命 题

彭小玉

2 |( m8 J/ T1 F! I, s1. 1. 1 什么是命题
# z5 l8 b) C$ N) j命题是一个非真即假( 不可兼) 的陈述句. 有两层意思, 首先命题是一个陈述句, 而命令
句、疑问句和感叹句都不是命题. 其次是说这个陈述句所表达的内容可决定是真还是假, 而
且不是真的就是假的, 不能不真又不假, 也不能又真又假. 凡与事实相符的陈述句为真语句,
而与事实不符的陈述句为假语句. 这说是说, 一个命题具有两种可能的取值( 又称真值) , 为
6 d; T/ t$ f1 G+ I  p9 F7 l3 e) s真或为假, 并且只能取其一. 通常用大写字母T 表示真值为真, 用F 表示真值为假, 有时也
6 }" J% S  T2 J/ b可分别用1 和0 表示它们. 因为只有两种取值, 所以这样的命题逻辑称为二值逻辑.
举例说明命题概念:
& k4 U6 s% z) [. {* ^( 1)“雪是白的”. 是一个陈述句, 可决定真值, 显然其真值为真, 或说为T , 所以是一个
. M( R. j/ Z+ r# Z9 @命题.
( 2)“雪是黑的”. 是一个陈述句, 可决定真值, 显然其真值为假, 或说为F, 所以是一个
命题.
( 3)“好大的雪啊! ”不是陈述句, 不是命题.
2 `# j! P+ T, U6 j( 4)“一个偶数可表示成两个素数之和”( 哥德巴赫猜想) . 是命题, 或为真或为假, 只不
过当今尚不知其是真命题还是假命题.
( 5)“1+ 101= 110”. 这是一个数学表达式, 相当于一个陈述句, 可以叙述为“1 加101 等
- y1 R+ o4 `, X$ K5 O( K2 w于110”, 这个句子所表达的内容在十进制范围中真值为假, 而在二进制范围中真值为真. 可
0 b/ p1 M, R) c. B8 r8 V见, 这个命题的真值与所讨论问题的范围有关.
1. 1. 2 命题变项
0 N/ ^3 T( K8 G- D$ W  V为了对命题作逻辑演算, 采用数学手法将命题符号化( 形式化) 是十分重要的. 我们约定
) Q# n6 C; K8 E: F" K用大写字母表示命题, 如以P 表示“雪是白的”, Q 表示“北京是中国的首都”等. 当P 表示任
一命题时, P 就称为命题变项( 变元) .
. y2 w2 I  A; M" u命题与命题变项含义是不同的, 命题指具体的陈述句, 是有确定的真值, 而命题变项的
8 `: w/ D0 U  N# G* W真值不定, 只当将某个具体命题代入命题变项时, 命题变项化为命题, 方可确定其真值. 命题
/ R" q; @7 k8 b/ \5 ^# P: l* j( k3 k与命题变项像初等数学中常量与变量的关系一样. 如5 是一个常量, 是一个确定的数字, 而
: ^( Z! D  ~! a- t% _' Wx 是一个变量, 赋给它一个什么值它就代表什么值, 即x 的值是不定的. 初等数学的运算规
·2·
. O. v- u# e* c) m则中对常量与变量的处理原则是相同的, 同样, 在命题逻辑的演算中对命题与命题变项的处
理原则也是相同的. 因此, 除在概念上要区分命题与命题变项外, 在逻辑演算中就不再区分
3 T4 B9 X  `# b* y: X它们了.
1. 1. 3 简单命题和复合命题
5 n" D( |: ~4 Z1 o4 @$ ~9 b简单命题又称原子命题, 它是不包含任何的与、或、非一类联结词的命题. 如1. 1. 1 中所
) F( Q: p5 h  l! J- b/ L5 s举的命题例子都是简单命题. 这样的命题不可再分割, 如再分割就不是命题了. 而像命题“雪
1 g9 w+ H- D' Z2 O是白的而且1 + 1 = 2”, 就不是简单命题, 它可以分割为“雪是白的”以及“1+ 1= 2”两个简
' ~5 Z" X" [; s单命题, 联结词是“而且”. 在简单命题中, 尽管常有主语和谓语, 但我们不去加以分割, 是将
简单命题作为一个不可分的整体来看待, 进而作命题演算. 在谓词逻辑里, 才对命题中的主
! k0 l- a" n$ v( H  K0 t3 t谓结构进行深入分析.
8 Q2 S; S9 f! z, Y. e把一个或几个简单命题用联结词( 如与、或、非) 联结所构成的新的命题称为复合命题,
也称为分子命题. 复合命题自然也是陈述句, 其真值依赖于构成该复合命题的各简单命题的
- n8 U! ~; n/ A7 D真值以及联结词, 从而复合命题有确定的真值. 如“张三学英语和李四学日语”就是一个复合
命题, 由简单命题“张三学英语”“李四学日语”经联结词“和”联结而成, 这两个简单命题真值
均为真时, 该复合命题方为真. 如果只限于简单命题的讨论, 则除讨论真值外, 再没有可研究
3 C% V$ b8 y1 A3 ^& j6 n- q6 q的内容了. 而命题逻辑所讨论的正是多个命题联结而成的复合命题的规律性.
在数理逻辑里, 仅仅把命题看成是一个可取真或可取假的陈述句, 所关心的并不是这些
, N- K6 _/ Q7 v& [* r具体的陈述句的真值究竟为什么或在什么环境下是真还是假, 这是有关学科本身研究的问
/ [+ Y6 c$ {+ g' M9 P* X题, 而逻辑关心的仅是命题可以被赋予真或假这样的可能性, 以及规定了真值后怎样与其他
命题发生联系.
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