请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
, \8 g7 T0 f- G  y$ S+ c! U为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
& B; A# W5 j3 O! h! E# u4 r8 f                                                k
# g9 Y* i: j9 R& ~) E    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
/ E( Y: _# @# J# `3 k3 z( f, `* T    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
/ a* G* a( P9 L# @0 W于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
8 k7 `/ X1 i) w7 [6 m[证毕]
0 b/ ?; o6 _. ?8 x/ G
5 Q/ A2 }/ Q9 r* J) ~    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
' ?, M& ?) `. b0 l5 `8 h2 ]头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
1 ^$ i1 {. T0 W5 O7 ?   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
$ x  u+ r* z/ m1 |1 n    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
* m! P% _& @* L5 Z7 o2 g才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
! v  H! k' ^% E- |& ~  P     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
' Z7 o% r- Y' {* K( Q或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
- x7 H& w5 b, ^9 |    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
# x; n, ^* z6 o5 v必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
1 V4 g" }6 p+ ]; m# u# ^沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
, K. v: ~$ {, m( ^% j2 J  A1 z避免构形的简化》中有所修改）。
( ^4 I$ b9 ], Q! @4 s2 B    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
5 }: F" s9 l9 j) i! k# B

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~