高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
  a8 P  J* T" f, y        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
  f: N8 f. G' T& s        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
1 e- P( N# r+ `% S7 u3 ^       
       
2 T& T8 Y9 _/ z: D$ v       
% e) x7 H9 y: [+ m  c& p       
       
5 A  K* c6 L8 x9 r( [       

$ ?. l: q' _4 J) g7 w9 k, ~0 @+ [       
4 J$ B0 v/ A/ C! [/ k       
) E' J, `) A5 m2 x  f        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
       
       
$ }" a# z1 G$ ~" l+ F2 ~
5 s( D' H2 R7 F9 Z问题重述
  V  ~7 G; Y, ^$ x( q; A4 P% q    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
问题分析
8 X& B* Q7 z6 A: [( \        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
" H9 u3 ~" A7 f% o        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
- M& e4 p0 c3 Y2 B# k：某一年高校招生人数；
：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
, q, n7 t/ A: K4 A, Y/ a模型的建立及求解
8 u1 d- c: N( F5.1 模型Ⅰ的建立及求解
( ^0 I3 b( X$ B! @    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
/ m" t+ f6 {( ?  h; l4 |0 n5.1.1 模型Ⅰ的建立
6 w: Y+ C& \; v- P, b7 S0 Y' G8 r) h        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
5 j& c$ o  j8 y( }" A0 h" O, b        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
3 d3 N2 G# h6 M* ?4 S, I$ `        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
  M, u9 w  V: n8 V2 d5 _7 p0 W* M; l. h        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
% m  |. u" J7 e. f" M        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
7 W3 c' T/ n9 p+ j8 F        拟合所得函数为：
        ；
        带入，得到：。
- o4 ^8 _3 r" N' [4 ~$ T) [  }5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
4 C* Z& O, T0 W  a5.2.1 模型Ⅱ的建立
9 X& z6 e9 x% C- T' t0 C. n提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
& P: i) C6 C5 m: C& v$ d某年份的中学招生人数如下图所示：
; S% q5 r! s$ W. O6 H% ^9 v6 J（图4）
+ u# v6 m, \6 r9 @2 a( O建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
模型Ⅱ的求解
2 i$ M4 \( Y9 p3 w$ y对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
# p8 w( W. \+ K9 e将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
: N. x# z8 t$ w- D& I  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
! C4 s  _- z, _& O; A/ l5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
! x7 v" {. n1 ~" q1 V3 d  w某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
; K7 n7 V" ]) M/ E   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
* d  Q3 M, t" p% u# l   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
& |( p8 V  h( }  C对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
  Z+ Y6 f4 q6 ^& S        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
模型的评价与比较
$ v- E2 Q9 U! a8 X# c; ^6 F        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
4 v0 T5 u9 X; v$ L/ N. A4 U        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
6 u. o6 L: l6 k4 A  _/ g参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
, i' d4 M% Z$ L& t; o吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
附录
8.1 模型Ⅰ程序
3 s4 b, j) W1 L9 K2 Wx=1994:2009;
* Q  x' S3 [4 py=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
( W+ Q9 r* |5 D) \A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261
, Y2 R8 I+ [' X) n
1 I+ W; D) z& Y1 t# r, q1 l! ~8.2 模型Ⅱ程序
( d  ~$ _, y/ X$ xt1=1991:2006;
/ A& U; u4 {. G* ]* p8 v9 mx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
' B. m; B9 h2 @7 f% V* Q& s/ Iplot(t1,x1,'*')
+ v7 g5 i  ?' ga=polyfit(t1,x1,2)

x1=[85.31 2.4862 125.17;
& C) C- ^8 W* w1 ]5 N. O- W+ R96.87 3.2745 119.41;
* e; r( {: k. q$ v105.22 3.0211 112.21;
116.95 3.2972 115.88;
120.41 3.5714 123.8;
1 d2 ~" R" ^; D3 u118.61 3.4308 125.02;
7 a% [3 L: @8 e+ P+ x3 a" O115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
0 M* Q( n( E! B' e115.58 5.7878 123.3;
% w7 V6 Z8 \2 X) B: _115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
3 n! Q+ ?% m2 U- _118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
- v, o0 ~- C5 o1 m' x1 l' P164.88 8.2410 169.69;
* p7 o' o; H- h" Z5 D7 Y167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
" w2 R! N/ {. d- m* e8 U205.62 21.8719 222.2;
  ~+ x# j* h, q1 ^* G1 P* O& b% t222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
' J8 J  Q$ ~) F4 S9 G];
8 U1 l9 W2 F$ ?8 L7 `5 a0 I# [x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
4 g  K4 o0 |3 Q# S9 w[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
1 p) Z3 }# f! g6 X8 z6 M$ c) z; H
8.3 模型Ⅲ程序
% }, O+ M7 t  d% u, N7 @/ L, zt1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
. M9 T! I1 R" v* |" W/ Qplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,1)
3 q5 q3 o6 F8 Z# n/ F
t1=1991:2006;
) b) Q  b0 I6 E! i3 i8 z+ a: ex1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
( y" E) C- b, K6 gplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

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