请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
" A! M7 \( V: A* k  ]1 f0 `# J; u7 {现在转载如下：
, x+ \/ R; U. y! P6 G7 U. z6 v. S定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
. L$ \6 m8 j" l    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
; l/ B/ Q) ~% f+ F7 }+ W5 n    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
' s- J- c9 z! ]  |* h' ^% X5 w/ ?总电荷为
. g) Z2 J6 J& }2 y                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
  S! A$ E2 x  B# n  q0 y9 t不可避免集。
; c* ?+ ^, A, Y1 x5 ~1 `" G[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
4 ^9 s0 G  F' G5 D& J    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
( S) m. j8 t/ i( {& @8 a7 B" [      如果确定是k/6,那么（1）式为
6 E# n8 S6 h2 t  ^. Y   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
- e! ]; h! v5 H+ `    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
1 A- c5 @9 Y1 _$ L* C/ T- p才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
8 f5 b9 n/ i; |& A    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
$ L' q9 M5 N. A因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
9 h( g! l6 Z3 u            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
0 Z4 F! c  h* P2 [; j/ L7 C   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
7 t& c% N' t' }* r1 Y/ M   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
9 l% M, z- h. g2 ]. |" I* Z6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
. G9 o0 p1 @+ _7 ^! v     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
3 Y* I8 E5 }7 T% S沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
  Y; A2 m) ^) D                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]

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山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~