高考生源预测

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预测2013年山东省高考生源状况
: P2 v% H" f- a+ C1 d6 C. l摘要
. W/ [- n7 i3 X; I        该问题给出三张表格，分别是历年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所给数据我们要预测2013年的高考生源状况。这对于实际情况很有指导意义。
        我们把高考生源状况用高考的毕业生人数指标来估计，故该问题转化成预测2013年的高考毕业生人数。在表2中，我们看到在校人数与招生人数约成3倍比例，故将表2当作高中的数据。
; D' k1 v) C0 v( Z2 s* n  |0 H        结合实际，我们知道高考生源与高考毕业生数联系密切，但同时受到高校招生人数的影响。据此，我们给出三个模型：模型Ⅰ直接利用表2的时间及毕业人数的关系预测2013人数，在拟合过程中我们剔除了一些差异较大的数据，经整合，结果为103.0261百万；模型Ⅱ是先根据表2中的时间与招生人数的关系，预测2010年的招生人数，再找到招生人数与3年后的毕业人数的关系，据此可估计2013的毕业人数，得到90.5934百万；模型Ⅲ则是对模型Ⅱ的改进，将当年的高校招生人数考虑进去，我们可以得到招生人数及3年前高校招生人数对当年毕业生的影响权重，同时可以根据表1时间与招生人数的关系预测2013的招生人数，从而可得到2013的毕业人数，约为109.653百万。
8 k; f) n+ i+ a3 B- p( [: V: K0 d        上述三个模型的结果差异在10%左右，由于实际中，高考生源情况受很多因素影响，因此以不同的数据指标来估计，存在误差是可能的，并且对于所用数据也是受很多因素影响的，这些数据本身存在误差，但是我们在现有数据下，不能消除误差。但是模型的建立还是合理的。
       
- e2 k1 y$ m! ~* W0 W6 Q2 ^+ @  Z       
       
       
8 m. ]2 i6 N; U; g) R       
       

4 r4 v, l  p- X' {9 J& h, W$ L       
2 y/ S- J. [2 ]8 g       
# Y- D4 C; W) s& y; r, g        关键词：直接预测法  间接预测 模型改进 三种模型 误差分析
       
( F, R6 r9 y+ ~* Q+ F+ J! _       
4 h# }" Z! c) l       

问题重述
    该问题给出了三张表，分别是1981—2009年普通高等教育、普通中学、小学的学校数，招生数，毕业生数，在校学生数。根据所提供数据，运用三种方法预测2013年高考生源状况。
" z' \5 @% M7 F; M问题分析
  ?7 P8 D% A$ S! C1 i        要求预测2013年高考生源状况，而在所给数据中，给出的指标为学校数，招生数，毕业生数，在校学生数，其中高中的毕业生数应该相对更接近生源的实际情况，而普通高校的招生人数也与当年的生源有关系。从不同的角度出发，我们可以用不同的方法来预测2013的高考生源状况。
        对于所给数据，我们注意到在表二中，在校学校人数约为每年招生人数的三倍，据此估计该表为高中生源情况表。
模型的假设
表二所给数据为普通高中的数据。
高中生源情况以高中毕业生人数来估计。
定义及符号说明
：模型Ⅰ的时间变量；
：模型Ⅱ的对于高校招生人数的时间变量；
：模型Ⅱ的对于中学招生人数的时间变量；
5 F/ g6 U! M5 Z3 O4 R7 B- U& I：某一年高校招生人数；
. B3 p2 h- T0 g, b$ _：某一年中学招生人数；
：某一年的中学毕业人数。
模型的建立及求解
$ v+ l, H7 u3 R# u4 s2 l5.1 模型Ⅰ的建立及求解
; n0 X( F+ p4 j" ~    由于高考的生源状况与当年的高中毕业生人数息息相关，因此我们可以利用表2来拟合函数，直接预测2013年高考生源情况。
6 k& A* ]+ Z  G/ k- e% Y3 G% W5.1.1 模型Ⅰ的建立
0 R  ~7 \0 A$ G% ]; X        提取表2中年份及毕业数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
        （图1）
. D% Z  x4 D0 r         由图像，以1994年为间隔点，之前的图像与之后的图像有很大不同，结合之前的国家政策等方面，如果预测2013年的情况，用1994年之后的数据拟合准确率较高。
- T1 r" I, R3 D2 U+ w) B        因此我们根据1994-2009的数据作图有：
/ k9 w* D1 A5 ~, m. q        （图2）
        对该数据进行二次多项式拟合：
        （图3）
5.1.2 模型Ⅰ的求解
        拟合所得函数为：
+ b8 g9 o6 W1 D; {9 B1 _- J2 Y        ；
  i0 n+ l2 E5 @+ l" i) b- K/ X0 I9 f        带入，得到：。
9 T: p3 I( _9 X5.2 模型Ⅱ的建立及求解
    由于高考的生源状况与3年前的高中招生人数相关，因此我们可以利用表2给的招生人数来拟合函数，预测2013年高考生源情况。
5.2.1 模型Ⅱ的建立
# R: X; x& y" \  T+ E% t' u提取表2中年份及招生数两组数据，用Matlab进行拟合，作图得：
某年份的中学招生人数如下图所示：
9 Q8 H, L$ {: _5 p- c- ~; p（图4）
0 Y; r2 D3 n) ]. M( c1 d建立3年前的高中招生人数与当年的高中毕业人数的关系,用Matlab作图得到：
+ L: u* Z2 K( L5 b0 Y/ E/ _0 ]（图5）
, J9 ~' C) `5 S2 A; ]3 A模型Ⅱ的求解
对于2010年中学招生人数的估计，我们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
1 q; A' |. `! Q1 \对于2013年的中学毕业人数与3年前的招生人数的关系式，我们用Matlab拟合一个一次线性关系式函数为：；
) ?" {4 T5 x# u7 q3 R2 w* ^4 i将带入上式，得到：。
5.3 模型Ⅲ的建立及求解
  由于某一年生源不仅与3年前的中学招生数有关，与当年高校招生人数也有一定关系，故可以把生源看成是两者作用的结果，利用多元线性回归分析得到一个拟合函数，进而估计数据。
5.3.1 模型Ⅲ的建立
% b# {! X' K8 E  首先对给出各年份的高校招生人数趋势：
（图6）
5 b- r: ^. u% b7 m5 w4 l/ K某年份的中学招生人数如下图所示：
（图4）
   如模型Ⅰ所述，我们要忽略之前的一些数据，在此模型中，我们不妨取1999—2009年的数据，利用多项式拟合先估计2013年的高校招生人数及2010年的中学招生人数。
   通过数据估计出生源状况与高校招生人数及3年前的中学招生人数的多元回归方程，带入前面所估计数值，就得到2013年的预测生源情况。
# @  ^% x4 i5 M5 `: v: M5.3.2 模型Ⅲ的求解
; X# {  l$ e8 }6 j对于高校招生人数的估计,我们用Matlab拟合一个线性函数表示式：，
- m* b- k8 P+ v  {) o        将带入得，，即为2013年高校招生人数估计。
4 T& L5 s5 Y$ z) d4 Q对于2010年中学招生人数的估计，我们们Matlab拟合一个二次多项式函数为：，
& Q, Q% H& L5 ~$ G' ?# W        将带入，得到，即3年前的中学招生人数估计。
: h: g) ~9 p. z/ }3 y9 Q利用数据，给出高校招生及3年前中学招生人数对当年生源状况的回归分析，，
        将，带入得。
模型的评价与比较
        第一种模型中，利用中学毕业人数直接估计生源数，考虑因素唯一，毕业人数和生源之间存在误差，加上数据本身的误差，其结果与实际结果存在误差，但误差不能完全消除。
+ R  P! {0 f$ A+ O" t; P6 C7 J/ S        第二种模型中，先估计中学招生人数，进而找到招生人数与毕业人数的关系，由此来估计中学的毕业人数，这种方法有一定参考价值，并不直接预测，结果与第一种模型差很多，因为该过程中多次运用有误差的数据，因此结果会有差异。
        第三种模型则是第二种模型的优化，考虑到了高校的招生人数，增加了影响因素，根据所给数据预测二者对生源的影响权重，使数据的运用更加合理。
        在上述模型中，均对一些数据进行了处理，如剔除了一些数据，因为受**因素及其他因素的影响，前几年的数据趋势不足以说明现在的生源变化情况。因此为了使结果更准确，我们可以利用近10年左右的数据。
0 l; I  [9 h% r        但是由于我们把生源情况当作高中毕业人数来估计，这其中是存在误差的，加之处理数据时也存在误差，故我们的模型仅能给出一种预测方法，如果是数据更加合理，我们还应考虑其他一些因素，进一步优化模型。
4 G1 M; I: M4 m  E4 s3 h4 ?& a参考文献
姜启源，数学建模，机械工业出版社，2005年
: R4 S+ d7 x0 n6 w) V' D' l吴建国，数学建模案例精编，中国水利水电出版社，2005年
附录
8.1 模型Ⅰ程序
- T9 l7 ]5 E& O/ C1 n) Hx=1994:2009;
y=[116.82 118.14 122.97 141.95 159.91 164.88 167.96 188.59 205.62 222.82 213.8 207.29 196.7 191.02 172.88 158.65];
) `6 _0 A, s  ]! e4 _: IA=polyfit(x,y,2);
z=polyval(A,x);
plot(x,y,'k+',x,z,'r') ;
A*[2013^2 2013 1]'
ans =103.0261

8.2 模型Ⅱ程序
t1=1991:2006;
& ]- o  j6 x; Z0 @3 b- n: l! W: Q4 \/ ox1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
plot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)
$ I6 p  R) O: ~; t
% M, A; q4 p" i5 ^2 f6 Jx1=[85.31 2.4862 125.17;
5 H, X3 d, i4 \2 \  M% K9 J96.87 3.2745 119.41;
+ l- C* R* ], r$ \9 \105.22 3.0211 112.21;
* F5 w! Q% u2 Z- t116.95 3.2972 115.88;
0 `6 d- R) o$ S0 G8 H; R0 V120.41 3.5714 123.8;
118.61 3.4308 125.02;
115.14 3.5023 125.52;
115.3 3.6067 125.17;
115.58 5.7878 123.3;
115.88  5.7918  125.6;
116.82 5.5036 129.17;
6 d; P  ^: [8 c9 W$ Q6 J7 p118.14 5.5611 132.87;
122.97 5.6544 139.14;
8 i- M3 ]* o, s0 v0 g141.95 5.6950 154.67;
159.91 6.2994 167.06;
164.88 8.2410 169.69;
0 z8 D& X( y1 M4 s167.96 12.4817 178.19;
188.59 18.3553 201.28;
205.62 21.8719 222.2;
222.82 27.3894 234.18;
213.8 32.7452 220.94;
207.29 40.0573 201.65;
196.7 44.5034 192.94;
# T' Q9 P/ u6 D191.02 45.3479 192.32;
) o! c- u% H, h% S172.88 51.4176 179.71;
158.65 50.1082 164.6;
];
0 t+ Z* n) a# `7 l  W4 [1 o/ Fx=[ones(size(x1(:,1))),x1(:,2:3)];y=x1(:,1);
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,0.05)
2 j3 M% [; ~* Q" a! M; r" U
6 U/ n9 }' Q0 h5 t" j# T, z% q8.3 模型Ⅲ程序
t1=1999:2009;
x1=[8.241 12.4817 18.3553 21.8719 27.3894 32.7452 40.0573 44.5034 45.3479 51.4176 50.1082];
" p, ~3 [$ ]' h) E, i! p9 splot(t1,x1,'*')
1 X9 j* n8 D2 |7 [& Y  [* G1 N$ ma=polyfit(t1,x1,1)
* |3 K8 k7 J/ m9 A1 X4 E) ?
! N1 K/ Z  v( }0 ]+ w" Ct1=1991:2006;
9 b, }- q8 C% T6 Mx1=[129.17 132.87 139.14 154.67 167.06 169.69 178.19 201.28 222.2 234.18 220.94 201.65 192.94 192.32 179.71 164.6];
( \$ k$ q3 N& Z! }/ aplot(t1,x1,'*')
a=polyfit(t1,x1,2)

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