请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
. E) b0 V( k0 ?3 y( L, u8 c现在转载如下：
7 ~$ k& K, y6 D3 b. Z4 `定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
. l. h% x5 f0 Q+ V0 Z2 O; s( s    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
. X7 a5 J. ^/ m2 c为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
+ c3 k! v$ Y# d2 E    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
: e) l! k6 Z% }9 f& _, {* a: t    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
( Y& i: z- a& K8 k# {总电荷为
# A1 p. J5 b2 Q# b& T9 Z- W; ^# }, t                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
2 f, q' d) ?/ g, l于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]
( l' ~" S1 A! S9 O* j9 S' q1 K
    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
% @. Z5 e; j) ^5 M) |0 n    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
% Z! ]$ N1 L. r5 X) h( N头“考虑K=7”有问题了。
# _3 ?/ X$ c; Q  k    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
3 ~( w$ W! L  L- h. ~: Z2 d6 h    把k=7带入(36-5K)/6时，得
1 Y, y$ p: D/ G& y4 T; S    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
5 b- |& @( W( t* T3 {4 H才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
* j* `. a; H& v5 J5 d- Z8 ^     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
( u5 K5 @2 C6 O* h9 e! e8 c$ M或者
2 A4 c& p  H2 c, t" i    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
0 L5 }8 L! K# f# d因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
6 ^0 R# C: I& |; |2 t+ x    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
- s- `/ d* x* ^+ t( U的总电荷为
( B$ E1 \# G# I9 L+ o            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
' B4 |4 ?. l+ ~   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
" Z( ~) o  Z' W   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
# k1 B8 ?4 J5 Y   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
, {% `7 u6 j) `% Z+ S6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
- f9 C4 p3 |; e* _/ m必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
2 s1 ~$ h4 D' k$ b+ [避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
4 f3 q: S6 E' {& g
( X2 ]1 w4 k, d' Q# A

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~