排队论模型（二）：生灭过程 、 M / M /s 等待制排队模型、多服务台模型

浅夏110

1 生灭过程
9 z7 K+ F( @/ B5 B3 k  [一类非常重要且广泛存在的排队系统是生灭过程排队系统。生灭过程是一类特殊的随机过程，在生物学、物理学、运筹学中有广泛的应用。在排队论中，如果 N(t) 表示 时刻t 系统中的顾客数，则{N(t),t ≥ 0}就构成了一个随机过程。如果用“生”表示顾 客的到达，“灭”表示顾客的离去，则对许多排队过程来说，{N(t),t ≥ 0}就是一类特殊的随机过程－生灭过程。
% I- I3 P; i: R( _7 I
下面结合排队论的术语给出生灭过程的定义。


% T3 k5 ?3 L# ~3 i) W; i" A
& ?5 f" C/ L7 {$ r# ^7 f为求平稳分布，考虑系统可能处的任一状态 n 。假设记录了一段时间内系统进入状 态n 和离开状态 n 的次数，则因为“进入”和“离开”是交替发生的，所以这两个数要么相等，要么相差为 1。但就这两种事件的平均发生率来说，可以认为是相等的。即当 系统运行相当时间而到达平衡状态后，对任一状态 n 来说，单位时间内进入该状态的平 均次数和单位时间内离开该状态的平均次数应该相等，这就是系统在统计平衡下的“流 入＝流出”原理。根据这一原理，可得到任一状态下的平衡方程如下：

$ X% i9 P- y* u
; w/ M, X2 w' ]4 `' M9 j, t$ {$ ^: q
4 b$ x* u" {* C6 ~2 u# w

! L$ Y1 N1 M% u- P' l, P) U述公式得到平稳状态的概率分布。
- h0 z/ P. f6 m4 T: _9 W' E. a
- _- q* ]6 I6 p# V2   M / M /s 等待制排队模型
- s1 I2 u6 g5 {  a* h; H2.1 单服务台模型
单服务台等待制模型 M / M /1/ ∞ 是指：顾客的相继到达时间服从参数为λ 的负指 数分布，服务台个数为 1，服务时间V 服从参数为 μ 的负指数分布，系统空间无限， 允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。
! B7 D. G0 E# h$ P' }  K
2.1 队长的分布

' K8 U% W9 G7 {' W% ]) t0 C
7 X) {+ Z( k+ g6 h, }" w0 M# L
( j# @' e4 c; q2.2 几个主要数量指标
* o+ C$ ]( _8 O" l 对单服务台等待制排队系统，由已得到的平稳状态下队长的分布，可以得到平均队 长

$ a/ u+ n8 T, _7 `' q. L

1 q8 y: W* k: _

式（14）和式（15）通常称为 Little 公式，是排队论中一个非常重要的公式。

% C, Q* ^) C+ q7 ^2.3 忙期和闲期

7 Q  S* H4 Y9 w5 m

个顾客在系统内的平均逗留时间应等于服务员平均连续忙的时间。
2 g; D" W+ J5 w" w' V
3 与排队论模型有关的 LINGO 函数
' q* f& J$ ^) m, j（1）@peb(load,S) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且允许排队时系 统繁忙的概率，也就是顾客等待的概率。

（2）@pel（load,S） 该函数的返回值是当到达负荷为 load，服务系统中有 S 个服务台且不允许排队时 系统损失概率，也就是顾客得不到服务离开的概率。
8 p! r" ^( k7 k* a5 |/ U0 I
- S; j" p/ E; N* N5 X（3）@pfs(load,S,K) 该函数的返回值是当到达负荷为 load，顾客数为 K，平行服务台数量为 S 时，有限 源的 Poisson 服务系统等待或返修顾客数的期望值。
9 l( `  p& ?$ _: J/ e, k. {
0 H" n# v% O) q0 E0 C) ]8 z例 1 某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达过程为 Poisson 流，平均 4 人 /h；修理时间服从负指数分布，平均需要 6min。试求：（1）修理店空闲的概率；（2） 店内恰有 3 个顾客的概率；（3）店内至少有 1 个顾客的概率；（4）在店内的平均顾客数； （5）每位顾客在店内的平均逗留时间；（6）等待服务的平均顾客数；（7）每位顾客平 均等待服务时间；（8）顾客在店内等待时间超过 10min 的概率。
% M- A2 G) Y8 Z: o/ ]
, E3 t3 N6 h% G8 r5 x
7 b. M8 e: T8 v' z; e0 c6 T* P
编写 LINGO 程序如下：
( t  b$ [- N/ G& _; t  H& w
model:
! J- m$ k, H' n2 c# ?s=1;lamda=4;mu=10;rho=lamda/mu;
7 U& c0 `; p/ D- pPwait=@peb(rho,s);
p0=1-Pwait;
Pt_gt_10=@exp(-1);
end
5 c" h0 P4 @- K- i5 F. V* v- C# [4 多服务台模型（ M / M /s/ ∞ ）
6 g& I/ V' r; |  F设顾客单个到达，相继到达时间间隔服从参数为λ 的负指数分布，系统中共有 s 个 服务台，每个服务台的服务时间相互独立，且服从参数为 μ 的负指数分布。当顾客到 达时，若有空闲的服务台则马上接受服务，否则便排成一个队列等待，等待时间为无限。

# _1 x% j2 m9 k) x7 s; Y1 @# c: s% G2 G! A
/ Z% \8 b7 }1 S2 ~- J' `
公式（19）和式（20）给出了在平衡条件下系统中顾客数为 n 的概率，当 n ≥ s 时，即 系统中顾客数大于或等于服务台个数，这时再来的顾客必须等待，因此记
+ Q9 _' X  y8 w1 L, a

- d8 s9 e1 A' _3 l( ?% t5 k- e
9 K, ^2 d+ U' p2 m3 t3 x式（21）称为 Erlang 等待公式，它给出了顾客到达系统时需要等待的概率。 对多服务台等待制排队系统，由已得到的平稳分布可得平均排队长 Lq 为：



. z) n4 l$ U% ~0 ?% o$ Y

7 Z) G' i0 D0 B- R& P对多服务台系统，Little 公式依然成立，即有
: z4 |( y" q; ?8 |' R, s* s* L& S
0 `$ N+ D# Q7 S; D! h) ~9 M+ P

例 2   某售票处有 3 个窗口，顾客的到达为 Poisson 流，平均到达率为 λ = 0.9人/ min ；服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率 μ = 0.4人/ min 。 现设顾客到达后排成一个队列，依次向空闲的窗口购票，这一排队系统可看成是一个
* g4 o" g5 z- [. [: R& [2 D
M / M / s/ ∞ 系统，其中
) w  D) X" ?2 M; F' |( _

- y1 d& ?% X" F: [/ C( z
1 H' F5 ?! i2 E
- C, w3 b. c6 O! E# f
: _8 ~. H# X. W  S# @# B) p# r求解的 LINGO 程序如下：

model:
s=3;lamda=0.9;mu=0.4;rho=lamda/mu;rho_s=rho/s;
P_wait=@peb(rho,s);
p0=6*(1-rho_s)/rho^3*P_wait;
L_q=P_wait*rho_s/(1-rho_s);
- O' m2 Z# w3 ~' m7 Y# xL_s=L_q+rho;
. v3 K2 }% }( H2 d4 l* ]' J. sW_q=L_q/lamda;
3 I  d: O5 p+ X4 `! {+ gW_s=L_s/lamda;
end
6 `: W- K$ p+ V* Q$ h& K
( T  s0 Y( d6 n( b  b  m————————————————
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SHINee0525

感觉很好 很实用
) Q2 o4 \0 s$ A+ E