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下面的最小费用最大流算法采用的是“基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法”,其基本思路为:把各条弧上单位流量的费用看成某种长度,用Floyd求最短路的方法确定一条自V1至Vn的最短路;再将这条最短路作为可扩充路,用求解最大流问题的方法将其上的流量增至最大可能值;而这条最短路上的流量增加后,其上各条弧的单位流量的费用要重新确定,如此多次迭代,最终得到最小费用最大流。7 j( n$ o8 e9 _# f* P) M
3 ~" _3 U2 D7 ?/ A! }% {
function [f,MinCost,MaxFlow]=MinimumCostFlow(a,c,V,s,t)4 `4 J4 i$ @9 R0 ~
%% 基于Floyd最短路算法的Ford和Fulkerson迭加算法
8 S$ n8 i% C+ v7 n8 G1 ~6 p, ?. h%% 输入参数列表$ Z7 Z2 b0 ^4 H. }
% a 单位流量的费用矩阵5 w8 }. i6 \8 x' D0 x% c6 }* V
% c 链路容量矩阵
/ ~+ Y- X2 _/ J( L# Q% V 最大流的预设值,可为无穷大% G/ Y+ u7 f$ e/ I. {
% s 源节点 w0 N% i! F+ d
% t 目的节点; L2 \% U$ e* G0 }
%% 输出参数列表 L; t4 S( {/ Q- a8 s, |. K
% f 链路流量矩阵
1 P( Y. h* d5 Q6 b* ~% MinCost 最小费用7 `. ~8 e3 d' n/ @0 |
% MaxFlow 最大流量; o3 C. B" A- Z" D# y, K
%% 第一步:初始化7 C( ~: M) \7 U' A2 B7 V
N=size(a,1);%节点数目
. }) B0 u* n# Uf=zeros(N,N);%流量矩阵,初始时为零流
* F2 a8 W- R' g0 O8 g T6 PMaxFlow=sum(f(s, );%最大流量,初始时也为零
* E/ c& N. ?6 ^% A$ L1 z. [flag=zeros(N,N);%真实的前向边应该被记住
1 W- s# `7 Y# N$ g0 ]for i=1:N% f! B! d/ y: N- y
for j=1:N6 E2 Q: t* V! v
if i~=j&&c(i,j)~=03 o! Q+ A* q4 E
flag(i,j)=1;%前向边标记
! l0 b; U, X4 ^8 E& B" C6 Cflag(j,i)=-1;%反向边标记* X9 N; y) ?3 j) T
end
% n( _ M6 f4 M, ]3 t/ R8 vif a(i,j)==inf9 ~5 j. B/ ^9 m# C. s/ k; w# T! j% d
a(i,j)=BV;' N5 u0 E8 a* ?5 p
w(i,j)=BV;%为提高程序的稳健性,以一个有限大数取代无穷大, [' v" K+ k! q3 b' d
end
" N# `9 e8 m+ W, o' ]end0 c. [2 Q2 i! a4 n& e$ U2 q7 d
end
/ H) r' B6 d, {$ A }% {; Gif L(end) RE=1;%如果路径长度小于大数,说明路径存在
! p o' i- O+ }2 ^else
# T9 M! ]$ U6 W( }$ f# uRE=0;
% R% c4 Z& k+ B: `8 V8 V: o6 Z, Zend+ O8 k4 M' @( W% i8 r3 M
%% 第二步:迭代过程
0 n {' w' L0 g5 @$ Hwhile RE==1&&MaxFlow<=V%停止条件为达到最大流的预设值或者没有从s到t的最短路
9 }6 B. d, p/ W4 H% S: k%以下为更新网络结构
+ @- c1 U' p& [) ?; G7 XMinCost1=sum(sum(f.*a));
3 J) Y( o+ K' g" ]4 K% f6 iMaxFlow1=sum(f(s, );
+ M, f* q! t. b9 I* f/ Y) Y7 l* vf1=f;
" N, ?8 j; z0 B" |0 ]+ lTS=length(R)-1;%路径经过的跳数6 Q4 u t! W" I* r2 ~5 h8 F
LY=zeros(1,TS);%流量裕度
2 N8 [! s+ }! k, i. R% X3 w) q0 w1 |$ Mfor i=1:TS+ O2 C5 V$ _. q
LY(i)=c(R(i),R(i+1));
& O' S3 l. [! e eend* x/ o2 C4 g) j( T. Y; i- p
maxLY=min(LY);%流量裕度的最小值,也即最大能够增加的流量
* q3 r/ W$ H X5 z# R3 ]2 k& Xfor i=1:TS I0 m* a/ h- I) I' r6 E# @
u=R(i);
2 C5 b. r* Z$ b! y h4 s Zv=R(i+1);' L$ P- ]4 D/ s5 g j
if flag(u,v)==1&&maxLY f(u,v)=f(u,v)+maxLY;%记录流量值
# Z p+ C( C E" t2 Q$ xw(u,v)=a(u,v);%更新权重值
0 X/ K+ |2 _! B9 p1 C2 Ac(v,u)=c(v,u)+maxLY;%反向链路的流量裕度更新/ X' ]2 o" a" j% z# D* y" s
elseif flag(u,v)==1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为前向边且是饱和边时' @- j! O( u( d
w(u,v)=BV;%更新权重值: J5 s: J+ f+ w& X. V. r
c(u,v)=c(u,v)-maxLY;%更新流量裕度值
/ H( g3 F7 ]3 e% C) K$ Hw(v,u)=-a(u,v);%反向链路权重更新
: B8 H% C2 s/ m) ]1 K' d& uelseif flag(u,v)==-1&&maxLY w(v,u)=a(v,u);
% Q2 T T! L' u$ Lc(v,u)=c(v,u)+maxLY;9 N ^" h( c$ [- S- U- E
w(u,v)=-a(v,u);. i5 X. v6 N' u( t
elseif flag(u,v)==-1&&maxLY==c(u,v)%当这条边为反向边且是饱和边时
( t F/ P: c: N8 ~; |# D! _6 K8 Q$ zw(v,u)=a(v,u);2 z) r. ?, I% z% I
c(u,v)=c(u,v)-maxLY;3 h4 O5 Q2 c. I- e
w(u,v)=BV;
- O# T/ `6 U& p# F3 |6 Z6 nelse6 W3 j2 g0 b0 b$ P8 R! I2 y
end
* y. o& K4 E' x( E+ N) B7 iend$ q* P9 q0 ~ T- z2 E0 V
MaxFlow2=sum(f(s, );
, Z3 ?1 E! {3 Y4 O, ]7 lMinCost2=sum(sum(f.*a));
- K0 X( h- U9 L9 E3 Rif MaxFlow2<=V6 }5 _# O" z, C( B, b6 w
MaxFlow=MaxFlow2;
; M/ @: n# {* ]& x% f, @MinCost=MinCost2;/ p1 w4 Y; Y1 P& l7 _* ?+ p# Y1 ~: S, w
[L,R]=FLOYD(w,s,t); k7 L0 A' t# `
else
9 I0 x* k" ^; f( J( If=f1+prop*(f-f1);1 f$ C2 L* \/ |9 Q
MaxFlow=V;! E3 [% c8 T) r, D; _" c/ ?
MinCost=MinCost1+prop*(MinCost2-MinCost1);
! K/ [% b4 F0 W/ U; Creturn
! L' @3 V9 r5 ^. ~, v- f/ h% T% ?end
k7 K+ G/ }: E6 P$ g$ M0 L5 K& s2 \if L(end) RE=1;%如果路径长度小于大数,说明路径存在: a1 s3 a5 |& z
else0 v* o, }# I, c% R
RE=0;4 J6 P5 |& r8 t, f& [% r) i- |3 R' G9 p
end. g" S, V" K5 F% s/ j5 [
end) V7 S9 z4 Z% ^# z- x d& ?8 N& x, g
function [L,R]=FLOYD(w,s,t), H$ d% n/ q% [7 {" Y" i
n=size(w,1);
) [2 ]2 l5 Z b1 g( oD=w;, w7 d. E8 l6 l7 T. a. m4 b' i
path=zeros(n,n); O& L; T6 v8 {6 p8 \
%以下是标准floyd算法
4 |2 [% Y* w# D! b6 B; {/ Vfor i=1:n5 e8 a. N* ^* U O! v7 c9 Y
for j=1:n# T4 W7 |3 {: \. L$ j! | r
if D(i,j)~=inf0 L o0 K+ ]6 e! l% w6 X! E4 X
path(i,j)=j;' x2 Z4 i8 B' U1 x1 ~# w2 C; n
end
4 K G6 x9 m7 }6 p' `# _2 rend! v1 R& W5 j+ }3 W% [- I7 b
end$ ^# a! X* n9 ?/ u# s
for k=1:n
# I: L5 A- S; B3 p) G7 _# f6 ~7 pfor i=1:n
% ]3 T6 h7 g! g; Ufor j=1:n
( u% J H, d1 ]+ A2 o# B! u( G6 F+ Sif D(i,k)+D(k,j) D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);4 P$ U; P" u# G! k
path(i,j)=path(i,k);
! l5 |7 `4 f# ^7 @end
* c z8 y2 p0 M# Fend" X6 y& V' X6 k
end
. r8 n" k C1 k) \end
# |' d8 t* L+ m2 f1 v5 R" s) h7 aL=zeros(0,0);- Y0 r4 r) d: Y* n! D0 _" j# N
R=s; j! c8 U/ ^ n* ?$ `9 d3 @
while 1 }2 b2 y4 ? i$ G) O- s) a: Z. `: h
if s==t
5 Q, @: }/ u; t1 HL=fliplr(L);
& d6 n5 g3 p% m7 q! i+ E, l* L- X6 eL=[0,L];3 r* ^- u" ~+ V- G7 v- S1 x
return
5 e2 W$ |" |, P) \end: \8 S, J l+ ^* Y) q5 C% P
L=[L,D(s,t)];6 c4 h: X9 s- s) Y
R=[R,path(s,t)];
: s7 H- t5 Q9 ts=path(s,t);
: W) _+ j: v- {2 Fend |
zan
|