合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。

( s. J! x$ R# V$ p  g下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
4 ]9 h% W) i+ n( z- o# v! I* ~! k
M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
' F) x# }8 ?  J' a5 g因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
; `2 N) s7 u. w6 Y! dM=(13-N)/(2*N+1)
2 a$ L0 T4 b" j* W' n# B! G$ aN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
% @( c2 s( {7 d( u: v& |$ t- ]5 K当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
, ]' i# F; v0 k' L* h8 D  n则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
: {1 J( [. h9 ^) T+ T(2*N+1)=(2*1+1)=3
! U4 i4 O( V. v! E. h! K/ n% l即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
! m' z  M% K% V2 q9 z, }( @3 n只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
- m- c3 b, T' j3 @+ a例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
2 e1 U2 q0 P7 s3 t+ F. ?则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
2 _4 o1 Z3 y/ I" a0 g! H当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
) ^# j' U6 I5 s4 ]$ K; o所以I=31是素数。
" U- k& v7 {4 T- l  m* O数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
8 q+ v" B1 p+ i; t* i- o3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
# m" P' q6 i; O0 r' P& b! P
*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

* t% z0 d8 k) E5 |( g4 J下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
% }( b0 F( M( |- b输入：
  }9 o& v$ w8 l* ^; d用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
/ N' W- s1 Y, {T=33333333347
) A; N) c; S0 T) x4 zT=33333333377
0 u- j  d  z; h# [' ]" U& _T=33333333407
  T1 \9 X# L8 @% u; `  X=3030303037
4 ?- @, a  l2 k9 G' X  Y=11
! u. K: A4 `9 B& p7 \; }  X=628930819
' c! n+ U" E$ F  Y=53
  X=57175529
; Q) Y: X/ L3 b  Y=583
T=33333333437
3 w7 `/ z( g+ J1 g& |  X=254452927
7 w0 ?) W  h) J- @* {/ i  Y=131
  X=16347883
$ ~( S4 Z2 L; Q' L0 m* X  x6 ]  Y=2039
  X=267109
  Y=124793
: r) w; X8 L) p# MT=33333333467
  X=4761904781
+ A% Y) n+ Z+ J4 k% C  Y=7
  X=709219861
  Y=47
  X=311526481
' J- i% ]5 ^) @# w7 c  Y=107
( a1 J7 R& J6 j# U  X=138312587
  Y=241
4 [1 I! V% E  U  X=101317123
  Y=329
% w9 S: a" J* `8 s) v' Z' [9 l! w  X=44503783
+ T9 u5 A5 b$ G2 F  Y=749
# b  D: r% s& t7 i$ T# f7 B  X=19758941
9 @% v! D2 Q3 I$ m4 m) a! V  Y=1687
. }( O: Y& x) ~3 m' [8 f' ~  X=8483923
4 ]$ s; e$ {" I+ {  C6 K# w  Y=3929
& P+ V, U- h- p! l  X=6628223
' o$ z9 J( {3 P" g) H/ u  Y=5029
  X=2942821
  Y=11327
  X=1292641
& ^% O7 W* p) f$ t  Y=25787
+ q3 q; h! d9 x2 P  X=1211989
  Y=27503
0 }' g( @1 T- U9 ^# {) v  X=946889
  Y=35203
6 o- h2 z* k6 e. A0 G+ I/ V  X=420403
, r3 X1 Y2 f! j4 d- b; K  Y=79289
1 b7 S. F* S) R$ f  X=184663
  Y=180509
% f; ~: r. G9 n7 U9 L……
T=33333335867
$ I$ Y5 ]  t( b/ p6 l8 W8 k4 n5 q  X=2564102759
  Y=13
. W1 a4 ?9 E. A6 ]8 X/ R9 JT=33333335897
  X=2886253
  Y=11549
T=33333335927
  M' ?4 Q. }& Z- D% a4 [# h. ]* t  X=900900971
) [& p2 H/ ?! j4 G# c% d  Y=37
  X=1191881
  Y=27967
  X=1034779
  Y=32213
4 S; O) _3 L% ?* k; B, O. |T=33333335957
  X=1754386103
0 z) Z. o3 M/ g; X& m% H  Y=19
" b7 ^( }5 E+ c7 j8 o8 F" W- C- j7 nT=33333335987
  X=4761905141
0 _6 W! c4 R* m3 M" |; }( p  Y=7
  X=680272163
  Y=49
合计：89个
    素数：11个
    合数：78个
7 K& y# j; X. n/ _
若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
5 U# k( h1 L+ S7 }  e. l( a! s即：
T=33333333347
+ m6 U/ j  L0 E" D9 FT=33333333377
T=33333333647
T=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
T=33333334487
T=33333334907
T=33333335027
3 @, y2 o6 j* b1 x& _T=33333335177
T=33333335657
) V1 N6 s3 v1 @* J( S$ g素数：11个

*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
/ Z; R1 l+ d( p% _& J
用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
( F8 s. B1 i9 h  f( A4 z输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
7 X! v. T" @" A5 l0 H# Z输出：
1 K* C6 P5 p5 ]6 b( s+ p34有1对
* G7 _- M6 P/ M1 K   (11,23)
64有2对
: r- X7 [6 [. Y# b; q" j  R   (11,53)
   (41,23)
94有3对
   (11,83)
   (41,53)
   (71,23)
124有4对
   (11,113)
) h- N/ K' d; b   (41,83)
   (71,53)
   (101,23)
154有4对
   (41,113)
: i+ y7 [6 `; Q" N2 z& }9 n   (71,83)
   (101,53)
" t9 V$ ?. d( H' w   (131,23)
/ U' ]1 R3 r; O4 [184有4对
   (11,173)
) B% U# Z/ R' l  o   (71,113)
. i7 g4 {( H1 v) y4 e# k4 v( n   (101,83)
' e' o$ R& b% ?. ^, q2 L. N   (131,53)
214有4对
   (41,173)
/ E* u; q$ j" D; x) P   (101,113)
/ H9 K2 E* Z" L% c1 D6 L: R3 ^% B   (131,83)
" F$ K+ ^* c& b6 z: f   (191,23)
……
+ u5 Z' V2 a: B) {4 [1 s3324有24对
   (73,3251)
   (103,3221)
0 ?3 v1 N: `( R! h6 p& G; T   (283,3041)
   (313,3011)
3 h( Q$ r2 q" J4 D4 r' H- R2 b   (463,2861)
   (523,2801)
   (613,2711)
3 t: c/ \  o* Y( u; n: k   (733,2591)
; ^5 x+ Q* k" U8 |3 z: j   (883,2441)
   (1213,2111)
   (1423,1901)
   (1453,1871)
0 K$ o& u* r# c6 Q* |   (1723,1601)
7 |, U  P  Z9 W' w& ?6 D% d/ n   (1753,1571)
9 k6 q8 z6 I# t2 x6 G; c8 U   (1873,1451)
! N: h+ U8 g9 z, w# T2 L" Q8 M7 k   (2143,1181)
   (2293,1031)
   (2383,941)
7 f' O1 ~: r6 k   (2503,821)
0 @7 B+ F+ K3 t5 z: l; B   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
5 n& o6 T& x- K# H8 T) L   (3253,71)
! P( A8 Z2 M; u   (3313,11)
, i; y2 P: R  S6 Q# c
*使用21号程序：寻找孪生素数对

用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
$ g6 T+ Q6 a" B1 K  {* h1 S8 Z" \在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
1 |* o3 U" }6 j3 x* e: ?3 l输出：
3333334391,3333334393
2 S& N4 x2 r4 I  r7 j1 H" X% {3333335771,3333335773
" \2 u5 ~' q. H4 H% G3333336701,3333336703
- O+ _! p+ Y+ O( `' i/ A3333337661,3333337663
$ y3 m: R8 D* A2 Y8 N, U3333338711,3333338713
' E; F" y9 a4 l; U$ g) N3333339701,3333339703
' Q& {( P9 P  G' U/ b3333340391,3333340393
( `$ _: n0 I9 ^0 X% h3333342401,3333342403
. M- [, B9 D% {3333342581,3333342583
0 }* y! n% r7 X: K: }: I3333343421,3333343423
5 Q* \$ c6 U( T1 n/ P* Q3333345011,3333345013
- \6 G9 ^+ `3 `3 f7 [3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
# c* G  q( l6 z6 o0 `$ Z3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
8 @7 \, Y( C0 {2 R; z1 F0 x9 E  z- B3333350261,3333350263
* |) ]1 r8 V" [; A' @4 y! ~! q3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
3333353531,3333353533
% f" A5 |8 d- E+ t6 c6 p1 C3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
0 `2 y2 D+ }8 |/ N共有26对
/ }: X9 L* k/ |- v