请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
1 Z5 C! m- I5 s# ?& s3 U定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
# a; g% P. d) m# N7 t为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
: u6 d2 U2 p' c2 H6 J3 I- _. S                                                k
: ]+ v9 Y9 y1 ]/ _# p    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
# r* I& w$ o" V1 |) B% ~    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
  |: p! h9 w+ r0 l总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
8 X; }* W: E) j, H% n' a* s于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
0 r2 Q! l% `, a& ^6 ]7 X, w4 Q    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
3 h$ }5 E% {4 k6 \& @# v头“考虑K=7”有问题了。
    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
      如果确定是k/6,那么（1）式为
! `, s  k% Z) |* h0 L/ E   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
  P# b- M% L# o9 y7 R8 u# E/ Q, l$ j    把k=7带入(36-5K)/6时，得
2 c( p, I1 T$ L$ B$ F    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
$ D8 X) ~+ @8 l才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

3 c/ R+ u  r, p; t! a# P    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
( r1 i$ B1 r0 K, r8 }& I1 v     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
% C( G, l* w! }- v或者
, h  \8 s, y( ~" }3 Q    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
9 c- ~. N" E9 {! B  A因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
( _5 E9 s8 h+ ~8 P6 V( O7 z    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
0 o' k! i2 ~2 _1 l, O   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
9 E' |9 v4 |7 W9 u  D必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
4 m# z% o7 T) p- K8 Z( W8 G, I4 V     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
# Y& A7 p( X# E! D9 R, `# I沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
- u6 @8 B* K) ]: P    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
( i0 g. j3 E2 U3 U$ W6 U. ]$ j
! Y0 K  |" J! c8 p! `) r* W9 D5 g% c
2 F! o- V3 S: r5 e) r

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~