由圆周率\pi 而产生的联想 (尺规三等分任意角的逻辑原理)

数学1+1

尺规三等分任意角的逻辑原理
' G7 s5 _  K) b- z% [, K: {

数学1+1

数学1+1

                   圆周率 的联想
2 O1 G+ C5 y) G                         尺规三等分任意角的逻辑原理
9 ]; a8 }% @; W  F8 k6 L- C                        苏小光
                      2011年2月20日
) H. }/ t. N* n% v1 c# R     一)  问题的提出
7 J. q- `0 _  m# U4 Z     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 角可用尺规分成三等份,而 角则因为代数方程
7 Y2 B4 e5 Q# ]/ f. d                  
没有有理根,认为 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
+ _0 n4 |0 t0 {# [- b5 I/ b    二)  预备定理
9 K6 n& b0 }1 B$ {, ?% C( w    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 存在
0 o0 ~5 k" d8 ?, N: J" u                 
' U+ ~# g7 v% V: A+ m, E   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
: G1 q; Q/ i7 n; q$ K; K4 `9 F   三) 问题的终结
1 y2 H6 ?$ O. C- \! ^, g$ x9 ?, o   定理3 若
            
( A$ C; w6 Z! K! K. `则用直尺和圆规可得
            .          (1)        
    证明  
1 L2 e0 X) G2 M3 L) i在∠AOB一边AO上,取
            
以 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D. ,
根据定理1,有
                    (2)
在AO上取点E,使
" z" h. p) J, i5 l$ l            (3)
以点O为圆心,以 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F,
根据定理1,(2)式,(3)式有
' B, T2 T* M3 L% s             (4)
9 a2 P% G+ {: N: a: x& Q所以,在弧 上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 于点K,连结EG,GH,HK,因为
1 Q( f' B2 Q& I: b        CD=EG=GH=HK,
( G6 c2 H& y4 ]根据(4)式知K
、F共点,所以
        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
  k/ d8 Q) R$ K7 X        .
9 @7 `$ ^: r0 D+ h. F' u即
       .       (6)
0 k/ m, u0 L2 _7 e- \3 T由(6)式知(1)式正确.证毕.
    本文的理论基础是
& t# z- P! l# `# s# s7 g4 v         
若半径R扩大3倍,则圆周长相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
% N. p) P8 M& G" Z( j

数学1+1

                  圆周率\pi  的联想
5 K' P- S5 M3 b' C                         尺规三等分任意角的逻辑原理
                        苏小光
                      2011年2月20日
2 v; a  `/ ^: E: s+ e     一)  问题的提出
     古希腊人在三大几何难题中提到,尺规能否三等分任意角.有人用代数的方法证明 90度角可用尺规分成三等份,而60度 角则因为代数方程
2 \* [4 n! {- u' A                  8x^3-6x-1=0
3 n( y) ~9 N3 n2 [" E1 \没有有理根,认为60度 角无法用尺规分成三等份,所以,三等分任意角是尺规作图不能解决的问题.也有人提出了质疑,却不能给出令人满意的逻辑证明.本人由圆周率 \pi 是圆周长与直径的比这一大家熟知的常识,经严格证明,得出尺规能三等分任意角.
    二)  预备定理
7 z5 i0 A# g/ ], m2 o    定理1 设圆心角 ∠ABC=N,则半径R与弧长 l 存在
                 l=NR\pi /180 .
8 \! e. k6 j+ U, m                 
   定理2 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么,它们所对应的其余各组量分别相等.
   三) 问题的终结
   定理3 若 0<∠AOB<(或=)360度,
            
则用直尺和圆规可得
       ∠AOG=1/3 ∠AOB    .          (1)        
2 m" X; ?. Z3 ~( k% }4 Z; @    证明  设∠AOB=N,则0<∠AOB<(或=)360度
& J" I; O+ ^& O/ g. t: C在∠AOB一边AO上,取OC=R_(1)
/ Y, K- E- L! E: K7 d% A            
, ]) f$ I& K$ V& j) \8 D6 ~以R_(1) 为半径,O点为圆心作弧,交OA于点C,交OB于点D.设CD的弧长为l_(1) ,
5 a& {' f0 S( _+ k根据定理1,有
    l_(1)=(NR_(1)\pi )/180                (2)
在AO上取点E,使
% ~! Z0 a- i' ^2 e2 T OE=R_(2)=3OC=3R_(1)           (3)
以点O为圆心,以R_(2) 为半径作弧交OA于点E,交OB于点F, 设EF的弧长为l_(2),
根据定理1,(2)式,(3)式有
- H9 e( Y% _2 W" C& ~          l_(2)=(NR_( 2)\pi )/180=(N3R_(1) \pi )/180=3 l_(1)      (4)
所以,在弧 l_(2)上,以点E为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点G,以点G为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2)于点H,以点H为圆心,以CD长为半径作弧交 l_(2) 于点K,连结EG,GH,HK,因为
7 m2 j7 q2 \) F8 C3 B  i        CD=EG=GH=HK,
根据(4)式知K、F共点,所以
2 t: Z4 A& R0 C5 T: j5 N( L$ H* m8 w        EG=GH=HF,         (5)
根据定理2,(5)式,有
        .∠EOG=∠GOH=∠HOF
0 {! e) m; h* p! H即
           ∠EOG=1/3 ∠EOF        (6)
由(6)式知(1)式正确.证毕.
5 m7 l6 M# \9 m2 i  S; e# f    本文的理论基础是
6 _7 n1 }* i/ j0 Z, p            \pi = l /2R
' a) `$ w# K- t& e" r3 w若半径R扩大3倍,则圆周长 l 相应扩大3倍.相信本文将是尺规三等分任意角的完美终结.
5 M/ \1 Q+ I. b

葉_浅浅

感觉有点问题呢...........

wujwu

楼主可以的话发PDF，这里看不到呢~

wujwu

回复 wujwu 的帖子

没事了，这里可以用latex看呵呵

唐伯虎

感觉有点问题呢...........
# Z/ F% K8 m! O! |

唐伯虎

很好很好和噶 呵呵呵和

唐伯虎

永远支持中国数学建模