变分法模型的运用：生产设备的最大经济效益

浅夏110

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总 是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转 卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。

1 问题分析与假设
) a. x. I5 g. b) P* W


2 [' b/ }1 I9 T) ]
+ ]* R9 z& @! L2 模型构造
根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖 价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可 控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选 单位时间的保养费u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程

! I# o! `/ L" f/ [: H

3 模型求解
% q8 Q  H; P; z/ U# ]5 V首先写出问题的哈密顿函数
+ O- m# a0 |/ N  t

+ `7 w3 V8 b" ~, U
  S, W6 p, w  d9 h2 X+ n
3 d, h: s  x0 I6 b0 ~* U1 X  @

4 f* [- D0 P! ^/ h6 W% o" i


1 \( K7 ^$ v5 b0 I- w5 e将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序

[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')
1 v0 Y# ^0 G- {" n9 m



: z, g$ v* f1 r# }, B) o变分法习题
  m9 V' X! i; J) b% V/ o

1 X) v# z7 }; p' }6 u
( j% T9 E( K6 J/ W" k. q5 I3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突 然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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