高考生源预测

775128646

预测2013年山东省高考生源状况
2 |4 E5 _0 U' r! k5 d+ V摘要
        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
- k9 l& w3 g2 O  p! g3 ~3 V% T        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
       
& d3 x( `2 k$ u+ t9 c5 F, e' Q       
       
       
       

8 Q( X' n/ Z+ k2 h! ?6 i       
       
6 y$ x; X& K% [5 V        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
       
       

问题重述
" R' Z0 P3 a. U; t, _. Y# u6 _    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
$ l) B' }) D. C" I问题分析
        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
- I* {+ @1 N: K2 h# G% O( x! O0 k表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
3 E; M- n+ P" ^. C, _- Q：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
：某一年高校招生人数；
5 h2 [4 H+ N7 B0 V! F：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
5.1 模型Ⅰ的建立及求解
+ \2 }8 O; F/ r7 K6 c' [    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
" x; k. N( z- T$ J1 a5.1.1 模型Ⅰ的建立
        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
& E. a2 T8 g1 U5 a* X/ \4 `        （图1）
         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
        （图2）
8 t; n  Q/ u5 u8 c! F& t8 l0 J        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
0 q8 c( f  v. [- U) i5.1.2 模型Ⅰ的求解
! t3 g8 I; B# H+ X        拟合所得函数为：
# `! Y9 o" ?. I& q2 M* ~& f2 m* y        ；
        带入，得到：。
5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
7 ]- Z8 V4 N$ }# S4 i$ T$ [- ?5.2.1 模型Ⅱ的建立
提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
某年份的中学招生人数如下图所示：
+ U7 A5 F' }5 F6 v+ d/ F（图4）
( U) |; W3 @" f3 e建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
（图5）
/ a$ M; Y" E4 z7 ]5 d! Q* A( P模型Ⅱ的求解
对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
将带入上式，得到：。
' x7 V" _4 ^5 `: ~, d* L8 }5.3 模型Ⅲ的建立及求解
; Y) i3 g, [: j! |0 d  V! h* H, }  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
某年份的中学招生人数如下图所示：
: n2 r, u6 o6 G$ r& p- `# r) C（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
5.3.2 模型Ⅲ的求解
* D4 T# {$ {. D对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
' h8 D* j$ L) m+ g% N        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
* k  J' J9 e8 V        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
7 A& z* C) F; D! _- f利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
" o0 X) |0 v$ u; `5 n  F0 e" N        将，带入得。
模型的评价与比较
6 a6 ~, F! ~: [/ A) t2 ~$ x        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
& R" g" {- z9 p+ ~        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
; ?* a& @* o4 k$ ]0 }+ Q7 a        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
4 [) b  F6 Z% ~: |$ T3 h附录
8.1 模型Ⅰ程序
' M" S/ i  }1 R3 V! gx=1994:2009;
! W  q( U8 U$ }. I8 _, Uy=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
A=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
. c0 g0 S- L  z1 y3 Z9 [) y( Nplot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
1 l6 e" k) r) h4 n6 y5 |ans =103.0261
4 ]0 S, w0 m7 |2 m+ R/ R3 ?: K9 Q/ U
8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
6 V2 b! A3 K, F$ G+ h8 u$ K! n5 @7 U; x
2 C8 c( M3 N. s8 I; A$ bx1=[85.31 2.4862 125.17;
96.87 3.2745 119.41;
105.22 3.0211 112.21;
7 a6 p9 G+ i7 m9 }' {6 C# s" S116.95 3.2972 115.88;
$ t4 T$ h% \0 i$ v) M120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
4 }$ A0 P2 V0 T) y115.14 3.5023 125.52;
, Q+ \$ |' l) e  p$ L115.3 3.6067 125.17;
- V6 ^7 g* g" B% T& l115.58 5.7878 123.3;
5 R4 y6 }# O& \2 Q+ O115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
2 w' X7 P7 ^0 W2 j. p$ M3 w6 |141.95 5.6950 154.67;
$ x+ |' ~( E; c! \/ l" }# w1 S159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
7 ?6 R9 _  k7 E  U7 R9 M( u# a& `205.62 21.8719 222.2;
/ y* ~( c1 q# m1 k222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
. u- Y% u' O2 B: m196.7 44.5034 192.94;
- w4 _% h$ |7 m+ k3 i191.02 45.3479 192.32;
172.88 51.4176 179.71;
& ~3 Z. U" [2 F  M8 B+ \  s0 D+ [0 m158.65 50.1082 164.6;
4 _0 R- G& M! ~* @4 C4 s( ^5 c];
  c! r" r& t" m2 T4 R6 v; [: `x=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
) y0 x7 E/ Z. W' ?; z$ f; Z3 r[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)

7 o3 c( U; e& X: i7 l8.3 模型Ⅲ程序
$ x+ {0 T! u7 ], e, b! F0 y5 tt1=1999:2009;
; u0 ~# u+ T# y4 Ix1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
; _* A' S* j1 a4 j9 D6 jplot(t1,x1,'*')
) ^) r4 O, R" n2 s9 ]$ aa=polyfit(t1,x1,1)
6 `! Z4 E5 F! ?# R# J7 w9 M
& r4 a4 A! e$ C) U' u' z# it1=1991:2006;
x1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
, G! O3 Y! t  L# Ha=polyfit(t1,x1,2)
! d$ X0 _, I6 j3 L! a2 U) \" ~

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数学教学对策的思考

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