合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
5 ~. k+ Z0 P6 L: V: p( ]  F
下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
, n. _( |3 u' m2 A$ q6 X
M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
! Z- `; g9 [# N- l2 x则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
6 e* V; h' Z% MN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
2 w) Q+ K# L! [7 n! d当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
$ O8 \  Q+ W5 v9 [* i4 K4 X+ b则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
; m+ E8 l# X: G$ y! \5 o2 _只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
& B  r& i; f& A& G6 u" e0 n5 K6 S(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
) _$ n( `; g( Y+ s4 @$ {则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
0 G+ m7 g; \% V+ W例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
& Z4 W! [0 N* V( K则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
; X( i  o4 s7 R1 H数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
( j0 i# n7 |: x) e1 m- F' @. k1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
1 \' R; r/ H7 L; |* n& n2 Y2、精确计算哥猜数对
1 Y3 Y4 b8 k8 T/ E3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
: f5 q! v. T2 \; `: b( b( _- v
*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
5 h0 {& v$ F5 s用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
/ ]7 M& ?" ^) G(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
+ }1 H* M- o4 U1 Z9 `; N3 n, i- ZT=33333333347
T=33333333377
& T3 M! a3 G. Y$ E0 b2 UT=33333333407
( [. F! C- X, T0 M  X=3030303037
  Y=11
  X=628930819
: k9 u1 I. G* R+ A% D7 N  Y=53
0 L9 G- G, t0 Z9 d: J' v# ^  X=57175529
  Y=583
& y( j/ Q+ m, V/ bT=33333333437
  X=254452927
. m1 T- A) ?* ~6 q  Y=131
1 c% p' m% T/ P% J- S. e% L! `  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
; A! e1 \0 T; r& h  Y=124793
2 q9 j+ g; x$ K7 o0 h( ST=33333333467
  X=4761904781
; K' J+ h. }0 D  @/ e  Y=7
4 A+ G% r: M  N5 x" w+ b9 v  X=709219861
9 E1 k$ A. p8 }1 e( m" ~  Y=47
4 }& d0 `/ H  m+ _; a; I  X=311526481
1 q) u, O! t4 P: n  Y=107
* s: v! s$ t2 [7 f1 M9 z  X=138312587
/ H" Y. o2 j* i( n  Y=241
  X=101317123
  Y=329
% w: G) @. ~8 x2 A6 C. P  X=44503783
  V  h' o  R7 X( P  U2 H  Y=749
' g6 _' Z1 w/ y. f0 m) s9 t, _  X=19758941
  Y=1687
9 ^: J* a: X. L$ u( q  X=8483923
, S3 U! B( G/ P/ e. z  Y=3929
  X=6628223
+ p4 i+ A5 B7 H' ^  Y=5029
  X=2942821
  Y=11327
  X=1292641
  Y=25787
  X=1211989
/ j7 f5 i0 Z  D) a+ X  Y=27503
# A" P5 L# M, q  X=946889
6 w2 ^: D- P( F/ ~1 A% X" W3 [  Y=35203
  X=420403
  Y=79289
  X=184663
  Y=180509
……
' d+ ~2 C/ @7 Y8 [$ {3 yT=33333335867
  X=2564102759
  Y=13
5 N* _- f+ `# w0 |: k' j/ H6 XT=33333335897
  X=2886253
  Y=11549
8 \- H. r5 u7 R$ }' E, |T=33333335927
  X=900900971
9 l& I1 D& z3 O6 i  Y=37
  X=1191881
  Y=27967
6 \% a6 U* n  j# D; o  X=1034779
- J7 F9 |& s$ _$ K, Q8 d  Y=32213
5 N" V. M6 C" T! D2 o; a! U3 D3 F, IT=33333335957
/ W) b* Z. _% K$ V! F) U  X=1754386103
) a! C2 y5 c) v7 \" G( c  O. W5 Y  Y=19
* E( H& L) g4 V7 m7 O4 I$ H$ RT=33333335987
  X=4761905141
  Y=7
  X=680272163
  Y=49
/ y$ w, l( v1 j# R) V6 _6 c6 w合计：89个
    素数：11个
  S8 J6 r& k" u  C    合数：78个

8 S) T1 v9 ^' ^; u" O若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
* M' |0 N- D- J4 B6 gT=33333333347
- G  ~: S! ^8 |( [* c( T! ET=33333333377
8 c' f$ p! \2 i/ x1 K1 ZT=33333333647
4 w/ V- @' ~: q2 f% C7 p' F8 q/ tT=33333333827
& P% ~. D9 R( i6 OT=33333333857
' x) o+ I4 K! OT=33333334007
T=33333334487
% ^! H% W  c1 t- l1 nT=33333334907
T=33333335027
T=33333335177
T=33333335657
( C: g: E( Z, [( f3 M5 l素数：11个
6 D) G( ^) ]0 b& W3 K1 F
*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
9 u4 Q! y) V4 Y1 ?$ G
用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
+ O) c# ?2 C2 x7 N输出：
34有1对
   (11,23)
8 I! N! V$ O9 V' A9 Y# y- M64有2对
3 G1 T, w" |6 n) o: J7 C8 e7 A   (11,53)
   (41,23)
4 F3 v; t5 n3 [2 Y94有3对
9 S; y1 V* ~, x& `  j   (11,83)
   (41,53)
( b3 y6 \5 S) [! E# J/ I7 }   (71,23)
124有4对
   (11,113)
: n+ M/ {" ~# ^# V; V* f   (41,83)
   (71,53)
+ E+ ?4 W5 L* N( D* O/ q   (101,23)
. S  f- Q6 Y3 V0 F# j# K: p4 u4 J154有4对
   (41,113)
   (71,83)
   (101,53)
/ T  ?1 B( P2 ~6 [2 I0 `8 G3 m   (131,23)
, a4 Y' a+ U) _1 [) S7 s3 ^- j184有4对
% v* E# z9 y( a3 |   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
# U8 K. d* ~. I# w$ f214有4对
   (41,173)
4 D- X& E* F2 `; b+ {   (101,113)
   (131,83)
& S( O, L! I% U; `/ ~   (191,23)
……
3324有24对
   (73,3251)
; X9 A& H6 P1 q' g" ?3 F' w. \   (103,3221)
   (283,3041)
- [, B% Z) M- R! V  [7 |' X/ C   (313,3011)
   (463,2861)
# x: [2 p6 n- B   (523,2801)
   (613,2711)
8 M; O; f0 y. a   (733,2591)
   (883,2441)
1 B3 H! J' G4 s" U$ J9 O   (1213,2111)
   (1423,1901)
. [- G* x( b" x# i# _; I   (1453,1871)
2 h1 [$ W) {  S; c9 ^  \" t8 s; Q   (1723,1601)
# |  r7 c& {% ~   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
8 c4 A  B2 q4 S+ Y  k   (2293,1031)
   (2383,941)
2 X! a4 _2 G# R* h   (2503,821)
   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
2 g- V# R$ j; F5 |   (3253,71)
7 E9 F9 L; R6 J; b/ v   (3313,11)
8 y7 Y  V0 i$ K5 g( _+ _6 u3 }
*使用21号程序：寻找孪生素数对
* y' Z8 I  ~' `$ y, Z2 j
2 @; S1 S- D4 A/ e+ _. a用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
, F7 U+ j) ^! L! x- \. J3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
% h+ D& `% ~! r( X3333336701,3333336703
( L  M5 J$ _/ e; y3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
% ?2 Z6 ^$ V* j; ]/ L) K6 \6 |3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
2 t2 J4 d; ^6 ]! T6 Y) i' ]3333342581,3333342583
, s' q: l( ^, a! [" e$ f" ]3333343421,3333343423
1 L+ ]/ b0 W  Z- `) Z3333345011,3333345013
6 B8 g2 z. w4 x, T( m* Q3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
$ \( }: g$ Z( @* Q# k+ `" d& W3333351641,3333351643
1 Y  M" c8 P/ @! {; ^9 X" O3333353531,3333353533
3 k7 _5 u; i  |5 `! k5 @6 G3333355601,3333355603
7 m7 m7 m3 @" g, _9 N! ]3333358211,3333358213
4 Z( y1 j" e6 O3333358361,3333358363
# R: U. y9 m' ?3 E2 @) C) m3333358781,3333358783
6 _: y# E3 |6 ?3 [3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
' P$ z! c9 H- A/ x, G# |9 ]3333359831,3333359833
共有26对

& n# a+ y& h/ c7 E