请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
6 A- \0 m& p8 `/ T" O现在转载如下：
* b( X. N* M8 c8 D- c: Y% @# B' o" B) h定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
7 w+ I* Q7 `; s" E. ~  d& p2 ^+ q    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
3 S. c! O' _1 l# d* k6 T[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
, T  W1 O8 h9 b& i. A    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
0 r. Y$ ~: |. w# w      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
) g) {( q- g0 m* R! @1 x5 S头“考虑K=7”有问题了。
! Y. q* N9 k+ C" q/ C# ^1 j+ L9 m    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
2 \$ l3 l1 a  e* ?, w      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
9 P7 f6 o* S# X- @+ V2 q9 `" l$ u    把k=7带入(36-5K)/6时，得
/ K$ u, G" [7 s( {# l1 ~& B4 j' I) C+ F# @    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
8 L6 [) j* T7 J* x/ T6 ?- L- p才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

. p& A, Y# k; W5 s    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
. ^% i2 J' q5 h, `7 ]7 ~2 E9 K/ x     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
1 F. G1 |6 g* G; N! C- E或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
( B5 C8 l! j7 W4 T因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
; `* j% ~' M* U, m4 h6 F    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
5 F% D. P7 j* g$ ?            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
+ U% M! k2 @1 v5 E, z% z" S" B3 W6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
. G" Z' J* Y' }& y必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
# G$ U" q' o6 z9 N     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
' _& }$ J9 m$ L, ]4 E1 o沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
& Y1 S. S. X7 T! S9 o' \避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
! x- v4 m/ v8 n1 a7 X4 M* x   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]


7 E& u3 B& M' A7 _

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~