q) w5 {- a
      Y=1247935 J( Q, H8 W( D) u  s
    T=333333334675 o4 A8 G# H0 g( }5 C" Q9 v
      X=4761904781
    3 ^' j% i1 _: D! S- P: a* R- L  Y=78 Y' h/ }/ i: \- X
      X=709219861$ J% {$ ?9 I5 g( [) b  {
      Y=47  g& |+ B+ `/ I. U2 Y8 Y
      X=311526481
    ! X0 Q3 b6 e: q$ Z$ q  Y=107
    / N$ J& J8 [; i4 }/ M. [- c2 R8 a  X=138312587; r  _" |/ i  c/ @7 L
      Y=241
    ) l) [* l3 N$ S* a) Z- L  X=101317123
    * @# D( z  l" e: x% f  Y=3292 X2 q8 S# F- x7 v
      X=44503783/ e8 h$ @# w# D, u1 C3 H! r8 d
      Y=749
    4 C+ R* p7 R% V! }2 I. ?  X=19758941
      `5 k* G  a- O0 L  Y=16879 C" M* R( I6 r6 ^# a4 M
      X=8483923) Y4 ^5 b% n3 s' w
      Y=3929
    4 D* H% E4 J$ l- L  X=66282238 [1 |2 \  R( s# U
      Y=5029
    0 P. A* p, f. K" u  o  d* b  X=29428210 B2 \8 c1 m! L6 C8 i$ U0 K1 b
      Y=113278 c9 H- v9 [: i% U+ W! O5 r
      X=1292641
    2 w# t& U" z- O  Y=25787
    & @! N- k: t1 F/ }2 |  X=1211989
    , h) U, A; y- \9 |$ o0 K2 X# Q/ p1 G  Y=27503( l1 D6 h- |2 A: C% E
      X=946889
    / a. b$ K! @1 V! c  p  Y=352032 K; `( Z# k5 w, Z1 G1 Q) U
      X=420403
    9 x3 A" ?4 B/ M; Q# P4 e5 S  Y=79289& E- |" R' U( R& r. [: w+ D  h6 J
      X=1846635 {. c$ _7 Q! _8 I5 _3 J
      Y=180509
    ! T0 p1 ^7 w' Z- h3 N" j( E8 }……5 q5 [( p, G% F
    T=33333335867( x% O# Z  q: @( ]& E1 h1 `
      X=2564102759! N. L; {& i% H9 v
      Y=135 X) a+ {; d' n% E* Z$ N
    T=333333358974 d: J# t* Z! {/ {2 a% V7 E" `2 I
      X=28862538 w5 q+ @& N6 K# l" s1 v
      Y=11549
    ; \1 m. u% j& q( kT=33333335927
    ! i6 _3 O2 h: I+ x, y$ y. t  X=900900971
    $ Q* B, e+ |. D; @* b  Y=374 v& {) |- W- d, w: a/ X( v3 r
      X=1191881: s; ~3 [" }/ G( Y0 u% ~4 j% A
      Y=27967
    ! l" }# n# s& B3 S/ L3 q  X=1034779
    3 h1 o9 _9 |8 H2 _; q& ~/ j  Y=32213/ o6 G1 g  q2 _* b6 G! Z
    T=33333335957
    4 \9 v8 N- M" p8 H  W8 r; H0 K  X=17543861036 \1 D2 m; e& W$ L' V3 c
      Y=19
    1 k7 |/ T8 a# d5 J) VT=33333335987' g) o) Q/ h' |. g+ r3 H7 r, R
      X=4761905141
    6 G: p5 L- O( E. Y, J( o  Y=7
    " {% [/ q; I8 T( V2 @0 F5 f  X=680272163
      {* h, S' Z! A* e9 a5 `  Y=49$ s$ Z& h  X  V4 |
    合计:89个
    6 H: T8 q7 j" r, y# _* x1 L    素数:11个7 }3 _, Z% P" G3 P6 ]
        合数:78个0 z5 q8 d9 u" e
    - v9 O& S' F, l. o) R" D0 H- y
    若再选择第三种输出方式(输出的是所有素数及个数): F5 {+ Z3 [2 O; d1 [
    即:
    2 a" x* P# v- M- t8 ]" l5 u: [T=33333333347
    % Q+ k2 H4 c9 n5 z  \T=333333333772 l! k7 ?& c7 E' d# h' t4 l- L
    T=33333333647. n$ E  [. {) n, t( Y% R
    T=33333333827
    $ B5 Y' ~  o7 k4 {7 ?* h+ E1 XT=33333333857
    + ]- Y. y( m  W/ u1 xT=33333334007
    9 c: n( c% N  b+ h% _4 T5 ?T=33333334487, ]9 p- T  U) e- X5 Y; r/ a
    T=33333334907
    1 F/ U% w) j& @1 k' F2 FT=333333350270 ~8 y: L+ v+ L$ {2 m: d
    T=33333335177, s# O( ]2 h) d1 X. d' s9 n
    T=33333335657" [% O8 Q) ~  T1 z2 R3 a' Q
    素数:11个' v4 _  h4 [0 r0 Z% ^
    2 C  {* Q* C. p# K
    *使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对* i* O5 J5 e/ H3 x0 p
    # o; A2 X6 Z, W8 Q0 o& E
    用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
    , x" d; `* G! \0 i5 k! U+ W# w输入:E1=11,E2=23,h=0,L=111: N1 Y( }3 x+ {8 J2 L
    输出:+ b. C' [, W8 q
    34有1对
    ! {( h: o. U8 Z2 W   (11,23)
    ( O, Z) n: [* g' d- [: `* ^$ h64有2对* |: B* e: Y4 e7 Q7 z( e
       (11,53)
    / V* A8 `- D9 N% c! Z; }- w   (41,23)
    # {' |% W2 |6 e+ C94有3对
    % G* e4 \' G% ?- N( Z4 W   (11,83)
    5 ?) e6 M' S* z6 |0 h2 r   (41,53)3 |! N$ e. A9 b$ p* a" b8 c
       (71,23)
    ' A1 J% K) N* I' [124有4对; O+ l' T0 y" [
       (11,113)$ }* Y4 R4 J- V8 r
       (41,83)) P! L3 t- {; h" q8 f
       (71,53)7 n% u6 w: W- U9 S8 A
       (101,23)& t6 P0 V& m( N3 M. H) V
    154有4对
    5 K# I8 z  p& v1 G/ U% y0 I   (41,113)
    : j. |0 {& a( o$ z+ c   (71,83)
    ; [: @5 {- o! T0 c9 @* j. L   (101,53)
    5 M. b) `7 L2 i' z9 f+ E   (131,23)  X, H. v# |. l; d
    184有4对
    ! G& a3 j5 Z+ C8 K% A   (11,173)
    8 Q; Z2 e/ D2 p6 Y5 t   (71,113)- e1 `! N; F; [# b
       (101,83)
    ' M& ]( _0 o3 p8 u   (131,53); Q: r7 I  H5 X$ U* U# v  ~$ I2 y2 l
    214有4对$ f+ a: J+ O( O3 \5 a
       (41,173)
    % y3 Z: Q( i3 J: I' n- \   (101,113)
    3 g  j. d+ g6 v$ {$ [2 a   (131,83)1 P2 U# j* n$ M+ G
       (191,23)
    ) Y1 W8 s2 ^. Y8 x; k8 p……
    ' Q( D$ z! J' }; E7 a3324有24对2 N* B/ U3 H! S  ^
       (73,3251), L5 p: r0 E: Z0 R) _, J
       (103,3221)& A6 \- c1 d! P) m( @# y8 {
       (283,3041)4 N7 w5 b5 o. O0 `* V; F: a
       (313,3011)
    ! Q( @2 G  [/ l% M% M; V4 K# C   (463,2861)/ L+ ?, F6 N" x
       (523,2801)
    ) U/ |6 M, U% W4 o: c   (613,2711)
    6 d) H6 S$ n1 w+ Y   (733,2591)
    * ~$ M9 P0 \' ^2 @2 _7 F   (883,2441)
      H; N" f: [8 {   (1213,2111)
    0 G7 _  B9 k' y+ s+ J  n; b+ C   (1423,1901)
    ' t% l! B2 Y4 O2 ^   (1453,1871)9 g4 f" A* ^/ h6 }$ Q
       (1723,1601)
    ! o$ }& J+ c. P# g   (1753,1571)& R8 @. |. R4 ], G% U+ @
       (1873,1451)
    6 q% G" [; Y, W1 X. [   (2143,1181)
    8 E! |2 u, D& [8 i   (2293,1031)
    3 t0 e7 t; D, \6 z1 F1 C+ R   (2383,941)/ G8 i2 \6 p" s# r+ }! p2 d
       (2503,821)
    ! a9 O3 A, Z. T   (2683,641)
      ^& k' \3 Y: o$ I8 x+ i6 }   (2803,521)
    # H& R6 t+ \/ \5 V+ {   (2833,491)1 {/ ~  I$ p/ F+ M5 {5 z9 o
       (3253,71); E6 ~1 k9 r8 d9 y0 l
       (3313,11)
    6 ]$ m; A; X, h9 H$ L/ s% \. P1 D# M4 t4 V
    *使用21号程序:寻找孪生素数对
    : D& G, F' D2 @, V2 }
    1 [2 x8 H4 t# d7 \& G7 l用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999,
    ' I6 E, V5 F- N; g4 N; p在程序中输入:E1=11,E2=13,h=111111111,,L=111111999
    ) W- S! v& j, u7 x输出:1 ?3 i$ j* W9 ^/ {7 o% |# n5 f
    3333334391,3333334393" M, e0 I" j% @$ ?/ K" @7 I9 G
    3333335771,3333335773
    3 {# x: `/ r: n, V( B( h& T0 z. l+ g3333336701,3333336703
    , }  s$ _8 j4 |8 S, ~3 T% M9 H; z3333337661,33333376632 w. D& G$ x$ L0 d) m- V7 h8 @
    3333338711,3333338713
    1 F/ F! j# W2 K3333339701,3333339703
    ! x/ g, i. S0 |1 g1 B9 K1 k, s2 l# l# z) A3333340391,33333403935 I. D6 y0 }# ?& I+ j+ n
    3333342401,3333342403& C( }; R8 s  n0 Y" q' R& V1 q+ |" C
    3333342581,3333342583
    ( u4 ?8 s/ `! {- z" X% u& A3333343421,3333343423! g( n- f' {; v/ N, x- x6 x- {9 G2 @
    3333345011,3333345013. v* R" |# Z/ Y8 \
    3333346061,33333460631 M& i3 y( V' h8 R* S. q; C
    3333346571,3333346573# \/ ^; o9 ^$ o0 Y0 j" J& ~
    3333349751,3333349753
    6 O" J% s/ u8 w8 Z- t; u! I3333350201,3333350203
      K' m! G3 N, ?; r/ g3333350261,3333350263
    ) s2 o2 x5 V* k# r3333350651,3333350653
    $ p. k8 s% H# a: R3333351641,3333351643
    , O/ O) g5 s: w, }7 ^3333353531,3333353533" X) H" I5 _. S/ @, c/ s
    3333355601,3333355603/ w( q" k+ V% N( h* _  w
    3333358211,3333358213
    . q1 Q- d' x) G! s/ t' W3333358361,33333583636 d9 `* O, ?3 g( p( C
    3333358781,3333358783
    4 E( z* g& ^/ A3333359501,3333359503
    " i- u8 M: P; J* g( v4 c3333359591,33333595937 @0 ?* n( U% l& y; O0 \* q
    3333359831,3333359833
    6 k- i7 h( L1 w共有26对: }% [6 o: s+ x! R7 E0 M" y/ j- h

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