排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
# V! ?9 Q2 k" L一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。

, l( Q0 h5 [! k/ a8 @$ I下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。
' o% ^4 R: E$ n

* e0 c7 V- N7 }1 k! A" D2 y
0 ^: z! L$ U0 ?1 x  C: h& {为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：
! q+ `! q8 H) v& S1 y1 a



. v9 U1 P( V+ V+ Q. d! ~
述公式得到平稳状态的概率分布。

% ^  K1 M3 e; n: t  Y3 e  @2   M / M /s 等待制排队模型
2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

. |$ \) u- i+ N8 p0 J% {4 g1 `3 Z2.1 队长的分布

$ }/ ~& T# x4 w& I/ C* G
4 h1 V% O3 l  z( z( q
9 _8 n+ B7 f, E( D2.2 几个主要数量指标
  @# }7 a: z2 M0 O, g9 F0 q 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长
1 V6 G6 o7 ^3 v1 w
0 C4 E4 G/ N7 @3 e8 \  }
" r& q2 S8 [& \* o# a" Q' c9 y" k

: e, C  N3 S# l- T5 P+ o) f0 v' o( U
式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。
  v3 w/ d, Q9 i- [) |7 _5 Y
  U  \! [* t- a& i2.3 忙期和闲期
6 Z/ U) w# J6 o% Z8 J4 w


个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
; ^! k9 L; {0 l3 l$ e: m/ U, Z
3 ]7 W1 V6 g5 W: m8 A3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
; {1 D8 K' \1 H8 y, }" H: q（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。
7 H! v$ Y4 M/ }4 r- d3 `
& }1 ~7 B" X9 ~! m1 a3 y1 t" _（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
  `+ y( F) j' d
（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
3 g4 G6 _9 G! q! f: Z$ h
' |' a+ V- P( g+ q5 ~例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。
# l) L' |& B3 u; T+ `
8 _+ S, j* z- l$ G# ]) K
: c: F- O+ u8 }- H: p; I3 b2 y
编写 LINGO 程序如下：
! V& A- B% [# q+ b. g  @
model:
s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
( _  f+ V* g2 w9 x6 s/ FPwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
$ K/ `; C3 l, G3 cPt_gt_10=@exp(-1);
end
4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。



公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
/ P1 ^+ t( l& [& d


式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：
' b% e; |# z/ K. f6 Z) @6 Q) }


) ~2 D2 x5 T' [
% L8 B2 K5 \' Y# X: b' k
对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
9 I' \+ t# ^. ?' k& x0 E* M, [

* N0 [/ I" x5 L) t" D6 f* l
例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个

2 n& M: t& ^* d9 `M / M / s/ ∞ 系统，其中




* X7 N( y9 r2 {, B6 y  h
. y9 t% l; _+ C( f求解的 LINGO 程序如下：

model:
% c- `6 i3 n' G' Ws=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
( `  Q" M4 A0 v! P7 \- LP_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
1 Q$ S( w4 P0 i5 n+ ~L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
L_s=L_q+rho;
W_q=L_q/lamda;
- N- h/ P, j, }% h6 b1 X* A( S" pW_s=L_s/lamda;
9 d6 A, e# q7 S% \; ?end

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SHINee0525

感觉很好 很实用
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