合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
  P6 H0 ?* J/ ]! w- M
下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

2 |; K$ I& o. |  RM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
- x, \& o# y- w' e! W& W# a5 E因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
! I( \  s; c! a1 u5 V当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
. Z. ~; h. l) U: ~(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
( Q- u* P0 O7 M4 K" f2 ~0 q; ~同理：当N=2、3、4、5、6时
5 m, t2 I' e9 a  U) C9 M) A- {1 }5 I只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
, e" S, U. J' f* E4 O# P) V即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
$ ?" y+ W5 R' _$ N3 N+ A与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
6 f. X7 }% |; K例2：I=31
" Z9 B& J  H# y因为I=31除以2的整数商为15
5 r3 u: n) g7 c! s' ], {) G则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
) a) y. n3 m4 e! j5 M, x: R当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
  S! b4 C: t7 E! S/ D" j所以I=31是素数。
7 N4 N% w" b8 B# ^数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
: T' F8 v  i" t; Q0 N4 L8 u1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
7 \$ v8 N/ s( n$ P- J% P. S9 W# H2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

" w9 M7 q2 u0 o$ Z6 S8 _: `*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
0 F1 x# U- P* h5 y: Y
# a+ }# O4 G* S3 N( p  `下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
( M- B7 j  x4 T1 M5 v用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
5 y8 z5 _$ r* E: c' X5 R# e先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
; A# m! a) k$ ?! |! c% f(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
T=33333333407
  X=3030303037
+ s& ^  [6 ~, e5 L  Y=11
8 ?9 ?  I) z& O  X=628930819
! k' k/ w* A9 i: h" j  Y=53
; X+ ?; {" G+ |  X=57175529
* e) X/ J, j4 a& J) b5 [  Y=583
T=33333333437
  X=254452927
* n% d" {/ M5 d  Y=131
4 V* O6 b2 v& u5 L& c! o  X=16347883
7 l# g1 j( u, X1 x3 a1 \  Y=2039
2 w/ L4 E5 l4 ^4 F+ g0 N0 n  X=267109
3 L* X4 i) R6 A! Y  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
  Y=7
  X=709219861
' G8 c. [% s& i* x' x  Y=47
  X=311526481
( L+ A$ {6 ]9 `: ?3 }; [  Y=107
" d4 a: e8 C; y; t' K  X=138312587
: @( ]% H$ m2 K  Y=241
  X=101317123
1 B) W/ r+ l) Q- S, g6 g. P  Y=329
  X=44503783
  Y=749
4 E* N& z6 o5 e( f2 F& _) J9 e  X=19758941
  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
  X=6628223
; j; h+ f/ I2 Y0 r1 k  Y=5029
  X=2942821
( T; o/ P) \1 \! ]8 c  Y=11327
  X=1292641
1 l( U, E. E1 b% g  Y=25787
  X=1211989
9 x/ w0 l3 r  |5 ~9 c  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
4 Z9 g% j3 h. A5 `- B& r$ g  X=420403
' l4 V  u) D5 ~6 \: R  o  Y=79289
  X=184663
8 D3 ?% ]# L' z9 C; v" j  Y=180509
……
T=33333335867
* a3 q$ i/ x! ]9 v  X=2564102759
  Y=13
% ]3 Z, I. |3 MT=33333335897
  X=2886253
  Y=11549
T=33333335927
  X=900900971
  Y=37
  X=1191881
9 D. P" ~* Y" s$ |3 i  Y=27967
  X=1034779
  Y=32213
T=33333335957
2 O0 f% ?6 s! d. r9 l  X=1754386103
2 r$ e$ A' j' t1 ], X  Y=19
" |. G  g2 `# J; O/ VT=33333335987
6 |7 d7 A, p: F: g  X=4761905141
! y2 v2 @, s2 e$ z- E  Y=7
  X=680272163
  Y=49
合计：89个
1 V; X7 {/ g: g, w# \( M8 l! @    素数：11个
) |! ?3 }4 `9 u( V( C6 |* O    合数：78个
" K" \" p: X: W, C2 c
若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
T=33333333347
9 B+ q5 o/ E7 Q/ Z- S$ {T=33333333377
: N+ o1 H% R; XT=33333333647
. I8 ~' _1 O7 A5 S! F' M- d# JT=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
T=33333334487
T=33333334907
T=33333335027
  j/ q  [! ?- C  jT=33333335177
, U9 A7 T, Y- ?& c& ~T=33333335657
素数：11个
/ c. l7 ~" t$ ~/ }
*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对

6 H! _8 Y1 ^! s6 J2 ?$ U' U1 l+ g用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
' W: t. `5 {2 I, W输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
$ p7 b5 P" T  F输出：
34有1对
   (11,23)
: Z5 \( o1 ~# Y5 r64有2对
   (11,53)
   (41,23)
94有3对
1 p( {( g' o9 h0 J' j   (11,83)
3 K: f: v3 G! q, {1 K   (41,53)
   (71,23)
124有4对
   (11,113)
# a3 Q% i7 X" z3 }( a   (41,83)
& ]4 T+ ], H4 L4 l8 U   (71,53)
   (101,23)
1 d. U  D8 S4 A154有4对
   (41,113)
   (71,83)
5 u6 M( Y' B( {4 j3 ]   (101,53)
. k9 w* E- ~4 w" V  [* P3 w   (131,23)
184有4对
6 M2 s% n. R0 U0 z0 U4 }% f+ q   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
214有4对
   (41,173)
% Z9 \# T- p2 v) Q9 F8 Y   (101,113)
, r8 o  m4 N0 g. h7 u# v+ F   (131,83)
" Z( W4 ~' x: `9 J   (191,23)
# {& i) y* S; Q……
$ }8 P" c: P* X1 ]8 _* ^1 g! x( f, V$ p3324有24对
   (73,3251)
" |  M# G0 p6 W8 K: C8 t3 x+ e: o+ Z   (103,3221)
   (283,3041)
! d: ]" B" h" p   (313,3011)
2 i' }4 E+ P3 m" J6 `   (463,2861)
   (523,2801)
# ^" C; ], |% U# Y   (613,2711)
) O, C# R3 Q! x5 j0 l   (733,2591)
   (883,2441)
* @3 J( l+ `. J6 U+ W. h; M   (1213,2111)
2 c+ \+ Z) o" @$ P: \   (1423,1901)
% ~( H  S/ y1 d" _- A5 E   (1453,1871)
. A, f% f- K) ~- g. V) o) ]   (1723,1601)
   (1753,1571)
& u5 x" ?9 H9 p0 i6 n! w' S( ?   (1873,1451)
2 e; w( r+ ~! a" k2 V0 ]" ]9 y   (2143,1181)
   (2293,1031)
" P* k" u" i) U7 |7 q   (2383,941)
$ V" o% S. Y% \   (2503,821)
2 c. {' ~: O! |5 q, p  y6 x   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
   (3253,71)
   (3313,11)
6 E" x0 C& l% S& o/ s+ S
*使用21号程序：寻找孪生素数对
- X. g( x# |4 L) L1 Y
* N* b; f  o/ L' t5 q; i用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
4 k. k" u+ d3 H+ h2 k输出：
1 O' ~7 Q$ _) r5 D" T! c9 [" P- H3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
' R  K  a# L  H  g( j, ]3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
2 d, ~/ ^# U/ U, d* z3333342401,3333342403
( [2 }2 k/ y1 k3 i3 b) ^  l6 p3333342581,3333342583
1 b! H9 w+ v! J) ]$ v5 f) `7 G3333343421,3333343423
* F. r. ~+ m- `/ ?+ A, K3333345011,3333345013
# _' z( }1 T% k) H4 d! P3 \3333346061,3333346063
& G3 i- d' [  ^$ o3333346571,3333346573
3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
  ]2 S, s! Y: C- ]' i( s/ {3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
+ E6 I4 X; S% D; L2 {0 E8 r3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
6 |9 W+ _0 e  s2 A3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
. O' o3 o/ p: ]7 S3333359831,3333359833
% }  P- }& V- C共有26对
/ R2 p/ K$ G$ ~
; o& C. \# y: ^. u9 P) f# T