由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
4 t) n) w* |+ w; A, \% u
2 d9 t, F' @! O' ~

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
                         尺规三等分任意角的逻辑原理
9 w9 O0 G5 M& Q5 P$ ~/ r3 [. U9 |  \                        苏小光
  T8 @( U/ E! _8 {- B                      2011年2月20日
     一)  问题的提出
  C; K/ ]. i) O2 v; b+ Q8 _# E* a     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
                  
: ~2 f  c& M  r9 B9 A% w5 L( M没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
" r8 h9 S0 f% Q4 u; U. E3 Y                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
4 s( i" R! s; \$ D   三) 问题的终结
6 r' f$ n0 I  s. d8 K6 i   定理3 若
            
则用直尺和圆规可得
6 F3 r+ W  }2 h7 z8 A            .          (1)        
( s6 Z. M3 K" W    证明  
2 S) U4 z8 A& w, y+ w5 B在∠AOB一边AO上,取
            
9 Z2 u$ f) d4 N" |3 J以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
; v; {" H' Q; {/ M) n/ f根据定理1,有
                    (2)
" Z7 n# {4 @* Y3 @5 X; {" w在AO上取点E,使
% U, r# L+ K- m  n9 b3 c) V* y            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
; z0 K0 Y/ h  y. `根据定理1,(2)式,(3)式有
             (4)
所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
        CD=EG=GH=HK,
/ _' K& E, ?+ G7 K; U根据(4)式知K
5 _3 y) M& s+ B. Y9 Y3 ~$ O( I、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
6 n2 r* ^7 g4 m5 Z1 K根据定理2,(5)式,有
        .
& ^( h0 |; q2 A" `9 M6 ?' U即
       .       (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
( J, T5 ^# v8 z& _0 r    本文的理论基础是
         
2 M/ ^2 D9 S8 I# U若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
7 d2 y# u6 f, T

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
3 |+ `' F+ y$ n8 s% Y                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
8 P" T% F* E* `/ @     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
, j5 K$ d) K$ X3 K* l                  8x^3-6x-1=0
* R- F9 L" F# d7 O) s! q4 X没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
6 g9 v/ K1 E% s! p6 Q    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
+ }' T, n* s. y) }# V6 U. _0 X                 l=NR\pi /180 .
                 
& z0 S' f% k4 A: `4 a9 [  J   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
; T8 Y' n  J  |( [- Y            
- D4 H, h' c2 H则用直尺和圆规可得
8 `! |3 \- d" Z- G5 a       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
+ V' d( y4 m' Z, M* v0 d/ M) B2 G    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
; o8 }; C" v1 ^3 k在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
/ C8 q2 Q: o0 C0 `2 \            
以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
' T, q& w8 U4 z$ ]" T  Q6 }, h根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
. C7 @+ S" K6 C* Z$ J在AO上取点E,使
OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
1 o/ u# W. G" [: I' s" m, F/ \          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
. A/ W/ y) I6 C: H所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
7 Y: k) z& r! G        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
5 e: W6 u/ L. Z# r  ^( x根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
即
( Y' G  Y) V* h: t; y           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
            \pi = l /2R
若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
' n& c, g7 P( M$ G! I2 f

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

回复 wujwu 的帖子

* S0 D# `! T/ G8 F  h没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
- o4 u  S: c4 O7 B6 c+ Q8 T

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

永远支持中国数学建模