一般线性模型（GLM）的相关思考

雨不眠的下

最近遇到一个问题，如果因变量为一个连续变量（如胰岛素水平），主要考察的变量为分组变量（如正常血糖组，前糖尿病组，糖尿病组三组），现在的目的是想看调整多种变量（包括多个连续性变量和分类变量）后，胰岛素水平是否一致。

* k. _8 c9 q! L" X6 s. a
一开始的思路想到的是采用GLM进行协方差分析来解决。

但是有觉得似乎不是很对，因为经典的协方差分析通常只考虑一个连续变量（协变量）和一个分组变量，同时协变量和分组变量只有不存在交互的时候（经典协方差分析的前提）才能使用协方差分析。
4 i* B; z& J6 r. A1 X1 ^: _8 Z针对我目前的问题，如果想调整多个连续性变量和分类变量，这种方法能否再叫协方差分析？如果可以认为是协方差的思想，用不用检验协方差分析的前提（如协变量与分组变量之间的交互）？多个连续性变量和分类变量存在时，该前提应该怎么检验？
# |5 B. Y# V& A: J. C: d- f' M7 y
8 O' A0 m' B+ ]通过跟别人交流之后，有一句话非常受用：线性模型其实最重要的不在于用的方差分析还是协方差分析，而主要是检验残差是否符合线性的几个条件。

6 `8 j5 {* {" W5 W" p受到该启发后，认真再复习GLM的相关资料，得到更加重要的总结如下（来自高惠璇SAS/STAT软件使用手册，实际是SAS8.2的User's guide的中文版，但是目前SAS 9.2，9.3的User's guide关于GLM模型的介绍中已经删去了这么经典的总结，实在可惜，倒让人看不到GLM的真正长处了）：
+ ~; u) k6 P+ b  P6 I  G" [如果X1-X3，Y1-Y2为连续性变量，Y3为分类变量，a-c为分类变量，time为时间变量，目前我们熟悉的模型可以简单概括如下：
(1) y1= x1    简单回归
(2) y1= x1 x2 x3  多重回归（multiple regression）
, U3 @6 W" c; m* S) q9 E& w1 u2 s$ C# `(3) y1 y2=x1 x2   多元回归（multivariate regression）
1 R& B) r$ z0 D$ b(4) y1= a   单因素方差分析
3 @& b" @9 ^, I5 L3 X(5) y1= a b   （析因设计的）主效应分析
(6) y1= a b  a*b （析因设计的）主效应加交互项分析
(7) y1= a x1   协方差分析
: ~2 ?6 h! v5 F# w(8) y3= a   单因素logistic回归
(9) y3= a b c x1 x2 x3   多因素logistic回归
6 {7 U) F- v1 L) }! V(10) y3(time) =a   单因素cox回归
(11) y3(time) = a b c x1 x2 x3  多因素cox回归

1-7采用SAS的一般线性模型GLM都能实现，而1-9采用SAS的广义线性模型GENMOD都能实现，具体验证详见后面举例
2 r8 q/ B0 J8 M8 ~
4 M/ F+ B8 D$ {. |5 U3 B2 b9 B0 L再次回到开始的问题：掌握上述的基本思路后，因为因变量为连续变量，所以采用线性模型肯定是对的。如果因变量可以认为是正态的，那采用一般线性模型是合理的。所以现在的关键问题是：如果调整多个变量（包含分类和连续变量）后看不同分组间因变量（连续变量）是否仍有差异时，能否再称为协方差分析？我目前认为应该是可以的，但是事实上我们遇到这种情况后，并不再去强调它是协方差的思想，而只是回到线性模型分析的最初的起点，也即是检查残差是否符合线性的基本条件即可。
3 S: `- [7 ?9 Q- b9 s
, w; i* r, }# G3 }但是现实中，我们在使用GLM解决前面遇到的类似问题时，只是简单地用了，而很多时候我们都没有认真去检验残差是否符合这个条件，这可能是我们滥用GLM的表现之一，因为我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件。
. n( o8 m- `* A) I6 s) P
再次思考一个问题，上述列举的1-7模型，在GLM中并没有特定的选项指定是哪一种模型，而采用一种表达方式。由此，可以进一步深入概括一句话，GLM模型，对于上述列举的1-7模型并没有本质区别，唯一的区别只是模型中自变量的属性和数量不同。但是我们对1-7模型的叫法却不相同。而其原因是我们对事物的认识是一个由浅到深的过程，之前我们认为他们是不同的7件事情，随着认识的加深，发现原来这些问题可以用一个方式表达出来。而SAS的GENMOD则更能说明这一问题。现在还没有一个模型能把上述模型1-11用一种表达方式表示，但是COX回归在抛开基线生存函数之后剩下的部分也是线性模型，所以说不定哪天真的能够把上述所有模型用一种表达方式表示出来。到时候更应该相信人们对事物的认识绝对是一个由浅到深的过程啦。

附：GLM与GENMOD在协方差分析结果的比较
   data drugtest;
      input Drug $ PreTreatment PostTreatment @@;
, Q: _) M0 ^( u: B  p      datalines;
   A 11  6   A  8  0   A  5  2   A 14  8   A 19 11
7 }$ G6 x1 i# V5 V! C/ y   A  6  4   A 10 13   A  6  1   A 11  8   A  3  0
   D  6  0   D  6  2   D  7  3   D  8  1   D 18 18
   D  8  4   D 19 14   D  8  9   D  5  1   D 15  9
- }$ W+ R! ]$ J   F 16 13   F 13 10   F 11 18   F  9  5   F 21 23
   F 16 12   F 12  5   F 12 16   F  7  1   F 12 20
  e: C0 t- v9 r, B3 o$ j   ;

& x$ b; n8 ]) V- u# j( z7 o( h   proc glm;
      class Drug;
4 u6 G: y7 O; B' D# g      model PostTreatment = Drug PreTreatment / solution;
      lsmeans Drug / stderr pdiff cov out=adjmeans;
; Z% b/ y3 w0 C4 `/ [- L   run;
! F7 t3 J& {$ F6 d" F3 o" k
   proc genmod data=drugtest;
      class Drug;
* r5 \: N( Q- ]  V/ T      model PostTreatment = Drug PreTreatment / dist=NOR link=ID obstats type1;
   run;

   proc print data=adjmeans;
' t  ?; s* N) o0 z9 t   run;

$ Y5 J. D" Q5 r5 w) \+ a
$ L3 N' I& N& V9 y2 }' E

无法定义

学习了，总结的真好，特别是那句关于前提的提醒
0 L) a0 k6 |, [5 f8 O

拒绝一切

学习了，，“我们更多只关注模型的参数是否有意义，而不去关心对结果“无关紧要”的前提条件
% _8 U8 ^: U  \( H  E% q”这句话是该提醒了很多人啊，个人感觉不要只知道应用，还要知道原理，所以说理论性的东西还是不可缺的，，谢谢楼主了哈，，
' a- S2 ^3 _2 B: N; h. o& l

今生已醉

深入浅出，简练的表达，传达了复杂的内容。
( @' y4 Y& V# r. r+ D" Q% S/ l$ a" }貌似目前好多著者、师者都缺少这种思考与总结，有的书、课件就是靠东拼西凑来的。