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数学建模十大算法程序源码打包:(后续会继续更新)0 v6 P' ^% H4 j4 Q
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4 ?. n5 O$ k2 f, W本文源自CSDN,作者July: l8 G9 b4 s9 R
本文参考:
6 `& I- X1 X& O# ]I、 细数二十世纪最伟大的十大算法 - D) Y3 ^$ P* c) h$ W/ U0 S
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
& S: u$ H J4 K+ LIII、维基百科 ------------------------------------------ 说明:
7 z/ h; @' ?6 G6 W: q3 g* C0 y1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写,本文对此十大算法作一一简单介绍。
% l( w$ D3 U4 [- k这只是一份榜单而已,数学建模中还有很多的算法,未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
' W( Y9 ~$ y; F- r! T! b' Q8 w, p2、在具体阐述每一算法的应用时,除了列出常见的应用之外,9 _ t: K9 h$ o9 H
同时,还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
! F( D" k# V/ z7 Z毕竟,此十大算法,在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。' U. V- u7 r* V6 |/ [
且,凡是标着“某某年某国某题”,即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。5 q5 r" K( S9 j: a
3、此十大算法,在一些经典的算法设计书籍上,无过多阐述。
: f# U: Y5 h* h9 S0 {3 [/ Z( V% |, v( H若要具体细致的深入研究,还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。- W+ Y1 `3 B8 ]% @3 u
谢谢。 一、蒙特卡罗算法1 K( m& `# |3 q, x2 W, ]- e
1946年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
2 |- W. u0 @4 l1 d共同发明了,蒙特卡罗方法。 蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导 的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方 法。 由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真 实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:: U6 W4 h; \( L% R) a
当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法 ,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作 为问题的解。
8 \% W) s7 C" h8 R1 c! F1 C 有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法: F* v6 G, y, n2 Y6 y
假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如,积分)的复杂程 度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然 后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候 ,结果就越精确。
) h6 i+ f% M) ] t! X1 [在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。 % h7 l3 g& y5 G3 A- s4 j
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模 拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的 近似解。 蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而 蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:
* Z6 P1 m: A7 D3 W- }I、 直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解。 . R3 U. ]) J5 S5 h3 t$ {0 L
II、 采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律。3 Q, T( Y. l5 k6 p0 S7 X# O
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。& o. s3 ?9 B9 ?$ `9 c! Z2 z* s
等等。 此算法,日后还会在本BLOG 内详细阐述。 9 a ?' I3 ~5 t" X4 @
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法+ W' Q: d4 T8 h0 ?6 s0 k
我们通常会遇到大量的数据需要处理, 而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。 数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98年数 学建模美国赛A题,生物组织切片的三维插值处理,94年A题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有 吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。 此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。
* l0 D$ X6 X8 }4 H D# |, R三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
1 b' }1 X6 ?6 t/ t: U. ~+ Z数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
、几个函数表达式作为目标函数的问题,遇到这类问题,求解就是关键了,比如98年B题,用很多不等式 完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还 需要熟悉这两个软件。
9 b: D4 X! ~4 O四、图论算法
' y% G L2 y1 a这类问题算法有很多,
7 S# J& U0 e5 e! i5 O: L# u* l6 a& ~包括: Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ,最大流,二分匹配等问题。
关于此类图论算法,可参考Introduction to Algorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。
: E2 T/ A8 Q9 G/ x& M; Z同时,本BLOG内经典算法研究系列,对Dijkstra算法有所简单描述,
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9 n% z' w/ z! d& S" s: u( i, M2 h7 u经典算法研究系列:二、Dijkstra 算法初探& ~2 a0 j2 F' n6 U* g' k q
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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法! D! I% Y; g' r1 H8 `
在数学建模竞赛中,如:92 年B题用分枝定界法, 97年B题是典型的动态规划问题,
C, x3 `7 _8 R y4 Y1 M) S此外 98 年 B 题体现了分治算法。 这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,; }. o) H; w/ U
推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。
) O3 d* R2 l( M; X0 d- \# M, k; W六、最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法 ; Q$ v8 K8 \* O9 o) w/ [3 j2 Q
这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
在数学建模竞赛中:比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法,01年B题这种难题也可 以使用神经网络,还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系,当时是86年刚提出BP算法,89年就考了, 说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
0 [& m9 `) }% E$ q/ }03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。 , x9 F% Q: A5 R0 Q, _1 `1 G$ ]
七、网格算法和穷举法. y: B8 s# G$ {- X8 Y/ A
网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。; }1 {+ k& k4 S/ L
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,3 O7 X4 n0 V) c/ s) I
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点,就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ¢ ( b ? a ) =M ; …;b 那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算,所以计算量很大。 ' ]6 M: c) {' U; h( T( p. x
在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较 快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用 MATLAB 做网格,否则会算很久。 穷举法大家都熟悉,自不用多说了。
4 Z* q U1 h4 S9 S$ E9 ?% v八、一些连续离散化方法
* V: h( E" U5 u) L, y大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。
6 x5 `% \" j' N3 _8 ^+ Q! ~这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。
& F3 d+ C/ U: J" B {, t+ V事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
2 [ o [& q! @# g. f/ D9 w九、数值分析算法
& O" ~" ~) a p1 t数值分析(numerical analysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的
算法。 如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、 函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ,大可不必准备,
, z; J0 M1 j& G- C4 B因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
: d' |0 ?' S+ V7 r5 G6 s. E十、图象处理算法
, L" o7 N! E+ h在数学建模竞赛中:比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
计算, 03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示, 因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。
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