变分法模型的运用：生产设备的最大经济效益

浅夏110

某工厂购买了一台新设备投入到生产中。一方面该设备随着运行时间的推移其磨损 程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总 是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转 卖价。那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。
$ w9 p# q) c5 {& X: K1 k. X' x* {
2 P$ I8 v8 K2 `1 问题分析与假设




2 模型构造
+ X5 L3 O4 F; O. s" j2 u根据以上的分析与假设可知：考察的对象是设备在生产中的磨损—保养系统；转卖 价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可 控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选 单位时间的保养费u(t) 作为控制策略。这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成 为在设备磨损—保养系统的（转卖价）状态方程



; {& E2 ~2 i# }# B2 N# ~3 模型求解
首先写出问题的哈密顿函数
1 o+ X( l4 z+ ~
8 `3 O! Y5 V# i% }& W

3 i* N) O  Y. v; z: u, l
. I. }2 M4 x. Q+ O9 E/ ~4 R
. y/ l3 h" A  D& r% o( _7 N1 o



将（27）和（29）联立求解，编写如下 Matlab 程序
8 N0 F7 h9 r% a. V
* @6 Y  |* }4 Y+ L0 ~) u4 Q6 H2 i[x,y]=solve('(1+ts)^(1/2)=4-2*exp(0.05*(ts-tf))','tf=2*(1+ts)^(1/2)+28')

# ]! a- B* \# j. W


变分法习题



3. 在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突 然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。如果在零部件运行 一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从 经济上看是否更为合算？如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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