高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
* h' Z' d- K4 Y8 L7 h/ A摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
& ^. Q( C4 I: ^        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
7 V( a+ B* n! O: p1 E       
' g+ j- I5 P. k7 S! R3 N       
       
4 y; b: B/ j0 C1 `" w       
       

       
: I: S6 e# u) Y  Y       
8 |3 I7 v/ q8 C% @0 M        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
       
" ~# H  A6 u) Z       
5 t2 B: G1 l7 y( H2 v% u* Z
) G7 A: P7 J0 Y" u0 \1 q" t0 T+ R问题重述
. O2 F3 V: o& h    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
7 A+ W" I, E4 {" w; `2 G. N" {5 H表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
. A- s( E: o  G$ |定义及符号说明
$ i+ \; ]$ r0 W% G5 e：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
8 h6 U) I- H) J) y! |* j：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
7 q7 y' `( W1 ]5.1 模型Ⅰ的建立及求解
    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
% r9 b# O+ h4 T! |  e5 W( K" d! f5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
& ], s+ s" I8 y3 h" A$ H: k        （图1）
. Y  h; z9 e5 d- v         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
* D% b5 Z5 j. O+ `( p9 w        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
0 C1 R6 w/ y$ o' p0 N        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
9 S5 S  H! i1 S& a5 }        拟合所得函数为：
        ；
3 j( h/ g) e0 r& z7 m% |' ]0 K        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
1 R0 y9 ~7 g( C    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
7 _0 Z9 |: K" i% j3 y, i提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
某年份的中学招生人数如下图所示：
) j; S( I  q6 P4 B* H  _（图4）
4 Z) ^% v* c' n1 i# C. @建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
8 u: N: G% W% _! v模型Ⅱ的求解
$ s+ p4 T, x& {5 V8 c对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
0 |" d# L, s+ Z& X1 \3 e  z; z5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
3 e/ e6 P$ j% {) W+ x* l& l# c（图6）
( h5 A3 G+ I% K某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
: }- |  s) ]  h* @3 I   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
& h& P( D( |3 d5 M5 Q- [对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
4 ?& l! e+ B7 l/ [对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
  s, i( ^5 a' n" F% {  r, L- C模型的评价与比较
. r$ o7 \6 `% _% i5 H! [$ O        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
' t" L- Z1 n, O; \# V        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
3 Q; d% \' V" S        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
% h" X+ f. Z6 _9 f) p! B4 F        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
附录
8.1 模型Ⅰ程序
x=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
' W* y+ h# o. Nplot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261

9 Q( X- E1 p. {. W& J5 U8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
% ^6 P* z  w: V6 o3 ^a=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
- `" Q3 D' ?6 j7 q! ?0 ?4 J& j105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
& g9 K, j0 P$ _- o8 J; |120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
: C8 Y; l1 `) Y- @* E7 J$ R115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
4 X1 @0 ~6 u! ?9 Q9 a" t/ f1 O115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
9 w* V. A  c) O# F/ D& |* T118.14 5.5611 132.87;
+ g) n( V5 b0 g+ S8 c  }- o2 \122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
% n- @  T4 K; f159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
3 [  n' n; o* B2 W5 }4 ?4 M! h4 n167.96 12.4817 178.19;
; k2 [# \8 j# U3 j) S188.59 18.3553 201.28;
- p2 g% B, Y/ W205.62 21.8719 222.2;
  z- c5 A  G! ^222.82 27.3894 234.18;
4 ]2 ^3 }3 m- H( d% e4 O7 ~5 g213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
6 P8 {$ I; x4 f9 n/ j, x196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
6 _( w2 c0 k+ z- F" y];
+ K6 c6 c4 T* T6 px=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

4 F% y9 A0 Y3 [) j( L8.3 模型Ⅲ程序
# u" L" f+ W9 s( t8 t* Pt1=1999:2009;
0 X0 }# h; U2 ~, G% T& ^x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
$ E/ L" Z" H8 n1 E, hplot(t1,x1,'*')
2 Z) H6 s. v+ U8 ba=polyfit(t1,x1,1)
1 C$ [  g! I7 q$ u3 r) C
  M0 n$ k" s* ~' Vt1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
/ \6 l6 `- ~3 x! ba=polyfit(t1,x1,2)
3 r% N+ i2 Q; C# t% z& k. Y

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