请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
' G4 L' Q4 T/ }# U% k% V. i( ~8 N! v定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
7 m9 D( w* V/ Q9 h+ P7 d    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
3 S, }& n( H  \3 @0 {/ u/ `! Z$ d7 `    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
& r# ^: M* A- M1 W/ B1 B5 b$ y    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
& t0 \% [% f5 j. ]/ i) k' `' L总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]

0 D( }: c! M2 Y9 z    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
* X; ~7 e3 ~; w" Q* n4 x- ?    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
头“考虑K=7”有问题了。
" p9 j- k- s" `3 o% b    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
( ^/ @  ^& K: k! I& }9 ^& Z3 s    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
5 D/ Q. i) s* r" @- S' p4 L0 |才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
, ]- [; m: P( I( R/ e
    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
9 a$ B, x! x% R: D8 Q     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
0 O9 z: X- G  A7 n- `3 ?0 M2 H    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
# q/ k0 @2 s" `            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
/ p* z1 K2 J8 v, w' m- r   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
, e/ n5 e6 i. f3 k3 x0 i   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
  L# _; s; i& z. P* G. y7 y% j沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
+ E6 J# g) ~7 a. r- g, b. d避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
# N5 f4 L6 a* y. n
4 \- f+ `0 B5 f9 t" T3 h3 t0 l
. D& Z7 Z! I! k! H! y6 y. V: M8 v1 M

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~