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下面的最小费用最大流算法采用的是“基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法”,其基本思路为:把各条弧上单位流量的费用看成某种长度,用Floyd求最短路的方法确定一条自V1至Vn的最短路;再将这条最短路作为可扩充路,用求解最大流问题的方法将其上的流量增至最大可能值;而这条最短路上的流量增加后,其上各条弧的单位流量的费用要重新确定,如此多次迭代,最终得到最小费用最大流。
$ z6 s$ W: S0 T. e$ z9 `2 N5 b, c3 y' g& v5 y
function [f,MinCost,MaxFlow]=MinimumCostFlow(a,c,V,s,t)
2 e8 O/ q4 }9 _%% 基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法: H& z+ W; F; [
%% 输入参数列表# ^6 x, m t( X. H% a: l2 R
% a 单位流量的费用矩阵
5 ]; M, |2 g1 K% c 链路容量矩阵2 V7 U% ^7 H! K& a8 H
% V 最大流的预设值,可为无穷大7 n0 A7 c) v" @( P8 T
% s 源节点+ a! o: x! p& E- o, _' q V
% t 目的节点! r3 k g! @; q4 m# Y/ F
%% 输出参数列表4 C9 z8 V; p) c
% f 链路流量矩阵
+ B3 Z6 _8 W' S1 }9 k5 j% MinCost 最小费用
) f, ?& _7 q5 i/ U" S% MaxFlow 最大流量
5 C# l+ V. O( I6 s1 m! v8 l; E%% 第一步:初始化8 N K8 h7 a* f* C; C. J
N=size(a,1);%节点数目; A/ w8 n9 L- K6 i4 L' m" Z
f=zeros(N,N);%流量矩阵,初始时为零流
" e# N" z0 W+ f9 S+ ]+ zMaxFlow=sum(f(s, );%最大流量,初始时也为零7 e) ]9 }/ n6 g0 l2 v: e
flag=zeros(N,N);%真实的前向边应该被记住
% K8 q7 ~. l+ } s* mfor i=1:N1 Q0 v) z' X* [! ]' o3 P) `
for j=1:N
( I% N" J! U+ h, u) Oif i~=j&&c(i,j)~=0
; Y! J) X* ^* i; ]+ [# {flag(i,j)=1;%前向边标记& ^3 u( z: q) q
flag(j,i)=-1;%反向边标记
2 N: g0 x1 r1 o9 N4 a" d$ K( Mend& `, T7 I F( g# S6 j2 v. ~
if a(i,j)==inf
* u" t; l3 n6 g2 `1 Ma(i,j)=BV;
, | T/ s0 P0 ?: Z5 n! _+ l0 c3 X: D+ ^w(i,j)=BV;%为提高程序的稳健性,以一个有限大数取代无穷大
+ U0 \8 P& T$ iend7 @1 O% K; P7 w' ?3 @4 J" Q" c3 o
end: `* d& z9 F4 H
end; f' P4 y: N4 Q. ~1 y
if L(end) RE=1;%如果路径长度小于大数,说明路径存在
! [5 s1 H3 n7 Z( G- [1 delse
[+ h. x3 p( `' [3 `. m* DRE=0;% W0 ^. X3 ^) a7 r% r
end
& b$ m* K, n+ r8 B! C%% 第二步:迭代过程2 ~; @7 d. m" J% ^! M
while RE==1&&MaxFlow<=V%停止条件为达到最大流的预设值或者没有从s到t的最短路
$ s- v8 ~& o. L* L& U! g8 U+ M) X0 f%以下为更新网络结构9 ?* `. c) y0 Q9 U3 H; r
MinCost1=sum(sum(f.*a));; o% D. @; J, h6 y9 {7 _
MaxFlow1=sum(f(s, );% i) L6 c4 |# P% @, S3 b
f1=f;5 B# d7 I7 K) R/ Z+ E
TS=length(R)-1;%路径经过的跳数
1 a( |8 S, R1 v/ NLY=zeros(1,TS);%流量裕度
8 e; N i( W$ Y1 v6 @3 N! Pfor i=1:TS G* ]* T6 Q4 Q/ S" c1 }4 ~
LY(i)=c(R(i),R(i+1));
! o- M2 u/ E y( b3 n. ]- _: wend, `6 a2 j% x9 @. @
maxLY=min(LY);%流量裕度的最小值,也即最大能够增加的流量
?, b" W) V3 Ifor i=1:TS" o' F, j+ A* [1 K: q1 z: g& [/ r
u=R(i);
6 `9 G+ g$ C' q& k, q/ zv=R(i+1);. \6 K8 P. J; A* V0 r
if flag(u,v)==1&&maxLY f(u,v)=f(u,v)+maxLY;%记录流量值
; B1 q% ^% _; [5 d: x/ O$ vw(u,v)=a(u,v);%更新权重值
9 ~3 ]; Q7 ~1 D* C/ Ac(v,u)=c(v,u)+maxLY;%反向链路的流量裕度更新
3 j# N- R$ X" \' F( Q6 v( Melseif flag(u,v)==1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为前向边且是饱和边时. Z4 {9 y4 [7 V
w(u,v)=BV;%更新权重值
3 A* l- [, W' D; b4 ac(u,v)=c(u,v)-maxLY;%更新流量裕度值
- F d+ }0 L Ew(v,u)=-a(u,v);%反向链路权重更新
& X$ U: e7 B7 q; a0 r# ?% ?" Celseif flag(u,v)==-1&&maxLY w(v,u)=a(v,u);( N) Z5 d3 p# n% e, M
c(v,u)=c(v,u)+maxLY;4 n2 j4 i6 U2 h! V% ?% l' k8 v. G
w(u,v)=-a(v,u);5 z, m0 K. e, r1 M1 \
elseif flag(u,v)==-1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为反向边且是饱和边时
; `% l9 C$ ]* [5 Fw(v,u)=a(v,u);9 |, P, p6 A) d& G, }: K
c(u,v)=c(u,v)-maxLY;' d) P' {/ ?; _& v/ F+ l/ v( A
w(u,v)=BV;
) ~( d- v4 r( d9 L" O; }6 c9 `else$ g6 u) Z% k# Q; L
end
2 f" B0 |5 W) jend! b! m7 _/ O7 Q/ t
MaxFlow2=sum(f(s, );
. M4 h3 d, S# D) ]MinCost2=sum(sum(f.*a));) Q! E0 R5 M8 g
if MaxFlow2<=V
* v* ^7 z& S5 N) tMaxFlow=MaxFlow2;
; a' h0 T: h. d' p' gMinCost=MinCost2;" e8 @4 c; H3 y; x# j& C8 d( e J. Y
[L,R]=FLOYD(w,s,t);6 e: L, C4 l" Y5 u) q
else
* M1 p) X( o/ l7 O4 I1 yf=f1+prop*(f-f1);
% Y0 L0 F& V6 w0 q8 @2 u( a; ?+ WMaxFlow=V;
% d! ^ T. C! Y; y# XMinCost=MinCost1+prop*(MinCost2-MinCost1);7 X7 J( i; o. [' k
return
. ]* \) l8 x, y" P8 r+ eend
& q: q. D2 Q! i) T, Z* j0 Mif L(end) RE=1;%如果路径长度小于大数,说明路径存在, N+ {; K7 T( M2 E4 j# u
else5 g8 t- i5 r9 q* r4 s |# ]
RE=0;
) R- A5 N& G( W( ]* F4 t4 hend
3 u/ L+ V! H* N X8 c/ vend
+ u/ {) s. \9 r) z- W+ u" x7 l! f% P4 A+ Qfunction [L,R]=FLOYD(w,s,t)
7 K3 ~7 Y$ y0 M4 z! o1 ^: Dn=size(w,1);
+ L9 W% D0 G6 xD=w;& W' {7 I0 R/ V. N
path=zeros(n,n);
' A8 L! y- y5 `8 B" S- z- M%以下是标准floyd算法5 |8 E) ?0 s1 `5 u4 A# v" F" C1 t
for i=1:n
% ^9 K$ U$ E# W, Q# `" Bfor j=1:n, D4 [0 m. E/ b% z1 N0 @& g) U4 J
if D(i,j)~=inf8 v' D0 A7 `; H+ P' b6 y
path(i,j)=j;6 }' Q- W0 I, H$ u2 y
end
/ L% O1 u- d" O! @* Jend8 @1 Y; C0 C- g) z8 V2 v
end
# u7 W( d( q: n9 o6 E3 S. Pfor k=1:n
& U/ R# B( d/ I- jfor i=1:n
$ d" q: b& g# q; _' x: _6 Ofor j=1:n
8 b2 D+ j3 Q3 e$ e- D: @7 Xif D(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);" B1 s! o8 P- S& ]; m7 a
path(i,j)=path(i,k);: ^/ {. u0 U% I" h1 U1 v% A
end& A2 K2 B9 j; J
end
$ q/ L7 H9 j( Xend
5 V9 w7 P1 q1 Oend* J" `6 v+ _9 |+ w
L=zeros(0,0);
( x( v C- Z+ x& V1 y% I3 t- _R=s;) o, V9 N$ r4 n
while 1
6 P' e. @* U* j- g0 oif s==t
- |( f4 V6 {/ p4 {# O8 HL=fliplr(L);. f0 u: b1 r$ g/ m3 |, M
L=[0,L];
! K: O' Z) H( V* B5 G# S0 Y- Ireturn5 e) y& _8 [8 g9 l$ D X) w
end5 M- c2 a7 ~2 r k$ b5 u
L=[L,D(s,t)];: q0 G& P' k4 N
R=[R,path(s,t)];
' K" M2 T/ n6 e9 @/ [s=path(s,t);
4 }0 M/ w0 N* send |
zan
|