合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
4 X, U& B: r3 a( q/ U. @( j
M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
1 @2 b7 L' F) \* N6 Y. h( `/ ]例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
5 S1 v. Z4 K) PN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
& F8 k: j' \' h1 a$ Y当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
# A' @2 [& E- K, W同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
3 F1 j( d+ s  m0 r& a* i' c1 q+ z即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
6 e! f  |* L7 D& o(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
* l( u, H0 d  F# A5 l; y: p1 e例2：I=31
' q( E% ^/ M" P% G% W& ]" I因为I=31除以2的整数商为15
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
$ f) e" j# R4 D4 I9 e$ u! bN的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
, C. U; S) M% N& w2 g所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
& K5 N+ m' \& `) W3 i$ ~, c2、精确计算哥猜数对
* W7 e# O/ y9 J3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
* e' E: Y, z# L8 t6 U# E
1 b* G4 Z% D  `*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
; t5 ~+ r: j& k" r0 T+ a4 N
/ v$ Z7 E7 ?# ~1 n' g. I下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
7 o: a, Z3 d0 J  d: }5 B/ d: m( p! J用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
* Q- z8 f: b  K先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
' T" W: o2 O# u0 n/ XT=33333333377
T=33333333407
! B0 p. s8 p# U. K  X=3030303037
  Y=11
* @/ C( \9 g* {5 w, b- y  X=628930819
* l% H0 v4 r" P8 g- Z* V  Y=53
  X=57175529
, V. |) P  p: N& T  Y=583
# t/ C" Q+ G( z9 IT=33333333437
" A( R5 B4 e% y- g6 l. e1 c* a  X=254452927
  Y=131
* f' v3 O) v  t8 y0 q  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
  Y=124793
$ ^4 ~- y0 ?& S9 HT=33333333467
4 S+ }' x$ m3 ~) R. ^  X=4761904781
  Y=7
  X=709219861
  Y=47
* B! w; x; i4 w! X4 y! m8 G  c  i  X=311526481
( T  l3 p' }7 x/ R  Y=107
" A) U. M# H! G# k( v3 V  X=138312587
  Y=241
; m% N4 u9 F' ~  X=101317123
0 H+ {! c/ N" K  Y=329
$ C4 l, x3 y; Z! J/ k. r% b; D7 r: I7 b$ [  X=44503783
  Y=749
  X=19758941
7 t! Q3 M' h8 K$ F/ Y  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
  w( W. Y- Y, r. C6 C6 U  X=6628223
  Y=5029
7 n* @* d2 E0 y( V) I2 @, c  X=2942821
: g8 v. ~. P; y# J! j  Y=11327
  X=1292641
  Y=25787
, b1 V# S4 N4 a  D" ~2 J; G% Y  X=1211989
  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
# }/ Z, h6 F5 L: c" ^) j4 s+ G# \/ g" b  X=420403
' J/ U5 i9 i8 ?* z( c3 V/ ^  Y=79289
  X=184663
  Y=180509
% K3 Y' H" h- H2 F……
2 G# \: S- B1 A) p2 f7 S; _* IT=33333335867
  X=2564102759
  Y=13
$ @/ v) i& c! M; \8 K6 ^T=33333335897
. w6 j+ g9 Y( X/ w  X=2886253
  Y=11549
T=33333335927
  X=900900971
  Y=37
  X=1191881
2 f! }/ i( F; U0 i" U# E  Y=27967
4 p0 ~4 m9 V7 H* y- p  X=1034779
  Y=32213
T=33333335957
- H5 x/ N. C) m  X=1754386103
  Y=19
T=33333335987
  X=4761905141
8 C$ \) G0 l' B, n) l0 D1 f# i, G  Y=7
$ s' U# e" J  a: B  X=680272163
0 @$ f7 K/ s/ _8 e, ~9 W4 j; T  Y=49
合计：89个
! Y. |) K* i1 ?& `+ t    素数：11个
    合数：78个

/ q# L& A, B: n, a% z1 E5 f若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
0 V# ~- T+ e- d1 _( E- }  M即：
T=33333333347
T=33333333377
+ C! l8 N8 j  x; qT=33333333647
T=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
T=33333334487
: l+ n; W& @/ `T=33333334907
T=33333335027
1 w2 G1 ?# L/ J6 GT=33333335177
T=33333335657
1 I1 c5 ^9 Z2 Z4 D2 g# |& X! V素数：11个
. t5 k8 l9 R7 g$ E# B4 j) a; _# F
" i& r" Q7 i; C3 ?: m9 k*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
3 q  @; [3 ^; a" `& N
2 V7 B  Y. I7 T" Z* f4 F用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
) V6 f4 R5 r; l5 g2 G输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
# S/ f9 |3 C& z1 L输出：
34有1对
   (11,23)
64有2对
* g6 {# c+ I$ `$ O- |1 {   (11,53)
   (41,23)
) `9 o' r& b/ ?* P9 G$ M. m94有3对
# f# k5 J# Q: K) u5 P8 g9 j9 M   (11,83)
   (41,53)
   (71,23)
& p! H: z1 h3 C6 E# [+ b124有4对
   (11,113)
( W- T0 l! P( L" [) ?4 _2 e* _   (41,83)
   (71,53)
   (101,23)
154有4对
   (41,113)
   (71,83)
/ w% E/ _/ i! G, _, d5 }8 O   (101,53)
   (131,23)
9 O) o& a8 L% E8 Y, h. [184有4对
   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
0 F; o# Y* L8 X5 t1 ]   (131,53)
214有4对
   (41,173)
   (101,113)
) z6 u) Y% Y  ^( {* T3 q" `" }1 o   (131,83)
   (191,23)
……
3324有24对
' o# w  N- X) ]   (73,3251)
7 A0 O# c4 U8 g  K, A& s   (103,3221)
   (283,3041)
& |7 O: F8 l+ u7 ?   (313,3011)
   (463,2861)
7 L+ R  ]$ G3 U, @   (523,2801)
   (613,2711)
   (733,2591)
2 B* q+ `6 h. D3 X, B   (883,2441)
; c1 ^+ i$ k  k+ o   (1213,2111)
* w. L0 u! a9 j  b; M, q   (1423,1901)
   (1453,1871)
   (1723,1601)
8 l: X, F! Z; R   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
" v8 Z# B: w" M1 o8 L3 T) _   (2293,1031)
3 E! d% a3 c- z$ V8 m   (2383,941)
   (2503,821)
4 ~; t: o1 O, o& k   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
1 d' ?' a6 J7 w) V/ w- ~/ ^   (3253,71)
8 F+ H" E) q% y   (3313,11)

# L; P) }6 O3 Q7 q; S2 Z5 P9 ?6 U*使用21号程序：寻找孪生素数对

% \: M  v; o; M# H" {3 Q" w. A' ]1 V用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
  d% y& m! a* f$ ^在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
$ L4 v0 N0 U' m" ^' `. k$ L输出：
7 {2 a$ x8 I3 ~2 ]3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
2 e  s' e5 h# D3333337661,3333337663
* l- }% z/ ~5 \. ~' ~  k0 ?3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
2 A3 W$ ^9 G) M6 {3333342401,3333342403
7 F7 b$ j: d  C, j4 m1 A" @8 D3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
0 \( W1 C; O5 g! x2 Y4 Q3333345011,3333345013
" I$ O0 C4 ~( c6 E$ p- T4 g3333346061,3333346063
6 `+ Y% b1 r! E) ^1 W  c) M4 \3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
- g% o+ A0 `3 @8 V7 C! h3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
; j1 [3 W2 ?! C( J; Y! ^3333353531,3333353533
# X+ _6 `; B! u* k( k3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
3333359501,3333359503
0 m2 {* E3 ]5 K) o/ X; v# U3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
' R$ M, o8 w( t4 B6 [共有26对